12.3第2课时 等腰三角形的判定 课件2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形和等边三角形的判定，通过“画∠B=∠C=30°的三角形并量边”的动手操作导入，引导学生发现“等角对等边”，再通过作角平分线用AAS全等证明，衔接等腰三角形性质，构建“等边对等角”与“等角对等边”的互逆知识支架。 其亮点是操作与推理结合，画三角形量边培养几何直观（数学眼光），证明及例1用内角和求角证等角对等边强化推理意识（数学思维），练习题如轮船航行问题提升应用意识（数学语言）。学生能直观理解定理形成，教师可借典例分层练习提升教学效率。

第12章　全等三角形 12.3　等腰三角形 第2课时　等腰三角形的判定 学习目标 1. 能用所学的知识证明等腰三角形的判定定理与等边三角形的判定定理.(重点) 2. 能用等腰三角形性质定理与判定定理、等边三角形的性质定理与判定定理解决有关问题.(难点) 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系? 建立数学模型： C A B 做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？ AB = AC 你能验证你的结论吗？ 等腰三角形的判定 1 在△BAD 与△CAD 中， ∠1 =∠2， ∴△BAD≌△CAD(AAS). ∵∠B =∠C， AD = AD， ∴AB = AC (全等三角形的对应边相等). 如图，作∠BAC 的平分线 AD. 证明： C A B 2 1 D （ （ △ABC 是等腰三角形. ∴ AC = AB ( )， 即△ABC 为等腰三角形. ∵∠B =∠C ( )， 等腰三角形的判定方法 如果一个三角形有两个角相等，那么这个两个角所对应的边也相等（简写成“等角对等边”）. 已知 等角对等边 在△ABC 中， 应用格式： B C A ( ( 等角对等边 等边对等角 知识要点 例1 如图，在△ABC 中，已知∠A = 40°，∠B = 70°.求证：AB = AC. A B C 证明 ∵∠A + ∠B + ∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)， ∠A = 40°，∠B = 70°， ∴∠C = 180° -∠A -∠B， = 180° - 40° - 70° = 70°. ∴∠C =∠B. ∴ AB = AC(等角对等边). 典例精析 40° 70° 证明：∵ AB∥CD (已知)， ∴∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 =∠2， ∴∠B =∠1 (等量代换). ∴AB = AC (等角对等边). 例2 如图，AB∥CD，∠1 =∠2，求证：AB = AC. A B C （ （ 1 2 D 分析 要证 AB = AC，可以设法证明∠B =∠1，而∠1 =∠2，因此只要证明∠B =∠2. 一个三角形满足什么条件就是等边三角形？ 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理： 1. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这些定理吗？ 等边三角形的判定 2 A B C 已知：如图，∠A =∠B =∠C. 求证： AB = AC = BC. 证明：∵ ∠A =∠B， ∴ AC = BC. ∵ ∠B =∠C， ∴ AB = AC. ∴ AB = AC = BC. 判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形. www.czsx.com.cn 判定2：有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC. 由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°. 若顶角 ∠A = 60°， 则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°. 又 AB = AC， ∴∠B =∠C. ∴∠B =∠C =∠A = 60°. ∴△ABC 是等边三角形. 如果是底角∠B = 60° (或∠C = 60°) 呢？ 例3 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A = ∠B = ∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED . ∴△ADE 是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 典例精析 变式 上题中，若将条件 DE∥BC 改为 AD = AE，△ADE 还是等边三角形吗？试说明理由. A C B D E 证明： ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°. ∵ ∠A + ∠ADE +∠AED = 180°，AD = AE， ∴ ∠ADE +∠AED = 120°. ∴ ∠ADE = ∠AED = 60°. ∴ △ADE 是等边三角形. 例4 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC． 求证：AB = AC． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等)． 又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠C. ∴ AB = AC (等角对等边)． A B C E （ （ 1 2 D 例5 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中， ∠ACB =∠A'C'B' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C'， 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 证明：由于直角边 AC = A'C'，我们移动 Rt△ABC 使点 A 与点 A' 重合，点 C 和点 C' 重合，且使点 B 和点 B' 分别位于 A'C' 两侧. A C B B' A' C' B (A) (C) ∵ ∠A'C'B =∠A'C'B' = 90° (已知)， ∴ ∠B'C'B =∠A'C'B +∠A'C'B' = 180°. 即点 B、C'、B' 在同一条直线上. 在△A'B'B 中，∵AB = A'B' = A'B (已知)， ∴ ∠B =∠B' (等边对等角). 在△ABC 和△A'B'C' 中， ∵∠B =∠B' (已证)， ∠ACB =∠ A'C'B' (已知)， AC = A'C' (已知)， ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(AAS). B' A' A C B C' B (A) (C) 等腰三角形 等腰三角形的判定：等角对等边. 等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 一、 选择题 1. 下列条件中，能判定△ABC为等腰三角形的是 （　A　） A. ∠A＝50°，∠B＝80° B. ∠A＝42°，∠B＝48° C. ∠A＝2∠B＝70° D. AB＝4，BC＝5，周长为15 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 等腰三角形补充下列条件后，仍不一定能成为等边三角形的是 （　C　） A. 有一个内角是60° B. 有一个外角是120° C. 有两个角相等 D. 腰与底边相等 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图，∠AOB＝50°，点C、D分别在OA、OB上，OC＝OD. 进 行如下操作：① 分别以点C、D为圆心、大于 CD的长为半径作圆弧 交于点P，作射线OP；② 点E在OA上，以点E为圆心、EO长为半径 作圆弧，交射线OP于点F，连结EF. 则∠EFO的度数为（　B　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 45° 第3题　　　　　　 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. ★如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，过点D作 DE⊥AB，交BC于点F，交AC的延长线于点E，连结CD，且∠DCA ＝∠A. 有下列结论：① ∠DCB＝∠B；② CD＝ AB；③ △ADC是等 边三角形；④ 若∠E＝30°，则DE＝EF＋CF. 其中，正确的是 （　B　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ B 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 二、 填空题 5. 在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝BC＝3，则AC的长为 ⁠. 6. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时45 海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方 向的N处，则N处与灯塔P之间的距离为 海里. 第6题　　　　　　　　 3　 90　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 将含30°角的三角尺和直尺按如图所示的方式放置， 且∠α＝60°，点B、C表示的刻度分别为1cm、3cm，则线段AB的长 为 cm. 第7题 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. ★如图，∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线CF相交于点F，过 点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E. 若DB＝18，DE＝8， 则CE的长为 ⁠. 第8题 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 三、 解答题 9.如图，AB＝BC，∠CDE＝ 120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE. 求证：△ABC是等边三角形. 第9题 解：∵ DF平分∠CDE，∴ ∠CDF＝∠EDF＝ ∠CDE. ∵ ∠CDE ＝120°，∴ ∠CDF＝60°.∵ DF∥BA，∴ ∠ABC＝∠CDF＝60°. 又∵ AB＝BC，∴ △ABC是等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，E 为AD延长线上的一点，且∠ACE＝∠B. 求证：△CDE是等腰三角形. 第10题 解：在△ABD中，∠B＋∠BAD＋∠ADB＝180°.在△ACE中， ∠ACE＋∠CAE＋∠E＝180°.∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAD＝ ∠CAE. ∵ ∠ACE＝∠B，∴ ∠ADB＝∠E. ∵ ∠ADB＝∠CDE， ∴ ∠CDE＝∠E. ∴ △CDE是等腰三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点， 且DE⊥BC，交AB于点F. （1） 求证：△ADF是等腰三角形； 解：（1） ∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C. ∵ DE⊥BC，∴ ∠D＋∠C ＝90°，∠B＋∠BFE＝90°.∴ ∠D＝∠BFE. ∵ ∠DFA＝ ∠BFE，∴ ∠D＝∠AFD. ∴ AD＝AF. ∴ △ADF是等腰三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 若F为AB的中点，求证：DF＝2FE. 　第11题答案 第11题答案 解：（2） 如图，过点A作AG⊥DE于点G. ∵ AD＝AF， AG⊥DE，∴ GF＝ DF，即DF＝2GF. 又∵ AG⊥DE， BE⊥DE，∴ ∠AGF＝∠BEF. ∵ F为AB的中点，∴ AF＝BF. 在 △AGF和△BEF中， ∴ △AGF≌△BEF （AAS）.∴ EF＝GF. ∴ DF＝2FE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $