第十一章 立体几何初步（高效培优单元自测·提升卷）数学人教B版高一必修第四册

**基本信息** 聚焦立体几何初步单元，通过线面关系、体积计算、翻折与外接球等核心知识点，考查空间观念、几何直观与推理能力，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|线面关系、斜二测画法、正三棱锥体积|结合空间位置关系判断，强化几何直观| |多选|3/18|正方体中点线面关系、翻折后垂直关系|多选项设计考查推理严谨性，体现数学思维| |填空|3/15|四棱锥体积、二面角余弦值、内切球轨迹|融入动态几何问题，培养空间想象| |解答|5/77|线面垂直证明、圆柱侧面积、翻折后二面角|综合性大题整合体积、二面角等，突出模型观念与创新应用|

第十一章 立体几何初步（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知直线，平面，满足，则下列命题一定正确的是（   ） A．存在，使得相交 B．存在，使得 C．存在，使得的夹角为 D．存在，使得 2．如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 3．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点，，若平面ADE，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2，6，高为4，P，Q分别是侧棱，的中点，经过P，Q作该正四棱台外接球的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，当二面角为时，则异面直线与的夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，点 P 在底面的射影在直线上，则当球O的体积最小时，点 P 到底面距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，正方体中，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．和是平行直线 B．和是相交直线 C．和是异面直线 D．和是相交直线 10．如图，平面四边形中，为正三角形，为等腰直角三角形，与交于点，若将沿斜边翻折，得到三棱锥，则下列说法正确的是（    ） A．在翻折过程中，与始终垂直 B．在翻折过程中，与始终垂直 C．在翻折过程中，三棱锥有可能是正四面体 D．在翻折过程中，三棱锥有可能是正三棱锥 11．已知在棱长为1的正方体中，为侧面内一点（包含边界），则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则的最大值为 B．若点在线段上，则的最小值为 C．存在点，使得点和点到平面的距离相等 D．三棱锥外接球的体积的最小值是 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交PB于点.则三棱锥的体积为_____； 13．在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 14．在棱长为10的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为_______. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）如图，正方体中，为的中点，      (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)证明：平面. 16．（15分）如图，是圆柱下底面的直径且长度为，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)若，点在线段上，点在线段上，求的最小值，并求此时的长. 17．（15分）如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，点E、F分别为棱PD、AD的中点. (1)求证：平面平面ABCD； (2)请作出四棱锥过B、E、F三点的截面，并求出截面图形周长； (3)过B、E、F三点的平面上是否存在动点，使其到点的距离为3？若存在，求点在运动过程中所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由. 19．（17分）已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 立体几何初步（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知直线，平面，满足，则下列命题一定正确的是（   ） A．存在，使得相交 B．存在，使得 C．存在，使得的夹角为 D．存在，使得 【答案】D 【详解】解析：对于选项A，若，任意直线不相交，矛盾； 对于选项B，若与相交，不存在直线，使得，矛盾； 对于选项C，若，任意直线，矛盾； 对于选项D，若，任意直线； 若，存在直线，令，则； 若与相交，存在平面，令，则，D正确． 2．如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【答案】D 【详解】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 3．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图正三棱锥，设其高为PO，为底面中心，则为底面重心，所以， 故，故三棱锥的体积为． 4．在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点，连接、、、， 在正三棱柱中，，所以， 又平面，平面，所以，，， 不妨令，则，所以， 所以为平面与平面的夹角， 又， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：A 5．在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点，，若平面ADE，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】在三棱柱中，E是棱的中点，连接，连接， 由平面，平面平面，平面， 得，所以. 6．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2，6，高为4，P，Q分别是侧棱，的中点，经过P，Q作该正四棱台外接球的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，设下底面中心为，上底面中心为， 则，又因为下底面是边长为6的正方形， 所以到下底面各顶点的距离为， 同理到上底面各顶点距离为， 设外接球球心为，它在直线上， 设到的距离为，则外接球半径满足： ，， 所以，解得：， 所以球心与下底面中心重合，半径， 因为，是侧棱和的中点， 所以过侧棱中点的截面平行于底面，为正方形， 边长等于上下底面边长的平均值，所以， 因为侧棱长， 又， 所以，同理， 在等腰中，，， 作于，则为中点，， 所以， 即球心到直线的距离为2， 过直线作球的截面，截面圆半径为， 其中为球心到截面的距离，当截面圆面积最小时，最大， 且最大值为到直线的距离2，此时， ，所以截面面积的最小值为. 7．将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，当二面角为时，则异面直线与的夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点，连接，， 因为四边形是正方形，所以，， 又，平面，平面，平面平面, 所以为二面角的平面角，且， 取，的中点、，连接，，，则，， 所以或其补角是异面直线与的夹角， 设，则，，， 在中， 由余弦定理得，，解得， 又因为，为中点，所以，， 在中，， 在中，由余弦定理可得，． 即异面直线AB与CD的夹角余弦值为． 8．已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，点 P 在底面的射影在直线上，则当球O的体积最小时，点 P 到底面距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以是直角三角形，斜边， 所以的外接圆的半径为， 因此球心O在平面的射影是的中点，设为， 设，球的半径为，于是有， 即， 要想球O的体积最小，只需，此时，O重合，， 因为点 P 在底面的射影在直线上， 所以设射影为，连接， 显然， 所以， 当最小时，有最大值， 显然当时，最小，因为，O是的中点 所以且， 所以的最大值为. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，正方体中，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．和是平行直线 B．和是相交直线 C．和是异面直线 D．和是相交直线 【答案】ABC 【详解】连接. 正方形中，分别是的中点，所以// ； 同理//  ； 所以// ，所以四边形是平行四边形， 所以和是平行直线，即A正确； 延长，交直线于点；延长，交直线于点. 取的中点，连接，则// ， 所以；故, 连接，则,所以.故, 所以两点重合，即和交于点，即和是相交直线，所以B正确. 平面，直线不过点，所以和是异面直线，所以C正确. 平面，直线不过点，所以和是异面直线，所以D不正确. 10．如图，平面四边形中，为正三角形，为等腰直角三角形，与交于点，若将沿斜边翻折，得到三棱锥，则下列说法正确的是（    ） A．在翻折过程中，与始终垂直 B．在翻折过程中，与始终垂直 C．在翻折过程中，三棱锥有可能是正四面体 D．在翻折过程中，三棱锥有可能是正三棱锥 【答案】AD 【详解】由题意知，在翻折过程中，，， 可得，平面， 所以平面， 又平面，所以，故A正确； 当翻折使平面平面时， 因为，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 若，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 易知不成立，故此时与不垂直，故B错误； 而正四面体为四个面均为等边三角形的三棱锥， 显然不是等边三角形，故C错误； 在翻折过程中，当的投影为的中心时，此时平面， 又，所以， 此时三棱锥为正三棱锥，故D正确. 11．已知在棱长为1的正方体中，为侧面内一点（包含边界），则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则的最大值为 B．若点在线段上，则的最小值为 C．存在点，使得点和点到平面的距离相等 D．三棱锥外接球的体积的最小值是 【答案】ACD 【详解】易知平面， 又点在侧面内， 点的轨迹为线段，当点在处时，取最大值为，故A正确； 将沿翻折到与平面共面，且在的异侧， 如图，连接，交于点， 则即为的最小值， 易知最小值为，故B错误； 由平分可知点和点到平面的距离相等， 若点和点到平面的距离相等，必有平面， 又，点在线段上，故C正确； 设平面的中心为，平面的中心为， 易知三棱锥外接球的球心在线段上， 令，外接球半径为，则. 又，整理得， 当时，，此时外接球的体积为， 即点与点重合时，三棱锥外接球的体积取最小值，故D正确． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交PB于点.则三棱锥的体积为_____； 【答案】 【详解】取中点，连接， ，分别是，的中点，， 正方形的边长为2，，， 底面，底面 ∴. 13．在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 【答案】/ 【详解】取中点为，过点作交于，连接，， 在中，，，， 则，所以. 又点为中点，所以，即为等边三角形， 所以，，， 将沿折起，使点到达点的位置， 则为等边三角形，又为中点，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 所以即为二面角的平面角， 在中，，， 所以， 则. 故二面角的余弦值为. 14．在棱长为10的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为_______. 【答案】 【详解】以为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为， 则，，， ，设，， 由，得，即，化简得. 正方体内切球球心为正方体中心，半径， 点满足. 设球心在平面的投影为， 则在平面上到直线的距离. 即球心到轨迹所在平面距离为,则轨迹圆半径. 轨迹长度为. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）如图，正方体中，为的中点，      (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）连接，， 在正方体中， 则，，所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，所以平面. （2）    连接交于，连接，， 因为四边形是正方形，所以为的中点， 在中，因为为的中点，为的中点，所以， 又因为平面，所以平面. （3）在正方体中，平面， 因为平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. 16．（15分）如图，是圆柱下底面的直径且长度为，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)若，点在线段上，点在线段上，求的最小值，并求此时的长. 【答案】(1)侧面积为；体积为 (2)； 【分析】 【详解】（1）由已知，圆柱底面圆的半径， ∵母线长，∴圆柱的高， ∴圆柱的侧面积， 圆柱的体积. （2）如图，延长线段至，使得， 作，垂足为，交与， 因为是圆柱下底面的直径，是圆柱的母线， 所以， 则，∴， 所以， 此时，取得最小值， 因为，，所以， 所以在中，， 所以， 所以的最小值为. 又在中，， 所以， 则在中， . 17．（15分）如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由平面，平面，则， 由四边形为正方形，则， 又，且平面，则平面， 由平面，则平面平面； （2）由（1）知平面，平面，则， 由四边形为正方形，则， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面， 由平面，则， 由且，则， 所以，即为等腰三角形，又为等边三角形， 取的中点分别为，连接，则，且， 而，则，又平面平面， 其中平面，平面， 则即为平面与平面所成二面角的平面角， 若，则，且，， 所以，故， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为. 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，点E、F分别为棱PD、AD的中点. (1)求证：平面平面ABCD； (2)请作出四棱锥过B、E、F三点的截面，并求出截面图形周长； (3)过B、E、F三点的平面上是否存在动点，使其到点的距离为3？若存在，求点在运动过程中所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)，截面周长为12 (3)存在， 【分析】 【详解】（1）证明： 又平面 平面 又平面 平面平面 （2） 连接交于点，连接，取中点，连接,， 四边形 为平行四边形 点为中点， ，四边形为平行四边形,则 ， 点G平面，故四边形即为所求截面， 平面 ,为直角三角形， ,故四边形为平行四边形， 所以，四边形周长为：; （3）假设平面内存在动点，使其到点的距离为3， 设点到平面距离为h，那么 取中点，由可知为正三角形， 所以， 由可得 , 即， 由于， 所以，, , 所以，平面内存在动点，使其到点的距离为3 点在运动过程中所围成的图形是以点为球心半径为的球面被平面所截得的截面，截面形状为圆， 半径,. 19．（17分）已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点在线段上靠近点的4分点处，此时， 【分析】 【详解】（1）∵点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面，， 四边形为菱形，， ，平面， 平面． （2）由题意可得,与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ，， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 故点到平面的距离为． （3）设直线与平面所成的角为， 平面， 到平面的距离即为到平面的距离， 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时， 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，， 即点在线段上靠近点的4等份点处，此时，． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $