2026年高考数学模拟试题(三)-《中学生数理化》高考数学2026年7～8月刊

贵薛德拟赛臂中学生教理化 2026年高考数学模拟试题（三】 ■河南省商丘市第一高级中学 张志华 一、选择题：本题共8小题，每小题5分， 8.在△ABC中，AB=8,AC=6,∠A= 共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 60°，M为△ABC的外心，若AM=AAB十 一项是符合题目要求的。 4AC,入，4∈R,则下列结论正确的是( )。 1.若 =1十i,则之的虚部为( )。 A.A=2 9 B.u=5 9 A.1 B.-1 c D.- C.4=15 4入+3 -8 一5 D.4x-6 2.已知集合U-{∈z≥A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 {台in(x-D=,则CA的子第个数 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分。 为()。 9.我国是世界上严重缺水的国家之一， A.0 B.1 C.2 D.8 为提倡节约用水，郑州市计划制定合理的节 3.在等差数列{an}中，若2a:十a6=a2+ 水方案，对当地家庭用水情况进行了调查，通 2,则a,=(）。 过抽样，获得了2025年100个家庭的月均用 A,1B.2 C.3 D.4 水量（单位：t),将数据 ◆频率 4.记样本x1,x2,…,xm的平均数为x, 组距 按照[0,2)，[2,4)，[4,0.18 样本y1,y,…,ym的平均数为y,其中x≠ 6),[6,8),[8,10]分成 0.11 y,若样本x1x,…,xmy1,y,…,yn的平 0.09 5组，制成了如图2所0.0 均数为且=号+，则贸=( 2- )。 示的频率分布直方图， 46810 则下列说法正确的是 月均用水量/八 C.4 D.2 ()。 图2 5.(1十2x一x2)展开式中含x3项的系 A.全市家庭月均 用水量不低于4t的频率为0.66 数为()。 B,假设同组中的每个数据都用该组区间 A.60B.160 C.100 D.-60 的中点值代替，则全市家庭月均用水量平均 6.已知直线1：2x+5y=3与圆O:x2十 数的估计值为4.92t y2=4交于A,B两点，若OA,OB的倾斜角 C.全市家庭月均用水量的第75百分位 分别为a,B,则cosa+cosB=( )。 数的估计值为6.56t A分号C号 D. D.全市家庭月均用水量最多为5t 7.如图1，在三棱锥O-ABC中，OA 10,已知正方体ABCD-A1B,C1D1的棱 长为2，线段EF,GH分别在AB,CC1上移 BC,OB=AC,OC=AB,且 ∠AOB=30°，∠BOC=45°， 动，且EF+GH=子，烟下列说法正确的是 则sin∠AOC=()。 ( )。 A.+1 B.B-1 A.当EF的长度固定时，三棱锥G 2 2 EFH的体积为定值 C.6+2 4 D.6-g 图1 4 B.当EF=GH= 车时，三棱锥G-EFH 31 中学生表理化资整續学提数感助夹破月 的体积取到最大值 一次性通过的同学人数记为X,求X的分布 C三校锥GEFH的体积的最大值为言 列及其方差； (2)若考试一次性通过的同学人数的期 D.EF与GH之间的距离为定值 望值不小于3，求选择驾校甲学习的可能人 11.下列命题正确的是()。 数。 A.“x=1”是“x=x”的充要条件 B.函数f(x)=xe一x一lnx的最小值 为1 C.甲、乙、丙三人相互传球，每次由传球 者随机传给另外两人中的一人。若第一次由 甲传出，共传5次结束，则只有一次传回到甲 手中的概率为6 D.已知△ABC的三个内角A,B,C满 1 1 足：A+C=2B, √2 cosB,则 A-C cos 2 2 16.(15分)已知f(x)=2x-1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， (1)求f(x)的单调区间： 共15分。 (2)若当a>0时，不等式axe≥(a+ 12.在双曲线9一16=1中，过右焦点的 1)(2x一1)对任意x∈(0，十©∞)恒成立，求实 弦长的最小值是。 数a的取值范围。 13.若函数f(x)=:3十2为奇函数. 32—b 则名=一 14.已知正实数x,y分别满足方程e 十2x=a+1e一y=a-3.则号+的最 y 小值为_。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)高考过后，某寝室年满18周 岁的5位同学决定利用这个时间段考取驾 照。经过一番调研，他们发现驾校甲和驾校 乙两家培训质量都特别好，决定在这两家中 17.(15分)如图3，在四 进行选择。若每位同学随机选取其中一家驾 棱锥A-BCDE中，BE⊥平 校进行学习，选择驾校甲考试一次性通过的 面ABC,BE∥CD,AB= 概率为号，选择驾校乙考试一次性通过的概 AC=BC=CD=2BE,F为 序为2，且每位同学考试的结果互不影响。 AD的中点。 图3 (1)证明：EF⊥平面 (1)若这5位同学都选择驾校甲，将考试 ACD; 32 尚尊拟来臂中学生数理化 (2)求二面角A-DE-C的余弦值。 19.(17分)“数列的裂项求和，相加相 消”是数列求和中的一种非常重要且巧妙的 技巧。它专门用于处理一些结构特殊的数 列，其核心思想是“分拆”和“抵消”。比如， a,=3n,-2=3mD+4_3m+4,则s.= 2” 2”-1 2” a+a:+…+a.=3×0+4_ 3×1+4+ 2 3X1+4-3×2+4+…+3(n10+4 2 22 3m十4=4-3m十4，即S.=4-3m十4(m∈ 2” 2” 2” N")。请用类似的方法分别求解以下问题。 (1)已知数列{am}的通项公式为a。= + 18.17分)已知椭圆E, =1(a 纪求数列a,的前n项和S,。 6>0)的离心率为 ,椭圆E上的点到两焦 (2)已知等差数列{cm}中，c1=d=1, 2 b.=tan c.tan c.+1(n∈N'),求数列{bn}的前 点的距离之和为2√6。 n项和Gm: (1)求椭圆E的方程。 (3)已知数列{f。}中，tanf,= (2)已知A1,A,分别为椭圆E的左顶点 和右顶点，P为椭圆E上异于A1,A:的任意 n+n+且f.∈(0，)，设数列(f.}的前 1 一点，F为椭圆的左焦点，求证：以PF为直 n项和为H.,求tanH。的值。 径的圆与以A1A:为直径的圆内切。 (3)已知点M(m,0),N(n,0)(n≠n), 过点M的直线l与椭圆E交于A,B两点，A 关于x轴的对称点记为P(P与B不重合)。 若mn=6,试判断P,B,N三点是否共线？ 并说明理由。 (责任编辑王福华) 33高三数学桥与携厅中学生款理化 2026年高考数学模拟试题（三）参考答案 一、选择题 BC为EF与GH之间的距离。 1.D2.C3.A4.B5.C6.A 11,BCD提示：因为x=x,所以x 7.C提示：因为OA=BC,OB=AC, x=x(x-1一1)=0。因为x≠0，所以x-1 所以△AOB≌△BCA,所以∠ACB= 1,所以x=1,或x=一1，故A错误。f(x) ∠BOA。同理可得，∠BAC=∠BOC, =ze'-x-In x=eh:ef-z-In x=ch:+- ∠ABC=∠AOC。所以∠BOA+∠BOC+ (x+lnx)≥(x+lnx)+1一(x+1nx)=1 ∠AOC=∠ACB+∠BAC+∠ABC=π，所 (当且仅当x十lnx=0时取等号，显然能够 以∠AOC=105°，故sin∠AOC=sin(30°+ 取到)，即所求最小值为1，故B正确。对于 45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°= C,属于古典概型。如图2所示，□234⑤ √2+6 这5个位置只需与前一个位置不图2 4 相同的另外两个人中选一个，共 8.C提示：由题意知，A方·A亡= |AB1·1AC|cos60°=24。又因为M为 有n=2×2×2×2×2=32(种)不同传法。 共传5次结束，只有一次传回到甲手中，分为 △ABC的外心，所以A店·AM=2A店 如下四种情况：①如果甲在2号位，1号位从 入AB:+uAB.A亡，所以64x+24红=32，即 乙、丙中选1人，有2种选法。3号位也从乙、 8x+3=4:A心，Ai=号AC=XA店，Ad 丙中选1人，有2种选法。4号和5号位只有 1种选法。共有2×2=4（种）传法。②如果 +μAC2,所以18=24λ+364，即4入+6μ=3。 甲在3号位，1号和2号位从乙、丙中选2人 联立解得A=是以=台，所以文=点 5 进行全排列，有2种选法。4号和5号位从 4入十3L=7。 乙、丙中选2人进行全排列，有2种选法。共 4入-64 有2×2=4（种）传法。③如果甲在4号位，1 二、选择题 号位从乙、丙中选1人，有2种选法。接着2 9.ABC 号和3号位只有1种排法。5号位从乙、丙中 10.ABD 提示：如图 选1人，有2种选法。共有2×2=4（种）传 1,可得V三菱GEFH=V三菱维H:E 法。④如果甲在5号位，1号位从乙、丙中选 一V生ce= 3S△EXHC 1人，有2种选法。接着2号、3号和4号位 只有1种排法。共有2×1=2（种）传法。综 3S△ePe XGC= 上，共有m=4+4+4+2=14(种)不同传法， 图1 GH=×EFX2GH 则所求概率P-%-,故C正确。对于D】 ×EFXGH-≤×(EGH)-×6 1 因为A十C=2B,A+B+C=π，所以B= 2 否A+C=。设A=晋+a,C=吾 8,当且仅当EF=GH=子时等号成立， 3 1 故三棱锥GEFH的体积的最大值为8。而 cos(g+a） 63 中学生款理化舞整翠与提秀年7-8月 cos(g-a）+eos(g+a） 四、解答题 15.(1)由题意知，随机变量X的所有可 cos(5-a】 cos(3+a)cos(5-a） 能取值为0,1,2,3,4,5，则X~B(6,号)有 2cos 3 cos a p(x=o)=C×(号)”×（号）'=23P(x (os5cosa）-(sin号sina √2 =1v=C×(侵)》×（台）=品Px=2) cos a cos a 1 4c0s'& 4sin'a cos'a-3 π cos3 G×(层)广×()'-0：P(x=3)=cC× -2√2，所以2√2cosa+cosa- 3反=0。因 2 (层)×()=0P(x=4)=C×(层) 为-晋<< 1 3,所以2<cosa<1,所以cosa ×()=0P(X=5)=C×(侵)× ② A-C ,则cos42 -cos a= 2 ,故D正确。 )-器 2 三、填空题 所以X的分布列为表1： 12.6提示：由双曲线方程得a2=9, 表1 6=16,则通径长为26=2×16_32 。而实 X 0 1 2 3 4 5 3 1 10 40 80 80 32 轴长2a=6,又弦可跨两支，且6<32 243243243243243243 ,所以最 故方差D(X)=5× 短弦长为6。 ×0-)=9 13.2 提示：f(一x)+f(x)= (2)设选择驾校甲学习的同学人数为 a·3x+2 a·3+2 a+2·3 n(n=0,1,2,3,4,5),则选择驾校乙学习的 3*-b 3-b 1—b·3 同学人数为5一，记选择驾校甲考试一次性 a·3+2_(2-ab)[(3)'+1]+2(a-2b)·3 通过的人数为，选择驾校乙考试一次性通 3-b (1-b·3)(3-b) 过的人数为？ 2-ab=0, =0,则 解得 或/2， a=2, 当n=0时，此时5位同学都选择驾校乙 a=2b, b=1, b=-1, 所以号 进行学习，则~B(6,),所以E(十7) =2。 E(7)=5×号-；<3，不符合题意： 14.2 提示：因为er-十2x=a十1， 22 当n=5时，此时5位同学都选择驾校甲 e3-3-y=a-3,所以ex-1+2x-1=a=e3-y +3一y。令f(x)=e+x,则f(x)在R上 进行学习，则B(6,爱)，所以E(十7) 单调递增，所以2x一1=3一y,所以2x十y= 4。因为x>0,y>0,所以二+1=二十1 E(e)=5×号-吕>3，符合题意： y x y 当n=1,2,3,4时，~B(,号)7 2-+号+若≥+2写·品 x y 4 y B(6-n,2),所以E(+7)=E()+E(7) 当且仅当号-名即y=2x=2,即x=1 3 2 +5-n=n+15≥3，解得n≥3，即当n 3 y=2时等号成立，所以号+士的最小值为受。 2 6 y =3,4时符合题意。 64 高三数学020等生与提万中学生教理化 参考答案与提示 综上可知，当选择驾校甲学习的可能人 图4所示的空间直角坐标 数为3或4或5时，考试一次性通过的同学 系Oxy。 人数的期望值不小于3。 令AB=AC=BC= 16.1)丽数：)=。己的定义线为 CD=2BE=2,则A(1,0, 0),B(-1,0,0),C(0,0, {xx≠0}，求导得f'(x)= √3)，D(0,2,W3),E(-1,1, 图4 2xe-(2x-1)e+xe2）=-2x+1)(x-D (xe)2 x‘e 0).因为F为AD的中点，所以F(1,). 故当- 2<x<0,或0<x<1时，f'(x)>0: 由(I)知，EF⊥平面ACD,则EF⊥CF。 又CF⊥AD,EF∩AD=F,CF⊥平面 当x<-,或x>1时，(x)<0.所以 ADE,所以平面ADE的一个法向量为CF= fx)在(-3,0），(0,1)上单调递增，在 (-∞，-2)，1，十∞)上单调递减。 设平面CDEB的一个法向量为m=(x, (2)已知x>0,由axe≥(a+1)(2x- y,x),又CD=(0,2,0),ED=(1,1,3),所 (m·CD=2y=0, 以 令之=一1，则 m.ED=x+y+3之=0， 由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在 x=3,y=0,故m=(W3,0,-1)。 (1,+∞)上单调递减，故f(x)≤f(1)=1 e 所以cos(CF,m》= CF·m6 CFm 4 所以。千≥。即a≥。即实数a的取值 1 1 由题意知，二面角A-DEC的余弦值为 4 花倒为（马+） 18.(1)已知椭圆的离心率e=二 17.(1)如图3，取AC 2。 的中点为G,连接FG,BG。 由题意及椭圆的定义知，2a=2√6，所以 因为F,G分别为AD,AC a=√6，c=√3，b=√a一c2=√，故椭圆E 的中点，所以FG∥CD,且 FG=名CD.因为BE∥ 图3 的方程为” (2)设线段PF的中点为M,坐标原点为 CD,CD=2BE,所以BE LFG,故四边形 O,则以PF为直径的圆的圆心为M,半径r1 EFGB是平行四边形，所以EF∥BG。因为 PF BE⊥平面ABC,BGC平面ABC,所以BE 2 一；以A1A2为直径的圆的圆心为O, ⊥BG,所以FG⊥BG。因为AB=BC,所以 半径r2= |A1A:1 2 -a BG⊥AC。又FG∩AC=G,所以BG⊥平面 ACD,所以EF⊥平面ACD。 设椭圆的右焦点为F′，连接OM,PF', (2)取AB的中点O,连接CO。因为 则1OM1=IPFI 29 △ABC是等边三角形，所以CO⊥AB。取 因为|PF|+|PF'|=2a,所以|PF'| AE的中点为H,则OH∥BE。因为BE⊥ ABC,所以OH⊥平面ABC,所以OH⊥ 2a-PFI,OM I=2a-PFl =a- OC,OH⊥AB。以O为坐标原点，OA,OH, PF OC所在直线分别为x轴，y轴，之轴，建立如 2 =r2一r1,所以以PF为直径的圆与以 65 中学生教理化需薇攀与提示年？-8月 A1A:为直径的圆相内切。 3 (3)P,B,N三点共线。理由如下： ++ 3” ①当直线！的斜率不存在时，点P与点 所以S。=a1十a:十…十am= B重合，不合题意。 ②当直线1的斜率存在时，设直线1：y= ×0+号x0+是 之之+2×13 2十 k(x一m),A(x1,y1),B(x2,y2),则P(x1, 30 3 一y1）。 ×1+受×1+ 3 ×2+×2+ 1 3 联立P=6(x一m), 消去y整理得(1+ 32 x2+2y2=6, 2n-1)2+3 1 2k2)x2一4kmx+(2km-6)=0,所以x1 -1D+ 3m-1 十x2= Ak'm 1十2k2,x1x:= 2k2m2-6 1+2k。令4= 1 2n2+ 3 3 1 3 3 (-4k2m)2-4(1+2k2)(2k2m2-6)>0,得 2n+ 2 2n2+ 2n+ 2 k2m2-6k2-3<0。 因为NP=(x1-n,-y),NB=(x n°+3n+3) 3 n,y2),所以(x1n)y2-(-y1)(x-n)= (2)由题意得，等差数列{cm的通项公式 k(x2-m)(x1-n)+k（x1-m)(x2-n)= 为cm=c1十(n一1)d=n,所以c+1=n十1。 k[2.x1x-(m+n)(x1+x:)+2mn]=k2× 因为tan1=tan[(n+1)一n]= 4k'm 2kimi-6 <m+n)2h+2mn =k X tan(n十1)tan”,所以b,=tan ntan(n十 1+2k 1+tan(n+1)tan n 4k2m2-12-4km(m+n)+2mn(1+2k2) 1)=tann+1)-tann-1。 1+2k9 tan 1 =2k(mn-6) 故数列{b。}的前n项和G。= 1+2k (an2am1-1)+(am3an2-1）+ tan 1 因为mn=6,所以(x1一n)y:一(-y1)· tan 1 (x-n)=0,故NP/NB,所以P,B,N三 [tan(n+1)-tan n1 tan 1 点共线。 tan(n+1)-tan 1 综上所述，P,B,N三点共线。 tan 1 n。 n 1 19.(1)结合题意，可令a,= (n+1)-n 3” (3)tan f.= n2+n+1=1十nn+1)0 a(n-1)+b(n-1)+c- an'+bn+c 3-1 30 令an.=,且g.∈(0，)，则anf. 2an2+(-6a+2b)n+3a-3b+2c 3 则 tan ga1一tang,=tan(g+1一g。)。因为 1+tan g.+tan g. 1 a2 fg.∈(o,）,所以f。=g1-g,所以 2a=1, Hm=（g2一g1)+(g3一g:)+…+（gm+1一 -6a+2b=0, 解得b= 3 2 gm)=ga+1-g1,所以tanH。=tan(gw+1一 3a3b+2c=0, c=2 81)= 1111 (n+1)-1 1 n 所以an= n+2 (责任编辑王福华) 3w-1 66