2026年高考数学模拟试题(五)-《中学生数理化》高考数学2026年7～8月刊

2026年高考数 ■河南省信阳市固始县高 一、选择题：本题共8小题，每小题5分， 共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合M={x|x2-2x一3<0， x∈Z},则M的所有子集的个数为()。 A.8 B.7C.5 D.3 2.设复数之在复平面内对应的点为 (一2,1)，则复数5的虚部为()。 A.-2 B.-1C.1 D.2 3.设等比数列{a,}的前n项和为S。,且 S=S=2,则a:=（ 26 ）。 A.20a B.2C.2025 D.22a2 4.在△ABC中，O是BC的中点，过点 O的直线分别交直线AB,AC于点M,N,设 AB=m AM,AC=nAN (m0,n0), +的最小位是( n A.1B.2C.4D.6 5.世界上第一个太阳灶设计者是法国的 穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用 抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供 驻在非洲的法军使用。目前世界上太阳灶的 利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以 节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无 污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利 用装置。图1是某学校数学小组制作的太阳 灶模型，是口径为1m,高为0.25m的抛物 面，则其轴截面（图2）所在抛物线的顶点到 焦点的距离为( 025 图1 图2 A.0.25mB.0.5mC.1mD.2m 演练篇模拟试题助突破 高三数学2026年7一8月 中学生数理化 模拟试题（五 及中学教育集团 胡云兵 6.“方斗”是中国古代盛米的一种重要容 器，其形状是一个上大 下小的正四棱台。如 图3所示，在一个盛满 米的“方斗”容器中， AB=4,A1B,=2,若 图3 从中取出74kg米后， 米的高度下降一半，则剩余米的质量为 ()。 A.38 kg B.48 kg C.57 kg D.112 kg 7.在新型太空舱生命维持系统的储液罐 设计中，采用一种胶粪形结构：中间部分为圆 柱体，左、右两端均为半球形封头，圆柱底面 半径和半球半径均为R。已知储液罐的外表 面积为定值S,则当储液罐的体积V取最大 值时，R=( )e 1-2+1,x≤0， 8.已知函数f(x)= 若 f(x一1)，x>0, 关于x的方程2f(x)]+(3一3a)f(x)+ 2a=0在区间（一∞，2025]内有2027个不 同的实数根，则实数a的取值范围是( )。 A品] 17 B.0,5 c.(o. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a∈R,函数f(x)=ax3一x十1 有两个极值点x1,x,则()。 A.a可能是负数 B.x1+x2=0 C.曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切 线方程为y=一x+1 D.f(x1)+f(x)为定值 37 演练篇模拟试题助突破 中学生数理化高数学0年笑月 10.已知数列{a,}的前n项和为S,,则 ) A.若Sm=2am十n一3，则am=2"1十1 B.若数列{am}为等差数列，且S1>0, S1<0,则当n=8时，S.最大 C.若数列{a,}满足a1=2,a+1十1=1， 则a1a2十a2a3十…十a2o2a226=1013 D.若am=3”,则数列 2×3+1 (a.-1)(a+1-1) 的 :3 前”项和小于之 11.已知正方体ABCD-AB,CD,的棱 长为2，E为棱AA1的中点，点F满足AF =λA1B1,则() A.对任意入∈「0,1]，三棱锥F-BDE的 体积是定值 B.当入=号时，AC,与BF所成角的余 张值为 C.存在入∈[0,1]，使得二面角E-BD-F 的大小为60 2 D.当入=3时，平面BDF截该正方体的 外接球所得截面的面积为19 56π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， 共15分。 12.已知双曲线C: 一y2=1的一条渐 m 近线为x一√3y=0,则C的焦距为 13.(x2+x十y)的展开式中xy3项的 系数是」 14.已知a,b∈R且a≠0，若函数f(x) 2x-arln x-(b-a+3)zx在(0，+oo) 1 上单湖遥增，则台的最大值为一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，AC=1,BC= 7。 (1)若A=150°，求c0sB: 38 (2)若D为AB边上一点，且满足BD= 2AD=2CD,求△ABC的面积。 16.(15分)某车间为了规定工时定额， 需要确定加工零件所花费的时间，为此进行 了10次试验，收集数据如表1所示： 表1 零件数/个102030405060708090100 加工时间/分626875818995102108115122 根据样本数据，画出加工时间与加工零 件个数的散点图，如 个加工时间/分 图4所示，散点大致 100 分布在一条从左下 角到右上角的直线 20406080100120 零件数/个 附近，表明两个变量 线性相关，因此可以 图4 用一元线性回归模型刻画加工时间与加工零 件个数之间的关系。（运算结果保留小数点 后两位数字) (1)请求出加工时间y关于零件个数x 的经验回归方程。 (2)该车间实行“按时计件”工资制度：若 工人完成一个零件的平均时间低于标准时 间，则可获得额外奖励。已知目前每个零件 的标准加工时间定为1.2分钟，根据上述回 归方程判断： ①对于120个零件的任务，预测加工时 间是否低于现行标准加工时间？（标准加工 时间为120×1.2=144分钟) (②若工人的实际加工能力与回归模型基 本一致，车间是否应考虑调整标准时间？若 需调整，应调整到多少比较合适？ 参考数据：∑x:=550, 2y:=917, =1 2x,=559502x=38500. 1 = 参考公式：对于一组数据(x1,y1),(x, y),…,(xm,ym),其经验回归方程y=bx十a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ∑(x:-x)(y:-y) ∑xy:一nxy b= 2)9 a=y-ix。 17.(15分)如图5，在矩形CDEF中， CD=1,DE=2,A,B分别是DE,CF的中 点，P,Q分别是对角线AC,BE上的动点（不 包括端点)，且CP=BQ=a(0<a<√2)。如 图6，将四边形ABCD沿AB翻折，使平面 ABCD⊥平面ABFE。 图5 图6 (1)求证：BD⊥平面AEC; (2)求线段PQ的长（用a表示）； (3)当线段PQ的长最小时，求平面 PQA与平面AEC夹角的余弦值。 资数学德极学助突臂中学生表理化 演练篇模拟试题助突破 y 18.〈17分)已知椭圆C:乙。干三1(a 6>0)经过点(，2)，左焦点和右焦点分别 为F1(一√3,0)，F(3,0)。 (1)求椭圆C的标准方程。 (2)若椭圆C的左顶点为A,下顶点为 B,P是椭圆C在第一象限上的一点，直线 PB与x轴相交于点C,直线PA与y轴相交 于点D。 ①求证：四边形ABCD的面积为定值； ②求△PCD面积的最大值。 19.(17分)已知函数f(x)=1nx一ax +1,g(x)=sinx一bx,f(x)的极值点为1。 (1)求a的值： (2)若对任意x1∈(0，十∞)，存在x∈ (0,)使得f(x)<g(x:)成立，求b的取 值范围； (3)证明：sin(分）”+sin(层)”+…十 sin(分)广<。二（其中e是自然对数的底数）。 (责任编辑王福华) 39中学生款理化舞整氨幸与不车？-心月 2026年高考数学模拟试题（五）参考答案 一、选择题 有一个根为一1，另一个根在（一1,0]内，此时 1.A2.B3.B4.B5.A a= 5,符合题意：或者有一个根在（一1,0] 6.A提示：假设从“方斗”中取出74kg 米后，米的高度下降一半至平面ABCD。 内，另一个根在(-∞，一1)内，令g(t)=2t 处，如图1，由题意知， △>0， 正四棱台ABCD- 3-3a 1 +(3一3a)t+2a,则有 4 ≤一2’即 A:B:C:D2和正四棱台 g(-1)<0, A,B,C,D,-AB C D 的高相等，设为h。因 g(0)≥0， 图1 (3-3a)2-16a>0, 为AB=4,A1B1=2, 所以A2B2=3。则VARD-A-B.eD.= 3h(4+ 解得 2×(-1)+(3-3a)×(-1)+2a<0, 4×3+32)= 37 3 h VAB.C.D.-A.8.C.D 3h(32+ 2a≥0， 1 1 .1 3×2+2)= 3h。 设剩余米的质量为xkg, 0≤a<5。综上可得0≤a≤5。 37 二、选择题 V ARCD-A.B.C.D. h 3 器-华解得上 9.BCD 则ABC.D.A.B.C D. 19 3为 10.ABD 11.BD提示：对于A,因为A1B1不与 38,所以剩余米的质量为38kg。 平面BDE平行，所以点F到平面BDE的距 7.C提示：设圆柱的高为h,则储液罐 的表面积为S=2πRh十4πR,所以h= 离不为定值，即三棱锥F-BDE的体积不为 定值，故A错误。 S-4πR2 储液罐的 2πR ≥0，解得0<R≤√星元 对于B,建立如图3所示的空间直角坐 标系，则D(0,0,0),B(2, 体积为V=R么+专R= SR 2πR3 ，则 2 3 2,0),A(2,0,2),A(2,0 V'(R)= S 0),C1(0,2,2),B1(2,2 2 2πR2>0,所以函数V(R)在定 2),E(2,0,1)。当入= 义域(0入4元 上单调递增，故当R= V4π 时，F(2,1,2),则AC= 时，V取最大值。 (-2,2,2),BF=(0,-1, 图3 8.B 提示：先作出f(x)的大致图像， 2),所以cos(AC,B京)= AC.BF 如图2。当t∈（一1,0] ACBF 12 34 时，方程f(x)=t在 (-©∞，2025]内有2026 y=f(x) 2X后E,则AC,与BF所成角的余 1-2+41√15 个实根；当t∈（一∞， 图2 一1]时，方程f(x)=t 弦值为 15,故B正确。 在（一∞，2025]内有1个实根。令f(x)= 对于C,由B知，DB=(2,2,0),DE= t,因为方程2[f(x)]+(3-3a)f(x)+2a (2,0,1),A1B=(0,2,0),则A1F=λA1B =0在区间（一∞，2025]内有2027个不同 =(0,2入，0)，所以F(2,2入，2)，则DF=(2, 的实数根，所以方程2t+(3一3a)t+2a=0 2入，2)。设平面BDF的一个法向量为n= 72 商三数华与提香中学生款理化 1n·DB=2x+2y=0, 令g'(x)=0,得x=a,当x∈(0，a)时， (xy),则n·D币=2x+2Ay+2=0 取 g′(x)<0,g(x)在(0，a)上单调递减；当x∈ x=1,得n=(1,-1,入一1)。设平面BDE (a,+c∞)时，g'(x)>0,g(x)在(a,十∞)上 的一个法向量为m=(x1,y1,之1)，则 单调递增。故g(x)im=g(a)=a一alna一b 1m·DB=2x1+2y1=0, 取x1=1,得m= -3≥0，所以1-na-昌≥台.设A(a)=1 m.DE=2x1+1=0, (1,一1，一2)。若二面角E-BD-F的大小为 -lna-3(a>0),则'(a)=-1+3 a a 602,则c0s60=eos(m,n1== a2。当a∈(0,3)时，h'(a)≥0，h(a)在 12-2(入-1)11 (0,3)上单调递增；当a∈(3，+∞)时，h'(a) √6×√2+(A-1)F F=2,化简得5x-261+ 0,h(a)在(3，+∞)上单调递减。所以 23=0。由于1∈[0,1]，且函数y=5入2-26入 h(a)=h(3)=-ln3,即夕的最大值为 ，则5以 +23的开口向上，对称轴为A=13 一1n3,此时a=3,b=一3ln3。 26入+23≥5-26+23=2>0，所以不存在入 四、解答题 ∈[0,1]，使得二面角EBD-F的大小为 15.(1)在△ABC中，由正弦定理及题设 60°，故C错误。 AC BC 对于D,由C知，平面BDF的一个法向 得，sin B sin A,印、/ √7 sinB-sin150,解得 量为n=山，-1A-D,因为A=号所以n 1 sin B- 2√ (1,一1，一号）。面正方体的外接球的球心为 又因为0°<B<30°，所以cosB= O(1,1,1),则OD=(-1,一1，一1)，故点0 V-sinB=-3V2红 14 到平面BDF的距离d= oi·n= (2)设AD=CD=x,则BD=2x。 n 在△ABC中，由余弦定理得，BC 3 √19 AB+AC-2AB·ACcos A,即7=9x+1 而外接球半径R= 1 -6 r cos A。① /1+1+ 19。 9 1 4+4+4 在等腰△ACD中，有cosA= =√3，则截面圆半径的平方为x AD =R一4-8，所以截面的面积为S= ② 联立①②，解得x=1或x=-1(舍去)。 19,故D正确。 56 所以△ACD为等边三角形，故A=60°。 三、填空题 1 所以S△ABC= >×AB<ACsin A=2 12.413.60 14.一ln3提示：由题意知，f'(x)=x 3×1Xsin60°=3V3 4 一alnx一b一3≥0对任意的x∈(0，十∞)恒 成立。设g(x)=x一alnx-b一3，则g'(x) 16.(1)易知x 品2-品2 =x一a(x>0)。若a<0,则g(x)>0, .-10 g(x)在(0，+∞)上单调递增，当x>0且x =91.7, 所以 =1 0时，g(x)→-∞，不符合题意。若a>0, 2x-10m 73 参考答案与提示 中学生数理化高兰数学2026年7-8月 55950-10×55×91.7_5515≈0.67，可 38500-10×55 8250 0, 得a=y-6x=91.7-0.67×55=54.85。 所以加工时间y关于零件个数x的经验 所以PQ ）+- 回归方程是y=0.67x+54.85。 √a-√2a+1(0<a<√2). (2)①当x=120时，y=0.67×120+ 54.85=135.25。 所以线段PQ的长为√a-√2a+1(0< 因为120个零件任务的回归预测时间 a<√2) 135.25<144,所以低于现行标准时间。 (3)因为1PQ1=a2-√2a+1= ②由于回归预测显示实际所需时间（约 135.25分)比标准时间少9分钟，说明按照 √。-号）+所以当a-竖时线段PQ 2 现行标准，工人很容易拿到奖励（实际效率更 最短，此时P,Q分别为线段AC,BE的中 高)。 如果车间希望控制奖励发放比例或更符 点，则Q(3,3o),P-(2,-3)所以 合实际效率，应考虑调低标准时间，如调整到 =(3名o 接近预测的13525≈1.13分/个，使标准更 120 设n=(x,y,之)是平面PQA的一个法 贴近真实加工能力。 17.(1)在矩形CDEF中，CD=1,DE= 向量，则 令x=1, 2,A,B分别是DE,CF的中点，所以四边形 n:ad=-+2=0 ABCD和四边形EFBA是全等的正方形，所 得y=x=1,所以n=(1,1,1)。 以BD⊥AC,AE⊥AB。又平面ABCD⊥ 由(1)知，BD=(1,0,1)为平面AEC的 平面ABFE,平面ABCD∩平面ABFE AB,且AEC平面ABFE,所以AE⊥ 一个法向量，则1cos(n,BD》1=n·B面 BD 平面ABCD。因为BDC平面ABCD,所以 AE⊥BD。又因为BD⊥AC,AE∩AC=A, 2 6 √3X√2 3 AE,ACC平面AEC,所以BD⊥平面AEC。 所以平面PQA与平面AEC夹角的余 (2)以B为坐标 原点，BA,BF,BC所 在直线分别为x轴，y 费价为 18.(1)由题意知，c=3。又因为点 轴，之轴，建立如图4 1a2-b2=3, 所示的空间直角坐标 5)在横明，所以导衣 解得 系，则B(0,0,0), 1, A(1,0,0),E(1,1, 图4 1a=2, 0),F(0,1,0),C(0,0,1),D(1,0,1),所以 b=1。 CA=(1,0,-1),CB=(0,0,-1),BE=(1, 1,0)。 故稀圆C的标准方程为号+gy一1。 因为CP=BQ=a,所以C币=2a. (2)①由(1)知，A(-2,0),B(0,-1)。 2 -(停.d-g成 设P(w)>0,w>0,且+ y=1,即x+4y=4,则直线AP的方程 (,)则-元++时 为y= 2yo 十2x+2),令x=0,得y十2 74 商三数学特与提香中学生数理化 所以Do) 因为g(x)=sinx一bx(b∈R),所以 g'(x)=cosx一b。 又直线BP的方程为y=+ -x一1，令 当x∈(0.)时，cosx∈0.1). y=0.得所以C(中0小 ①若6≥1，则当x∈(0，)时，g(x)< ,+7+2-20十2y。+2 故AC1= 0,函数g(x)单调递减，g(x)<g(0)=0,不 y。+1 符合题意。 IBD= 2y)+1=o十2y,+2 x0十2 ②若0<b<1,则存在x,∈(0,2)，使得 所以Sg边形ABCD= 合1AC1·BD1- g'(x。)=0。当x∈(0，x。)时，g'(x)>0,函 )·作)专· 数g(x)单调递增：当x∈(x,受)时，g(x) <0,函数g(x)单调递减。所以g（x)x (x。+2y。+2) 2(xy+x0+2y。+2) xoy0+x。+2y0+2 xoy。+x。+2yo+2 g(x)>g(0)=0,故存在x∈(0，)，使得 2。 g(x2)>0,符合题意。 故四边形ABCD的面积为定值2。 ②直线AB的方程为x+2y+2=0,所 @若b≤0，则当x∈(0，)时，g'(x)> 以点P(x,y。)到直线AB的距离d= 0,函数g(x)单调递增，g(x)>g(0)=0,故 |x。+2y。+21 ,且|AB|=√5。 √5 存在x:∈(0，）使得g(x:)>0,符合题 所以5aw=号×5x++2 意。 √5 综上可知，b的取值范围是（一∞，1）。 合，+2，+21≤分(V2a+4万+2) (3)设h(x)=sinx一x,则h'(x)= cosx一1≤0，故h(x)在x∈(0,1]上单调递 √2十1，当且仅当x。=2y=√2时等号成立。 减，所以h(x)<h(0)=0,即sinx<x。 所以S△PD=S△PAB一Sa边形ABD≤√E+1一2 令x=在(k≤m,k,n∈N),则（货）广∈ =√2-1，即△PCD面积的最大值为2-1 19.(1)因为f(x)的极值点为1，且 o.1].sin(货)广°<（会）广. f(x)=士-a,所以f'1)=片-a=0,则 由(2)知，f(x)mx=f(1)=0,f(x)≤0， a=1,经检验符合题意，因此a=1。 即1nx≤x-1,则n≤-1=，”，即 (2)对任意x1∈(0，+∞)，总存在x∈ (0,),使得f(x)<g(x:)成立，等价于存 n·1n年≤一n,即n(命)厂≤e-,所以 在：∈(0，），使得f(x)s<g(x)成立。 ()）≤ee>0. 由1)知，f'(x)=上-1=1-2。 所以sin(）广+sin(层）广++sim()》 若x∈(0,1)，则f'(x)>0,函数f(x) <()广+（吴）广++()广≤e+e+… 单调递增，若x∈(1，十∞)，则f'(x)<0, 十e”= el"一e""·e_e-e" 函数f(x)单调递减。所以f(x)m*=f(1) 1-e e-1e-1。 (责任编辑王福华) =0,故存在x:∈(0，），使得g(x)>0。 75