专题01 一次函数与面积（举一反三专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 以割补法、铅垂法、牵引法及面积转化为核心方法体系，系统构建一次函数与面积问题的解题逻辑，通过题型化训练培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |割补法|11题|图形分割与补形技巧|从基础图形面积到复杂多边形面积计算| |铅垂法|4题|铅锤高·水平宽公式应用|结合坐标系铅垂方向作高简化面积计算| |牵引法|3题|作平行线转化面积关系|通过平行线构造等积模型解决动态问题| |面积转化|7题|面积比与底高比转化|综合运用等积、和差转化解决综合问题|

专题01 一次函数与面积（举一反三专项训练） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 割补法与图形面积】 1 【题型2 铅锤法与图形面积】 21 【题型3 牵引法与图形面积】 31 【题型4 面积转化求面积】 36 知识点1 割补法 类型 割补法 图示 结论 【题型1 割补法与图形面积】 1．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，与直线交于点，且与轴交于点； (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)已知点在直线上，若的面积是面积的，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】（1）先将点代入直线的解析式求出的值，得到点的坐标；再利用待定系数法，将点和点的坐标代入直线的一般式，求出直线的解析式． （2）先求出直线、与轴的交点、的坐标，得到的长度；再以为底，点到轴的距离为高，利用三角形面积公式计算的面积． （3）根据与的面积关系，先求出的面积；设点的坐标，结合直线的解析式表示出点的横纵坐标关系，再利用三角形面积公式列方程求解点的坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， 当时，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线经过点和， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：直线与轴交于点， 当时，则， 解得， 点的坐标为， 直线与轴交于点， 当时，则， 解得， 点的坐标为， ， 点到轴的距离为， ； （3）解：的面积是面积的， ， 设点的坐标为， 直线与轴交于点， （或）， ∴，即， ∴， 当时，解得， 此时 当时，解得， 此时 点的坐标为或． 2．（25-26八年级下·北京平谷·期末）如图，直线经过点，． (1)求直线对应的函数解析式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）设直线的解析式，分别把两点代入直线解析式，解方程组求出即可； （2）先求出直线与轴的交点坐标，再用割补法分别算两个三角形的面积，最后计算两个三角形的面积和即可． 【详解】（1）解：设直线对应的函数解析式为                                   ； （2）解：设直线与轴交点为C，如图所示， 令，则，                              ． 3．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与轴、轴分别交于点、，过点的直线与轴、轴分别交于点、． (1)______，点坐标______，点坐标______； (2)若点、关于点对称， ①求直线的解析式； ②求的面积； (3)在（2）的条件下，已知点在直线上，若的面积是面积的，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)①；② (3)或 【分析】（1）把点代入直线中，求得b的值，即得到直线的解析式，再分别令，，即可求得点A，B的坐标； （2）①根据点，关于点对称可得，采用待定系数法，将，代入直线即可求解； ②先求得点，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）根据（2）得出的面积为，结合题意得出的面积为，进而分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入直线得，， 解得：， 直线， 令，得，令，得， 点A的坐标为，点B的坐标为； （2）解：①∵点，关于点对称， ∴点D是的中点， ∴点的坐标为， 将，代入，得 ，解得， 直线的解析式为； ②当时， 解得： ∴ ∴ ∴的面积为 （3）解：由（2）可得 ∵的面积是面积的， ∴， ∵点在直线上， 设的纵坐标为， 当在点的下方时， ∴ ∴ 代入直线的解析式； ∴ 解得： ∴； 当在点的上方时， ∴ ∴ 代入直线的解析式； ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 4．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴交于两点，正比例函数图象与交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)求的表达式； (3)在上是否存在一点使得的面积是的面积的倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【分析】（）将点代入直线的解析式求出，再令中，求出与轴的交点； （）设正比例函数的解析式为，将点代入求出，得到的表达式为； （）先求出与轴交点，算出，进而得到；分析可知点D在上方或点D在下方，然后分情况讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵ 点在直线上， 将代入得：， 解得， ∵是与轴的交点， 将代入，得：，解得， ∴； （2）解：∵是正比例函数，设解析式为， 将代入得：，解得， ∴的表达式为； （3）解：∵是与轴交点， 令得，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点D在上方或点D在下方， ∵在上，可设， 当点D在上方时，， 即，解得， ∴， 当点D在下方时，， 即，解得或（舍去）， ∴， 综上，存在符合条件的点，坐标为或． 5．（25-26八年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求直线的解析式； (3)求的面积； (4)在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)5 (4)和 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、三角形面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）分别求解即可； （2）先求出点D的坐标，再用待定系数法求直线解析式即可； （3）先求出的长，再根据求解即可； （4）先求得，即；再分两种情况：当点P在点D下方时，当点P在点D上方时，根据三角形的面积公式、列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时，，即； 当时，，即． （2）解：∵直线经过点， ， ， 设直线的解析式为， ∴，即， ∴直线的解析式为． （3）解：∵，， ∴， ∴． （4）解：∵直线的解析式为． ∴， ∴， ∴， ∴； ①如图，当点P在点D的上方， 设点P的坐标为， ∵， ∴，解得：， ∴； ②如图，当点P在点D的下方， 设点P的坐标为， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上，点P的坐标为和． 6．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，连接． (1)方程组的解是________； (2)求的面积； (3)若在轴上存在点（点与点不重合），使得的面积与的面积相等，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)10 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）根据直线与直线的交点坐标即可得； （2）设直线与轴的交点为点，先利用待定系数法求出，再分别求出点的坐标，然后根据的面积等于求解即可得； （3）设直线与轴的交点为点，先求出点的坐标，从而可得，再根据的面积等于建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：方程组可转化为， 所以这个方程组的解为直线与直线的交点的横坐标、纵坐标， 即方程组的解是， 故答案为：． （2）解：如图，设直线与轴的交点为点， 将点代入得：，解得， ∴， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∵， ∴的边上的高为， ∴的面积为． （3）解：如图，设直线与轴的交点为点， 由（2）已得：， 当时，，解得，即， 设点的坐标为，则， ∵，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∵的面积与的面积相等，且的面积为10， ∴， 解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去）， 所以点得坐标为． 7．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． (1)点A的坐标为 ； (2)求直线的表达式； (3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与面积的综合问题，用待定系数法求一次函数的解析式，求一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握一次函数与面积的综合问题是解题的关键． （1）令，得到方程，求解方程即得答案； （2）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）设点，当点P在射线上时，根据，得到，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案；当点P在射线上时，可得，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为． 故答案为：． （2）解：设直线的表达式为， 将，的坐标代入，得， 解得， 直线的表达式为； （3）解：设点， 当点P在射线上时，即点在处， ， ， ， 解得， ， 解得， ； 当点P在射线上时，即点在处， ， ， ， 解得， ， 解得， ； 综上所述，存在动点P，使得的面积等于面积的倍，点P的坐标为或． 8．如图，平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，交x轴于点B． (1)求直线的表达式和点B的坐标； (2)直线l垂直平分交于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n． ①用含n的代数式表示的面积； ②当时，求点P的坐标； ③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得与面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)①；②；③的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，垂直平分线的性质等，熟练掌握一次函数的图象及性质，垂直平分线的性质及其应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解解析式，再求解B的坐标即可； （）由的长度结合直线的垂直平分，可求出，的长度，利用一次函数解析式求出点坐标，进而用含的式子表示点坐标，再利用面积公式即可求解； ②由①的结论，再建立方程求解即可； ③分点在轴和轴两种情况考虑，利用三角形面积即可求出点坐标； 【详解】（1）解：∵直线：交轴于点， ∴， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点的坐标为， （2）解：∵直线垂直平分，， ∴， 当时，， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ②∵， ∴， 解得：， ∴点； ③当点在轴上时，设其坐标为， ∵， ∴或， ∴点的坐标为或； 当点在轴上时，设其坐标为， ∵， ∴或， ∴点的坐标为或， 综上所述：在坐标轴上，存在一点，使得与面积相等，且点的坐标为或或． 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图，一次函数的函数图象与轴，轴分别交于点，． (1)若点为第三象限内一个动点，请问的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由？ (2)在（1）的条件下，试用含的代数式表示四边形的面积；若的面积是，求的值． 【答案】(1)不变，面积是1 (2)， 【分析】本题考查了一次函数与几何图形，一次函数与坐标轴交点问题； （1）求出、点的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论； （2）由，即可得出四边形的面积，再由的面积是可得出的值． 【详解】（1）解：不变，理由是： 一次函数的图象与轴、轴分别交于、， 当时，，当时， 则点、的坐标分别为、， ∴ ∵点为第三象限内一个动点， ∴． （2）解：∵, , ∴ 解得． 10．（2024·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)若直线上有一点P使得的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质及三角形面积的计算，解题的关键是数形结合． （1）把代入，即可求出坐标，再根据点和用待定系数法即可求出函数解析式； （2）先求出，再根据图象即可求解； （3）设，根据或即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴将点代入得， ∴； ∵的长为4， ∴， 设直线的解析式为， 将点和代入得： ， 解得：， 故直线的解析式为； （2）解：令，得， ， ； （3）解：根据题意得：， 设， 令，得， ， 如图： ， 解得：， 或， 解得：， 故或． 11．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O，点A重合），过点C作x轴的垂线l交直线于点D，在射线上取点E，使 ，设点C的横坐标为m． (1)直接写出A，B两点的坐标； (2)若点E落在直线上，求m的值； (3)若的面积等于面积的一半，求m的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，一次函数性质，正确地理解题意是解题的关键． （1）解方程即可得到，； （2）由点C在线段上，且横坐标为m，得到，求得，得到，把代入，解方程即可得到结论； （3）由轴，交直线于点D，得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，令，则，令，则， ∴，； （2）解：∵点C在线段上，且横坐标为m， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵点C在线段上， ∴把代入，得， 解得：； （3）解：∵轴，交直线于点D， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∵， ∴当时， 解得， 当时， 解得． 综上所述，或． 知识点2 铅垂法 类型 铅垂法 图示 结论 【题型2 铅锤法与图形面积】 1．如图，已知在平面直角坐标系中，点在直线：上，过点P的直线：(k、b为常数，且)与x轴交于点，与y轴交于点B，轴于点H． (1)求直线的函数解析式和点B的坐标； (2)在直线上是否存在点C，使得的面积等于四边形的面积的6倍？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查的是待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形面积，运用数形结合思想解题是解本题的关键． （1）先求解的坐标，再利用待定系数法求解的解析式，再令可得的坐标； （2）先求解四边形的面积为；可得的面积为，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线：上， ∴， ∴， ∴； ∵：(k、b为常数，且)与x轴交于点，且经过点P， ∴， 解得：， ∴：； 当时，， ∴； （2）解：∵，，轴， ∴， ∴四边形的面积为； ∴的面积为， 如图，存在两个这样的点C， 设； ∴的面积 ， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴或； 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）问题背景：一次函数中常常遇到求面积的相关问题，其中有一种解决方法叫“铅锤法”：如图1，此类型中所有的边都不在坐标轴或者在平行于坐标轴，竖直作铅锤高将三角形分成两个三角形，利用两个特殊图形面积和（或者差）来解决． 铅锤高·水平宽． 问题展示：在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A、B两点，如图2所示，将线段绕着点A顺时针旋转得到线段，点C关于直线的对称点记作点D． 解决问题： (1)求点B、C所在直线的表达式； (2)利用“铅锤法”求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴于点，根据解析式求出点的坐标，得出线段的长度，根据旋转的性质得出直角，证明，得出相等的边，确定C点坐标为，最后利用待定系数法求函数解析式即可； （2）借助网格确定点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，确定点的坐标，然后根据“铅锤法”求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A、B两点， 当时，， 解得， ∴； 当时，， ∴； ∴， 将线段绕着点A顺时针旋转得到线段，， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则C点坐标为， 假设所在直线的表达式为， 将和代入表达式得， ， 解得， ∴所在直线的表达式为； （2）解：由图可知，点C关于直线的对称点， 假设所在直线的解析式， 将和代入解析式得， ， 解得， ∴所在直线的解析式， 当时，， ∴与y轴交点为点， 利用问题背景中“铅锤法”求的面积则可以表示为 ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上性质． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，过点的直线平行于轴，交直线于点，点是直线上一动点（异于点），连接． (1)求直线的解析式； (2)设，求的面积的表达式（用含的代数式表示）； (3)当的面积为3时，则以点为直角顶点作等腰直角，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) 【分析】（1）将点（4，0）代入即可； （2）过点作，垂足为，即可得出； （3）首先求出点P坐标，再分类讨论即可； 【详解】（1）解：∵直线交轴于点， ∴，  ∴， ∴直线， （2）解：如图1（a），过点作，垂足为， ∵过点的直线平行于轴，交直线于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 当时，， 当时，； （3）解：由（2）可知， ∵面积为3， ∴， 解得或， 当时，点P坐标为（2，2）如图， 与x轴交与点Q， 当时，， ∴， ∴点坐标为（2，-2）， 过点作轴，交x轴于点H， 当时，， ∴， ∴点坐标为（6，2）， 当时，点P坐标为（2，-1）如图， 轴，交于点N， 当时，， ， ∴ ∴ ∴，， ∴点坐标为（5，-2）， 作，交于点M， 当时，，同理， ∴，， ∴点坐标为（3，2）， 综上点C坐标为（6，2）、（2，-2）、（5，-2）、（3，2）． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，等腰直角三角形的判定，解题关键是掌握一次函数的性质以及等腰直角三角形的判定． 4．如图，已知直线：与轴，轴交于点，点，直线经过点，与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)点为直线上一动点，若有，求点的坐标． 【答案】(1)，直线的解析式 (2) (3)或 【分析】本题考查了两条直线相交问题，利用待定系数法求一次函数的解析式，及求三角形面积，熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键； （1）将代入的表达式中求出m的值即可知D点坐标，再根据待定系数法求出的函数表达式即可． （2）求出A点坐标即可知的长度，再根据即可求出的面积． （3）作交于点，设，则，根据列方程即可求出m的值，进而可求出P点坐标． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， 解得， ∴． 设直线的表达式为，且直线过点， ∴， 解得， ， ∴直线的解析式． （2）解：∵直线与轴交于点， ∴， ∴， ∴． （3）解：作交于点，设，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， 解得或， ∴或． 知识点3 牵引法 类型 牵引法 图示 方法 作PQ∥AB交x轴于点Q 作PQ∥AB交y轴于点Q 结论 【题型3 牵引法与图形面积】 1.如图，平面直角坐标系中，已知点，． 求直线的解析式 正比例函数的图象与直线交于点，且，求的值 若点为平面直角坐标系内的一点，且，直接写出所有满足条件的点组成的图形的解析式          ． 【答案】解：点，． 设直线的解析式为： 则，解得 直线的解析式为； ， ， 正比例函数的图象与直线交于点，且， ，即， ， ， 把代入得，， 把代入得，， 或， 把代入求得； 把代入求得； 的值为或； 或． 点，， ，， ， ， 此时点在过点且平行于直线的直线上， 点组成图形的解析式为， 当点在直线的上方时，点组成图形的解析式为， 点组成图形的解析式为或， 故答案为：或．  2.如图，直线分别交轴、轴于，两点． 直接写出、两点的坐标； 如图，已知直线，无论取何值，它都经过第一象限内的一个定点，分别连结、，其中交轴于点． 求的面积；连接，在直线上是否存在着点，使得？若存在，请直接写出点的坐标不写求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】解：直线分别交轴、轴于，两点． 令，则，则； 令，则，解得，则； 由变形得：， 令即，可得， 所以直线经过定点， 又， 可得直线的解析式为：， 令，则，则， ，， 则； ，，， ， 则， 由可得的解析式为：， 点在直线上，可设， 则， 过点作，交直线于点， ， 又直线，且的坐标为， 直线为， 由，解得点的坐标为， 在轴上，点关于点的对称点为， 过点作，交于点， 可得直线的解析式为：， ， 由，解得点的坐标为， 综上所述，点坐标为或   3.如图，在平面直角坐标系，中，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． 求直线的解析式； 如图，直线与轴交于点，点在直线上，若的面积为，求出点的坐标； 【答案】解：， ，， ，， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； 过作交轴于，连接，如图： ，面积等于， 面积等于， ，即， ， ， 设直线为，则， ， 直线为， 令得， 知识点4 面积转化 类型 面积比底的比 面积比高的比 等积转化 和差转化 图示 结论 ADBC 【题型4 面积转化求面积】 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…直线轴于点．函数的图象与直线，，…分别交于点，，，…；函数的图象与直线，，…分别交于点，，…，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作…四边形的面积记作，那么的值为（   ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的综合，读懂题意，根据直线解析式求出，的值是解题的关键，同时也要注意下标对应的关系． 根据直线解析式求出，的值，再根据直线与直线互相平行并判断出四边形是梯形，然后根据梯形的面积公式求出的表达式，然后把代入表达式进行计算即可得出解． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ， ∵直线轴于点，直线轴于点， ∴，且与间的距离为1， ∴四边形是梯形， ， 当时，． 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求直线的函数表达式； (2)轴上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，三角形面积．数形结合是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）点的坐标为，则，再根据，建立关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把、分别代入，得 ，解得：， ∴． （2）解：∵，， ∴ 设点的坐标为， ∵、， ∴ ∵ ∴ 解得：，． ∴存在，点的坐标为，． 3．（24-25八年级下·全国·期中）如图，直线分别与x轴，y轴相交于点B和点，与交于点，点M在直线上． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）先求出点的坐标，由待定系数法可求得直线的解析式； （2）求出点的坐标得到的长，再由的面积计算求解即可； （3）根据题意可得，据此即可求得的横坐标，然后代入解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解；∵点在直线上， ∴， ， ∴， ∵直线经过和，       解得：， 直线的解析式为：； （2）解：在中，当时，解得：， ∴， ， ∴的面积 （3）解： ， ， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴ 点的横坐标为或； 当的横坐标为时， 在中，当时，，则的坐标是； 当的横坐标为时， 在中，当时，，则的坐标是 综上所述：点的坐标为或． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标，三角形的面积是4． (1)求点B的坐标； (2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，连接，点E是x轴正半轴上一点，且，连接． ①如图2，若三角形的面积是8，求m的值； ②如图3，点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），连接，，当四边形的面积与三角形的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形的面积，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先得到，然后根据三角形的面积是4得到，即可求解； （2）①首先得到，然后表示出，然后根据三角形的面积是8得到，即可求解； ②设，则，，然后根据题意得到，代入得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵A点坐标， ∴ ∵三角形的面积是4． ∴ ∴ ∴； （2）解：①∵点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵三角形的面积是8 ∴，即 ∴； ②∵点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合）， ∴设 ∴， ∵四边形的面积与三角形的面积相等 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点． 5．在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点． (1)直接写出正比例函数的表达式；若的面积为的面积的倍，求直线的表达式； (2)在（1）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，对称的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求正比例函数解析式即可；先根据的面积为的面积的倍得出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接，由对称可得平分，先求出直线的解析式，再求直线与直线的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴正比例函数的表达式为：； ∵的面积为的面积的倍， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：如图，作点A关于y轴的对称点，连接， 由对称可知，，即平分， ∴平分， 由对称可知，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴， ∴． 6．如图，设直线，直线．已知与x轴交于点A；与x轴交于点C与y轴交于点B，与直线交于点． (1)求直线、的解析式； (2)求的面积； (3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为；直线的解析式为 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查求一次函数解析式，坐标与图形，直线与坐标轴围成的三角形面积．熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式和三角形面积公式是解题的关键． （1）把分别代入和，求出k值即可； （2）先求出A、C坐标，再根据三角形面积公式求解即可； （3）分两和情况：①当点P 在射线上时，，②当点P 在射线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把分别代入和，得 ，解得：， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式为：． （2）解：对于直线的解析式为； 令，则， 解得：， ∴， 对于直线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴， 由（1）知：， ∴ ∴的面积． （3）解：设点P坐标为， 分两种情况：①当点P 在射线上时，即在点处，如图， ∵ ∴ ∴ ∴； ∴， 解得， ∴； ②当点P 在射线上时，即在点处，如图， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得， ∴； 综上，存在，点P的坐标为或时，使得的面积等于面积的倍． 7．在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点． (1)求正比例函数的表达式； (2)若的面积为的面积的倍，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、对称问题： （1）将代入即可求解； （2）分类讨论：当点在轴负半轴时，过点作轴和轴的垂线，垂足分别为和，当点在轴正半轴时，利用待定系数法即可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接，根据对称性得，，即平分，进而可得平分，利用待定系数法求得直线的解析式为：，令，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式及对称性，利用分类讨论思想解析问题是解题的关键． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， 正比例函数的表达式． （2）当点在轴负半轴时，根据题意可画出图形，如图1所示，过点作轴和轴的垂线，垂足分别为和， 则，， 设的面积为，则的面积为， 的面积为，即， ，， ，即， 令，则， ， ， ，即， 将，代入函数解析式得： ， 解得：， 直线的解析式为； 当点在轴正半轴时，如图2所示， 设的面积为，则的面积为， ，即， ，， ，即， 令，则， ， ， ，即， 将，代入函数解析式得： ， 解得：， 直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为：或． （3）作点关于轴的对称点，连接，如图： 由对称可知，，即平分， 平分， 由对称可知，， 直线的解析式为：， 令， 解得：， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一次函数与面积（举一反三专项训练） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 割补法与图形面积】 1 【题型2 铅锤法与图形面积】 6 【题型3 牵引法与图形面积】 8 【题型4 面积转化求面积】 9 知识点1 割补法 类型 割补法 图示 结论 【题型1 割补法与图形面积】 1．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，与直线交于点，且与轴交于点； (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)已知点在直线上，若的面积是面积的，直接写出点的坐标． 2．（25-26八年级下·北京平谷·期末）如图，直线经过点，． (1)求直线对应的函数解析式； (2)连接，，求的面积． 3．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与轴、轴分别交于点、，过点的直线与轴、轴分别交于点、． (1)______，点坐标______，点坐标______； (2)若点、关于点对称， ①求直线的解析式； ②求的面积； (3)在（2）的条件下，已知点在直线上，若的面积是面积的，直接写出点的坐标． 4．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴交于两点，正比例函数图象与交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)求的表达式； (3)在上是否存在一点使得的面积是的面积的倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 5．（25-26八年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求直线的解析式； (3)求的面积； (4)在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标． 6．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，连接． (1)方程组的解是________； (2)求的面积； (3)若在轴上存在点（点与点不重合），使得的面积与的面积相等，请直接写出点的坐标． 7．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． (1)点A的坐标为 ； (2)求直线的表达式； (3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，交x轴于点B． (1)求直线的表达式和点B的坐标； (2)直线l垂直平分交于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n． ①用含n的代数式表示的面积； ②当时，求点P的坐标； ③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得与面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图，一次函数的函数图象与轴，轴分别交于点，． (1)若点为第三象限内一个动点，请问的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由？ (2)在（1）的条件下，试用含的代数式表示四边形的面积；若的面积是，求的值． 10．（2024·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)若直线上有一点P使得的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 11．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O，点A重合），过点C作x轴的垂线l交直线于点D，在射线上取点E，使 ，设点C的横坐标为m． (1)直接写出A，B两点的坐标； (2)若点E落在直线上，求m的值； (3)若的面积等于面积的一半，求m的值． 知识点2 铅垂法 类型 铅垂法 图示 结论 【题型2 铅锤法与图形面积】 1．如图，已知在平面直角坐标系中，点在直线：上，过点P的直线：(k、b为常数，且)与x轴交于点，与y轴交于点B，轴于点H． (1)求直线的函数解析式和点B的坐标； (2)在直线上是否存在点C，使得的面积等于四边形的面积的6倍？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）问题背景：一次函数中常常遇到求面积的相关问题，其中有一种解决方法叫“铅锤法”：如图1，此类型中所有的边都不在坐标轴或者在平行于坐标轴，竖直作铅锤高将三角形分成两个三角形，利用两个特殊图形面积和（或者差）来解决． 铅锤高·水平宽． 问题展示：在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A、B两点，如图2所示，将线段绕着点A顺时针旋转得到线段，点C关于直线的对称点记作点D． 解决问题： (1)求点B、C所在直线的表达式； (2)利用“铅锤法”求的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，过点的直线平行于轴，交直线于点，点是直线上一动点（异于点），连接． (1)求直线的解析式； (2)设，求的面积的表达式（用含的代数式表示）； (3)当的面积为3时，则以点为直角顶点作等腰直角，请直接写出点的坐标． 4．如图，已知直线：与轴，轴交于点，点，直线经过点，与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)点为直线上一动点，若有，求点的坐标． 知识点3 牵引法 类型 牵引法 图示 方法 作PQ∥AB交x轴于点Q 作PQ∥AB交y轴于点Q 结论 【题型3 牵引法与图形面积】 1.如图，平面直角坐标系中，已知点，． 求直线的解析式 正比例函数的图象与直线交于点，且，求的值 若点为平面直角坐标系内的一点，且，直接写出所有满足条件的点组成的图形的解析式          ． 2.如图，直线分别交轴、轴于，两点． 直接写出、两点的坐标； 如图，已知直线，无论取何值，它都经过第一象限内的一个定点，分别连结、，其中交轴于点． 求的面积；连接，在直线上是否存在着点，使得？若存在，请直接写出点的坐标不写求解过程；若不存在，请说明理由． 3.如图，在平面直角坐标系，中，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． 求直线的解析式； 如图，直线与轴交于点，点在直线上，若的面积为，求出点的坐标； 知识点4 面积转化 类型 面积比底的比 面积比高的比 等积转化 和差转化 图示 结论 ADBC 【题型4 面积转化求面积】 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…直线轴于点．函数的图象与直线，，…分别交于点，，，…；函数的图象与直线，，…分别交于点，，…，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作…四边形的面积记作，那么的值为（   ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求直线的函数表达式； (2)轴上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·全国·期中）如图，直线分别与x轴，y轴相交于点B和点，与交于点，点M在直线上． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标，三角形的面积是4． (1)求点B的坐标； (2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，连接，点E是x轴正半轴上一点，且，连接． ①如图2，若三角形的面积是8，求m的值； ②如图3，点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），连接，，当四边形的面积与三角形的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形的面积，并说明理由． 5．在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点． (1)直接写出正比例函数的表达式；若的面积为的面积的倍，求直线的表达式； (2)在（1）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标． 6．如图，设直线，直线．已知与x轴交于点A；与x轴交于点C与y轴交于点B，与直线交于点． (1)求直线、的解析式； (2)求的面积； (3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点． (1)求正比例函数的表达式； (2)若的面积为的面积的倍，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $