2026年高考数学模拟试题(七)-《中学生数理化》高考数学2026年7～8月刊

真黄草楼枫实膏中学生款理化 2026年高考数学模拟试题（七） ■河南省濮阳市第一高级中学 袁媛 一、选择题：本题共8小题，每小题5分， 示的“心形”平面图形，这个心形湖的形状如 共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一颗爱心。图2是由此抽象出来的一个“心 一项是符合题目要求的。 形”图形，这个图形可看作由两个函数的图像 1.已知集合A={x∈Z|x|<3},B= 构成，则“心形”在x轴上方的图像对应的函 {1,3,5},则AUB的元素个数为()。 数解析式可能为( )。 A.5 B.6C.7 D.8 2.已知复数：满足十2=2+i(其中1为 虚数单位)，则|之十2=()。 A.3B.5 C.2 D.23 3.混淆矩阵是机器学习领域中用于评估 分类模型性能的一种工具。对于二分类模型 图1 图2 (可以评估是否患有某种疾病)，混淆矩阵包 A.y=x|√4-x 含四个主要部分： (1)True Positive(TP):实际为正例且被 B.y=x√4-x 模型预测为正例的样本数； C.y=√-x+2x (2)False Positive(FP):实际为反例但被 D.y=√-x2+2x 模型预测为正例的样本数： 6.已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦 (3)False Negative(FN):实际为正例但 点为F,准线1与x轴交于点D,点A在抛物 被模型预测为反例的样本数： 线C上，AM⊥L于M,若AD为线段MF的 (4)True Negative(TN):实际为反例且 垂直平分线，且|AD|=√2，则抛物线C的方 被模型预测为反例的样本数。 程为()。 假设一个二分类模型的混淆矩阵如表1： A.y=8x B.y2=4x 表1 C.y'=2x D.y'=x 预测结果 7.如图3，几何体2是由两个四棱 反例(Negative) 正例(Positive) 实际情况 P,-ABCD与P,-ABCD 反例(Negative) TN-45 FP=5 组合而成，两个四棱锥 正例(Positive) FN=10 TP=40 的公共底面是边长为2 现从该模型的预测结果中随机抽取一个 的正方形，顶点P,P: 在底面的同侧。棱锥 图3 样本，若其被预测为正例，则该样本实际情况 为正例的概率是()。 的高P1O1=PO,= √3，O1,O:分别为AB,CD的中点，PD与 PA交于点E,PC与PB交于点F。若四 4.已知Sn是等比数列{am}的前n项和， 棱锥P,ABCD的外接球的体积记为V,,四 a1十a,十a,=3,a十a十a=6,则S。=()。 棱锥P1ABFE的体积记为V2,则V1：V:= A.18B.21C.24D.27 ( )。 5.藏在川西的天然心形湖因独特的轮廓 成为网红打卡地，其轮廓可抽象为如图1所 A1133x B.1133x 9 8 43 中学生数理化 演练篇模拟试题助突破 高三数学2026年7一8月 C.567x 7√7π A.a<d B.b>cC.c>a D.b>d D. 27 9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， (In z,x>0, 8.已知函数f(x)= 其中e 共15分。 -e2,x<0, 12.已知向量a与b满足a|=4,|b= 为自然对数的底数，若函数f(x)与y=kx 有3个交点，横坐标分别为x1,x,x(x1< 3,向量a与b的夹角为智a1(a-,则实 x2<xa),则x:十x一x1的取值范围是 数入= ()。 13.多项式(x一2y2一3)的展开式中 A.(2e+1,+o∞)B.(2e-1,+∞) x2y‘项的系数为 C.(e+1,+∞)D.(e-1,+∞) 14.已知正项数列{a。}的前n项和为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分， Swa1=1,且am=√S。+√S。-1(n∈N",n 共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 ≥2)。若在aE和a+1(k∈N)中插入k个 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对 相同的数（一1）+1·k,构成一个新数列(b, 的得部分分，有选错的得0分。 即a1,1,a2,-2,-2,ag,3,3,3,a4,…,记数 9.已知函数f(x)=cos(wx十9)(w>0, 列{bn}的前n项和为Tm,则T:2s=一。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解 1<)的图像相邻两条对称轴之间的距 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，设a,b,c分别 离为牙，且直线x=是其中一条对称轴，则 为内角A,B,C的对边，已知a=6,cosC+ )。 3 sin C=bc a A.f(x)的最小正周期为 (1)求角A的大小； Bf(管)=-号 (2)若D为BC的中点，且AD=3√3，求 △ABC的面积。 C.f(x) [ 上单调递减 D.y=了r)的图像关于点(-行o)中 心对称 10.过双曲线C后-芳=1u>0,6> 0)的左焦点F的直线1与圆O:x2+y2=a 16.(15分)如图4，在四棱维P-ABCD 相切于点A,与C的一个交点为P,则 中，平面PCD⊥平面ABCD,四边形ABCD ()。 是直角梯形，ABCD, A.1与C一定有两个交点 PD AB AD B.点A在C的一条渐近线上 2CD=2,PC=25, C.若|FA|=|AP|,则C的离心率为√5 M为棱PC的中点。 D.若FP=3AF,则SAOAP=2ab 图4 (1)设过点A,B, ,已知a=n(g) ,b=5 9 4c= M的平面与棱PD交于点N,求证：AB∥ MN。 7 d=31og5,则( )。 (2)试问：在线段PA上是否存在点Q, (参考数据：e≈1.445) 使得二面角M:BDQ的余弦值为了？若存 44 贵薛概突臂中学生教理化 在，求出点Q到平面BMD的距离：若不存 19.(17分)甲、乙两名同学在校园社团 在，请说明理由。 活动中玩“夺星闯关”游戏，游戏道具为若干 对图案相同的普通星卡和一张不能成对的 “幸运星卡”（代表闯关奖励）。在分发完所有 星卡后，双方丢弃手中所有已经成对的普通 星卡，恰好甲手中有n(n∈N")张没有成对 的普通星卡，乙手中有张没有成对的普通 星卡和1张“幸运星卡”，现按以下规则完成 游戏： 17.(15分)已知函数f(x)=e(2x-1) ①甲、乙轮流抽对方一张星卡，甲先抽 -a(x-1)。 (甲、乙抽对方星卡均计入抽星卡次数)： (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点 ②若抽取的星卡是“幸运星卡”，则将其 (1,f(1))处的切线方程： 保留在手中，否则将手中与之成对的一张普 (2)若f(x)≥e,求实数a的值。 通星卡一并丢弃； ③直到有人手中没有星卡时游戏结束， 手中只剩“幸运星卡”的玩家获胜。 (1)若n=5,经过三次抽星卡后，求“幸 运星卡”在甲手中的概率； (2)设游戏开始时甲手中有n张星卡，游 戏结束时乙获胜的概率为p。,由全概率公式 得p:-+21-p)即A-号，类似地， 18.(17分)已知半径为4的圆，设圆心 是F2,在圆内（除去圆心）取一点，标记为F1, 求p3,p (3)记X,为这次游戏结束需要抽星卡 且F1F,|=2,圆上任意一点Q关于弦的对 的次数，期望为E(Xn),求证：E(Xm)<n十 称点为F1。 1 (1)以F1F,所在的直线为轴，F,Fg的 n分+是n∈Nn≥3》。 中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，求 QF:与弦的交点的轨迹方程C; (2)过F,的直线L交C于A,B两点，若 △ABP:的内切圆的半径为3y 7 ,求直线1的 方程： (3)设M是坐标平面上的动点，且线段 F,M的垂直平分线恰好为C的切线，证明： 点M的轨迹为圆，并求该圆的方程。 (责任编辑王福华) 45中学生款理化舞整蓝警与提秀年-8月 2026年高老数学模拟 业业业盖盖业建 一、选择题 1.C2.C3.A4.B5.D6.C 7.C 8.A提示：因为f(x)=kx,所以k= In x ,x>0, f(x 。令g(x)=fx) 则 ,x<0, 1-1nx ,x>0, g'(x) 令g'(x)=0,得 (1一x)e ,x0。 x=e,所以函数g(x)在（一o∞，0）和(0，e)上 单调递增，在(e,十∞)上单调递减。当x→ 一∞时，g(x)→0+；当x→0时，g(x)→+ ∞；当x0+时，g(x)一c∞。又g(e)= 当x>十o∞时，g(x)· 0*,且g(-1)= 1 ,则 y=k g(x)的图像大致如图1 所示，由题意知，∈ (2）且<-11 图1 <x2<e<xg。接下来我们需要证明x:十ra >2e。因为x。十x>2√x2xg,所以只需证 2√x2x>2e,即证x2x>e2,即证lnx2+ lnx3>2。由lnx2=kx2,lnx3=kx,可得k _lnx:十lnx_lnx:一ln,即证nx:+ x2十x3 x3-x2 x3十1 In:.(In :-n:)= x3一xg x3-1 n要>2.令t=若>1，即证吉}1n>2 →lnt>2(t-1) t+1 。令h()=1n1-2t-1) t+1 则h'(t)= (t-1) t(t+1)>0。又h(1)=0,所以 80 试题（七）季春管案 )>0→n>2.所以4十，> 2Wx2xg>2e,故x:+xa-x1>2e+1。 二、选择题 9.AD 10.BCD提示：对于B,由题意知， |OA|=a,|OF|=c,AF⊥OA,所以|AF|= -。-6,则直线0A的斜率表=上8引 =士名，可知直线OA即为双曲线C的其中 一条渐近线，所以点A在C的一条渐近线 上，故B正确。对于A,若a=b,则直线1的 b 斜率为士名=士1，且渐近线的斜率为士 士1，可知直线1与双曲线C的一条渐近线平 行，此时直线！与双曲线C有且仅有1个交 点，故A错误。对于C,设双曲线C的另一 个焦点为F1,若|FA|=|AP|,可知A为FP 的中点，且O为FF1的中点，则|PF1|= 2|OA|=2a,PF⊥PF1,可得|PF|=2a+ |PF,|=4a。由勾股定理得|PF,2+|PF1 =FF,P,即4a+16a=4c,可得号=5，所 以双曲线C的离心率e=二=5，故C正确。 a 对于D,若F产=3AF,则FP|=3|AF|=3b, |AP|=|AF|+|FP|=4b,所以S△OAP 号1AP·OA=号×46×a=2ab,故D正确。 1.BcD提示：a=1n(号)=edn号> n(01,d=31og7之31og3=1,所☒ a>d,故A错误。比较b,c的大小关系，令 f(x)=e-x-1,可知f'(x)=e-1,故当 x∈（一o∞，0）时，f'(x)<0:当x∈(0，+∞) 时，f'(x)>0。所以f(x)≥f(0)=0,则e ≥x十1，当且仅当x=0时等号成立。所以b 元=4e0之主X0.1+1)=59 5 5 4×10 9 =8=c,故B正确。比较a,c的大小关系， 设m(x)三之-eln z(x>0),则m'（x) x-e=-e=x十E)(x- 2。故当x x >√e时，m'(x)>0,n(x)单调递增；当0<x <√e时，m'(x)<0,m(x)单调递减。所以 ze-elnE=0,故号， 1 n(x)≥n(√e)= cn≥0，当且仅当x=E时取等号，则2× (侵)广-cln子>0，即c>a,故C正确。因为 3 已证b>c,c>a,a>d,所以b>c>a>d,即 b>d,故D正确。 三、填空题 8 12.313.-360 14.2646提示：因为am>0,所以前n 项和Sm>0。所以当n≥2时，Sm一S。-1= (√S。一√S-1)(√S,+WSm-1)。因为 am=√Sm+√S,-i(n∈N',n≥2)，所以an =am(√Sw-√Sm-1)(n∈N',n≥2)，可得 √S。-√Sm-1=1(n∈N”,n≥2)，所以数列 {√S,}是首项和公差均为1的等差数列，所 以√Sm=n,即S。=n。当n≥2时，am=S。 -S。-1=n2-(n-1)2=2n-1,又a1=1也 满足，所以an=2n一1(n∈N”)。新数列(bn} 中从a1到ak+1共有k+1+(1+2十…+k) =k+1+k+D=+1)k+2项。当 2 2 k=62时，63X64=2016:当k=63时， 2 64X65=2080。所以T:s=a1+a:十…+ 2 a+1+2×(-2)+3×3+…+62×(一62) +(2026-2016)×63=1+125)×63+1+ 2 (-2)+3+…+(-62)+10×63=63× 63+(1-22)+(32-4)+…+(61-622)+ 商三数学物整尊与提香中学生款理化 参考答案与提示 10×63=63×63一(1+2+3+·+62)+10× 63=3969-1+62)X62+10×63=2646。 2 四、解答题 15.a)因为cosC+sinC=6+c,所 a 以a cos C十√3 asin C=b十c,由正弦定理得 sin Acos C+3sin Asin C=sin B+sin C 又因为sinB=sin(A+C)=sin Acos C +cos Asin C,所以sin Acos C+√3sinA· sinC=sin Acos C十cos Asin C+sinC,整 理得3 sin Asin C=cos Asin C+sinC。 因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，则√3· simA-cosA=1,所以sin(A-)=2。 因为A∈(0，x),所以A-吾∈ (-,）则A-若-石放A=5。 (2)因为D为BC的中点，所以AD= 2A店+2c. 所以1A市1=(2A店+2AC)=子· A店+AC2+2A店，AC=子A店1： +子1AC:+21店1·1AC10sA,即27= 子+子8+子6，所以108=c+6+b 在△ABC中，由余弦定理得a2=b2十c -2 bccos A,即36=b2+c2一bc,所以bc= 108-36 2 =36。 所以SAc=be sin A= 2 2×36× 2 93。 16.(1)如图2，取 PD的中点为N',连接 AN',MN'。 因为M为棱PC 的中点，所以MN'∥ 图2 1 CD,MN'=2CD。因 81 中学生表理化整籍季与提示年？-8月 为AB∥CD,AB= 名CD=2,所以MN'∥ AB,MN'=AB,则四边形ABMN'为平行四 边形，即A,B,M,N'四点共面，所以平面 ABMN'即为过点A,B,M的平面。因为过 点A,B,M的平面与棱PD交于点N,所以 点N与点N'重合，所以MN∥AB。 (2)在四棱锥P-ABCD中，因为四边形 ABCD是直角梯形，AB/CD,AB=2CD- 2,所以AD⊥CD。 义因为PD=名CD=2,PC=25,所以 PD+CD=PC2,故PD⊥CD。 因为平面PCD⊥平面ABCD,且平面 PCD∩平面ABCD=CD,所以PD⊥平面 ABCD,所以DP,DA,DC两两垂直。 如图3，建立空 间直角坐标系，则 P(0,0,2),A(2,0, 0),C(0,4,0), M(0,2,1),D(0,0, 0),B(2,2,0),所以 图3 PA=(2,0,-2),DP=(0,0,2),DB=(2,2, 0),DM=(0,2,1)。 设PQ=λPA,A∈[0,1]，则PQ=(2入， 0,-2λ)。 所以DG=DP+PQ=(2x,0,2-21)。 设平面BMD的一个法向量为n1=(x1, 1n1·DB=2x1+2y1=0, y1,之1)，则 令x1= n1·DM=2y1+x1=0, 1,得y1=一1，之1=2，则n1=(1,一1,2)。 设平面BQD的一个法向量为n:=(x, n2·DQ=2λx2+(2-2λ)x2=0, y2,之2)，则 令 n2·DB=2x2十2y:=0, x2=入一1，得y:=1一入，之2=入，则n2=(入 1,1-入，入)。 因为平面BMD与平面BQD的夹角的 余孩值为子，所以cos(nn:)-=hn n1·ng |λ-1-1+A+2入| 1 √6·√(A-1)+(A-1)+λ2 3,整理 82 得(3x-2)(7以-2)=0，解得A=号或X=号 均满足入∈[0,1]。 所以当入= 名时，D=(2x,0,2-2入)= 3 (专0，号)，此时点Q到平面BMD的距离为 8 d= |DQ·n1l346 n 6 9 当A= 号时，D=(2x,0,2-2x) (号，0,9)，此时点Q到平面BMD的距离 24 为d= 1DQ·n1l_7_46 |n√6 7。 综上可得，在线段PA上存在点Q,使得 二面角M-BDQ的余弦值为3，且点Q到 平面MD的距离为或4y。 7。 17.(1)当a=1时，f(x)=e(2x-1) x+1,f'(x)=e(2x+1)-1,f'(1)=3e- 1,f(1)=e,所以f(x)在点(1，f(1)处的切 线方程为y一e=(3e-1)(x-1),即y= (3e-1)x+1-2e。 (2)f'(x)=e(2x+1)-a。 令g(x)=f'(x)=e(2x十1)-a,则 g'(x)=(2x+3)e。 f(1)=e,f'(1)=3e-a。 ①若a=3e,则当x∈(-0，-)时， g'(x)<0,f'(x)单调递减。 又2x+1<0,e>0,a>0,则f'(x)= e(2x+1)一a0。 当x∈（-2，+)时，g(x)>0, f'(x)单调递增。又f'(1)=0,则当x∈ ()时f(x)<0当x∈1，+o)时 f'(x)>0。 所以f(x)在（一∞，1）上单调递减，在 (1,十∞)上单调递增。 所以f(x)n=f(1)=e,符合题意。 ②若a>3e,则f'(1)=3e-a<0,所以 存在x。>1,使得f'(x)=0。 故当x∈(1，x。)时，f'(x)<0,f(x)单 调递减，f(x)<f(1)=e,不符合题意。 ③若a<3e,则f'(1)=3e-a>0,所以 存在x1<1,使得当x∈(x1,1)时，f'(x)> 0,f(x)单调递增，则f(x)<f(1)=e,不符 合题意。 综上可得，a=3e。 18.(1)设QF2与折痕的交点为N,由题 意知，|NF,I+|NF2I=|NQ|+|NF:= |QF2|=4,|F,F2|=2<4,所以点N的轨迹 是以F1,F,为椭圆的左焦点和右焦点，4为 长轴长的椭圆。 3y9 设其方程为：十：=1(ab一0)·则2a =4,2c=2,所以a=2,c=1,则b=a2一c= 3。 所以椭圆的标准方程为女 3=1。 (2)由题意知，直线1不与x轴重合。 因为F1(一1,0)，所以可设1：x=ny 1,A(x1,y1),B(x,y2)。 x=my一1， 联立〈 消去x整理得 3x2+4y2=12, (3m2+4)y2-6my-9=0,则△=144(m2+ 6m 9 1)>0,y1+y2= 3m2+4y1yg= 3n2+48 故|y1一y|=V/(y1+y2)-4y1yg= √+ )+。36一-12m+1 3m2+4 3m2+4。 1 所以SAA,=2FF:IIy1一y:|= 12√m+1 3m2+4 又△ABF:的内切圆的半径为，月 1 △ABF:的周长为4a=8,所以S△ABF,= 十 32×8=122 7 故12m+工_12 3m2+4 7,即18m-m 参考答案与提厉中学生教理化 高三数学2026年7一8月 17=0,解得m=士1，所以直线1的方程为 x±y+1=0。 (3)设M(xo,yo),当y。=0时，F1M的 ,此时2 垂直平分线方程为x=。一1 ±2，即x。=5或-3，所以M(5,0)或(-3， 0)。 当y。≠0时，线段FM的中点为 ,受)直线rM的斜率为所 以F,M的垂直平分线方程为y=-+1 2 2y。 x++y-1 x。+1 y=- 联立 y 2yo 得 3.x2+4y2=12, 3 4x+1)7z-4x+1)+-D yo +x+y后-1) yi -12=0。 因为线段F:M的垂直平分线与C相切， 所以判别式△= 16(x。+1)2(x8+y8-1) 43+ 4(x。+1)2][(x8+y8-1)2 yi --12=0, yo 即3(x+y8-1) -36- 48(x0+1) =0,则 yo yo y0+(2x。-14)y6+x。-18x6-32x。-15= 0,即y。+(2x-14)y+(x。+1)(x。+3)· (x0-5)=0,即y6+(2x-14)y+(x6+ 2x。+1)(x-2x。-15)=0,即(y6+x6+ 2.x。+1)(y8+x8-2x。-15)=0。因为x号+ y后+2x。+1=(x。+1)+y>0,所以x8+ y6-2x0-15=0。 因为(5,0)，（一3,0）也满足上式，所以点 M的轨迹是圆，且该圆的方程为x2+y2一2x -15=0,即(x-1)+y2=16。 19.(1)记第n次由甲抽到“幸运星卡”为 事件Am(n=2k一1，k∈N"),第n次由乙抽 到“幸运星卡”为事件Bm(n=2k,k∈N),则 所求概率P=P(A1B2A:十A1B:A+ 83 中学生数理化高数竿06年？-8月 参考答案与提示 ABA:)=后××+日× 1 1 5 6×6×4 分41-19 4×4=54 (2)设甲手中有张星卡时，乙获胜的概 率为p,,按照甲第一次抽星卡的情况分两类： 第一类，若甲第一次抽到“幸运星卡”， 此时甲有n张普通星卡和1张“幸运星卡”， 乙有n张普通星卡，再轮到乙抽，由对称性 知，甲获胜的概率为p。,乙获胜的概率为 1一pm； 第二类，若甲第一次抽到普通星卡，此时 甲手中丢掉成对星卡后剩n一1张普通星卡， 乙有n一1张普通星卡和1张“幸运星卡”，再 轮到乙抽，一定抽到的是普通星卡，丢掉成对 星卡后还有n一2张普通星卡和1张“幸运星 卡”，甲有n一2张普通星卡，此时乙获胜的概 率为p。-2。 1 故p。= n+11-p.)+n 千n+1X1×p。-, 化简得p。= npm-2十1 n+2 。 当n=3时，p3= 3p1十13 3+2 5 当n=5时，p,= 5p3+14 5+2=7。 (3)按照甲第一次抽星卡的情况分两类： 第一类，若甲第一次抽到“幸运星卡”，此 时甲有n张普通星卡和1张“幸运星卡”，乙 有n张普通星卡，再轮到乙抽，由对称性知， 此时游戏结束抽星卡的平均次数还要 E(Xm)次，一共E(Xm)+1次： 第二类，若甲第一次抽到普通星卡，此时 甲手中丢掉成对星卡后剩n一1张普通星卡， 乙有n一1张普通星卡和1张“幸运星卡”，再 轮到乙抽，一定抽到的是普通星卡，丢掉成对 星卡后还有n一2张普通星卡和1张“幸运星 卡”，此时游戏结束抽星卡的平均次数还要 E(Xm-),一共E(Xm-2)+2次。 所以EX)n中[EX,)+1门+n [E(X,-)+2],整理得E(X.)=E(X.-2)+ 2+E(X1)=2,EX)=0 84 ①若n为偶数，设n=2k,k≥2，k∈ N,则E(X)=2k+2(冬+6十…+ 1/1 +》 令f)=-1n(已)0<x<1D.则 x)=1-已=号<0.所以f)在 1 (0,1)上单调递减，故f(x)f(0)=0。 所以不等式x<1n(）在x∈(01D 上立代入一布<n 1n灰-lnk-D.放s,=专+十…十 1 +<nk+1. 所以EX,)+宁n兰+2 ②若n为奇数，设n=2k一1，k≥2，k∈ N”,则E(X-)=2k-1+（2k-十26-3 +…十 +) 当≥2时欢点（你+十） 1 。2k-1=2k(2k-2)-(2k-1) 2k-12k(2k一2)2k(2k-1)(2k-2) -1 2k(2k-1)(2k-2)<0。 所以<（宗+）=传+ 名二)在≥2且k∈N时恒成立. 故E(X<2k-1+1+(S1十 S,-10<n+1+nk+nk-1)+1. 所以E(X.)=”+1+(m”生十 1n”+)<+n+ 综上所述，E(X,)<n+n兰+是 (责任编辑王福华)