深入知识本质，破解平面向量在客观题中的难点-《中学生数理化》高考数学2026年7～8月刊

为型贸草方布法技提育中学生款理化 深入知识本质，破解平面向量在客观题中的难点 ■安微省合肥市第一中学 凌启圣 平面向量是高中数学的核心内容，也是 √3+4+2=7。 高考备考的重点知识，主要以客观题形式进 所以c|的最大值为7。 行考查。随着新高考改革的推进，对平面向 点评：本题旨在求解向量 量的考查难度逐步提升，尤其在选择和填空 模长的最大值，综合考查了向 的压轴题中体现得更为明显。本文系统梳理 量的模、数量积运算、相关代 了近年来高考中涉及平面向量的典型压轴题 图1 数恒等式（如|a十b1≥|a士b 目，深入分析其命题特点与考查方向，并提炼 ≥a|一|b|)及向量垂直的充要条件。解法 出具有针对性的解题方法与应对策略，力争 一通过运用三角不等式，结合向量代数技巧 帮助同学们准确把握难点，提升解题能力，从 进行放缩，从而求得模长的最值；解法二是在 而在高考中有效突破平面向量相关难题。 已知条件下巧妙建立平面直角坐标系，将向 一、与平面向量求模有关的题型 量问题转化为坐标形式，使原问题转化为圆 这类题型虽然难度相对较低，但是综合 上动点到圆外一定，点之间距离的最值问题， 性较强，通常涉及向量的模长、数量积及加减 直观且有效地体现了数形结合的思想，不仅 运算等多个知识点。解决此类问题的关键在 简化了计算过程，也有助于培养同学们的直 于深入理解平面向量各概念之间的内在联 观想象与几何直观分析能力。 系，并能够灵活运用如a=|a|2等重要关系 二、平面向量基本定理及其应用 式，从而在解题过程中实现思路的顺畅与方 这类题型是近几年考查的热点，通常在 法的优化。 能够建立平面直角坐标系的情况下，借助坐 例1已知平面内的三个非零向量a, 标表示进行解题的难度相对较小；当不具备 b,c,满足|a=3,b|=4,a⊥b,c-a-b 建系条件时，题目难度显著增加，通常在客观 =2,则c的最大值为一。 题的压轴位置出现，此时突破问题的关键是 解法一：根据三角不等式得|c一a一b| 合理选择一组基底，通过向量运算将其他向 c|-|a+b|,即|c|≤|c-a-b|+|a+b 量转化为该基底的线性组合，进而解决问题。 =2+|a+b|,当且仅当a+b与c共线时等 例2已知△ABC中，AB=AC=1, 号成立。 cos A = ，点D在BC上，且∠CAD 3 因为a⊥b,所以a·b=0。 因为|a|=3,|b|=4,所以|a+b| 1。若AD=mA店+nAC,则”=( )。 √/(a+b)2=√/Ta2+b2+2ab=√9+16 =5,故|c|≤2+|a+b|=7。 A.名B号 c品 所以|c|的最大值为7。 解法二：设c=（x,y)。 解析：由AB=AC=1,得∠B=∠C,则 因为|a|=3,|b|=4,又a⊥b,所以可设 1+cos A 2 2 a=(3,0),b=(0,4)。 因为c一a一b|=2,所以有(x一3)+ 5cos C-1-sin C25 5 5。 (y一4)=4，如图1所示，则|c|表示圆D上 一点到坐标原点的距离，故|c|≤|OD|十r= 因为∠CAD=F,所以sin∠ADC 3 中学生数理化 知识篇方法技巧助提高 高三数学2026年7一8月 sin(π-∠CAD-C)=sin(∠CAD+C)= (1-λ)BC,其中A∈(0,1)，则AN·BM的 sin∠CADeos C+cos∠CADsin C=2 最大值为 2 × 解析：在△ABN中，有AN=AB+BN。 25+×5-3而 又因为BN=(1一A)BC,所以AN= 2 5 10 AB+BN=AB+(1-)BC. CD 在△ACD中，由正弦定理得 sin∠CAD= 在△ABM中，有BM=AM-AB 又因为AM=λAD,所以BM=AM AC D 1 sin∠ADC,即 2 3√10 ,解得CD= 3 AB=λAD-AB。 2 10 在直角梯形ABCD中，因为AB⊥BC, 在△ABC中，由余弦定理得BC= 所以AB·BC=0。 √AC+AB-2AC·AB0SA=45 由∠BAD=子，AB=AD=2,得A店： 5 在△ACD中，由向量运算得AD=AC Ai=A店1·ADlcos号=2，BC=AD· -D元-A-B元-A-是AC-A) sin∠BAD=√3，因此AD·BC=|AD|· 2AC+A店。 IC1os(x-∠BAD)=2×g×复=3 又因为AD=mAB+nAC,所以m= 所以AN·BM=[AB+(1-A)BC]· 以一品则贸-号。放选B 5 7 (AAD-AB)=AAB.AD-AB+(1- A)BC.AD-(1-)AB BC=2-4+ 点评：本题是一道典型的向量线性表示 3λ(1-入)=-3λ2+5入-4。 问题，重点考查了三角形的求解与向量的线 设函数f(入)=一3入2十5入一4，该函数为 性运算，综合性较强。解题时，先结合正弦定 理与余弦定理确定动，点的位置，将其转化为 一元二次函数，对称轴为入= 吾因为A∈ 定，点问题，再明确所需向量之间的数量关系， 在此基础上，利用向量的加减法及数乘运算， 0,1),所以函数f(a)在区间(0，君)上单调 将向量AD用给定的向量AC和AB进行线 递增，在区间（气，1上单调递减，则f(Q) 性组合，进而求出系数m和n的值，最终完 成问题的解答。整个过程融合了几何分析与 =()= 代数运算，体现了较强的综合思维能力。 三、数量积的最值问题 所以当X-名时，A不·的最大位为 平面向量的数量积是高中数学的重点内 23 容，也是高考中的难点，当数量积与最值相结 2 合时，题目的综合性与难度显著提升。解决 ,点评：本题为典型的平面向量数量积最 此类问题的关键在于根据已知条件合理建立 值问题，综合考查了简单三角函数、平面向 直角坐标系，将向量的数量积最值问题转化 量的数量积运算及线性运算等知识，点。解 为函数的最值问题，借助代数方法求解。 题过程中，通过选取向量AB和AD作为基 例3如图2所示，在 底，利用线性运算将向量AN与BM表示 直角梯形ABCD中，AB⊥ 为基底的线性组合，进而进行数量积计算， 并将其转化为关于某一变量的函，数求解最 BC,∠BAD= 答，AB=AD 值，体现了向量问题代数化处理的灵活性与 =2。若M、N分别是AD、 图2 多样性。 BC上的动点，且满足AM=λAD,BN= (责任编辑王福华)