2026年高考数学模拟试题(四)-《中学生数理化》高考数学2026年7～8月刊

中学生数理化离整薇学费数感实破月 2026年高考数学模拟试题（四) ■河南省南阳市第一中学校 马同熹 一、选择题：本题共8小题，每小题5分， 共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 7,已知椭圆E:大上 6=1(a>b>0)的 一项是符合题目要求的。 左焦点为F,过F作圆x2十y=b的一条切 1.已知命题p:x≥0，x一x≥0，则 线1交椭圆E于另一点为A,切点为Q,若 力为()。 OA+O示=2O反(O为坐标原点)，则椭圆E A.3x<0,x2-x<0 的离心率为( )。 B.Vx<0,x2-x<0 4.⑥ 3 C.6 3 C.3x≥0，x2-x<0 D.1x≥0，x2-x<0 8.已知a∈(0，受)，且cosa=a.若 2.若将函数y=2sin(3x十p)的图像向 b=sina,c=cos(sina),则a,b,c的大小关 右平移交个单位长度后得到的图像关于点 系是()。 A.a<b<c B.c<a<b (子0)对称，则g的最小值是( )。 C.b<a<c D.c<b<a A于 B晋 c. D.8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 3.已知复数之满足之一i十|之十i=4, 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对 则|之|的最小值为()。 的得部分分，有选错的得0分。 A.1B.2C.W3 D.2 9.若数列{am}为等差数列，公差为d,其 4.在《九章算术·商功》中，将正四面形 前n项和为S。,且Sg>S1o,So=S1,S11< 棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为 S2,则()。 方亭。在方亭ABCD-A1B,C1D1中，AB= A.a 2A1B1=4,四个侧面均为全等的等腰梯形且 B.d<o 面积之和为12√2，则该方亭的体积为 C.S>S )。 D.使Sm>0的最小正整数n的值为22 4.283 3 C.11V 3 n号 10.已知E,F:分别为双曲线C:一 5.已知定义在R上的偶函数f(x)在 y =1(a>0,b>0)的左焦点和右焦点，C的 [0,十∞)上单调递增，若对任意x∈[0，t 1],均有f(x一t)≥f(2.x),则实数t的最大 一条渐近线I的方程为y=√3x,且F1到l 值是( )。 的距离为33，点P为C在第一象限上的 c号 点，点Q的坐标为(2,0)，PQ为∠F1PF,的 D.3 平分线，则( )。 6.现有甲、乙两组数据，每组数据均由六 个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差 A.双曲线C的方程为写高-1 为5，乙组数据的平均数为5，方差为3。若将 B.PF=3PF, 这两组数据混合成一组，则新的这组数据的 C.1OP|=3√6 方差为( )。 A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 D.点P到x轴的距离为3E 2 34 贵薛德赛臂中学生表理化 11.已知△ABC的内切圆半径为1，且满 (1)根据表中的数据，推断变量y与x之 足sin2A+sin2B=4 sin Asin B,则( )。 间是否线性相关。计算y与x之间的相关系 A.△ABC面积的最小值为3+2√2 数（精确到0.01），并推断它们的相关程度。 B.△ABC周长的最小值为6一4√2 (2)求出y关于x的经验回归方程，并预 测该人工智能公司2026年的利润。 C.3sin A+4sin B+5sin C<10 (3)把利润不超过4（亿元）的年份叫作 D.sin C=sin'A+sin'B “试销年”，从2018年到2024年这7年中任 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， 取2年，X表示取到“试销年”的个数，求X 共15分。 的分布列和数学期望。 12.已知向量a=(1,0),b满足a⊥(2a 一b),则b在a上的投影向量的坐标为。 参考数据： ∑(x-x)(y:-y)=14, 13.已知函数f(x)是定义在R上的偶 函数，当x≥0时，函数f(x)= 2:-2=7.08. ∑(x-x)2=28, {2os[1-]0≤1 √28×7.08≈14.08。 若函数g(x) 参考公式：对于一组数据(u1,v1),(u2, （2）广+1.>1. o:),…,(umo),经验回归直线0=Bu十&的 斜率和截距的最小二乘估计公式分别为= =5[f(x)]-(5a+6)f(x)+6a(a∈R)有 且仅有6个不同的零点，则实数a取值范围 (u-(,- 为 -,a=o一Bu;相关系数 14.甲同学参加一场四人比赛，比赛采用 “双败淘汰制”，具体赛制：首先，四人通过抽 签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败 区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最 a,- -0) 后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出 局获第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区” 的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第 三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决 赛，胜者获得冠军，败者获第二名。若比赛四 人中除甲以外有一位高手，高手对战其他人 的胜率均为后，除商手以外其他三人之间对 16.(15分)如图1，已知△ABC是边长 战胜率均为子，比赛没有平局，则甲最终获得 为6的等边三角形，O为AC的中点，AP⊥ CP,Q为PC靠近P的三等分点，连接BO, 冠军的概率是 BP,BQ。如图2，将△APC沿AC折起，使 四、解答题：本题共5小题，共77分。解 得PB=AB。 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某人工智能公司从2018至 2024年的利润情况如表1所示： 表1 年份 201820192020202120222023202 年份代码x 12 3456 7 利润y(单位：亿元)2.93.33.64.44.85.25.9 图1 图2 35 中学生表理化资整續学提数感助夹破月 (1)若AP=3√3，求翻折前BQ的值： 出点P的坐标。 (2)证明：翻折后，OB⊥平面APC: (3)已知点D(t,0),过点D的直线I与 (3)若AP=CP,求翻折后二面角P- 抛物线G交于M,N两点，O为坐标原点，过 AB-Q的正弦值。 点M作平行于x轴的直线与直线ON交于 点E,试问：直线ON与直线DE的斜率之比 是否为定值？若为定值，求出该值。 17.(15分)已知正项数列{am}的前n项 和为Sm,满足4Sn=(am十1)(n∈N·)。 (1)求数列{am}的通项公式。 (2)设数列{bn}满足b.=(a,十1)·3”， 19.(17分)已知函数f(x)=与 求数列{bn}的前n项和T。 a (3)设数列{c,}的前n项和为A。,满足 e*+19 cm+1十（一1）”cm=2am十2。记d。=Am,若对 (1)若f(x)>0恒成立，求实数a的取 任意n∈N',都有dw+1>dn,求数列(cn}的首 值范围。 项c1的取值范围。 (2)若a使得f(x)有两个不同的零点 x1,x2,证明： ①a>2; ②ln(4a2-8a)<|x2-x1|<2a。 18.(17分)已知抛物线G:y=2px,点 A(1,1),P为抛物线上一点，F是抛物线的 焦点，PA|+PF|的最小值为2。 (1)求抛物线G的方程。 (2)若过点A的直线与抛物线G交于 B,C两点，试问：在抛物线G上是否存在点 P,使得点F为△PBC的重心？若存在，求 (责任编辑王福华) 36商三数学烧与携香中学生表理化 2026年高考数学模拟试题（四)参考答案 一、选择题 b2=c2,可得a=3,b=3√3，所以双曲线C的 1.C2.A3.C4.B5.B6.D 7.A提示：由题意知，圆x2十y2=b的 方程为号-苦-1，放A正确，由PQ为 圆心为O,半径为b,c>b,设椭圆E的右焦 点为F2,连接AF2,因为OA+OF=2O反，可 ∠RPF,的Y分线，周P-8-是 知Q为AF的中点，且O为FF:的中点，则 =2,故B错误。由双曲线定义知，|PF,1一 OQ∥AF2,|AF,|=2OQ1=2b。由椭圆定 |PF:|=6,则|PF1|=12,1PF:|=6。在 义知，|AF|=2a-AFg|=2a-2b。因为Q △PFF:中，cos∠F,PF,=12+6-12 2×12×6 为切点，所以OQ⊥AF,则AF2⊥AF,可得 |AF,12+|AF12=|F2F12,即4b+(2a- PF:+PF:-PF+2PF.PF:+ 1 2b)=4c2=4(a2-b2),解得2a=36,即 a PF=12+2×12×6×1+6=216,故 4 所以椭圆E的离心率e= 1PF+PF|=2|PO1=6√6，即|OP|= a 3√6，故C正确。在△PFF:中，sin∠F,PF √-（合）- =1 cos P啊=厘。设点P到 8.C 提示：已知a∈(o,2)且b= sina。根据三角函数的性质知，当x∈ 轴的距离为d,则Sam=2×F,F:I×d (o,)时，不等式sinx<x恒成立。令x= =PF,XPF,Xsin∠F,PE:即2× a,则sina<a,即b<a。已知a=cosa,且 c=cos(sina)=cosb,又b<a,且a∈ 12×d-号×12×6×平，解得1=3厘 2， 故D正确。 (0,受)，显然6=sina也在区间(0,1)C 11.AD提示：已知sin2A+sin2B= (0,)内。考在余弦函数y=c0s2:在区间 4 sin Asin B→sin Acos A+sinB·cosB= 2 sin Asin B,所以osA+osB=2,则A十 (0,乏)上，y=cosx是单调递减函数。因为 sin B sin A b<a,所以cosb>cosa。又因为cosb= B=受为一组解。若A=三一B,则9合 sin B cos(sina)=c,cosa=a,所以c>a。综上可 得，b<a<c。 cos B os(-B)】 十 cos B =1+1= sin A sin B 二、选择题 in(5-B） 9.ACD 10.ACD提示：由F1(一c,0)到y= 2成立。若A十B>受，则A> 2 -B→ 后2的距离为C=3,解得c=6。又渐 2 cosA<sinB,所以合<1，同理osB sin B sin A 近线方程为y=3x,则=。结合a十 1,所以0sB+c0sA sin A sin B <2矛盾。若A十B< 67 中学生款理化舞整翠与提秀年7-8月 吾，则A<2-B→c0sA>sinB→o0sA sin B 述，实数a的取值范围是(0,1门U{受} 1 cos B之1，所以。A十s。B—2子 41 sin A sin B 14.243 提示：依据对称性，不妨设两个 盾。对于C,3sinA+4sinB+5sinC= 路人为乙、丙，高手为丁，记甲、乙、丙、丁获得 3sinA+4sinB+5=5sin(A+p)+5≤10， 冠军分别为事件A1、A、A,、A:。由甲、乙、 当且仅当三角形是边长为3,4,5的直角三角 丙的地位相等，则P(A)=P(A2)=P(A:)。 形时，等号成立，此时三角形的内切圆半径为 考虑丁夺冠的情况，分为三种：①丁连胜三场 1,符合题意，即等号可取到，故C错误。对于 夺冠，概率为（台）广-：®丁先负一场，再连 D,因为A十B=C=受，所以simA十sinB =sin2A+cosB=1=sinC,得证，故D正 胜三场夺冠，概率为（侣）×（径）-导：©丁 确。又三角形的内切圆半径为1，则由面积 先胜后负，然后连胜两场，概率为（子）× 公式得a+b+c=ab。又三角形是直角三角 形，则内切圆半径r=a十b一c,即有c=4十 (兮)×（层）-景。所以丁最终获胜的概率 2 b-2,代入可得ab=2(a十b)-2≥4√ab P(A,)= 号+品+景-号又因为P(A) 8 2。又因为a,b大于1，所以ab≥6十42，则 十P(A)十P(A)+P(A,)=1,所以甲夺冠 面积最小值为3+2巨，故A正确。1=2S≥ 的概率P(A,)=号×1-P(A门=品 6+4√2，故B错误。 四、解答题 三、填空题 15.(1)由题设易知，y与x线性相关，且 12.(2,0) x=4,y=4.3。 8.o1U侵 提示：已知g(x)= (xx)(y:一y) 5[f(x)]-(5a+6)f(x)+6a=[5f(x)一 6]·[f(x)-a]=0。由g(x)=0,可得 14 14 6 0.99。 f(x)三或f(x)=a。由函数f(x)是定义 √28×7.08 14.08 在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)= 由于r≈0.99，因此可以推断变量y与x 成正线性相关，且相关程度很强。 1,0≤x≤1， 当0≤x≤1时，0≤ (分》广+1>1 2 2(x:-)(-y (2)由题设知，3= =1 (x,-x) =1 ≤受，如图1所示，因为 v=fx) = 14 28 =0.5,&=y-Bx=4.3-0.5×4= (g) +1>1,由图可 2.3,所以y=0.5x十2.3，因此y关于x的回 知，直线y= 与函数 归方程为y=0.5x十2.3。 5 图1 当x=9时，y=0.5×9+2.3=6.8,故 f(x)的图像有4个交 可预测该人工智能公司2026年的利润约为 点，所以直线y=a与函数f(x)的图像有2 6.8亿元。 个交点，由图可得a∈(0,1]U }。综上所 (3)由题意知，2018~2024年这7年中 的“试销年”有3个，因此从2018年到2024 68 参考答案与提示 高三数学2026年7一8月 中学生数埋化 年这7年中任取2个，取到“试销年”的个数 AP·n1=-3.x1十3x1=0, X的所有可能取值为0,1,2，则P(X=0)= y1之1)，则 可取 PB.n1=33y1-321=0, C2i=7P(X=1)=C4C4 C62 C P(X= n1=(√3,1，√3)。 2)=C1 设平面AQB的一个法向量为n:=(x:, c=7 /A反·n2=-4x,+2x2=0, 所以专的分布列为表1： y2,2),则 可 QB·n2=x2+3W3y2-2x2=0, 表1 取n2=(√3,1,2√3)。 X 0 1 2 设二面角P-AB-Q的大小为日，则cos日 |n1·n:5√7 7 7 7 =n,11n:=14 故数学期望E(X)=0× 2 +1X 7 所以sin9=V个-cos0=2I 14。 2x- 17.(1)当n=1时，由4S1=4a1=(a1+ 1)2得a-2a1十1=0，即(a1一1)2=0，所以 16.(1)易知∠PCA=∠ACB=60°，PC a1=1。 =3,QC=2,故∠PCB=120°。由余弦定理 得cos ∠QCB= QC+BC:-QB 当n≥2时，由题意知，4Sn=(am十1)2， 2QC·BC 4Sm-1=(am-1十1)，所以4am=4Sn-4Sn-1= 4+36-QB2 1 =一2，解得QB=2√3。 (am+1)2-(am-1+1)2=[(am+1)+(am-1十 2×2×6 1)]·[(am十1)-(am-1+1)]=(am+am-1十 (2)因为O为AC的中点，△ABC为等 2)(am-am-1)。又4am=2(am十am-1)+2(am 边三角形，所以OB⊥AC,OB=3√。同理 -am-1),所以2(a。十am-1)+2(am一am-1)= OP=OA=OC=3。因为翻折后PB=AB= （aw十aw-1十2)(a,一am-1),移项整理得2(a 6,又OB+OP=PB,所以OP⊥OB。又 十am-1)=(am-am-1)·[(am+am-1+2)一 因为OP∩OA=O,OP,OAC平面APC,所 2],即2(am+am-1)=(am-am-1)(am十am-1)a 以OB⊥平面APC。 因为数列{am}为正项数列，所以am十 (3)由(2)知，OB⊥OP,OB⊥AC。因为 am-1>0,故am一a。-1=2,所以数列{am}是以 AP=CP,O为AC的中点，所以OP⊥AC。 1为首项，2为公差的等差数列。 以O为坐标原点，OA, 所以am=1+(n一1)×2=2n一1，经检 OB,OP的方向为x 验，当n=1时，a1=1符合通项公式，故数列 轴，y轴，之轴的正方 {am}的通项公式为am=2n一1。 向，建立空间直角坐标 (2)由(1)得an=2n-1,所以b.=(2n 系，如图2所示，则 1+1)·3"=2n·3”。 P(0,0,3),A(3,0,0), 图2 设数列{b,}的前n项和为T。,则T,= C(-3,0,0),B(0, 2·1·3+2·2·32+2·3·3+…+2· 33,0),所以AP=(-3,0,3),PB=(0, n·3”,所以3Tm=2·1·32+2·2·33+… 3√5，-3)。 +2·(n-1)·3"+2·n·3"+1,故一2T。= 因为P=P元.P元-(-30，-3).所 Tm-3Tm=2·3+2·32+2·33+…+2· 3”-2·n·3"+1=2(3+32+33+…+3”) 以P0=(-1,0,-1),故Q(-1,0,2),所以 AQ=(-4,0,2),QB=(1,35,-2)。 -2m·31=2.31-3）-2m·3*1 13 设平面APB的一个法向量为n,=(x1, -3(1-3”)-2n·3"+1=(1-2n)3+1-3,所 69 中学生款理化舞整氨幸与示车-心月 以T.= (2m-1)3++3,故数列(b.》的前n (2)抛物线y=4x的焦点为F(1,0)。 设B(x1y1),C(x2,y),P(xo,yo)。 项和为T.=(2n-1)3+1+3 2 由重心坐标公式得+十型=1， 3 (3)因为c+1十(-1)“cm=4n,所以cm cm-1=4(2n-1)=8n-4①，cw+1+c2m= y十十y2=0,所以x1十x:=3-xy1+ 3 8n ②，c如+2一cw+1=8n+4③，由②-① yg=-ya。 得c如+1十c2w-1=4,由②十③得cm+2十c知= 过点A(1,1)的直线为x=m(y一1)十 16n+4。 1,与抛物线联立得y一4my十4m一4=0，则 又c2一c1=4,则c2=c1十4。 y1+y2=4m,y1y2=4m-4,所以-yo=y 当n=2k(k∈N”)时，d.=Am=As= +y2=4m→y。=一4m。 k(k+1D×32-8k=16k+8k,当n=2k-1 2 又点P在抛物线上，故x。= y9=4m。 4 (k∈N)时，A-:=,+c,+6(6,D×32十 2 所以x4+=+少 4 8(k-1)=16k2-8k-4+2c1。 (y1+y:)2-2y1y2=16m-2(4m-4) 又因为d.=Am,当n∈N”时，dm+1> 4 4 dn,当n=2k(k∈N”)时，d2+1>d→A+2 4m-2m+2=3-4m2,整理得8m2-2mn-1 >A6→16(k+1)-8(k+1)-4+2c1> =0,即(4m+1)(2m-1)=0,解得m= 16k2+8k→16k+4+2c1>0→c1>-8k-2; 当n=2k一1(k∈N")时，dk>d6-1→A> 1 或n=2 Ak-→16k2+8k>16k2-8k-4+2c1→16k +4>2c1→c1<8k+2。 当m=-子时y=-4×（-)=1, 对任意的k∈N,则>一8k-2 恒成 c1<8k+2 立，因为k≥1，所以一8k一2的最大值为 当m= 2时，y=-4× =一2，x0= 一10,8k+2的最小值为10，故一10<c1< 10。 (-2) 4 =1,即P(1,-2) 18.(1)抛物线G:y2=2px的焦点为 所以满足条件的点P的坐标为 F(台o）准线为x=-台 (})或1.-2) 当点A在抛物线外时，有1>2p,即p< (3)设过点D(t,0)的直线I:x=my+t, 1 ，不满足题意。 M(xg,ya),N(x4y:)。 当点A在抛物线内时，根据抛物线定义 (x=my+t, 联立 y2=4x, 消去x整理得y2- 知，PF=r+台.因此PA十PF1 4my-4t=0,则y3+y:=4m,y3y:=一4t。 PA十xn十号，要使这个和最小，当且仅 直线ON的方程为y=x=4x x x4y 当点P在过点A且垂直于准线的直线上， 过点M平行于x轴的直线为y=y3,与 此时最小值为点A到准线的距离，即1十 =2，所以力=2，则抛物线G的方程为 0N交于点B,则=手>=兴，所 2 y2=4x。 以E()小 70 商三数学特与提霸中学生数理化 因为oN=兰=4 y3-0 ①由(1)知，函数g(x)在x≠0时的值域 。 x y k DE- yy一t 为(2，十∞)。要使方程g(x)=a有两个解， 4 常数a必须位于值域内。结合g(x)是偶函 y3 4y3 4y3 4ys yiy:-4t y3y-4t -4t-4t -8t 数，可得a>2。 4 ②由前述分析可知，即需证明ln(4a 4 8a)<2t<2a(t>0)。 一头所以 y 4×2t8t 先证明2t<2a,即证t<a,即证t< 2t At =2,为 -yy4 2t e。因为之0，所以1十1 e'-ie-1 定值。 <e+1→-1<1显然成立，故|xe-x1|<2a 19.(1)由题意知，函数f(x)的定义域为 得证。 {x|x≠0}。 再证明1n(4a2一8a)<2t,我们先证明一 由不等式f(x)>0,得，x一> e-1e+19 个更强的结论：t>ln(a一1+√a一2a),即 当x≠0时，e+1>0,放a<(e+1D 证e'>a-1+a-2a,即证e'-(a-1)> e-1 √a2-2a。因为e-a+1=e+1- 令g(x)=x(e+1) e-1 ,易知g(x)是偶函 e”=e+1-） e'-1 =(e+1)· 数，只需研究x>0的情形。 当x>0时，对g(x)求导得g'(x)= e1,所以当t>0时，c>t+1,故c一 e'-1 (e+1)(e-1)+x[e(e2-1)-(e+1)e] (a-1)>0。 (e-1) 将e一(a一1)>√a-2a两边平方得 e-2zet-1 (e-1)2c (e'一a+1)2>a2一2a,化简整理得e+2e 令h(x)=er-2xe-1(x>0),求导得 +1-2ae>0,即(e+1)2-2ae>0,将a= h'(x)=2er-2(e+xe)=2e2(e-1-x)。 c+D代入得(e+1)-2e.c+D- e‘-1 e-1 由基本不等式e>x十1(x>0)可知 h'(x)>0,所以h(x)在(0，十∞)上单调递 e+1D[e+D-] 2te =(e+1)· 增，故h(x)>h(0)=0,从而g'(x)>0,所以 函数g(x)在(0，十©∞)上单调递增。 (e+1)(e-1)-2te-c+1(e“-1-2te) e'-1 e'-1 由洛必达法则求极限得img(x)= >0,由(1)知e-2xe'-1>0,故x>ln(a ime-1·（e+1D=1·2=2,因为g(x)是 -1+√a-2a)成立。 接下来证明2t>ln(4a-8a),只需证 偶函数且在(0，十∞)上单调递增，所以g(x) (a-1+Wa2-2a)2>4a2-8a。 >2对所有x≠0恒成立。 故实数a的取值范围为（一c∞，2]。 令u=√a-2a>0,则a-1= (2)由(1)知，f(x)=0→a=g(x)。 √/u+1,所以只需证（√u+1+u)>4u, 因为g(x)是偶函数且在(0，十∞)上单 即证√u+1+u>2u,即证√u+1>u,即 调递增，若方程a=g(x)有两个不同零点，则 证u2+1>u,即1>0，显然恒成立。 它们必关于原点对称。 所以2t>1n[(a-1+√a2-2a)2]> 设x1<0<x2,令x2=t(t>0),则x1= ln(4a2-8a)。 一t,此时|x2一x1|=2t,且满足方程a= 综上所述，不等式ln(4a2-8a)<|x2 t(e‘+1) e-1。 x1|<2a成立。 (责任编辑王福华) 71