2026年高考数学模拟试题(九)-《中学生数理化》高考数学2026年7～8月刊

中学生款理化舞整翠与提秀年7-8月 206年高考数学模拟试题（九）参考答案 一、选择题 1.B2.C3.C4.C5.B6.A7.C 时取等号，所以 =一1十 4 4-3xy 8.A提示：如图1，过Q作平面EFGH 41 1 的垂线，垂足为O,连接 12即长的最小值为2 3 EG,EM。设EM,QO的交 二、选择题 点为A,在△QHF中，过A 9.ACD 作直线BC交QH,QF于 10.ABC提示：由题意知，点P不与原 B,C两点，由相交直线确定 点重合。设P(x。,y。),切线1的方程为y一 平面，则四边形ECMB为 y。=k(x一x),其中k≠0，与抛物线y2=4x 过EM的截面。通过计算 图1 联立，得ky2一4y-4kx0十4y6=0,即ky2 得EG=4,所以△QEG为正三角形，QO= 4y一ky十4y。=0。结合题意知△=16 2√3，所以A为△QEG的重心。设QB= 4k(4y。一ky)=4(ky。一2)2=0，解得k= QH,QC=QF,由向量运算得Q-Qd ,此时直线1的方程为y一。=二(x y。 y。 =专Q+专a成.义i=xQ时，a心- x),即y0y=2x十2x。。对于A,在直线1的 方程中，令y=0,得x=一x,即点M(一x, Q,所以Qi-Qi,Q-1Q心，则Q 3 0:令=0，得y=2-之即点N(0. 店+。由三点其线得品+ 学).所以N为线段PM的中点，放A正 1,即+}-8，易知点E到平面QHF的距 x y 确。对于B,易知点F(1,0),kw= ,kEN= yo 离为OE=2,M到平面QHF的距离为1。 因为sag=QB·0C·m吾=4后y, 20 yo 名-=-兰，所以kmkN=-1,放PM上 所以V=VEoc+Vom=号saa·1+2) FN。又因为N为PM的中点，所以|FM =|FP|,即△PMF为等腰三角形，故B正 =安QB·Qc·sm子=45y.因为 确。对于C,抛物线的准线方程为x=一1， 由抛物线的定义得|PF|=x。十1=4，则x0 VQ-EFGH= ×(2)×25=16后.所以v 3 =3,故M(-3,0),且y号=4x。=12,所以y0 =Vm-Y=9后-4y.所以 =士2√3。当点P的坐标为(3,2√3)时，kpw 23=3；当点P的坐标为(3，二2) 4√3xy 4 1* 3+3 后-4 一=-1+4-3x由3= 时，kPM= -2√3 √ 3+3 3。综上所述，若1PF /1 2 行，当且仅当x=y= 三4，则1的斜率为士三，故C正确。对于D, 88 高三量学能桥整与香中学生数理化 当点M在准线上时，点M的坐标为（一1,0）， 1,sin-2x<cos-2x,此时f(x)<0,函数 则P(1,士2)，此时|PM|=2√2，故D错误。 f.(x)在D,]上单湖道波。所以当工∈ 11.BCD提示：已知f.(x)=sinx+ cosx。对于A,因为f:(x)=sin'x+cosx [,]时f.(x)==f.()=(号)广×2 =sin'x cos'x )2-2sin2xcos'x 1- m2x=1-2×1g=3+g4 1 (合)》。又因为f.(o)=f.(经)=1，所以 2 4 fm(x)mx=1,则函数f。(x)的值域为 所以f:)的最小正周期为T=至-吾，故 [),小放D正确。 A错误。对于B,因为f,(x)=sinx十cosx 三、填空题 =sinr+(1-sin'x )3=3sin'r-3sin2x+1 12.1013.18 令t=simr∈（经，l),可得g)=-3t+ 14.(1,十∞)提示：因为f(0)=一1≠ 0,所以x=0不是(x)的零点。当x≠0时， 1,其图像开口向上，对称轴为1=分可知y xx<0, =g()在（经1）内单调递增，且t=sinx在 令f(x)=0,得a 令 In x+1 +1,x>0。 (不，)内单调递增，所以f:(x)在 g(x)=-x- （x<0),由对勾函数性质得 x (罕，)上是单调函数，故B正确。对于C g(x)在（一∞，一1）上单调递减，在（一1,0） 因为fn(π-x)=[sin(π-x)]十[cos(π一 上单调递增，所以g（x)mm=g（一1)=2。令 )=(sin )+(-cos x)2=sin"+ h(x)=nx+1+1(x>0),则h'(x) cosx=f.(x),所以函数f。(x)的图像关于 x 直线x=对称，故C正确。对于D,因为 一nx+1三ln2。故当x∈(0,1D时， .(受+x)=[sin受+x]+[co(+ h'(x)>0;当x∈(1，+∞)时，h'(x)<0。所 以h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上 2门广=(eos)+(-in)=sin十 单调递减。故h(x)mm=2,且当x→十∞时， h(x)·1,如图2所示，所 cosx=fm(x),所以函数fm(x)为周期函 以当a>1时，y=a与y= 数，且是函数f.(x)的一个周期，只需求出 1 一x ,x<0, 函数了(x)在[D,]上的值城，即为函数 lnx+1+1,x>0 的图像 图2 x fm(x)在R上的值域。由fm(x)=sin”x+ 有且仅有两个交点，此时函数∫(x)恰好有两 cos"x,f(r)=2nsin2"-I rcos r- 个零点。综上，a的取值范围是(1，+∞)。 2ncos'"-x sin x 2nsin xcos a (sin2-'x- 四、解答题 ).当∈（货）时.0<co<号 M+k=3, 15.(1)由题图知， 解得 (一M+k=一1， <sinx<l,故sinm-2x>cos2a-2x,此时 M=2,k=1。 f(x)>0,函数f,(x)在「T,]上单调递 L42」 义号-经-吾即T=则a- =2, 增：当x∈(o,)时，0<sinx< 2 <cos x< 故f(x)=2cos(2x+9)+1。 89 中学生款理化舞整翠与提秀年7-8月 由f()）=3,得co(+)）=1. 在直线分别为x轴，y 轴，之轴，建立如图3 又<受，所以9=- 所示的空间直角坐标 系，则B(3,0,0), 所以f(x)=2cos(2x-3）+1。 A(3,-1,0),D1(0, (2)因为f(A)=2cos(2A-3）+1=2, 0,2),C1(0,1,2)。 图3 所以o(2A-吾）-日 由D,A-Di,得A停-2小 又A∈(0，x),所以A= 由AE=A店，得B(停0,2小 3。 由n月-何eA-反as答-号得 所以-(9名2小aE B=至或（合去）。 (-12BC=(91o) 设平面AB1C1的一个法向量为n=(x, 在△ABC中，由正弦定理知，6角 n·AB=-E 2x+y+2=0 232√3 =4,所以b=4sinB= y,之)，则 可 sin C sin A 3 n·B,C=-3 x+y=0, 2√2；c=4sinC=4sin[π-(A+B)]= 取n=(2,√3,0)。 4aimA+B)-4n(侵+竖)-4（停×号十 设直线AA:与平面AB,C1所成的角为 0,则sin0=|cos(AA1,n〉|= AA·n AA 是×号)=后+E + 故△ABC的周长为a+b+c=2√3+ 2 +0 √105 5×√7 709 2√2+√6+2=3√2+23+√6。 17.(1)设事件C为“首次识别正确”，事 16.(1)因为AB∥CD,∠ADC=120°，所 件A为“选择测试集A”,事件B为“选择测 以∠DAB=60°。在△ABD中，已知AB= 1,AD=2,∠DAB=60°，结合余弦定理得 试集B,期PA)=P(B)=合P(C1A)= BD=√+22-2×1×2c0s60°=3。 故AB+BD=AD,所以AB⊥BD。 号×号+×言-兽，P(CB)=号×2+ 由棱台ABCD-A1BC1D1知，BB1,DD 号×-号 交于一点，即BB1,DD1共面。 由全概率公式得P(C)=P(A)·P(C 因为∠B1BA=90°，即AB⊥BB1,又 BB1∩BD=B,BB1,BDC平面BB1D1D,所 A)+P(B)·P(C1B)=2· 1 以AB⊥平面BB:DD。因为DD二平面 BB1D1D,所以AB⊥DD1。因为∠D1DA= (2)由公式及(1)知P(A1C)=P(AC) P(C) 90°，所以AD⊥DD1。又AB∩AD=A, P(A)P(CIA)_P(A)[1-P(CIA)] AB,ADC平面ABCD,所以DD1⊥平面 P(C) 1-P(C) ABCD。因为DD,二平面D,C1CD,所以平 2 2 面D1C1CD⊥平面ABCD。 (2)以D为坐标原点，DB,DC,DD1所 2 90 高三数学02生与提秀中学生教理化 参考答案与提示 (3)当选择A的概率为子时，识别正确 9)y一20ny-25=0,所以y1+y2= 20n 25 的概率为立，识别销误的概率为了： 5m2+9'y1ye= 5m2+9 当选择A的概率为}时，识别正确的概 1-3x-3), 直线AM的方程为y=y 9 率为名识别储误的概率为是 8 令x=一 之，解得yp=-5.y -2·1-3 -15. 当选择A的概率为号时，识别正确的概 同理可得，yQ=一2·x:一3 设直线FR的方程为y=一mx-2m,令 率为是，识别错误的概率为。 9 5 x=一 ，解得少g=名m。 由题意知，X的所有可能取值为0,1,2， 4则P(X=0=方×名×名=品PX 所以yp十ya=一 15(y1 15 1=×是×+×是×是+× 7 2my1-5my,-5 2 y1(my2-5)+y2(ny1-5) 15 888 25pX=2)三2×总×62 7 1 (ny1-5)(my2-5) 2 2my1y:-5(y1+y2) 15 88,1 7 225:P(X=3)= .888 m2y1y2-5m(y1+y2)+25 2 -50m-100m 1.7 .749 -25m2-100m2+125m2+225 =5m=2yR。 2×15×15=4500 所以R为线段PQ的中点。 所以X的分布列为表1： 15 表1 ②由①可得，PQ|=Iyp-yQ|= 2 X 0 2 3 y 15 2 49 88 88 49 my,-5 my-5 P 450 225 225 450 5(y1-y:) 故E(X)=0× 49 (ny1-5)(my2-5) 450 +1X88 225 +2×88 225 所以S1十S:= 2PR1·(,+g)+ 8×0-1.5 所以连续测试三次，识别正确次数的期 望为1.5。 9)= 15 5(y1-y2) 8 ·[m(y1+ (my1-5)(my2-5) a=3, 75 18.(1)由题意知， 2c=4, 解得 5= 8 y1 一 yg· a2=b2+c2, n(y1+y2)+5 fa=3, ny1y:-5m(y1+y2)+25 8 b一√后，故椭圆E的标准方程为云十二一 5=1。 20m+25m2+45 y2· -25m￥-100m+125n2+225 c=2, 15 (2)①由(1)知，F(一2,0)。 8 y1一y2·(n2+1)。 由直线MN过点F,可设直线MN的方 程为x=my-2,M(x1y1),N(x,y)。 因为R(-号，n),RF⊥MN,所以 /x=my-2, 号m+2 9 联立x+=1.消去x整理得(5m十 RF- √m2+1 m°+1 91 中学生数理化高数学2026年1-8月 参考答案与提示 5 1+m。 由题意知，对任意k∈（一∞，1），方程 1 1 1-k)x一1-1nx一b=0有唯一解。 所以S:=2·MN1·1RF|=2 1+m-·音1+m=子1+ 令m(x)=1-k)x-1-nx-b,则 x m(x)在(0，十∞)上有唯一零点。 m)|y1-y2|。 假设存在满足题意的入，则A=S十S 求导得m'(x)=1-)x-x+1 x S. 令(1一k)x2一x十1=0，则△=4k一3。 1y1-y:(m+1) 15 3 5 2。 若长≤是，则m()≥0，所以m)在 1+m)y,-y1 (0,十∞)上单调递增。又因为当x·0时， 所以存在入=多，使得AS:=S十S m(x)>一∞，当x·十∞时，m(x)→十∞， 所以m(x)在(0，十∞)上有唯一零点。 19.(1)因为f(x)=x-1 -lnx,定义 若是<k<1,则m(x)=0有两个不同 域为(0，+∞)，所以f'(x)=1+1-1 实根x1。设1=13∈1,2. 二+中.因为-x+1=(-》+是 2(1-k) t? >0,所以f'(x)>0恒成立，故f(x)=x一 x:=1+V4k-3 2(1-k) ∈(2，十o∞)，则m(x)在(0， -1nx在定义域(0，十∞)上单调递增。 x1)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，在 x (x2,十∞)上单调递增。又因为当x·0时， (2/)=1+是-令，) n(x)->c∞，当x>+o∞时，n(x)-→十c∞， 1-1十1-m=0, 所以m(x)有零点。 x子x1 所以m(x)楼大位=m（x1)=(1一k)x1一 f'(x2)=m,得 1 1 x -+1-m=0。 1-1n1-6=-2-ln,-b+1. 由根与系数的关系得1十1=1，即 2 令h(x)=一 xI x -1nx-b+1(1<x< x1十x2=x1x2>2√/x1x2,得x1x2>4。 2),则h'(x)= 2二x>0(1<x<2),所以 所以f(x1)十f(x:)=(x1十x) h(x)在x∈(1,2)上单调递增。 (+)-(nx+n)=: 所以m(x)做大篮=m(x1)∈（一1一b, ln(x1xg)-1。 -1n2b)。 令t=x1x:>4,则x1x2-ln(x1x:)一1 同理可得，m(x)微小位=m(x,)∈（一c∞， =t-lnt-1。 -1n2-b)。 设g(t)=t-lnt一1(t>4),则g'(t)= 当-ln2一b≤0，即b≥-ln2时，得 1- >0(t>4),所以g(t)在1∈(4，+∞） m(x)大篮<0，则m(x)恰有一个零点； t 当-1n2-b>0,即b<-ln2时，则存 上单调递增，故g(t)>g(4)=3-21n2,即 f(x1)+f(x2)>3-21n2。 在m(x)小值=n(x,)=0,此时m(x)有两个 (3)由f(x)=kx+b,得(1一k)x 零点，不符合题意。 1 综上可得，b≥一ln2。 x -lnx-b=0。 (责任编辑王福华) 92簧尊成实臂中学生教理化 2026年高考数学模拟试题（九） ■河南省沈丘县第一高级中学 刘玉 一、选择题：本题共8小题，每小题5分， PF:= 2,∠PF,Q=120°，则椭圆C的离心 a 共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 率为( 1.已知全集U=R,函数y=ln(x-1)的 2 :② 定义域为M,集合N=(x|x2一x>0},则下 2 c D.3 列结论正确的是()。 8.如图1，在四棱锥 A.M∩N=NB.M∩(CuN)=O Q-EFGH中，底面是边长 C.MUN=U D.M-CN 为2√2的正方形，QE=QF 2.已知复数之满足之(1+2)=4+3i =QG=QH=4,M为QG (其中ⅰ为虚数单位)，则复数之的虚部为 的中点。过EM作截面将 ()。 此四棱锥分成上、下两部 图1 A.1B.i C.-2D.-21 分，记上、下两部分的体积 3.对于正项等比数列{am},“a:>a”是 分别为VV:,则的最小值为( )。 “数列{a,}是单调递增数列”的()。 A,充分不必要条件 A.. cD号 B.必要不充分条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分， C.充分必要条件 共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 D.既不充分也不必要条件 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对 4.已知a,B∈(0，），sin(a-B)=2 的得部分分，有选错的得0分。 tana=3tanB,则a十B=( 9.有一组样本数据1,2,3,4,5,6,7,8， ）。 9,10,现去除其中的两个数据，去除的两个数 A.B. C. n 据记为x和y,则下列结论正确的是()。 5.在平面四边形ABCD中，若AB⊥ A.若xy=18,则极差不变 BC,AD⊥DC,且AB=1,AD=3,则AC· B.若xy=18,则第75百分位数不变 BD=()。 C.若x+y=11,则平均数不变 A.-8 B.8 C.10 D.3 D.若x+y=11,则中位数不变 6.已知f(x)是定义在R上的偶函数， 10.已知抛物线y2=4x上点P处的切 且在[0，十∞)上单调递增，若f(1)=1,则不 线1分别交x轴、y轴于点M、N,抛物线的 等式f(log:x)+f(log⊥x)≤2的解集为 焦点为F,PF交抛物线于点Q(异于点P), ( ) 则下列说法正确的是()。 A.N为PM的中点 B.[1,3] B.△PMF一定为等腰三角形 C.(0,3] [ C.若PF1=4,则1的斜率为士 3 2 7.已知椭圆c::+:=1(40·b≥0) D.若M在准线上，则|PM|=4 11.已知fm(x)=sin"x+cos2mx(n∈ 的左焦点和右焦点分别为F1,F:,若椭圆上 N”),则下列结论正确的是()。 存在两点P、Q关于原点对称，且满足PF· A.f2(x)的最小正周期为π 49 中学生款理化资整續学提数感助夹破月 B.f(x)在（牙，受）上是单调函数 C.f.(x)的图像关于直线x-对称 1 D.2≤f.(x)≤1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， 16.(15分)如图3，在四棱台ABCD 共15分。 A1BC1D1中，AB∥CD, DA=DC=DD=2,AB 2.已知(+)广 的二项展开式的各 =C1D1=1,∠ADC= 项系数之和为32，则该二项展开式中x的系 120°，∠D1DA=∠B1BA 数为 =90°。 图3 13.空间中有三组平行平面，第一组有3 (1)证明：平面 个，第二组有2个，第三组有4个，不同两组 D,CCD⊥平面ABCD: 的平面都相交，且交线不都平行，则这些平面 (2)求直线AA,与平面AB,C所成角 可以构成平行六面体的个数为一。 的正弦值。 14.若函数f(x) |-x2-ax-1,x≤0， 恰好有两个零点， lnx-(a-1)x+1,x>0 则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=Mcos(wz 十p)+k(M>0,w>0g<)的部分图像 如图2所示。 (1)求函数f(x)的 解析式： (2)△ABC的内角 A,B,C所对的边分别 为a,b,c,若f(A)=2, 17.(15分)某人工智能公司开发了一款 sinB=√2cosA,a 图2 图像识别模型，测试时从两个测试集(A和 2√3，求△ABC的周长。 B)中随机抽取1张图像识别。测试集A:共 5张图像，其中清晰图像4张（每张识别正确 率)，模糊图像1张（每张识别正确率子）： 测试集B:共5张图像，其中清晰图像3张 (每张识别正确率)，模糊图像2张（每张 识别正确率)。 首次测试选择A或B的概 案均为 ,再次测试会动态调整规则：若某次 50 贵整资薛袋题赛臂中学生教理化 测试正确，则下次选择A的概率为了：若某 次测试错误，则下次选择A的概家为导。 (1)首次测试时，随机抽取一张图像，求 模型识别正确的概率； (2)已知首次测试模型识别错误，求该图 像来自测试集A的概率； (3)连续测试3次（第一次为首次测试， 每次测试后根据测试结果调整测试集选择概 率)，记X为这3次测试中识别正确的次数， 求X的分布列及数学期望。 19.(17分)已知函数f(x)=x-1 In xo (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)在x=x1,x:(x1≠x:) 处的导数相等，证明：f(x1)十f(x2)>3一 2ln2: (3)若对任意的实数k∈（一∞，1），直线 y=kx十b与曲线y=f(x)均有唯一公共 点，求实数b的取值范围。 18.17分)卫知椭圆E号+若=1a> b>0)的右顶点为A(3,0),焦距为4。 (1)求E的标准方程。 (2)设E的左焦点为F,过F作斜率不 为零的直线1交E于M,N两点，连接AM, AN,分别交直线x=-号于点P,Q,过F且 垂直于MN的直线交直线x=一2于点R. ①求证：R为线段PQ的中点。 ②记△MPR,△MRN,△NRQ的面积 分别为S1,S,S,试探究：是否存在实数入， 使得S:=S1十S,?若存在，求出入的值：若 不存在，请说明理由。 (责任编辑王福华) 51