2026年高考数学模拟试题(二)-《中学生数理化》高考数学2026年7～8月刊

演练篇模拟试题助突破 中学生数理化高数学2026年7一8月 2026年高考数学模拟试题（二） ■郑州市第一O一中学 冯连福 一、选择题：本题共8小题，每小题5分， 是椭圆E上的任意两点，动点P在直线√3x 共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一y一4=0上。若存在∠APB为钝角，则椭 一项是符合题目要求的。 圆E的离心率的取值范围是( )。 1.已知集合M={x||x|<3,x∈Z}, N={一1,0,2}，则CMN=()。 A.) B A.{-2,1,2} B.{-2,0,1} C.{-2,1} D.{1} c.() () 2.已知复数之满足(2i十之)(1一i)=1+ 8.已知正实数a,b满足：a·e-2=1, i,则之的虚部为( )。 )。 A.1 B.i C.-i D.-1 eb+n6=1,则2a的值是( 3.已知向量AB=(n,2),BC=(2, A.e 品 C.3 -1)。若ABBC,则1AC1=( )。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分， A.√5 B.5 C.35 D.45 共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 4.已知f(x)是定义在R上的函数，若 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对 ∫(x)一2为奇函数，f(x)十x2为偶函数，则 的得部分分，有选错的得0分。 f(0)一f(一1)的值为( )。 9.如图1，在几何体ABCDE中，BE 1 A. C.1 D.- 2,四边形ABCD是边长为2 的正方形，△ACE是等边三 5,将函数f(x)=sin(or-晋）)w>0) 角形，F,P,H分别为棱AD DE,CE的中点，则( )。 的图像向右平移平个单位长度得到函数 A.BE⊥平面ABCD g(x)的图像，且函数g(x)为奇函数，则”的 B.平面FPH∥平面 图1 最小值为( )。 ABE A号 8 B.3 C. 4 D.3 C.四面体B-FPH的体积是】 6.已知双曲线C,兰一 =1(a>0,b D.几何体ABCDE的外接球半径是√3 0)的左、右焦点分别为F1、F,焦距为6，离心 10.已知O为坐标原点，抛物线C:y2= 率为5。过F,且倾斜角为30°的直线1与双 4x的焦点为F,A为C上第一象限的点，且 )。 |AF|=5,过点F的直线I与C交于P,Q两 曲线C交于A,B两点，则|AB|=( 点，圆E:(x-5)十y2=16,则()。 A.43 B.43C.16 D.163 3 5 3 5 A.|OA|=4√2 7.蒙日是法国著名的数学家，他首先发 B.若PQ=8,则直线1的倾斜角为45 大 现椭圆之 6=1(a>b>0)的两条相互垂 C.若△OPQ的面积为4，则直线1的斜 直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为 率为士侣 “蒙日圆”，且其方程为x2十y2=a2十b。已 D.过点A作圆E的两条切线，则两切点 知椭圆E:兰+兰 =1的焦点在x轴上，A、B 连线的方程为x-4y+11=0 n 1 28 贵薛德赛臂中学生教理化 11.已知锐角△ABC的内角A,B,C的 2019一2025，经，个绿化面积占总面积比例（百分比 对边分别为a,b,c,且满足c2十sin2A= 计算得 y 2csin2A,则()。 A,A=若 B.c=1 259, ty =1 20 c号6<反 1162,√7≈2.65， D.a+b>√2 34了6789年份代 图2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， (y:-y)2= N2 共15分。 27,∑(t:-t)(y,-y)=126。 12.已知数列{am},{bm}满足：am+1=2am 十2,6.-会a,=2,则数列6，}的前n项 (1)用线性回归模型拟合y与t的关系， 求出相关系数r(精确到0.01)： 和Sn= (2)求出y关于t的回归方程： 13.已知函数f(x)=x·ln(ax一1)。 (3)若该荒漠地区原面积共10万亩，预 若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方 测该地区2026年绿化面积达到多少亩？ 程为ax一y一2=0，则a的值是_。 2t,-1)(y.-y) 14.2025年电影《长安的荔枝》中通过还 附：r= = ；线 原大唐投壶场景展现了古人的娱乐生活。每 ,-)2y,-y) 场比赛两人参加，投中得分情况分“有初”，“贯 =1 耳”，“散射”，“双耳”，“依竿”五种，其中“有初” 性回归方程y=t十a中，b 算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”， ∑(t:-i)(y:-y) “双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛 -,a=y-bt。 得筹最多者获胜。假设甲投中“有初”的概率 4- 为写投中“贷耳“的概率为行·投中“散射“的 概率为写投中“双耳“的概率为2投中“依 1 竿”的概率为24。甲和乙两人进行一场投壶 比赛，乙的投掷水平与甲相同，且甲和乙投掷 相互独立，比赛第一场，两人平局；第二场，甲 投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛 结束时，甲获胜的概率为。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)中国防沙治沙成绩斐然，不 断书写“绿色奇迹”，党的十八大以来，我国 16.(15分)在△ABC中，∠B为锐角 53%的可治理沙化土地得到有效治理，沙化 a=10,asin B+bsin A=10√5。 土地面积净减少6500万亩，呈现出“整体好 (1)求∠B。 转、改善加速”的良好态势。现调查统计了某 (2)从下面三个条件中选择一个作为已 荒漠地区2019一2025年绿化面积变化情况， 知条件，使△ABC存在，求△ABC的周长。 得到如图2所示的折线图。 附：年份代码1一7分别对应的年份是 条件①：sinA=5 14: 29 中学生表理化资整續学提数感助夹破月 条件②：b=7: (3)若直线AC的斜率不为0，直线BC 条件③：c一b=2。 的斜率为1，直线BD的斜率为k,试问： 十是吞为定值？如果是，求出定值：如果 kik 不是，请说明理由。 17.(15分)如图3， 在四棱锥P-ABCD中， AB∥CD,∠BAD=90°， AB=2CD=4,PA⊥ CD,在锐角△PAD中， AD=PD=4。 图3 19.(17分)已知f(x)=xlnx+asin(x (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD。 -1),a∈R,h(.x)= 2x+3x-4lnc。 1 (2)试问：在棱PD上是否存在一点E, 使得PB∥平面ACE？若存在，求出 器的 当∈[2时，求函数A)的极值： 值；若不存在，请说明理由。 (2)设g(x)=f(x+1),若对任意的 (3)若直线AD与平面PCD所成的角为 x∈(0，π)，g(x)>0恒成立，求a的取值范 30°，求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值。 围； (3)证明：对任意的正整数，总有 名sin1+号en2++,7sin。<n(a十 1 1)。 18.17分)已知椭圆E:十兰=1(4≥ >0)的离心率为竖，其左顶点和右顶点分 别为A,B,AB|=4,过点A的直线1交椭 圆E于另一点C,点D是直线AC上不同于 A的一点，且满足|OD=a,O为坐标原点。 (1)求椭圆E的方程。 (2)若6AC=5AD,求直线1的方程。 (责任编辑王福华) 30肉三黄学率与提西中学生表理化 2026年高考数学模拟试题（二)参考答案 YYYYvvoPTWYyoYvworTWYyYvwo9 00 一、选择题 的正方体ADD1A,-BCC,E,由于几何体 1.C2.A3.A4.D5.C6.D ABCDE的外接球直径为正方体的体对角 7.B 线，所以几何体ABCDE的外接球半径是 8.B提示：a·e-2=1,则ln(a·e-2) √，故D正确。 =0,即lna+a一2=0，故1na一1+a=1, 10.ACD提示：设A(x。,y),则x。+1 eb一 lng+a=1,且cb+1nb=1,即cb+ln =5,所以x,=4,y=16,则|OA|=4√2，故 A正确。设直线1：x=my+1,代入y=4x, 1.设fx)=x十n二，则f(a)=f(b),易 得y-4my-4=0。设P(x1,y1),Q(x2, 知fx)是增函数，放a=山所以品-是 y2),则y1+y2=4m,y1y2=一4，所以|PQ =√m+1·y1-y:=√m+1· 二、选择题 9.ABD提示：由题意知，在边长为2的 √(y1+y2)-4y1y2=4√(m+1)=8,解 得n=士1，则直线l的斜率为士1，倾斜角为 正方形ABCD中，|AC|=2W2,则AC=CE 1 =AE=2√2。在等腰△BCE中，BC=BE= 45或135，故B错误。S△o0=2OF· 2,可得BC2+BE2=8,CE=8,所以BC2+ BE2=CE2,故∠CBE=90°，所以BE上BC。 1y,-y:=子×1×V6m+=4,解得 同理可证，在△ABE中，BE⊥BA。又因为 AB∩BC=B,所以BE⊥平面ABCD,故A m=士3，则直线1的斜率为士 3,故C正 正确。在△DAE中，F,P分别为AD,DE 确。由上述分析知，x。=4,y。=4,A(4,4), 的中点，所以FP∥AE。因为FP中平面 圆E:(x一5)2+y2=16,圆心E(5,0),半径 ABE,AE二平面ABE,所以FP∥平面 x=4,易知y=4为其中一条切线，切点为(5， ABE。在△EDC中，P,H分别为ED,EC 4),且两切点连线与AE垂直。因为kAE= 的中点，所以PH∥DC。又因为DC∥AB,所 4一。=一4，所以两切点连线的斜率为车故 1 以PH∥AB。同理可证PH 4-5 ∥平面ABE。因为PH∩PFD附 =P,所以平面FPH∥平面 两切点连线的方程为y一4=青(x一5)，即 ABE,故B正确。如图1，取 x一4y+11=0,故D正确。 BC的中点为M,连接FM, 1山.BCD提示：由题意知，A∈(0，) HM,易知FM∥DC,由选项 图1 所以2A∈(0，π)，则sin2A>0。由题设及基 B知PH∥DC,所以FM∥PH,FM⊥HM, 本不等式可得2csin2A=c2十sin2A≥ 1 则V BFPH= 3S△PH·BM= 2csin2A,解得sin2A≥1。又sin2A≤1，所 号×(2×1×1)×1-言，故 以sn2A=1,则2A=名，即A=牙，故A错 C错误。由AB=BC=BE,且 误。将sin2A=1代入c2+sin2A= AB、BC、BE两两相互垂直， 2csin2A,可得c2-2c+1=0,即(c-1)2 图2 可将图形补全成如图2所示 0,所以c一1，故B正确。由正弦定理6 sin B 59 中学生数理化高数学2026年1-8月 参考答案与提示 sinC,且c=1,可得b=sinB c sin(-c) 7 7 23 39 96+144+576=192· sin C sin C 四、解答题 cos Cv 2 2 sin C 2 15.1D因为1=71+2+3+4+5+6+ sin C 因为△ABC为锐角三角形，所以 7)=4,∑(，-t)2=(1-4)2+(2-4)2+ =1 0<C< (3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+ 21 解得C∈（年，），所以 (7一4)2=28，所以相关函数r= ∑(t:-t)(y:-y) 126 tanC>1,则 <b<√2，故C正确。由余弦 √2-2- 2√7×27 定理得a+1一E6=(6-号)+分又 0.88,即相关系数约为0.88。 因为 <6<E,所以号<a<1,则&+6> (t,-i)y:-y) =1 126 2 2 (2)因为6= 4,-1) 28 √2，故D正确。 三、填空题 12.Sm=n2 4.5,a=y-bt= =1 -4.5×4=259 7 -18 7 13.2 1“器 =19,所以y=4.5t+19。 提示：由题意知，甲、乙投掷一 (3)当t=8时，y=4.5×8+19=55,故 次获得的筹数相应的概率如表1所示： 该地区2026年绿化面积为100000×55%= 表1 55000(亩)。 筹数2 4 5 610 0 16.(1)在△ABC中，由正弦定理sinA P 11 11 3 6 8 1224 sinB,得asin B=bsin A. b 若甲获胜，则在第三场比赛中，甲比乙至 少多得三筹。分以下四种情况：①甲得“四 因为asin B+bsin A=l0√3，所以 筹”，乙得“零筹”，此种情况发生的概率P,= asin B=bsin A=5√3。 111 6×4=24:②甲得“五筹”，乙得“零筹”或 又a=10,所以sinB=53=3 a 2 “两筹”，此种情况发生的概率P:=8× 1 因为∠B为锐角，所以∠B= 30 (侵+）-品：③甲得“六筹，乙得“零筹”或 (2)选择条件D:sinA=53 14 “两筹”，此种情况发生的概率P,=立× 由(1)得bsin A=5√3，所以b=14。 由余弦定理b2=a2十c2一2 ac cos B,得 (仔+）-：@甲得十筹”，乙得零筹” 1 14=10+c2-2×10×c×2,解得c=16, 或“两筹”或“四筹”或“五筹”或“六筹”，此情 或c=一6（舍去），故△ABC的周长为a+ 况发生的概率P,=立×1-)=器。放 b+c=10+14+16=40。 选择条件③：c一b=2。 甲获胜的概率P=P1十P:十P十P,=24 由余弦定理b2=a2+c2一2 ac cos B,得 60 高三数学020等生裂与提万中学生教理化 参考答案与提示 6=10+(6+2)-2×10×(6+2)×号，解 0,一a)。 因为AD与平面PCD所成角为30°，则 得b=14,所以c=16,故△ABC的周长为 sin30°=cos(DA,n〉= DA·n4c a+b+c=10+14+16=40。 1DA11n14×4= 选择条件②：b=7。 由(1)知，∠B=吾，结合正弦定理得 2解得=2，所以a=8。 故P(2,0,2),所以平面PCD的一个法 3 向量为n=(2,0,一2)。 10 7 sinA=sinB,所以sinA= 10×2_53 7 又CP=(2,-2,2),PB=(2,4,-2), 1,此时三角形不存在。 设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,之)， 17.(1)在四棱锥P-ABCD中，因为 1m·CP=2x-2y+2之=0， 则 可取m= AB∥CD,∠BAD=90°，所以CD⊥AD。又 m·PB=2x+4y-2x=0, 因为PA⊥CD,PA∩AD=A,所以CD⊥平 (-1,2,3)。 面PAD。又CD二平面ABCD,所以平面 设平面PBC与平面PCD的夹角为a, PAD⊥平面ABCD。 m·n 则cos&=|cos〈m,n〉= (2)连接BD,设BD∩AC=O,连接 OE。 -2-6 2√7 若PB∥平面ACE,因为PCC平面 2W2×√14 PBD,平面PBD∩平面ACE=OE,所以 故平面PBC与平面PCD夹角的余弦 PB∥OE。 值为之？ 79 又因为ABCD,AB=2CD,所以PE ED 18.(1)因为A、B分别为椭圆的左、右顶 BO AB =2,故E为PD的三等分点（靠近 点，所以|AB|=2a=4,即a=2。又离心率 ODCD -2. 点D),即PE e=C=② a ，所以c=2,则b2=a-c=2. 当器=2时，器-品-部 =2,故 所以稀圆E的方程为号+ 21 (2)由(1)知，A(一2,0)，设直线1的方 PB∥OE。又PB丈平面ACE,OEC平面 ACE,所以PB∥平面ACE。 程为x=my一2，C(x1y1),D(xo,yo)。 (3)如图3，以D为 [x=my-2, 坐标原点，DA、DC的方 联立x2 +多消去”整理得C”十 21, 向分别为x轴、y轴的正 2)y2-4my=0。 方向，通过点D作平面 ABCD的垂线，以该直 因为点C与点A不同，所以y1≠0， 线的向上方向为x轴的 图3 故y=4m m2+2x1=ny1-2= 4m m2+2 一2= 正方向，建立空间直角坐标系Dxy之，则 D(0,0,0),A(4,0,0),C(0,2,0),B(4,4,0) m一4所以点C的坐标为T2”一4 m2+2 所以DA=(4,0,0),DC=(0,2,0)。设 P(a,0,c),则DP=(a,0,c),a2+c2=16。 m2+2 设平面PCD的一个法向量为n=(x, 因为6AC=5AD,所以6(x1+2,y1)= 1n·DC=2y=0, y,之)，则 可取n=(c, 6 24m n·Dp=ax+cx=0, 5(x。+2,y),得y=5y=5(m2+2) 61 中学生数理化高数学与年7一8月 参考答案与提示 24m 立，则(x+1)ln(x+1)+a sin x>0恒成立。 又x。=my。-2=m× 5(m2+2) 一2= 对g(x)求导得g'(x)=1+ln(x+1)+ 14m2-20 5(m2+2) 由OD|=2,得x+y=4,即 acos r。 1 14m2-2072,厂24m 设m(x)=g'(x),则m'(x)=十 L5(m2+2)J 5(m+2) =4,化简整理 asin x(x∈(0，π))，且有g(0)=0,g(0)= 得m一4m2=0,解得m=士2，所以直线1的 1+a。 方程为x=士2y-2。 ①当a≥0，x∈(0，π)时，显然(x十1)· (3)由(2)知，C(2m2-4.4m m2+2m2+2) ln(x十1)>0，asin x≥0，所以g(x)>0恒成 立。 x。=myo-2, 联立 得(m+1)y ②当-1≤a<0,x∈(0，π)时，m'(x)> x8+y8=4, 0,则g'(x)=m(x)单调递增，故g'(x)> 4my。=0,所以y,= Am m2+1:x。=my。-2= g'(0)=1十a≥0，所以g(x)在(0，π)上单调 2m2-2 递增，则g(x)>g(0)=0,所以g(x)>0恒 m+12 m× m+1,故点D的坐标为 成立。 2n2-24m ③当a<-1,x∈(0，π)时，m'(x)>0, m+1'm+1) 则g'(x)单调递增。又g′(0)=1十a<0, Am 又B(2,0),则k1= 1 m2+2 g'(爱）=1+1n(经+1)十ao登>0，则必 1-22m2=4-2 m2+2 然存在一个x,∈(0，)，使得g'(x)=0,且 Am 当x∈(0，x)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， n m2+1 2 x0-22m2-2 =-n 当x∈(xo,π)时，g'(x)>0,g(x)单调递增。 m2+1 2 所以g(xo)<g(0)=0,不满足g(x)>0恒 故k·:=(-受)×(-m= 2,k+ 成立。 综上所述，a的取值范围是[一1，十∞)。 =(-2)+(-m)= 5m2 (3)由(2)知，当a≥-1时，(x+1)ln(x 49 十1)十asin r>0,对任意的x∈(0，π)恒成 5n1 立。取a=一1，可得(x+1)ln(x+1)- 所以 十k 4 1·k m2 ,为定值。 5 sinx>0,即(x+1)ln(x+1)>sinx,对任意 2 的x∈(0，π)恒成立。 19.(1)由题意知，h'(x)=x十3-4 变形得，·simr<n(x+1D +-D.故当长[日)时() x 分别令=子，2可得n1< 0,函数h(x)单调递减；当x∈(1,4]时， h'(x)>0,函数h(x)单调递增。 n1+）,号im号<n1+2）…n 所以函数()在∈[合d内的极小 sim是<n1+),累加得2sin1+号sin司 2.1 7 n 值为h(1)=之，无极大值。 (2)由题意知，g(x)=f(x十1)=(x+ ln”+1=1n(m+1),证毕。 n 1)ln(x+1)+asin x。 (责任编辑王福华) 若对任意的x∈(0，π)，g(x)>0恒成 62