深入剖析等差数列在客观题中的考查特点与突破技巧-《中学生数理化》高考数学2026年7～8月刊

担贸薛方诚技提育中学生款理化 G 深入剖析等差数列在客观题中的考查特点与突破技巧 ■福建省厦门市湖滨中学 王磊程金元 等差数列作为一类重要的特殊数列，在 念与应用，涉及通项公式、前n项和公式及等 高考中呈现出考查形式灵活、题型多样的特 差中项等核心知识，点。题目提供了两种解题 点。本文通过系统梳理相关试题，归纳等差 思路：解法一通过联立前项和公式与通项 数列在选择题和填空题中的主要考查方式， 公式建立方程组，求解首项和公差，体现了解 深入剖析其结构特征与命题规律，并针对性 方程的基本功；解法二则巧妙利用等差中项 地探讨相应的解题策略，希望能帮助同学们 的性质，将问题转化为求a:与a,的关系，再 构建从题型识别到方法应用的完整思维路 结合通项公式求出公差，进而求得as,更具 径，提供切实有效的备考指导。 灵活性与技巧性。两种方法相辅相成，既巩 一、对等差数列基本量的计算 固了基础知识，又提升了思维的多样性。 这类题型是对等差数列基础知识考查的 二、等差数列项的性质及其应用 典型题目，整体难度通常不大，主要涉及求解 等差数列的项具有两个重要性质：等差 首项、公差、指定项、通项公式及前项和等 中项与单调性。当题目中涉及多项和的问题 内容。解决此类问题的关键在于把握“两个 时，常需运用等差中项的特性来简化求解过 核心、一个重点和两个依据”，即以首项和公 程。而数列的单调性是由公差d决定：当 差为核心，等差中项为重点，通项公式与前n d>0时，数列单调递增：当d一0时，数列单 项和公式为解题依据，通过灵活运用这些基 调递减。这些性质在分析和解决等差数列相 本概念和公式，能够高效准确地完成相关计 关问题时具有重要的应用价值。 算与推导。 例2(1)设数列(an}为等差数列，若 例1设等差数列{a,}的前n项和为 a1十a:十a?十a11=36,则a6=( )。 Sn,已知S,=14,a2十ag十a1=24,则a13= A.7B.8C.9 D.10 ()。 (2)(多选题)设d是等差数列{am}的公 A.24B.20C.16D.12 差，S。是前n项和，已知a1<0,a22十a22s 解法一：设等差数列{a,}的首项为a1,公 >0,a225·a:26<0,则()。 差为d。已知 ,=7a,+7 .d=14 A.d0 a:+ag+a11=3a1+18d=24, B.a22:+a2027>0 即/a1+3d=2 C.S。中的最小值为S:s 解得a1=一4，d=2,所以a1s D.使Sm>0成立的最小整数n的值为 a1+6d=8, 4050 =a1+12d=-4+12×2=20。 解析：(1)由等差数列的性质，得a1+an 故选B。 解法二：设等差数列{am}的首项为a1,公 =a;+a,=2a,又因为a1+a5十a,十a11= 差为d。由S,=14,即7a:=14,得a,=2。 36,所以4a6=36,即a6=9。 由a2十ag十a1=24,即3a,=24,得a,=8。 故选C。 (2)因为a225十a22s>0,a2o2i·a226< 所以公差d=aa=2,所以a=4,+6d 3 0,且a1<0,所以a:o25<0,a22>0,则等差数 =8+12=20 列{an}单调递增，即d>0,故A正确。 故选B。 因为a2025十a2o2s=a2024+a227,a225十 ,点评：本题主要考查等差数列的基本概 a22s>0,所以a224十a2o27>0,故B正确。 11 中学生款理化贺續学方杰款军助提商月 因为a2o2+a2os>0,a2e·a26<0,且 故选A。 a1<0,所以a2o<0,即前2025项均为负数，则 (2)法一：设等差数列{am}的公差为d。 前2025项的和最小，即S最小，故C错误。 由s=s,即3a1+92d=8a1+3 8×7 由等差数列的性质，得a1十aoo=a,十 2d,可 a400=…=a2025十a2026,则S400=2025· 得a1=-5d,则S。=na1十nn-1D d= 2 (a22i十a2o2s)。又a225十a2o5>0,所以S:o0 =2025(a22十a202s)>0,则使Sn>0成立的 、5万2十22三22—又g 2 2n。设函数 最小整数n的值为4050，故D正确。 d 故选ABD。 2n,因为a1=-5d,且a1> ,点评：本题的第(1)小题直接考查等差中 0,所以d<0,则函数f(n)是开口向下的抛 项的性质，可利用“若p十g=x十y,则a。十 a,=a:十a,”直接求解；第(2)小题综合考查 物线，对称轴为n-号，所以函数fn)在 等差数列项的相关性质，需特别注意数列的 (-,)上单调递增，在(？，+∞)上单调 单调性与公差d的关系一一当数列单调递增 递减。因为n∈N,所以当n=5或6时，S 时，d>0；当数列单调递减时，d0。正确理 取最大值。 解这些性质是准确判断选项的关键。 故填5或6。 三、前n项和的性质及其应用 法二：已知等差数列的前项和的形式 在等差数列中，对前n项和性质的考查 为Sm=An+Bn(n∈N",A,B均不为0)。 主要集中在三个方面：一是前n项和的单调 因为S,=Sg,所以S。=An2+Bn的对称轴 性及其最值问题；二是前n项和与数列各项 之间的内在联系；三是形如S,S一S:,S 为n=3告8-是。又因为a,之0，所以要使 2 一S的部分和序列依然构成等差数列。解 Sm取最大值，则d<0。因为n∈N”,所以当 决这类问题的关键在于把握两个方面：一是 n=5或6时，S取最大值。 灵活运用常见的二级结论以提升解题效率：二 故填5或6。 是深入理解这些性质背后的本质根源，即等差 ,点评：本题的第(1)小题侧重于考查项与 数列的通项公式与前项和公式的代数结构， 前n项和之间的关系，通过利用“当n为奇数 这正是推导和应用所有相关性质的基础。 时，前n项和等于中间项乘以项数”这一结论 例3(1)设等差数列{an}与{b.}的前 直接求解。第(2)小题则聚焦于等差数列前n 子则 n项和分别为S。和工，已知二=3”名 项和的最值问题，提供了两种方法：法一采用 常规思路，先求出前n项和的表达式，再结合 =()。 二次函数的性质确定其最大值或最小值；法二 37 A.27 B是c器 则从已知条件出发，分析公差符号对数列单调 性的影响，借助项的增减性间接判断前项和 (2)在等差数列{am}中，S。是其前n项 的最值位置，体现了对数列本质特征的深入理 和，a1>0,且S,=Sg,当S.取最大值时，n= 解。两种方法相辅相成，既夯实基础，又提升 思维灵活性。 解析：(1)根据等差数列的前n项和与项 注：本文系2024年度福建省教育科学规 的关系知，当n为奇数时，S.=na,则2= 划常规课题“基于核心素养的中学数学‘备教 学评一体化’实践研究”（立项批准号 -若义因为是=0导听以会 FJJKZX24一064)的阶段性研究成果。 S13 3×13-237 (责任编辑王福华) Tis 2×13+127 12