1.1.1第二课时　集合的表示及区间课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的表示及区间，系统讲解列举法、描述法的定义与注意事项，以及区间的概念、表示方法和无穷区间等核心知识点。通过“生日快乐”不同语言表示的情境导入，类比引出集合的多种表示方法，搭建从生活实例到数学抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，用“想一想”问题引导学生发现集合元素互异性等特征，结合典型例题与通性通法总结，培养数学思维。如通过方程组解集、区间表示等实例，强化数学语言表达，帮助学生提升抽象能力与应用意识，也为教师提供系统教学资源，便于课堂互动与关键能力提升。

第二课时　 集合的表示及区间 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同 的表示方法.例如，简体中文中的“生日快乐”，用繁体中文为“生日 快樂”，英文为“Happy Birthday”…… 目录 数学·必修第一册（B版） 【问题】　对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（B版） 知识点一　列举法 把集合中的元素 出来（相邻元素之间用 ⁠分 隔），并写在 内，以此来表示集合的方法称为列举法. 一一列举　 逗号　 大括号　 目录 数学·必修第一册（B版） 提醒　使用列举法表示集合的四个注意点：①元素间用“，”分隔 开，其一般形式为{ a1， a2，…， an }；②元素不重复，满足元素的互 异性；③元素无顺序，满足元素的无序性；④对于含有有限个元素且 个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且 集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列 举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示. 目录 数学·必修第一册（B版） 知识点二　描述法 这种表示集合的方法，称为 ，简称为描述法. 特征性质描述法　 目录 数学·必修第一册（B版） 【想一想】 集合 A ＝{ x ｜ x －1＝0}与集合 B ＝{1}表示同一个集合吗？ 提示： A ＝{ x ｜ x －1＝0}＝{1}与集合 B 表示同一个集合. 目录 数学·必修第一册（B版） 知识点三　区间的概念及表示 1. 区间定义及表示 设 a ， b 是两个实数，而且 a ＜ b . （ a ， b ）　 定义 名称 符号 数轴表示 { x ｜ a ≤ x ≤ b } 闭区间 [ a ， b ] { x ｜ a ＜ x ＜ b } 开区间 ⁠ 目录 数学·必修第一册（B版） 定义 名称 符号 数轴表示 { x ｜ a ≤ x ＜ b } 半开半闭区间 ⁠ { x ｜ a ＜ x ≤ b } 半开半闭区间 ⁠ [ a ， b ）　 （ a ， b ]　 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 无穷的概念及无穷区间的表示 定义 R { x ｜ x ≥ a } { x ｜ x ＞ a } { x ｜ x ≤ a } { x ｜ x ＜ a } 符号 （－∞， ＋∞） ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ （－∞， a ） [ a ，＋ ∞）　 （ a ， ＋∞）　 （－ ∞， a ]　 目录 数学·必修第一册（B版） 【想一想】 1. 区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？ 提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间 表示. 2. “∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可 以是中括号吗？ 提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.所以“－∞” 或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号. 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 方程组的解集是（　　） A. {（1，－1），（－1，1）} B. {（1，1），（－1，1）} C. {（1，－1），（－1，－1）} D. ∅ 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　由 的解集是{（1，－1），（－1，1）}. 故选A. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 集合{ x ∈N｜ x －2＜3}用列举法表示是（　　） A. {1，2，3，4} B. {1，2，3，4，5} C. {0，1，2，3，4，5} D. {0，1，2，3，4} 解析：　由题知{ x ∈N｜ x －2＜3}＝{ x ∈N｜ x ＜5}＝{0，1， 2，3，4}.故选D.   解析：根据区间表示数集的方法原则可知，3 a －1＞0，解得： a ＞ ，所以 a 的取值范围是 . 　 目录 数学·必修第一册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 用列举法表示集合 【例1】　（链接教科书第9页练习A组3题）用列举法表示下列集合： （1）不大于10的非负偶数组成的集合； 解：因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于 0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}. （2）方程 x3＝ x 的所有实数解组成的集合； 解：方程 x3＝ x 的解是 x ＝0或 x ＝1或 x ＝－1，所以方程的 解组成的集合为{0，1，－1}. 目录 数学·必修第一册（B版） （3）直线 y ＝2 x ＋1与 y 轴的交点所组成的集合. 解：将 x ＝0代入 y ＝2 x ＋1，得 y ＝1，即交点是（0，1）， 故交点组成的集合是{（0，1）}. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 用列举法表示集合的3个步骤 （1）求出集合的元素； （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； （3）用花括号括起来. 提醒　用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次 序，且元素与元素间用“，”隔开. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 （多选）下列集合中，可以表示为{2，3}的是（　　） A. 方程 x2＋5 x ＋6＝0的解集 B. 最小的两个质数 C. 大于1小于4的整数 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　对于A，方程 x2＋5 x ＋6＝0的解集为{－2，－3}，不符 合；对于B，最小的两个质数组成的集合为{2，3}，符合； 对于C，大于1小于4的整数组成的集合为{2，3}，符合； 对于D，由即1＜ x ＜ ，故整数解集为 {2，3}，符合.故选B、C、D. 目录 数学·必修第一册（B版） 题型二 用描述法表示集合 【例2】　（链接教科书第9页练习A组4题）用描述法表示下列集合： （1）被3除余1的正整数的集合； 解：根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为 { x ｜ x ＝3 n ＋1， n ∈N}. （2）坐标平面内第一象限的点的集合； 解：第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可 表示为{（ x ， y ）｜ x ＞0， y ＞0}. 目录 数学·必修第一册（B版） （3）大于4的所有偶数. 解：偶数可表示为2 n ， n ∈Z，又因为大于4，故 n ≥3， 从而用描述法表示此集合为{ x ｜ x ＝2 n ， n ∈Z且 n ≥3}. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 1. 描述法表示集合的2个步骤 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 选用列举法或描述法的原则 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法.列举法的特点是 能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合 中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简 单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元 素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 集合 A ＝{ x ∈N｜ xy ＝16， y ∈N}的元素个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：　因为 x ∈N， y ∈N， xy ＝16，所以 x ， y 是16的因数，所 以 x 的取值有：1，2，4，8，16，共5个元素，故选C. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合 A ＝ ⁠ ⁠. 解析：被4除余3的自然数即为4的整数倍加3，因此 A ＝{ n ｜ n ＝4 k ＋3， k ∈N}. { n ｜ n ＝4 k ＋3， k ∈N}　 目录 数学·必修第一册（B版） 题型三 区间及其表示 【例3】　（链接教科书第9页练习A组5题）将下列集合用区间及数轴 表示出来： （1）{ x ｜ x ＜2}； 解： { x ｜ x ＜2}用区间表示为（－∞， 2），用数轴表示如下： 目录 数学·必修第一册（B版） （2）{ x ｜ x ≥3}； 解： { x ｜ x ≥3}用区间表示为[3，＋ ∞），用数轴表示如下： （3）{ x ｜－1≤ x ＜5}. 解： { x ｜－1≤ x ＜5}用区间表示为[－1，5），用数轴表 示如下： 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 用区间表示数集的原则和方法 （1）用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区 间的开闭不能弄错； （2）用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字（或字 母）之间用“，”隔开；②用数轴表示区间时，要特别注意实 心点与空心点的区别. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 不等式 x －2≥0的所有解组成的集合表示成区间是（　　） A. [2，＋∞] B. [2，＋∞） C. （－∞，2） D. （－∞，2] 解析：　不等式 x －2≥0的所有解组成的集合为{ x ｜ x ≥2}，表示 成区间为[2，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 已知△ ABC 的两边长 AB ＝2， BC ＝3，则第三边 AC 的长的取值范 围用区间表示为 ⁠. 解析：因为△ ABC 的两边长 AB ＝2， BC ＝3， 所以 BC － AB ＜ AC ＜ AB ＋ BC ， 即1＜ AC ＜5. （1，5） 目录 数学·必修第一册（B版） 题型四 集合与方程的综合问题 【例4】　（1）若集合 A ＝{ x ∈R｜ ax2＋2 x ＋1＝0， a ∈R}中只有一 个元素，则 a ＝（　D　） A. 1 B. 2 C. 0 D. 0或1 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：当 a ＝0时，原方程变为2 x ＋1＝0， 此时 x ＝－ ，符合题意； 当 a ≠0时，方程 ax2＋2 x ＋1＝0为一元二次方程， Δ＝4－4 a ＝0，即 a ＝1，原方程的解为 x ＝－1，符合题意. 故当 a ＝0或 a ＝1时，原方程只有一个解，此时 A 中只有一个元素. 目录 数学·必修第一册（B版） （2）设 ∈ ，则集合 x ｜ x2－ x － a ＝0 中所有 元素之积为 ⁠. ​ 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：因为 ∈ ， 所以 － a － ＝0，解得 a ＝－ ， 当 a ＝－ 时，方程 x2－ x ＋ ＝0的判别式Δ＝ －4× ＝ ＞0，由 x2－ x ＋ ＝0，解得 x1＝ ， x2＝9，所以 ＝ ， 故集合 ×9＝ . 目录 数学·必修第一册（B版） 【母题探究】 （变条件）若本例（1）中“只有一个元素”变为“至少有一个元 素”，求 a 的取值范围. 解： A 中至少有一个元素，即 A 中有一个或两个元素.由例题解析可 知，当 a ＝0或 a ＝1时， A 中有一个元素；当 A 中有两个元素时，Δ＝4 －4 a ＞0，即 a ＜1且 a ≠0.所以 A 中至少有一个元素时， a 的取值范围 为 . 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 集合与方程综合问题的解题策略 （1）对于一些已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数， 求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题.如对于 方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0，当 a ＝0， b ≠0时，方程有一个解；当 a ≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ＜0，则方程 无解；若Δ＞0，则方程有两个不等的实数根； （2）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数 （含参数）的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进 而求得结果.需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的 讨论中的作用. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 　已知集合 A ＝{ x ｜ mx2－3 x ＋2＝0}. （1）若 A 是单元素集，求 m 的值及集合 A ； 解：当 m ＝0时，方程－3 x ＋2＝0，有一个解 x ＝ ，符合 题意，故 A ＝ ； 当 m ≠0， A 只有一个元素，则二次方程 mx2－3 x ＋2＝0只有一 个根，所以Δ＝0，得 m ＝ ，得 A ＝ . 目录 数学·必修第一册（B版） （2）求集合 P ＝{ m ｜ m 使得 A 至少含有一个元素}. 解：A 至少含有一个元素， 则 m ＝0或. 目录 数学·必修第一册（B版） 　以实际问题为背景的集合问题 幼升小不仅是对孩子的考察，更是对家长的一次考验.每年，家有即将 幼升小的家长们，最关心的就是自家的娃能否进入心心念念的学校， 所在区的招生是更看中户口还是房子？入学顺位如何呢？某市东城区 今年率先发布了幼升小入学政策： （1）本市户籍适龄儿童入学.凡年满6周岁（2018年8月31日以前 出生）的具有东城区常住户口及东城区房屋产权证（监护人 持有）的适龄儿童均需参加学龄人口信息采集，免试就近登 记入学. 目录 数学·必修第一册（B版） （2）非东城区户籍无房家庭，长期在东城区工作、居住，符合在东 城区同一地址承租并实际居住3年以上且在住房租赁监管平台登 记备案、夫妻一方在东城区合法稳定就业3年以上等条件的本市 非东城区户籍无房家庭适龄子女，需要在东城区接受义务教育 的，参加信息采集，通过五证审核后，通过电脑派位在东城区 内多校划片入学. 该市东城区2024年的入学顺位可以参考2023年公布的入学顺位 说明： 目录 数学·必修第一册（B版） 第一顺序：“本片区户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父 或母”； 第二顺序：“房屋产权所有人是儿童本人或其父或母＋本市户 口”； 第三顺序：“本片区户口＋‘四老’房屋产权”； 第四顺序：“本片区集体户口＋房屋产权所有人是儿童本人或 其父或母”； 第五顺序：“七类人＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或 母”； 第六顺序：“本片区户口＋军产房或部队证明及住房”； 第七顺序：“本片户口＋‘（外）曾祖父’房屋产权”. 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 若在东城区满足入学条件的儿童作为一个集合 A ，某儿童 a 具有该 市户口（非本区）， a 是集合 A 的元素吗？ 提示： a 不一定是 A 中的元素，由于 a 不是东城区户口，还需满足房 屋产权所有人为儿童本人或其父或母. 【问题探究】 2. 某儿童 b 的父母在东城区有房屋产权，则 b 是集合 A 中的元素吗？ 提示： b 不一定是 A 中的元素，因为 b 不一定具有本片区户口. 目录 数学·必修第一册（B版） 【迁移应用】 给定数集 A ，若对于任意 a ， b ∈ A ，有 a ＋ b ∈ A ，且 a － b ∈ A ，则称集合 A 为闭集合.判断集合 A ＝{－4，－2，0，2，4}， B ＝ { x ｜ x ＝3 k ， k ∈Z}是不是闭集合，并给出证明. 解：因为4∈ A ，4＋4＝8∉ A ，所以 A 不是闭集合； 任取 a ， b ∈ B ，设 a ＝3 m ， b ＝3 n ， m ， n ∈Z， 则 a ＋ b ＝3 m ＋3 n ＝3（ m ＋ n ），且 m ＋ n ∈Z， 所以 a ＋ b ∈ B ，同理， a － b ∈ B ，故 B 为闭集合. 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 集合{（ x ， y ）｜ y ＝2 x －1}表示（　　） A. 方程 y ＝2 x －1 B. 点（ x ， y ） C. 平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D. 一次函数 y ＝2 x －1图象上的所有点组成的集合 解析：　本题中的集合是点集，其表示一次函数 y ＝2 x －1图象上 的所有点组成的集合.故选D. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 集合 A ＝ 用列举法可以表示为（　　） A. {3，6} B. {1，2} C. {0，1，2} D. {－2，－1，0，1，2} 解析：　因为 ∈N*，所以3－ x ＝1，2，3，6，可得 x ＝2，1， 0，－3，因为 x ∈N*，所以 x ＝1，2，集合 A ＝{1，2}，故选B. 目录 数学·必修第一册（B版） 3. 用描述法表示下图中的阴影部分可以是 ⁠ ⁠. 解析：可以用{（ x ， y ）｜0≤ x ≤2，0≤ y ≤1}来表示图中阴 影部分. {（ x ， y ）｜0≤ x ≤2， 0≤ y ≤1}　 目录 数学·必修第一册（B版） 谢 谢 观 看！ $