高中数学单元测试——第六章平面向量及其应用（较难版02）

高中数学单元测试 —— 第六章 平面向量及其应用（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量加减法法则化简即可得. 【详解】. 故选：D. 2．（本题5分）已知向量，若，则（    ） A． B．0 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平面垂直向量的坐标表示计算即可求解. 【详解】由，得， 解得. 故选：C 3．（本题5分）在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】在中，由，有，所以. 又，故，所以. 4．（本题5分）下列说法正确的是（   ） A．若，方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．零向量与任意向量平行 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】根据相等向量的定义，可判断A、B的正误；根据零向量的定义，可判断C的正误；根据共线向量的定义，可判断D的正误. 【详解】选项A：若，方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误； 选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误； 选项C：由零向量的定义可知零向量与任意向量平行，故C正确； 选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误. 5．（本题5分）已知点，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 6．（本题5分）如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，通过向量的基本定理，用已知向量表示未知向量，即可求解. 【详解】由题意可得，，，所以，， 所以，因为， 所以, 所以 故选： 7．（本题5分）在中，角所对的边分别为，且，，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理结合得，利用正弦定理得，进而得，由已知求得，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理有：，又，所以， 又由正弦定理有：， 又， 所以， 又为三角形的内角， 所以或（舍去），所以，又， 所以    ，所以， 所以， 故选：D. 8．（本题5分）如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法1以A为原点，建立平面直角坐标系，求坐标，利用夹角公式即可求解； 法2以为基底，利用平面向量基本定理将向量用表示，利用数量积的夹角公式即可求解. 【详解】法1：以A为原点，建立平面直角坐标系如图：    依题意可知：，，， 则：， ∴ ，， ∴． 故选：D. 法2：∵M，N分别是BC，AC的中点， ∴，． ∵与的夹角等于∠MPN，∴． ∵ ， ， ， ∴． 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）已知任意的非零平面向量，，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用数量积的定义及运算律，逐项判断即得. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，为非零向量，，B正确； 对于C，是与共线的向量，是与共线的向量，而无任何关系，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 10．（本题6分）在中，下列命题正确的（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，则是等腰三角形 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理判断A，可得或，即可判断B，分析可得中必有一个为钝角，即可判断C，利用余弦定理将角化边，即可判断D. 【详解】对于A：在中，由，可得，由正弦定理可得，，故A正确； 对于B：在中，由，可得或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C：因为，所以角最多有一个钝角， 若，则中至少有一个为负数， 即中必有一个为钝角，所以为钝角三角形，故C正确； 对于D：因为，由余弦定理可得， 即，所以，即，故是等腰三角形，故D正确. 故选：ACD 11．（本题6分）若平面向量满足，，且，则（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】方法一，由向量方向间的关系，判断的最大值和最小值；由，通过的最值，计算的最值. 方法二，由题意设，取，将向量的模用三角函数表示即可求解. 【详解】方法一，由，得， 则当向量方向相同，且与方向相反时，有最小值，为； 当向量方向相同时，有最大值，为．A，B正确． 由，得，所以， 所以方向相同时，取最小值取最小值3； 当方向相反时，取最大值取最大值．C错误，D正确． 方法二，由题意，设， 则由得， 若取， 则， 若取，则 所以C错误，A，B，D正确． 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）已知，，若与平行，则实数________． 【答案】/ 【分析】根据向量共线的坐标形式即可求解. 【详解】由题意得 ， 由于与平行，故，解得：， 故答案为： 13．（本题5分）为加快推进“光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个基站，，，.已知，两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得 ， ， ， ，则，两个基站之间的距离为______.    参考数据:. 【答案】 【分析】根据题意可得， ，利用正弦定理求出，进而结合余弦定理即可求出. 【详解】在中， ， ，所以 ， 则有，所以. 又 ，所以 ， 在中， ， 由正弦定理得. 在中，由余弦定理得 ， 所以，即，两个基站之间的距离为. 故答案为：. 14．（本题5分）记的内角的对边分别为，，，且，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由得，根据正弦定理、余弦定理化简可得的外接圆半径为，根据向量数量积几何意义可知当点与点重合时，有最小值. 【详解】因为，，且， 则， 利用正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，则， 又因为，可得的外接圆半径为， 可知点在优弧上运动（不包括端点）， 过外接圆圆心作，当点与点重合时，在方向上的投影最小， 此时，，. 根据数量积的几何意义可知：的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知为单位向量，向量． (1)若，求； (2)若，求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，再根据数量积求即可； （2）可得，计算与的数量积及模长，再利用向量夹角公式计算即可. 【详解】（1），，解得， . （2）， ，， ， ， ， 所以与的夹角的余弦值为. 16．（本题15分）设是不共线的两个向量. (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）由题可得，再根据向量共线定理结合条件即得证； （2）根据向量共线定理可得，结合条件与不共线，可列出方程组求解即可. 【详解】（1）证明：， ， 又因为与共线，且有公共点, 所以三点共线. （2）因为与共线，所以存在实数，使得 即. 由与不共线，可知，解得， 所以， 即实数的值为或. 17．（本题15分）在中，角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求边的长． 【答案】(1) (2)边的长为或 【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出答案； （2）根据余弦定理、三角形面积公式可得答案. 【详解】（1），由正弦定理得， 因为，， 所以，； （2）由（1），由余弦定理得， 因为的面积为，所以， 得，代入可得，， 由，解得或， 所以边的长为或． 18．（本题17分）如图，在同一平面上，，，为中点，曲线上任一点到距离相等，角，，关于对称，； (1)若点与点重合，求的大小； (2)在何位置，求五边形面积的最大值．    【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，直接利用余弦定理求出，再结合正弦定理求解即可； （2）利用五边形的对称性，将所求的面积转化为四边形的面积的计算，设，表示出五边形的面积，利用三角函数求出最值即可. 【详解】（1）点与点重合，由题意可得，，， 由余弦定理可得， 所以，在中，由正弦定理得， 所以，解得， 所以的大小为； （2）如图，连结，，，， 曲线上任意一点到距离相等， ， ，关于对称， 点在劣弧上且， 设，则， 则五边形面积 ，其中， 当时，取最大值， 五边形面积的最大值为．    19．（本题17分）对于平面向量，定义“变换”：， (1)若向量，，求； (2)求证：； (3)已知，，，，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3)证明见详解. 【分析】（1）根据定义，直接代入公式，即可求解； （2）计算得，，，再展开计算，即可证明； （3）根据定义，可得向量，，再结合向量的减法运算，可求得向量，，根据向量的模的公式计算，即可得证. 【详解】（1）因为向量，， 所以； （2）因为向量，， 所以， 所以； （3）因为，，，， 则， ， 故，所以， ， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第六章 平面向量及其应用（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知向量，若，则（    ） A． B．0 C．3 D．4 3．（本题5分）在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（    ） A． B． C． D．或 4．（本题5分）下列说法正确的是（   ） A．若，方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．零向量与任意向量平行 D．共线向量是在同一条直线上的向量 5．（本题5分）已知点，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 7．（本题5分）在中，角所对的边分别为，且，，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 8．（本题5分）如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知任意的非零平面向量，，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 10．（本题6分）在中，下列命题正确的（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，则是等腰三角形 11．（本题6分）若平面向量满足，，且，则（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．的最大值为 三、填空题 12．（本题5分）已知，，若与平行，则实数________． 13．（本题5分）为加快推进“光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个基站，，，.已知，两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得 ， ， ， ，则，两个基站之间的距离为______.    参考数据:. 14．（本题5分）记的内角的对边分别为，，，且，，则的最小值为______. 四、解答题 15．（本题13分）已知为单位向量，向量． (1)若，求； (2)若，求与的夹角的余弦值． 16．（本题15分）设是不共线的两个向量. (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数的值. 17．（本题15分）在中，角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求边的长． 18．（本题17分）如图，在同一平面上，，，为中点，曲线上任一点到距离相等，角，，关于对称，； (1)若点与点重合，求的大小； (2)在何位置，求五边形面积的最大值．    19．（本题17分）对于平面向量，定义“变换”：， (1)若向量，，求； (2)求证：； (3)已知，，，，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $