专题7.1 空间几何体的结构特征、表面积和体积（专题突破练）-【第一梯队】2026年高考数学二轮专项突破教用word

专题七　立体几何与空间向量 7.1　空间几何体的结构特征、表面积和体积 高考真题 考点1　空间几何体的结构特征 1.(2021新高考Ⅰ,3,5分,易)已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为 (　B　) A.2　　B.2　　C.4　　D.4 2.(2020课标Ⅰ,文3,理3,5分,易)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 (　C　) A.　　B.　　C.　　D. 3.(2021新高考Ⅱ,4,5分,中)卫星导航系统中,地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36 000 km(轨道高度指卫星到地球表面的最短距离),把地球看成一个球心为O,半径r为6 400 km的球,其上点A的纬度是指OA与赤道所在平面所成角的度数,地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α,该卫星信号覆盖的地球表面面积S=2πr2·(1-cos α)(单位km2),则S占地球表面积的百分比约为 (　C　) A.26%　　B.34%　　C.42%　　D.50% 4.(多选)(2023新课标Ⅰ,12,5分,难)下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有 (　ABD　) A.直径为0.99 m的球体 B.所有棱长均为1.4 m的四面体 C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体 D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体 5.(多选)(2021新高考Ⅰ,12,5分,难)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足=λ+μ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则 (　BD　) A.当λ=1时,△AB1P的周长为定值 B.当μ=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值 C.当λ=时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥BP D.当μ=时,有且仅有一个点P,使得A1B⊥平面AB1P 6.(2025全国二卷,14,5分,中)一个底面半径为4 cm,高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为　2.5　cm.  7.(2023全国甲理,15,5分,中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有　12　个公共点.  8.(2023全国甲文,16,5分,中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O为AC1的中点,若该正方体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是　[2,2]　.  9.(2020新高考Ⅰ,16,5分,难)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 　.  考点2　空间几何体的表面积和体积 1.(2024新课标Ⅰ,5,5分,易)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为 (　B　) A.2π　　B.3π　　C.6π　　D.9π 2.(2021新高考Ⅱ,5,5分,易)正四棱台的上、下底面的边长为2,4,侧棱长为2,则四棱台的体积为 (　D　) A.56　　B.28　　C.　　D. 3.(2022新高考Ⅰ,4,5分,易)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(≈2.65) (　C　) A.1.0×109 m3　　B.1.2×109 m3 C.1.4×109 m3　　D.1.6×109 m3 4.(2022新高考Ⅱ,7,5分,中)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 (　A　) A.100π　　B.128π　　C.144π　　D.192π 5.(2023全国乙理,8,5分,中)已知圆锥PO的底面半径为,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,∠AOB=120°,若△PAB的面积等于,则该圆锥的体积为 (　B　) A.π　　B.π　　 C.3π　　D.3π 6.(2022新高考Ⅰ,8,5分,难)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π,且3≤l≤3,则该正四棱锥体积的取值范围是 (　C　) A.　　B.　　 C.　　D.[18,27] 7.(多选)(2023新课标Ⅱ,9,5分,中)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P-AC-O为45°,则 (　AC　) A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为4π C.AC=2 D.△PAC的面积为 8.(多选)(2022新高考Ⅱ,11,5分,中)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则 (　CD　) A.V3=2V2　　B.V3=V1 C.V3=V1+V2　　D.2V3=3V1 9.(2023新课标Ⅱ,14,5分,易)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为　28　.  10.(2023新课标Ⅰ,14,5分,易)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=,则该棱台的体积为 　.  11.(2024全国甲理,14,5分,中)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台甲、乙的母线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆台甲与乙的体积之比为 　.  高考模拟 练速度 1.(2025山西临汾二模)已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为个圆,则该圆锥的母线长为 (　C　) A.4　　B.2　　C.4　　D.8 2.(2025安徽马鞍山第二次教学质量监测)在三棱柱ABC-A1B1C1中,截去三棱锥C1-ABC后,剩余的部分是 (　B　) A.五棱锥　　B.四棱锥　　C.三棱柱　　D.三棱台 3.(2025安徽芜湖一模)在封闭的圆锥内有一个表面积为S的球,若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形,则该球表面积S的最大值为 (　B　) A.π　　B.π　　C.24π　　D.32π 4.(2025江苏泰州一模)我国数学名著《九章算术》第五卷《商功》中有如下问题:“今有圆亭,下周三丈,上周二丈,高一丈.问积几何?”意思是:现有圆台形的建筑物,下底面圆的周长为3丈,上底面圆的周长为2丈,高为1丈,则它的体积(单位:立方丈)是 (　B　) A.　　B.　　C.　　D. 5.(2025安徽滁州一模)中国被称为“制扇王国”,折扇的起源历史悠久,最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇,其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为π,上板长为16 cm.若把该扇面围成一个圆台,则圆台的高为 (　D　) A. cm　　B.10 cm　　 C.10 cm　　D. cm 6.(2025陕西高考适应性检测)米斗是随着粮食生产而发展出来的称量粮食的量器,早在先秦时期就有.如图所示是米斗中的一种,可盛10升米(1升=1 000 cm3).已知该米斗的盛米部分为正四棱台,上底面边长为a cm,下底面边长为b cm,且b>a,若b3-a3=30 000,则该米斗的侧棱与下底面所成角的正切值为 (　B　) A.　　B.　　C.1　　D. 7.(2025重庆调研)将一个半径为2 cm的金属球熔化后,先浇铸成6个半径为1 cm的小球,再把剩余材料铸成1个正方体,则该正方体的棱长大约为 (　B　) A.1.5 cm　　B.2 cm　　C.2.5 cm　　D.3 cm 8.(2025浙江嘉兴模拟)若某正四面体的内切球的表面积为4π,则该正四面体的外接球的体积为 (　C　) A.9π　　B.27π　　C.36π　　D.64π 9.(多选)(2025山西晋城二模)已知圆锥的顶点为S,AB为底面直径,△SAB是面积为1的直角三角形,则 (　ABD　) A.该圆锥的母线长为 B.该圆锥的体积为π C.该圆锥的侧面积为π D.该圆锥的侧面展开图的圆心角为π 练思维 1.(2025广东广州一模)已知球O的表面积为4π,一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上,且下底面过球心O,母线与下底面所成角为,则该圆台的侧面积为 (　B　) A.π　　B.π　　 C.π　　D.3π 2.(2025广东深圳一模)如图,已知圆台形水杯盛有水(不计厚度),杯口的半径为4,杯底的半径为3,高为6.5,当杯底水平放置时,水面的高度为水杯高度的一半,若放入一个半径为r的球(球被完全浸没),水恰好充满水杯,则r= (　D　) A.1.5　　B.2　　 C.3　　D.3.25 3.(2025山东聊城一模)在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,E,N分别为PA,CD的中点,经过E,B,C三点的平面交PN于点F,M为AD上一点,且PM⊥平面ABCD,△MCD为等边三角形,CD=6,∠PDM=45°,则经过F,M,C,D四点的球的表面积为 (　C　) A.32π　　B.48π　　 C.64π　　D.96π 4.(2025河北唐山一模)在三棱锥A-BCD中,=,=2,=3,设三棱锥A-EFG的体积为V1,三棱锥A-BCD的体积为V2,则V1∶V2= (　B　) A.1∶3　　B.1∶4　　 C.1∶6　　D.1∶8 5.(2025福建泉州一模)已知正三棱台ABC-A1B1C1的高为4,△ABC的内切圆和△A1B1C1的外接圆的半径均为1,则该正三棱台的体积为　 (　A　) A.7　　B.14　　 C.21　　D.28 6.(2025辽宁沈阳一模)三棱锥P-ABC的体积为18,△ABC和△PBC都是等边三角形,∠PBA=∠PCA=90°,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 (　C　) A.36π　　B.54π　　 C.72π　　D.108π 7.(2025河北“五个一”名校联盟联考)如图,一个半球容器(有盖)的半径为10分米,忽略容器的厚度,则该容器的表面积为　300π　平方分米,若在该容器内放入两个半径均为r分米的球,则r的最大值为　10(-1)　.  8.(2025山东菏泽一模)如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,E是AB的中点,D是AC边上靠近A的四等分点,将△ADE沿DE翻折,使A到点P处(P点在平面ABC上方),得到四棱锥P-BCDE.则 ①PC的中点M的运动轨迹长度为 　;  ②四棱锥P-BCDE外接球表面积的最小值为　10π　.  9.(2025江苏南通第一次调研)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1=BC1=CA1,BC1⊥CA1. (1)证明:三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱; (2)证明:AB1⊥CA1; (3)设AB1⊂平面α,BC1∥平面α,若直线BC1与平面α的距离为,求三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积. 解析　(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1=CC1=AA1,∠ABB1=∠BCC1=∠CAA1=90°, 又因为AB1=BC1=CA1, 所以△ABB1≌△BCC1≌△CAA1, 所以AB=BC=CA, 所以三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱. (2)证明:取AC,A1C1的中点D,D1,连接BD,DD1,则BD⊥AC. 因为AA1∥DD1,AA1⊥平面ABC, 所以DD1⊥平面ABC. 以{,,}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设AC=2a,AA1=b,则A(0,-a,0),B(a,0,0),C(0,a,0),A1(0,-a,b), C1(0,a,b),B1(a,0,b),所以=(-a,a,b),=(0,-2a,b),=(a,a,b). 因为BC1⊥CA1,所以⊥, 所以·=-2a2+b2=0, 所以·=-2a2+b2=0, 所以⊥,即AB1⊥CA1. (3)因为BC1⊥CA1,AB1⊥CA1, 所以不妨取平面α的法向量为n==(0,-2a,a). 因为BC1∥平面α,直线BC1与平面α的距离为, 所以点B到平面α的距离为. 因为=(0,0,a), 所以点B到平面α的距离d===a=,所以a=. 所以正三角形ABC的外接圆半径r=×=, 所以正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半径R==, 所以三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为S=4πR2=33π. 练风向 1.(2025湖北十一校第二次联考)如图,在棱长为1的正方体内部,有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体Oi(i=1,2,…,8),有1个以正方体中心为球心的球体O0,O0与Oi(i=1,2,…,8)均相切,则该9部分的体积和的最大值为 (　C　) A.　　 B.(2-3)π　　 C.π　　D. 2.(多选)(2025安徽池州质量监测)在三棱锥A-BCD中,给定下列四个条件: ①·=·=·; ②·=·=·; ③·=·=·; ④·=·=·. 下列组合条件中,一定能断定三棱锥A-BCD是正三棱锥的有 (　ACD　) A.①②　　B.①③　　 C.②④　　D.③④ 第 15 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $