12.3.2 等腰三角形的判定 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“等腰三角形的判定”，核心知识点包括等腰三角形“等角对等边”判定定理及等边三角形的两种判定方法。课堂导入通过复习等腰三角形性质（等边对等角、三线合一），引导学生动手画含相等角的三角形并测量边，形成性质与判定的对比学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以动手探究（画、量）培养几何直观，通过规范证明过程（如作角平分线证全等）发展推理能力，例题结合平行线+角平分线模型（如AD∥BC证AB=AD）强化应用意识。小结清晰总结判定定理，学生能提升逻辑思维，教师可利用分层习题系统教学。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 12.3.2 等腰三角形的判定 第十二章 全等三角形 华东师大版八上12.3.2 等腰三角形的判定同步练习题 一、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 等腰三角形的判定定理是（） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三线合一 D. 两角互余 2. 在△ABC中，∠A=∠B=50°，则可判定（） A. AB=AC B. AC=BC C. AB=BC D. △ABC是等边三角形 3. 下列条件中，不能判定三角形是等腰三角形的是（） A. 有两个内角相等的三角形 B. 有两条边相等的三角形 C. 三个内角都相等的三角形 D. 有一个角为60°的三角形 4. 在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则△ABC是（） A. 普通直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 5. 下列说法正确的是（） A. “等边对等角”是判定定理 B. “等角对等边”是性质定理 C. 等角对等边可判定等腰三角形 D. 三个角不等也可能是等腰三角形 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. 等腰三角形的判定依据：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么________，简说成________。 2. 有________条边相等的三角形是等腰三角形，这是定义法判定。 3. 在△ABC中，∠A=70°，∠B=70°，则相等的边是________。 4. 一个三角形若有两个内角为60°，则这个三角形是________三角形。 5. 等腰三角形的性质是等边对等角，判定是________。 6. 在△ABC中，∠C=50°，∠A=50°，则△ABC________等腰三角形（填“是”或“不是”）。 三、解答题（每题 9 分，共 36 分） 1. 判断下列三角形是否为等腰三角形，并说明理由。 （1）△ABC中，∠A=30°，∠B=30° （2）△ABC中，AB=5，BC=5 （3）△ABC中，∠A=60°，∠B=50° （4）△ABC中，∠C=45°，∠A=45° 2. 辨析填空：区分性质与判定。 （1）由边相等推出角相等，是等腰三角形的________； （2）由角相等推出边相等，是等腰三角形的________。 3. 已知：在△ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC。 4. 已知：AD∥BC，BD平分∠ABC。求证：AB=AD。 四、综合证明应用题（共 20 分） 1. 已知：在△ABC中，AB=AC，DE∥BC。求证：△ADE是等腰三角形。（10 分） 2. 已知：∠DAC是△ABC的外角，AD平分∠DAC，且AD∥BC。求证：AB=AC。（10 分） 参考答案 一、选择题 1.B 2.B 3.D 4.B 5.C 二、填空题 1. 这两个角所对的边相等；等角对等边 2. 两 3. BC、AC 4. 等边 5. 等角对等边 6. 是 三、解答题 1. 解： （1）是，两角相等，等角对等边； （2）是，两边相等，定义判定等腰三角形； （3）不是，三个角互不相等，无边相等； （4）是，两角相等，等角对等边。 2.（1）性质 （2）判定 3. 证明： 过点A作AD⊥BC于D， 在△ABD和△ACD中 ∠B=∠C（已知） ∠ADB=∠ADC=90°（垂直定义） AD=AD（公共边） ∴ △ABD≌△ACD（AAS） ∴ AB=AC（全等三角形对应边相等） 4. 证明： ∵ BD平分∠ABC（已知） ∴ ∠ABD=∠DBC（角平分线定义） ∵ AD∥BC（已知） ∴ ∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等） ∴ ∠ABD=∠ADB（等量代换） ∴ AB=AD（等角对等边） 四、综合证明应用题 1. 证明： ∵ AB=AC（已知） ∴ ∠B=∠C（等边对等角） ∵ DE∥BC（已知） ∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等） ∴ ∠ADE=∠AED（等量代换） ∴ AD=AE（等角对等边） ∴ △ADE是等腰三角形 2. 证明： ∵ AD平分∠DAC（已知） ∴ ∠DAD=∠CAD（角平分线定义） ∵ AD∥BC（已知） ∴ ∠DAB=∠B，∠CAD=∠C（两直线平行，同位角相等） ∴ ∠B=∠C（等量代换） ∴ AB=AC（等角对等边） 知识点拓展讲解（约400字） 本节等腰三角形的判定是上一节性质的逆定理，是考试高频辨析考点，也是几何证明中证明线段相等的核心方法。核心判定方法有两种：一是定义法，有两条边相等的三角形是等腰三角形；二是判定定理，等角对等边，即三角形中有两个角相等，则这两个角对的边相等，三角形为等腰三角形。 本节最核心易错点：严格区分性质与判定。性质：边相等→角相等（等边对等角）；判定：角相等→边相等（等角对等边），二者互为逆命题，做题不可混用，书写证明必须对应准确。 高频解题模型：平行线+角平分线模型，可快速推导等角，进而判定等腰三角形，是中考经典基础模型。解题常用思路：先找等角，再用等角对等边证边相等，最终判定等腰三角形。 熟练掌握本节内容，可完整掌握等腰三角形的所有考点，实现边角互推，为后续等边三角形的判定、几何综合证明、线段求值题型打下坚实基础。 学习目标 1.能用所学的知识证明等腰三角形的判定定理与等边 三角形的判定定理.(重点) 2.能用等腰三角形性质定理与判定定理 3.等边三角形的性质定理与判定定理解决有关问题.(难点) 学习目标 复习回顾 等腰三角形的性质： A B C 1.等腰三角形的两个底角相等. 简写成“等边对等角”. 2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合. 简写成“等腰三角形的三线合一”. 思考：对于一个三角形，要怎样来判定它是不是等腰三角形呢？除了定义法，还有没有其他的判定方法? 03 新知探究 探究 探究等腰三角形的判定 【探索】我们知道，等腰三角形的两个底角相等. 反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗? 你能试着画一画吗？ 03 新知探究 探究 探究等腰三角形的判定 【画一画】在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的角，两角的另一边相交于点A. B C A 量一量，线段AB与AC相等吗？其他同学的结果与你的相同吗?你发现了什么? 03 新知探究 探究 探究等腰三角形的判定 【猜想】如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形. B C A 你能证明这个猜想吗？ 03 新知探究 探究 探究等腰三角形的判定 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C. 求证：AB=AC. 分析：要证明AB=AC，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边，于是想到作∠BAC的平分线AD. 03 新知探究 探究 探究等腰三角形的判定 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C. 求证：AB=AC. 证明：如图，作∠BAC的平分线AD. 在△BAD和△CAD 中， ∵∠B=∠C，∠1=∠2，AD=AD，∴△BAD≌△CAD( AAS ). ∴AB=AC( 全等三角形的对应边相等 ) . 知识要点 我们可以发现，如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形. 即有两个角相等的三角形是等腰三角形 .简写成“等角对等边”. 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C， (已知) ∴ AC=AB. (等角对等边) 即△ABC为等腰三角形. B C A ( ( 【拓展提高】如图，下列推理正确吗? A B C D 2 1 ∵ ∠1=∠2 , ∴ BD=DC（等角对等边）. A B C D 2 1 ∵∠1=∠2， ∴ DC=BC（等角对等边）. “等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立． 03 新知探究 探究 探究等腰三角形的判定 【例4】如图，在△ABC中，已知∠A= 40°，∠B= 70°. 求证：AB=AC. 证明：∠A+∠B+ ∠C=180°(三角形的内角和等于180°) ∠A=40°，∠B=70°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-70°=70°. ∴∠C=∠B. ∴AB=AC(等角对等边). 03 新知探究 探究 探究等边三角形的判定 由上述等腰三角形的判定定理，我们还可以得到等边三角形的两个判定定理： 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这两 个定理吗？ 03 新知探究 探究 探究等边三角形的判定 证明：三个角都相等的三角形是等边三角形． 已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C． 求证：△ABC是等边三角形． A C B 证明：∵∠A=∠B， ∴BC=AC， 又∵∠A=∠C，∴BC=AB， ∴AB=BC=CA，即△ABC是等边三角形． 03 新知探究 探究 探究等边三角形的判定 证明：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°． 求证：△ABC是等边三角形． A C B 证明: ∵AB=AC，∠B=60°， ∴∠C=∠B=60°，∴∠A=180°-∠C-∠B=60°， ∴∠A=∠B =∠C=60°． ∴△ABC是等边三角形. 03 新知探究 【例5】如图，AB∥CD，∠1= ∠2. 求证：AB =AC. 证明：AB∥CD， ∴∠B=∠2(两直线平行，同位角相等). 又∵∠1=∠2，∴∠B=∠1. ∴AB=AC(等角对等边). 【分析】要证AB=AC，可以设法证明∠B=∠1，而∠1=∠2，因此只要证明∠B=∠2. 03 新知探究 【例6】如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠ACB =∠A'C'B'=90°, AB =A'B', AC =A'C'. 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 证明：由于直角边AC=A'C'，我们通过平移和轴对称，改变Rt△ABC的位置，使点A与点A'、点C与点C'重合，且使点B与点B'分别位于A'C'的两侧，如图所示. 03 新知探究 ∵∠A'C'B= ∠A'C'B'= 90°. ∴∠B'C'B = ∠A'C'B'+ ∠A'C'B= 180°, 即点B'、C'、B在同一条直线上. 在△A'B'B 中，∵A'B'=AB =A'B，∴∠B=∠B'(等边对等角). 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ∵∠B=∠B'，∠ACB = ∠A'C'B', AC =A'C', ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(AAS). 1. ［2024泰安］如图，直线，等边三角形 的两个顶 点，分别落在直线，上，若 ，则 的 度数是( ) A. B. C. D. √ 返回 中考考法 18 （第2题） 2. 如图，是等边三角形 的边 上的高，以点为圆心， 长为半 径作弧交的延长线于点 ，则 ( ) A. B. C. D. √ 返回 中考考法 19 （第3题） 3. 如图，等边三角形中，是 上 的高， ，图中与 相等的线段有( ) A. 5条 B. 6条 C. 7条 D. 8条 √ 中考考法 20 【点拨】如图，连结.由题意可得,, , 都是全等的等边三角形， ,即图中与 相等的线段有7条，故选C. 返回 中考考法 21 4.［2025绍兴诸暨期中］如图，是等边三角形， 是 边上的中线，点在上，且，则 的度数 为______. （第4题） 中考考法 22 （第4题） 【点拨】 是等边三角形， .是 边上的中线， ， ， ， . ， ， 中考考法 23 ， ，. （第4题） 返回 中考考法 （第5题） 5.如图，已知等边三角形 的高为 ，为内一点， 于点 ，于点，于点 ，则 ______. 中考考法 25 【点拨】连结，，，作 边上的高 ，如图所示，则 .因为 ，所以 .因为 是等边三角形， 中考考法 26 所以 ，所以 ，所以 . 返回 中考考法 6.如图，是等边三角形， 是中 线，过作，交 的延长线于点 . （1）求 的度数； 【解】是等边三角形， 是中 线，平分， ， . ， . 中考考法 28 （2）求证：是 的中线. 【证明】由（1）可知， ， . ， ， ， . 在等边三角形中， ， ，是 的中线. 返回 中考考法 29 （第7题） 7. ［2025南京江宁区月考］如图，在等 边三角形中，点，分别在边 ， 上，把沿直线翻折，使点 落在点处，，分别交边 于点 ，，若 ，则 的度数 为( ) A. B. C. D. √ 中考考法 30 （第7题） 【点拨】 为等边三角形， .由翻折的性质得 . 在 中， ， . 在中， ， 中考考法 31 ， . （第7题） 返回 中考考法 （第8题） 8. ［2025洛阳期中］如图，， 及都是等边三角形，，分别为 ， 的中点.若，则图形 外围 的周长是( ) A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 √ 中考考法 33 9. ［2025武汉东西湖区月考］如图，点 为线段上一点，分别以， 为 边，在同侧作等边三角形 和等边 三角形，连结，相交于点 ， 则 的度数为( ) A. B. C. D. √ 中考考法 34 （第10题） 10. 如图，在等边三角形中， ， 点在上，且，点是 上一动 点，连结,将线段绕点 逆时针旋转 得到线段，若使点恰好落在 上， 则线段 的长是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 √ 中考考法 35 05 课堂小结 本节课你学到了什么？ 1.如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形. 即有两个角相等的三角形是等腰三角形 .简写成“等角对等边”. 2.等边三角形的两个判定定理： 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. $