立体几何初步复习专项检测题-《中学生数理化》高一数学2026年7～8月刊

高一数学糖心幸点清育中学生教理化 立体几何初步复习专项检测题 ■廖庆伟 一、选择题 A.若na或nB,则n∥n 1.下列命题中是真命题的是()。 B.若n∥m,则n∥a或nB A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点 C.若n⊥&或n⊥3，则m⊥n B.棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的 D.若n⊥m,则n⊥a或n⊥3 底面 7.(多选题)下列四个命题中是真命题的 C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不 是( )。 是平行四边形 A.球面上四个不同的点一定不在同一 D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 平面内 2.已知平面a⊥平面B,a∩B=l,点P∈ B.球的任意两个大圆的交点的连线是球 (,则下列结论正确的是()。 的直径 A.过点P与l垂直的直线在a内 C.用不过球心的平面截球，球心和截面 B.过点P与B垂直的直线在a内 圆心的连线垂直于截面 C.过点P与1垂直的直线必与B垂直 D.球的半径是球面上任意一点和球心 D.过点P与B垂直的平面必与I垂直 的连线段 3.已知PA垂直于平行四边形ABCD 8.(多选题)如图1，该几何体由高均为1 所在的平面，若PC⊥BD,则平行四边形 的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上 ABCD一定是()。 底面重合，若该几何体的底面半径为1，则 A.矩形或正方形 ()。 B.矩形 C.正方形 D.菱形 4.已知空间中三条直线a,b,c与平面a 分别交于不同的三点A,B,C,则“A,B,C三 点共线”是“直线a,b,c共面”的()。 A.充分不必要条件 图1 B.必要不充分条件 A.圆锥的母线长为√2 C.充要条件 B.圆锥与圆柱的体积比为1：3 D.既不充分也不必要条件 C.该几何体的表面积为5π 5.(多选题)设A,B,C,D是空间中四个 D.圆锥侧面展开图的圆心角为√2π 不同的点，则下列命题正确的是()。 二、填空题 A.若AC与BD是异面直线，则AD与 9.如图2，半径为3，圆 BC是异面直线 B.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC 心角为的扇形OAB绕着 C.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC OA旋转一周得到几何体2， D.若AB⊥BC,BC⊥CD,则AB∥CD 则2的体积为一。 6.(多选题)设a,B为两个平面，m,n为 10.一个圆锥的底面直 图2 两条直线，且a∩B=m,则下列说法正确的是 ()。 径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放人 75 中学生款理化簧心整卓清练6车7-8月 一个球内，则该球的表面积的最小值为一。 11.如图3，四边形ABCD为矩形，ED⊥ 平面ABCD,AF∥ED,AB=4,BC=3,DE =3AF=6,则多面体ABCDEF的体积等于 图6 三、解答题 15,上海市实验学校的小明同学根据 他的创新特需课题设计了某零件，并委托 网络商家3D打印。零件下部是实心的正 四棱柱，上部是实心的圆柱，如图7所示 图3 (图中单位：cm)。 12.如图4，平面a∩B=1,A∈1，B∈1， AB=3,C∈3，CA⊥I,D∈a,DB⊥I,AC= DB=4,异面直线AC与BD所成的角是受， 则线段CD的长为一。 10 图7 (1)已知商家所用3D打印材料的密度为 1.3g/cm3,求打印一个这样的零件需要多少 图4 克材料。（四舍五入到整数克，不计其他损 13.如图5，正方体ABCD-A1B1C1D 耗) 的棱长为4，则直线A1B,到平面ABC1D1的 (2)小明委托打印了5个这种零件，并对 距离为一。 零件的表面（包含底面）喷漆。若预计每平方 厘米要用漆0.12g(已计入可能的损耗)，则 小明需要购买每罐300g的喷漆共多少罐？ 16.如图8，四面体ABCD的顶点都在以 AB为直径的球面上，底面BCD是边长为√3 的等边三角形，球心O到底面的距离为1。 图5 14.如图6，在空间四边形ABCD中， △BCD是边长为2√2的等边三角形，平面 ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°，且AB= AD,则AD与平面BCD所成角的大小是 图8 (1)求球O的表面积。 76 高-数学20车黄点清籍中学生教理化 核心考点演练 (2)求二面角B-AC-D的余弦值。 (1)求证：CE∥平面PAB。 17.我国古代数学名著《九章算术》中，称 (2)求证：平面PAB⊥平面PBD。 四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖懦”。如 (3)若二面角P-CD-A的大小为45°，求 图9，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD, 点A到平面PBD的距离。 BC⊥CD。 厂广参考答柴与提示 一、选择题 1.提示：对于A,不符合棱柱的侧棱平行 的特点，A错误。对于B,构造四棱柱 ABCD-A1B,C1D1,令底面ABCD是梯形， 则平面ABB1A1∥平面DCC1D1,但这两个面 不能作为棱柱的底面，B错误。对于C,棱柱 的底面可以是平行四边形，C错误。对于D, 图9 说明了棱柱的特点，D正确。应选D。 (1)证明：三棱锥A-BCD为“鳖嚅”。 2.提示：对于A,过点P与1垂直的直线 (2)若E为AD上一点，点P,Q分别为 若在平面B内，则不在平面a内，A错误。对 BC,BE的中点，平面DPQ与平面ACD的 于B,根据面面垂直的性质定理，过点P作平 交线为I。①证明：直线PQ∥平面ACD: 面B的垂线必在平面&内，B正确。对于C, ②判断PQ与1的位置关系，并证明你的结论。 过点P与！垂直的直线若在平面B内，则该 18.如图10，AB 直线不与B垂直，C错误。对于D,平面a过 是圆柱的底面直径且 点P且垂直于平面B,但I二a,显然平面a与 AB=4,PA是圆柱E D 直线I不垂直，D错误。应选B。 的母线且PA=2,点 3.提示：因为PA⊥平面ABCD,所以 C是圆柱底面圆周上 C PA⊥BD。因为PC⊥BD,且PA∩PC= 的点。 图10 P,所以BD⊥平面PAC,所以AC⊥BD,所 (1)求证：BC⊥平面PAC。 以平行四边形ABCD为菱形。应选D。 (2)当三棱锥P-ABC的体积最大时，求 4.提示：空间中三条直线a,b,c与平面 三棱锥P-ABC的体积与表面积。 a分别交于不同的三点A,B,C,且A,B,C (3)若AC=2,D是PB的中点，点E在 三点共线，但直线a,b,c可以不共面，所以 线段PA上，求CE+ED的最小值。 “A,B,C三点共线”是“直线a,b,c共面”的 19.如图11，在四棱锥P-ABCD中，AD 不充分条件。设直线a,b,c所共的面为B, /BC.ADLDC.BC-CD-TAD-1E 则A,B,C均在平面B内，也在平面&内，即 A,B,C在平面B与a的交线上，所以A,B, AD的中点，PA⊥平面ABCD。 C三点共线，所以“A,B,C三点共线”是“直 线a,b,c共面”的必要条件。故“A,B,C三 点共线”是“直线a,b,c共面”的必要不充分 条件。应选B。 5.提示：对于A,假设AD与BC是共面 直线，则A,B,C,D在同一个平面内，所以 C … AC与BD是共面直线，与题设AC与BD是 E 异面直线矛盾，故假设不成立，A正确。对于 图11 B,因为AB=AC,DB=DC,所以点A,D都 77 中学生数理化筒心数学2026年7-8月 核心考点演练 在BC的垂直平分面上，但AD与BC的长度 无法确定，B错误。对于C,由选项B知，点 积V-方×青×3=18x A,D都在BC的垂直平分面上，所以AD⊥ 10.提示：由题意知当该球为圆锥的外接 BC,C正确。对于D,因为AB⊥BC,BC⊥ 球时，球的表面积最小。圆锥的底面半径 CD,所以AB与CD的位置关系为平行、相 r=1,由体积V= ·=受A1P=, 1 3 交或异面，D错误。应选AC。 可得高h=2。设球的半径为R,易得R= 6.提示：对于A,设α，B是相邻墙面，交 线m为墙角线，n是地面上平行于&的直线， (2一R)十1，解得R=号，所以球的表面积 5 此时n与m可以垂直，不能推出n∥n,A错 误。对于B,已知a∩B=m,n∥m,当n二a 的最小值S=4πR= 25π 4 时，n∥B,当n二B时，n∥a,当n史a,B时，n∥ 11.提示：易得VABCDEF=VB-ADEE十V BeDe a,n∥B,B正确。对于C,由n⊥a得n⊥a内 因为ED⊥平面ABCD,ABC平面ABCD, 的所有直线，而m二a,则m⊥n。由n⊥B得 所以ED⊥AB。由四边形ABCD为矩形得 n⊥B内的所有直线，而mCB,则m⊥n,C正 AB⊥AD,因为ED∩AD=D,ED,ADC平 确。对于D,设a与B成锐角，且n二a,n⊥ 面ADEF,所以AB⊥平面ADEF。因为 m,此时n不垂直于a,且n不垂直于B,D错 1 1 误。应选BC。 SADEF - 2(AF+DE)·AD=2X(2+6)X 7.提示：对于A,球面上四个不同的点可 3=12,AB=4,所以Ve0:=子×12×4 以在同一平面内，如球的一个大圆上有无数 个点，这些点都在同一个平面内，A错误。对 1 1 16。因为VseDE=VEn=3San·ED=3 于B,因为两个大圆都经过球心，所以它们的 1 交点必然是球的一条直径的两个端点，其连 ×2×4×3×6=12,所以VAaD=16+12= 线就是球的直径，B正确。对于C,用不过球 28。 心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直 12.提示：作AE∥BD且AE=BD,则 于截面，C正确。对于D,球的半径就是球面 ∠CAE(或其补角)即为异面直线AC与BD 上任意一点和球心的连线段，D正确。应选 BCD。 所成的角，所以∠CAE=空或∠CAE=要。 3 o 8提示：对于A,由勾股定理得圆锥的母 由AE∥BD,且AE=BD,可得ABDE是平 线长1=√+1严=√2，A正确。对于B,圆 行四边形，则DE∥AB,且DE=AB=3。由 锥的体积V,=子×x×1×1=子，圆柱的 AB⊥AC,AB⊥BD,可得ED⊥AC,ED⊥ AE。因为AC∩AE=A,AC,AEC平面 体积V:=π×1×1=π，因此圆锥与圆柱的 AEC,所以ED⊥平面AEC。又CEC平面 体积比为1：3，B正确。对于C,该几何体的 AEC,所以ED⊥CE。易得AC=DB= 表面积S=π×1×√2+2π×1×1+π×12= (3十√2)π，C错误。对于D,设圆锥侧面展开 AE=4。当∠CAE=5时，CE=4,CD 图的圆心角为&，由弧长公式得2π=√2a,即 VCE+DE=5:当∠CAE=时，由余弦 圆心角a=√2π，D正确。应选ABD。 定理得CE=4√3，则CD=√CE+DE= 二、填空题 √57。故CD的长为5或w57。 9.提示：因为半径为3，圆心角为的扇 13.提示：连接BC,B,C与BC1的交点 形OAB绕着OA旋转一周得到的几何体为 为O。因为BCC1B1是正方形，所以B,O⊥ 一个半径为3的半球，所以该几何体2的体 BC1。因为AB⊥平面BCC1B1,B1OC平面 78 高一数学德心幸点清育中学生款理化 BCCB1,所以AB⊥B1O。又AB∩BC= AC交AD于F,则∠OEF即为二面角B B,AB,BC1C平面ABC1D1,所以B,O⊥平 面ABC1D1。因为AB∥A1B1,A1B1中平面 ACD的平面角。易得OE=BC=√3 2 ABC:D1,ABC平面ABC1D1,所以AB1∥ 在△ACD中，由余弦定理得cos∠DAC 平面ABCD1,所以直线A1B1到平面 =AD+AC一DC57所以sin∠DAC合 2AD·AC ABC,D1的距离即为点B,到平面ABC1D 的距离，所以直线A1B,到平面ABC1D V5T 10 ,tan∠DAC=5 7 二，所以EF=AE· 的距离为B,0=2B,C=名×V金+车= tan∠DAC=5 ×5厅-255 2 7 14,AF= 22。 14.提示：过点A作AO⊥BD于点O。 W255 EF 14 55 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平 sin∠DAC= 在△BAD中， 5T 7。 面BCD=BD,AOC平面ABD,所以AO⊥ 10 平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD 可得 √10 所成的角。因为∠BAD=90°，AB=AD,所 Cos∠OAF=AD=V5 AB2√2 。在 4 以∠ADO=45°，即AD与平面BCD所成角 △OAF中，OF2=OA￥+AF2-2OA·AF· 的大小是45°。 三、解答题 ∠0F=2+-2xx四 49 4 15.提示：(1)圆柱部分的体积V1=π× 48 2×20=80π，正四棱柱部分的体积V:=10 49° ×4=400,则该零件的体积V=V1+V2=80π 在△OEF中，可得cos∠OEF= +400(cm3)。因为商家所用3D打印材料的 3,25548 OE:+EF2-OF 4十196一49 w85 密度为1.3g/cm,所以打印一个这样的零 2OE·EF 17 件需要(80π十400)×1.3≈847(g)材料。 14 (2)该零件的表面积S=2π×2×20十 4×10×4+2×102=80π+360(cm)。 所以二面角BACD的余弦值为Y 17 因此需要购买每罐300g的喷漆的罐数 17.提示：(1)因为BC⊥CD,所以 为360+80)X5X0.12≈1,2，显然1.2> △BCD为直角三角形。因为AB⊥平面 300 BCD,且BD二平面BCD,BC二平面BCD, 1,所以需要购买2罐喷漆。 CDC平面BCD,所以AB⊥BC,AB⊥BD, 16.提示：(1)底面△BCD外接圆的半径 AB⊥CD,所以△ABC和△ABD为直角三 r、3 角形。 2sin号 =1,因为球心O到底面的距离为 因为CD⊥AB,CD⊥BC,BC∩AB= B,BC二平面ABC,ABC平面ABC,所以 1,所以球的半径R=√+1=√2，所以球 CD⊥平面ABC。又ACC平面ABC,所以 O的表面积为4πR2=8π。 CD⊥AC,所以△ACD为直角三角形，所以 (2)因为AB为球的直径，所以BC⊥ 三棱锥A-BCD为“鳖懦”。 AC,BD⊥AD。取AC的中点E,则OE∥ (2)①连接CE,因为点P,Q分别为 BC,所以OE⊥AC。因为BC=BD=√3， BC,BE的中点，所以PQ∥CE。又PQ吏平 AB=2√2，所以AD=AC=√AB-BC= 面ACD,CE二平面ACD,所以直线PQ∥平 √5。 面ACD。 在等腰三角形ADC中，过E作EF⊥ ②PQ与I的位置关系是平行。 79 中学生款理化终心薇室流6车-心月 因为PQ∥平面ACD,PQC平面DPQ, 所以四边形ABCE是平行四边形，所以 平面DPQ∩平面ACD=L,所以PQ∥I。 AB∥CE。 18.提示：(1)由题意得PA⊥平面ABC, 又CE中平面PAB,ABC平面PAB,所 因为BCC平面ABC,所以PA⊥BC。 以CE∥平面PAB。 由AB是圆柱的底面直径，可得BC AC。因为PA∩AC=A,PAC平面PAC, (2)因为AD/BC,BC=CD=2AD- ACC平面PAC,所以BC⊥平面PAC。 1,E为AD的中点，所以BC=DE,且AD⊥ (2)要使三棱锥P-ABC的体积最大，需 DC,所以四边形BCDE为正方形，所以 使C到AB的距离最大，最大距离为底面半 BD⊥CE。 径2，此时AC=BC=2√2，PC=23,PB= 又因为AB∥CE,所以BD⊥AB。 因为PA⊥平面ABCD,BD二平面 25,所以三棱锥P-ABC的最大体积V=3 ABCD,所以PA⊥BD。因为PA∩AB= ×安×4×2×2= A,PA,ABC平面PAB,所以BD⊥平面 3。 PAB。 因为PC2+BC2=PB,所以△PBC为 又因为BDC平面PBD,所以平面PAB 直角三角形。 ⊥平面PBD。 所以三棱锥P-ABC的表面积S= (3)因为PA⊥平面ABCD,AB,AD, 2 ·×4 CDC平面ABCD,所以PA⊥CD,PA⊥ 1 1 ×2+2×22×2+2×2×4+2×25× AD,PA⊥AB。因为AD⊥DC,且PA∩ AD=A,PA,ADC平面PAD,所以CD⊥ 2V2=8+2√2+2√6. 平面PAD。又因为PD二平面PAD,所以 (3)将△PAC绕着PA旋转到PAC',使 PD⊥CD。 其与△PAB共面，且C'在AB的反向延长线 所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面 上，则当C',E,D三点共线时，CE+ED最 角，即∠PDA=45°，所以Rt△PAD为等腰 短，如图12所示。 直角三角形，所以PA=AD=2。 1 由(2)知BE=DC。因为S△AD=2 AD·BE=1,BD=√BC2+CD=√2， AB=√BE2+AE=√2，所以PB= √PA+AB=√6。 图12 因为BD⊥平面PAB,PBC平面PAB, 因为AB=4,PB=2√5，所以 所以BDLPB,所以SAP=7·PB·BD cos∠PBA=2V5 。在△C'BD中，易得BD =3。 设点A到平面PBD的距离为d,则 =BP=5,BC=6。由余弦定理得C'D Vm=Vm,即名Sam·PA=子SaD· =√8+(w5)-2×6×5×25-m,所 1,所以号×1×2=日×后d,解得1-2 3， 以CE十ED的最小值为√I7。 即点A到平面PBD的距离为23。 19.提示：(1)因为AD∥BC,BC=CD= 作者单位：湖北省巴东县第三高级中学 AD=1,E为AD的中点，所以BC=AE, 1 (责任编辑郭正华) 80