12.3.2 等腰三角形的判定 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的判定，核心知识点为“等角对等边”及等边三角形的判定定理。课堂通过复习等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）导入，以“思考如何判定”衔接，构建性质与判定的互逆关系学习支架。 其亮点在于题型梯度清晰，覆盖填空、选择、证明等，结合平行线、角平分线实例推导等角，规范几何推理书写，培养推理能力与几何直观。核心考点总结助力知识体系构建，教师可借分层习题实施精准教学，提升学生解题与逻辑表达能力。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 12.3.2 等腰三角形的判定 第12章 全等三角形 12.3.2 等腰三角形的判定 同步练习题（含解析） 本节习题适配华东师大版八年级上册12.3.2知识点，紧扣等腰三角形的核心判定定理，重点掌握“等角对等边”的判定方法，区分等腰三角形的性质与判定的互逆关系。针对性解决性质与判定混淆、角度推导出错、不会根据边角关系判定三角形形状、遗漏隐含等腰三角形等高频易错点。题型梯度清晰，覆盖概念填空、正误辨析、角度推导、几何证明、能力提升，规范几何推理书写，完善等腰三角形知识体系。 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成________。 2. 等腰三角形的判定与性质互为________关系。 3. 在△ABC中，若∠A=∠B，则________=________，△ABC为等腰三角形。 4. 有两个角相等的三角形一定是________三角形。 5. 若三角形的三个内角之比为1:1:2，则该三角形是________三角形。 6. 在△ABC中，∠C=50°，∠A=50°，则可判定________=________。 二、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列条件能判定三角形为等腰三角形的是（） A. 有两个角互余 B. 有两个角相等 C. 三个角都相等 D. 有一个角为60° 2. 在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC是（） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 3. 下列说法正确的是（） A. 等边对等角是判定定理 B. 等角对等边是判定定理 C. 有一条边相等的三角形是等腰三角形 D. 有一个角相等的三角形是等腰三角形 4. 三角形内角分别为30°、120°、30°，该三角形是（） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 无法判定 5. 下列条件中，不能判定△ABC为等腰三角形的是（） A. ∠A=∠B B. AB=AC C. ∠A=50°，∠B=60° D. ∠B=∠C 三、解答题（共50分） 1. 基础判定（每题6分，共24分）：根据角度判断三角形是否为等腰三角形。 （1）∠A=60°，∠B=60° （2）∠A=45°，∠B=90° （3）∠A=35°，∠B=110° （4）∠A=70°，∠C=40° 2. 基础证明题（12分）：已知在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC。 3. 能力提升题（14分）：已知AD∥BC，BD平分∠ABC，求证：△ABD是等腰三角形。 四、参考答案与解析 填空题答案：1. 等角对等边 2. 互逆 3. BC、AC 4. 等腰 5. 等腰直角 6. AB、BC 选择题答案：1.B 2.A 3.B 4.B 5.C 解答题解析：1.（1）是，两角相等，为等腰三角形（同时为等边三角形）；（2）是，剩余角度为45°，两角相等；（3）是，剩余角度为35°，两角相等；（4）是，剩余角度为70°，∠A=∠B。 2. 证明：过点A作AD⊥BC于点D。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB=AC。 3. 证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD。∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD（等角对等边），∴△ABD是等腰三角形。 核心考点总结：判定核心口诀：等角对等边；性质：等边→等角，判定：等角→等边，二者不可混淆；几何常结合平行线、角平分线、垂直等条件推导等角，进而判定等腰三角形，是几何证明的高频考点。 学习目标 1.能用所学的知识证明等腰三角形的判定定理与等边 三角形的判定定理.(重点) 2.能用等腰三角形性质定理与判定定理 3.等边三角形的性质定理与判定定理解决有关问题.(难点) 学习目标 复习回顾 等腰三角形的性质： A B C 1.等腰三角形的两个底角相等. 简写成“等边对等角”. 2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合. 简写成“等腰三角形的三线合一”. 思考：对于一个三角形，要怎样来判定它是不是等腰三角形呢？除了定义法，还有没有其他的判定方法? 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系? 建立数学模型： C A B 做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？ AB = AC 你能验证你的结论吗？ 等腰三角形的判定 1 在△BAD 与△CAD 中， ∠1 =∠2， ∴△BAD≌△CAD(AAS). ∵∠B =∠C， AD = AD， ∴AB = AC (全等三角形的对应边相等). 如图，作∠BAC 的平分线 AD. 证明： C A B 2 1 D （ （ △ABC 是等腰三角形. ∴ AC = AB ( )， 即△ABC 为等腰三角形. ∵∠B =∠C ( )， 等腰三角形的判定方法 如果一个三角形有两个角相等，那么这个两个角所对应的边也相等（简写成“等角对等边”）. 已知 等角对等边 在△ABC 中， 应用格式： B C A ( ( 等角对等边 等边对等角 知识要点 例1 如图，在△ABC 中，已知∠A = 40°，∠B = 70°.求证：AB = AC. A B C 证明 ∵∠A + ∠B + ∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)， ∠A = 40°，∠B = 70°， ∴∠C = 180° -∠A -∠B， = 180° - 40° - 70° = 70°. ∴∠C =∠B. ∴ AB = AC(等角对等边). 典例精析 40° 70° 证明：∵ AB∥CD (已知)， ∴∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 =∠2， ∴∠B =∠1 (等量代换). ∴AB = AC (等角对等边). 例2 如图，AB∥CD，∠1 =∠2，求证：AB = AC. A B C （ （ 1 2 D 分析 要证 AB = AC，可以设法证明∠B =∠1，而∠1 =∠2，因此只要证明∠B =∠2. 一个三角形满足什么条件就是等边三角形？ 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理： 1. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这些定理吗？ 等边三角形的判定 2 A B C 已知：如图，∠A =∠B =∠C. 求证： AB = AC = BC. 证明：∵ ∠A =∠B， ∴ AC = BC. ∵ ∠B =∠C， ∴ AB = AC. ∴ AB = AC = BC. 判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形. www.czsx.com.cn 判定2：有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC. 由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°. 若顶角 ∠A = 60°， 则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°. 又 AB = AC， ∴∠B =∠C. ∴∠B =∠C =∠A = 60°. ∴△ABC 是等边三角形. 如果是底角∠B = 60° (或∠C = 60°) 呢？ 例3 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A = ∠B = ∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED . ∴△ADE 是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 典例精析 例4 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC． 求证：AB = AC． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等)． 又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠C. ∴ AB = AC (等角对等边)． A B C E （ （ 1 2 D 例5 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中， ∠ACB =∠A'C'B' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C'， 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 证明：由于直角边 AC = A'C'，我们移动 Rt△ABC 使点 A 与点 A' 重合，点 C 和点 C' 重合，且使点 B 和点 B' 分别位于 A'C' 两侧. A C B B' A' C' B (A) (C) ∵ ∠A'C'B =∠A'C'B' = 90° (已知)， ∴ ∠B'C'B =∠A'C'B +∠A'C'B' = 180°. 即点 B、C'、B' 在同一条直线上. 在△A'B'B 中，∵AB = A'B' = A'B (已知)， ∴ ∠B =∠B' (等边对等角). 在△ABC 和△A'B'C' 中， ∵∠B =∠B' (已证)， ∠ACB =∠ A'C'B' (已知)， AC = A'C' (已知)， ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(AAS). B' A' A C B C' B (A) (C) 这样我们就证明了前面给出的 HL .判定定理 练 习 1. 如图，∠A=72°，∠B=36°，CD平分∠ACB.试指出图中的哪些三角形是等腰三角形，并说明理由. A B C D ∠ACB=72° ∠BCD=∠ACD=36° △ACD，△BCD，△ABC都是等腰三角形. 随堂练习 2. 如图，AB=DC，∠ABC=∠DCB，AC、BD相交于点E. 求证：EB=EC. B A E D C 证明：在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴∠ACB=∠DBC(全等三角形的对应角相等). ∴EB=EC(等角对等边). 随堂练习 3. 如图，∠A=∠B，CE∥DA. 求证：CE=CB. 需再增加什么条件，可使△BCE成为等边三角形? B A D C E 证明：∵CE∥DA， ∴∠A=∠CEB(两直线平行，同位角相等). ∵∠A=∠B，∴∠CEB=∠B. ∴CE=CB(等角对等边). 增加条件∠A=60°时，可使△BCE成为等边三角形（答案不唯一）. 随堂练习 A 组 1.等腰三角形的周长为 16，其中一条边的长是 6，求另两条边的长. 解：①当腰长是6时，底边长为16−6−6=4. ∵4+6>6，∴符合三角形的三边关系. ②当底边长是6时，腰长为 ×(16−6)=5. ∵5+5>6，∴符合三角形的三边关系. 综上所述，三角形另两条边的长分别为6、4或5、5. 考试考法 2.等腰三角形的底角比顶角大15°，求各个角的度数. 解：设顶角为x°，则底角为(15+x)°. 由三角形的内角和等于180°，得x+2(15+x)=180， 解得x=50，则15+x= 65. 所以三角形各个角的度数分别为50°，65°，65°. 考试考法 3.有两个三角形，它们的三个角分别为：① 20°，40°，120°；② 20°，60°，100°. 怎样把它们分别分成两个等腰三角形? 画出图形试试看. 解：如图①②所示，图①有两种分法. 考试考法 4.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是边BC上的点，且BD=CE. 求证：∠ADE=∠AED. 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角). 在△ABD和△ACE中， ∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE， ∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴AD=AE(全等三角形的对应边相等). ∴∠ADE=∠AED(等边对等角). 考试考法 5. 如图，AB、CD相交于点E，EA=EC，AC∥BD. 求证：EB=ED. 证明：∵AC∥BD， ∴∠D=∠C，∠B=∠A(两直线平行，内错角相等). ∵EA=EC，∴∠A=∠C(等边对等角). ∴∠B=∠D(等量代换). ∴EB=ED(等角对等边). 考试考法 B 组 6.如图，在等腰三角形ABC中，两底角的平分线BE、CD相交于点O. 求证：OB=OC，OD=OE. 证明：∵BE平分∠ABC，∴∠DBO=∠EBC= ∠ABC. 同理，∠ECO=∠DCB= ∠ACB. ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ∴∠DBO=∠ECO，∠EBC=∠DCB. ∴OB=OC.在△DBO和△ECO中， ∵∠DBO=∠ECO，BO=CO，∠DOB=∠EOC， ∴△DBO≌△ECO(ASA). ∴OD=OE. 考试考法 7.如图，已知点D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足，且BE=CF，∠BDE=30°．求证：△ABC是等边三角形. 考试考法 证明：∵D为BC的中点，∴DB=DC. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°. ∴△DEB和△DFC都是直角三角形. 在Rt△DEB和 Rt△DFC中，∵DB=DC，BE=CF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL). ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). ∴AB=AC(等角对等边). ∴△ABC是等腰三角形. 在Rt△DEB中，∠BDE= 30°，∠B=90°−∠ BDE= 90°−30°=60°. ∴△ABC是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形). 考试考法 8. 在如图所示的三角测平架中，AB=AC，在边BC的中点D处挂一个重锤，自然下垂.调整架身，使点A恰好在重锤线上.试问：此时BC是否正好处于水平位置？为什么？ 解：BC正好处于水平位置.理由如下: 由题意可知AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC. 而AD与地面垂直，∴BC与地面平行. ∴BC正好处于水平位置. 考试考法 4.已知底边及底边上的高线作等腰三角形.即：如图，已知线段a、h，求作△ABC，使AB=AC，BC=a，边BC上的高AD=h. 解：如图所示. D 随堂练习 等腰三角形 等腰三角形的判定：等角对等边. 等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 课堂小结 $