解析高考选择与填空题中概率题型的应对策略-《中学生数理化》高考数学2026年7～8月刊

担贸薛方诚技提育中学生款理化 解折高考选择与填空题中概率题型的应对策略 ■浙江省金华市外国语学校 黄伟 概率与统计作为高中数学的主要内容之 目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的 一，其在高考中的考查地位日益突出。本文 概率p= 聚焦概率在选择与填空题中的考查形式，系 -立×2-言故选C 统梳理相关题型，深入探究各类问题的解题 点评：本题属于较为复杂的条件概率问 思路与方法，归纳总结有效的解题技巧与应 题，求解时需运用条件概率公式进行分析。 试策略，旨在为同学们的复习与备考提供一 需要注意的是，事件“目标被击中”与事件“两 些帮助。 人同时击中目标”同时发生的情况，实际上等 一、条件概率问题 同于“两人同时击中目标”这一事件本身，因 条件概率是近年来备受关注的热门题 此，在计算过程中应准确识别该包含关系，避 型，其解题关键在于熟练运用条件概率公式 免概念混淆，从而确保概率推导的严谨性。 进行求解。在实际解题过程中，难点主要集 二、全概率问题 中在计算两个事件共同发生的概率。针对这 全概率是新教材中增加的重要知识点， 一问题，需根据事件之间的关系进行分类处 其求解主要依赖于全概率公式。这类题型的 理：若两事件相互独立，则它们共同发生的概 典型特征是“先选择，后操作”，即在问题情境 率等于各自发生概率的乘积：若不独立，则应 中，往往涉及从单一对象出发选择执行两个 通过分析两事件的交集，求出公共事件的概 不同任务中的一个，或由两个不同对象中选 率，进而代入公式完成计算。准确判断事件 取其一来完成同一事件，体现出明显的分步 的独立性并合理运用概率法则，是解决此类 决策过程。 问题的核心所在。 例2某厂有甲、乙、丙三条生产线生 例1甲、乙两人独立地对同一目标射 产同一产品，三条生产线生产的产品分别占 击一次，若命中率分别为号和子，则在目标被 55%,25%,20%。其中三个生产线生产的产 品中，次品率分别为26,4%，5%。现从该 击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为 厂生产的产品中任取一件进行检查，则取到 ( )。 次品的概率为。 1 A.12 B.C.D. 7 解析：设取到一件次品为事件A,取到甲 解析：记甲击中目标为事件A,乙击中目 生产线为事件B,取到乙生产线为事件B, 标为事件B,目标被击中为事件C。由题意 取到丙生产线为事件B,。由题意知P(B,) 知P(A)=弓，P(B)=}。目标被击中的情 =0.55,P(B2)=0.25,P(B3)=0.20,且 P(A|B1)=0.02,P(A|B:)=0.04,P(A 况有三种，即甲击中乙没击中、甲没击中乙击 B)=0.05,则由全概率公式得P(A) 中、两人都击中，所以P(C)=P(A)·P(B) P(B)P(A B)+P(B2)P(A B:)+ +P(A)·P(B)+P(A)·P(B)=X3 3×4 P(B:)P(A|B,)=0.55×0.02+0.25× 0.04+0.20×0.05=0.031。故填0.031。 2.1,1.11 3 4十3×本=2。因为两人击中目标 ,点评：本题考查的是全概率知识，其核心 相互独立，所以两人同时击中目标的概率 在于运用全概率公式进行求解。全概率问题 P(AB)=P(A)·P(B)=X1=1 通常具有两类典型特征：其一是同一对象需 3×4=2,则在 完成多个不同任务；其二是从多个对象中选 15 中学生款理化贺續学方杰款军助提商月 择一个来执行单一任务。更复杂的情形可能 回抽取”等描述；确认模型后，可依据二项分 是这两种情况的综合体现。由此可见，全概 布的概率公式计算相应事件的概率，若题目 率问题的本质实际上是分步计数原理与分类 进一步要求，再结合数学期望和方差的公式 计数原理的具体应用，体现了对事件发生路 进行求解，从而系统完成对各个统计量的分 径的系统分析与概率的合理分配。 析与计算。 三、二项分布模型中的概率问题 四、超几何分布模型中的概率问题 二项分布是建立在n次独立重复试验 超几何分布是概率论中的重要模型之 (即重伯努利试验)基础上，用于求解随机 一，常出现在解答题中用于求解分布列，也有 变量分布列的一类典型概率问题。许多同学 可能在选择或填空题中考查概率计算。由于 一看到二项分布，便习惯性地将其归为分布 其应用场景多涉及“不放回抽取”，极易与二 列的计算题，却忽视了在选择或填空题中也 项分布混淆，尤其是在试验条件相似的情况 可能考查与之相关的概率计算、数学期望等 下更需仔细辨析。解题的关键在于准确识别 内容。解决此类问题的关键在于准确识别题 问题是否符合超几何分布的特征，即从有限 型特征，理解其本质，进而灵活运用二项分布 总体中不放回地抽取样本，并关注其中某一 的概率公式进行求解。 类对象被抽中的次数。一旦确认模型，便可 例3（多选题）已知盒子中装有3个 直接运用超几何分布的特定公式进行计算， 黑球和2个白球，现从中有放回地随机取4 从而高效准确地得出结果。 次球，取到白球记1分，取到黑球记0分。记 例4（多选题）一密封盒子中装有除 4次取球的得分为X,则( )。 颜色外，完全相同的6个黑球和4个白球，现 A.X~B(,号) 144 从中任取4个球。设取出的白球个数为X, B.P(X=2)= 625 则()。 C.E(X)=号 2 D.D(X) 24 A,随机变量X服从二项分布 B.随机变量X服从超几何分布 解析：已知从装有3个黑球和2个白球 的盒子中有放回地随机取4次球，取到白球 C.P(X=2)=3 7 记1分，取到黑球记0分，所以是独立重复试 验，则取1次球取到白球的概率为P= 号，因此 D.E(X号 解析：由题意知，随机变量X服从超几 随机变量X服从二项分布，为X一B(4,号)， 何分布，所以A错误，B正确。因为P(X= 故A正确。根据二项分布的概率计算公式， 2)= CC 3 ，所以C正确。又E(X)=!· 得p(X=2)=C×()广x1-号)广- N =4X4- M =5,所以D正确。故选BCD。 8 故B错误。又X一B,号)，所以E(X) ,点评：本题是一道考查超几何分布的多 选题，重，点涉及超几何分布的识别、与二项分 np=4× 2 8」 5- ，D(X)=np(1-p)=4× 布的区分、概率计算，以及数学期望的求解。 解决此类问题的关键在于准确判断分布类 2号-，故C错误，D正确。故选AD 十、 型，一旦确认属于超几何分布，便可依据其模 ,点评：本题是一道全面考查二项分布的 型与相应公式规范求解。在处理相关问题 多选题，重，点涉及二项分布的识别、概率计 时，必须清晰区分超几何分布与二项分布的 算，以及数学期望与方差的求解。解题时，先 适用条件，避免混淆，从而确保解题过程的准 根据题干中的关键信息判断是否属于二项分 确性与严谨性。 布模型，常见的标志包括“相互独立”或“有放 (责任编辑王福华) 16