熟知球体结构特征，突破几何体外接球问题-《中学生数理化》高考数学2026年7～8月刊

想贸草方诚故助提育中学生表理化 熟知球体结构特征，突破几何体外接球问题 ■广东省广州实验中学 刘正峰 几何体的外接球问题是近年来高考及各 2√ 类数学考试中的热点与难点之一，集中体现 ，则PE=VPB-BE=2V6 3 。 了数学运算、数学抽象、逻辑推理和直观想象 在Rt△BOE中，有BO=BE+EO 等核心素养。针对这一问题，本文系统梳理 即R2= 了常见题型，指出柱体的外接球问题相对简 ()+(-R)°解得R. 21 单，而锥体尤其是以三棱锥为代表的外接球 问题更具挑战性。因此，文章重点围绕三棱 所以外接球的体积为V= 3πR3= 3XπX 锥的外接球展开深入探讨，引导同学们厘清 3√6 解题思路，掌握关键方法，实现对此类问题的 4 =6π。 有效突破。 故选C。 一、正三棱锥的外接球问题 点评：题目要求求解正四面体的外接球 此类题型通常涉及正三棱锥或正四面 的体积。解题时，首先，从顶，点向底面作垂 体，要求计算其外接球的体积或表面积。解 线，由正四面体具有高度的对称性知，外接球 题的关键在于确定外接球的球心，而确定球 的球心必然位于这条垂线上；其次，利用正四 心的主要依据是：过球的截面圆的圆心与球 面体的结构特征与球心的空间位置关系，构 心的连线垂直于该截面。在找到球心后，可 造一个以球心为顶点之一的直角三角形（如 通过构造直角三角形求得外接球的半径，进 △BOE),通过勾股定理建立方程，即可求得 而利用球体公式计算其表面积和体积。 外接球的半径，进而计算出外接球的体积。 例1已知正四面体P-ABC的棱长 二、三组对边相等的三棱锥的外接球问题 为2，则该正四面体的外接球的体积为 此类题型的主要特征是：在三棱锥的六 ( )。 条棱中，相对的两条棱视为一组，且每组中的 两条棱长度相等。在此条件下，题目通常要 A.2π B.√5π C.√6π D. 3π 求计算该三棱锥外接球的表面积或体积。解 解析：如图1所示，在 决此类问题时，可采用补形法，将三棱锥巧妙 正四面体P-ABC中，过 地嵌入一个正方体或长方体中，使其各条棱 顶点P作底面ABC的垂 恰好对应于正方体或长方体各个面的面对角 线，垂足为E,连接BE, 线，此时正方体或长方体的体对角线即为三 延长BE交AC于点F。 棱锥的外接球的直径，从而将几何问题转化 由正四面体的性质 图1 为易于计算的模型，便于进一步求解。 知，F为AC的中点。 例2已知三棱锥P-ABC中，PA= 因为PE⊥平面ABC,所以正四面体P ABC的外接球的球心一定在PE上，则可设 BC=23 ,PB=AC=PC=AB=2,则三 PE上一点为球心，记为O,连接BO,则BO 棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )o 为外接球的半径R。 因为棱长为2，F为AC的中点，所以在 2 c △ABC中，有BF=E,所以BE=号BP 解标：因为PA=BC=2后，PB=AC 13 中学生款理化贺續学方杰款军助提商月 PC=AB=√2，所以可将三棱锥P-ABC放 直线L上取一点，记为O,视 入长方体AB,CD-ABC,P中，如图2所示。 为三棱锥A-BCD的外接球 设长方体AB,CD 的球心，连接OB,则OB为外 A1BCP的长、宽、高分别为 接球的半径。 a、b、c,则有a2十b2=2,a 因为AB⊥平面BCD,所 3,b+c2=2,由以 以AB∥1，连接OA,则OA= OB=R,所以△OAB为等腰 图3 上三个式子相加，得2a2+ 三角形，则00，-公-巨. 26+2c=2+1+2即0 图2 在△BCD中，∠CBD=号，CD=5,由正 8 +b+c=3,所以长方体AB:CD-ABCP CD 弦定理得2B0,=m∠CBD-2,则B0,=1。 的体对角线BD=众十+c三26，则三楼 在Rt△BOO1中，有OB=R= 锥PABC的外接球的半径R=)=,因此 √BO+OO=√3，所以三棱锥A-BCD的 2 外接球的表面积S=4πR:=4×r×6-8如 外接球的休积V=专R=4元。 93。 故填4√3π。 故选D。 ,点评：在三棱锥A-BCD中，已知AB⊥ 点评：题目给出的数据显示，三棱锥的三 平面BCD,要求其外接球的体积。求解时， 组对棱分别满足PA=BC、PB=AC、PC= 先确定底面△BCD的外接圆的圆心O1,由 AB。根据这一结构特征可知，该三棱锥可视 于已知该三角形的一个内角及其对边，可通 为由一个长方体的面对角线所构成的特殊三 过正弦定理求得其外接圆的半径。过O,作 棱锥。因此，可通过补形法将其还原为对应 底面BCD的垂线，则三棱锥的外接球的球 的长方体。由此可得，三棱锥的外接球即为 心O必位于l上。又因为AB⊥平面BCD 该长方体的外接球，而外接球的直径等于长 且L为平面BCD的垂线，所以AB∥I,结合 方体的体对角线，进而求解外接球的表面积。 几何关系可得OO1等于AB长度的一半。 三、有棱与表面垂直的三棱锥的外接球 由此连接OB并构造以O、O1和B为顶点的 问题 直角三角形，利用勾股定理即可求出外接球 此类题型通常具有一个典型特征：三棱 的半径，进而代入球体的体积公式得出结果。 锥中某条棱与其中一个面垂直。解题时，应 几何体的外接球问题因其综合性强、思维 充分利用这一几何结构特点，先确定该垂直 灵活且逻辑严密，历来是高考及各类数学考试 面的外心，再过外心作该平面的垂线，此时三 中的热点与难点。本文围绕这一典型问题，通 棱锥的外接球的球心必然位于这条垂线上， 过深入剖析几何体与球体之间的结构特征及 然后通过构造直角三角形，结合相关几何关 内在逻辑关系，系统归纳常见题型，针对每类 系，即可求得外接球的半径，进而解决体积或 题型详细探讨其解题思路与策略，强调解题的 表面积等相关问题。 关键在于准确确定外接球的球心位置，并结合 例3在三棱锥A-BCD中，已知AB⊥ 具体实例，展示不同条件下球心定位的思想方 平面BCD,AB=2E,∠CBD=吾，CD=B, 法。通过对各类情形的分析与总结，形成了一 套条理清晰、操作性强的解题体系，意在帮助 则三棱锥A-BCD的外接球的体积为一。 同学们构建完整的思维框架，提升解决外接球 解析：如图3，找到△BCD的外接圆的圆 问题的能力。 心，记为O1,过O1作平面BCD的垂线1，在 (责任编辑王福华) 14