复数核心考点综合演练-《中学生数理化》高一数学2026年7～8月刊

高一数学糖心幸点清育中学生教理化 复数核心考点综合演练 ■张振继（特级数师） 一、选择题 C.-22o2 D.i 1.已知复数1，之2在复平面内的对应点 8.设复数之1=（入+2）十（入2一c0sa)i, 关于虚轴对称，且之1=1十i,则之1心2= 之2=m十 (2+sina)i,其中a,m,a为实数。 ()。 A.-1+i B.2 若1=2，则入的取值范围是( )o n C.-2 D.-1-i A.[-6,1] B.[4,8] 2.已知a∈R,i为虚数单位，若复数之= C.(-∞，1] D.[-1,6] a一2为纯虚数，则1十ai的虚部为( )。 9.(多选题)已知复数之在复平面内的对 1-i A.2 B.2i 应点为(-是，)则( C.-2 D.-2i A.之=1 B.x十=1 3.已知复数之满足|之|=√5，且之一1为 C.≈2十x十1=0 D.之202=之 纯虚数，则之=( )。 10.(多选题)下列结论不正确的是 A.1+2i B.2-i )。 C.2士i D.1士2i A.a∈C,则a≥0 +已知复数之满足计司=兰烟 B.若=之，则之1=|之2 C.若十心=0，则之1=之：=0 ()。 D.若之=之，则之1=之 A.5-2i B.5+2i 11.(多选题)复数之满足（之一2）i=之，乏 C.4+2i D.4-2i 为复数≈的共轭复数，则下列说法不正确的 5.已知在复平面内，复数之=1十i,w 是()。 1一i对应的点分别为M,N,设O为坐标原 A.22=2i B.z2=2 点，则OM·MN=( )o C.z|=2 D.之十x=0 A.-2 B.-1 C.0 D.2 2.(多选题)已知复数“=一2+3 2i, 6.设f(n)= ()+(=)m∈N) w是w的共轭复数，则下列结论正确的是 ()。 则集合{f(n)}中元素的个数为( ) A.@=@ B.w=1 A.1 B.2 C.w2+w=-1 D.w>w C.3 D.无数 13.(多选题)若H之1，之：∈C,则下列说法 7.任何一个复数之=a十bi(a,b∈R)都 不正确的是( )o 可以表示成≈=r(cos日+isin0)(r≥0,0∈ A.若之1=1则之1∈R R)的形式，通常称之为复数的三角形式。法 B.若2十2=0，则之2为纯虚数 国数学家棣莫弗发现：[r(cos0+isin0)]"= C.之1·乏1=|之1 r"(cosn0+isin n0)(n∈N'),我们称这个结 D.(之1十：)2=|之1十xg18 论为棣莫弗定理，则(1一31)22=( )。 14.(多选题)已知复数之=(cos0一 A.1 B.222i isin0)(1+i),且之为纯虚数，则6的值可能 61 中学生数理化高数学2026年1-8月 核心考点演练 是( )。 三、解答题 A.0=-π B9=买 25.设复数之1=1十2i,之2=(a十i)(1 i),其中a∈R,i为虚数单位。 C.0=3π 4 D.9=7x (1)若之2在复平面内的对应点在第一象 限，求a的取值范围。 15.(多选题)设之1，之2是复数，则下列命 题中是真命题的是( (2)求乏1十之2|的最小值。 ）。 26.已知复数x=a十bi(a,b∈R),了t∈ A若之1一2|=0，则乏1=乏 B.若1=2，则1=2 R,使乏=2+4i-3ati成立。 C.若之1|=|之，则之= (1)求证：2a+b为定值。 D.若|之1|=之，则之1·之1=之：· (2)若|之一2|≤a,求a的取值范围。 16.(多选题)已知复数x,w均不为0，则 27.(1)设a∈R,若复数(1+i)(a+i)的 )。 对应点在实轴上，求a的值。 A.之2=|x12 (2)复数之1，之2满足之1=m十(4一m2)i, 之2=2cos0+(入+3sin0)i(m,入，0∈R),若 C.x一o=乏一o D 之1=之2，求实数入的取值范围。 二、填空题 28.(1)已知复数之在复平面内对应的向 17.已知复数之=2一i,实数a,b满足 量为Oz(O为坐标原点)，若向量OZ与实轴 x+54+6=0,则a+b=一。 正方向的夹角为120°，且之|=2，求复数之。 18.已知复数之1，心2满足之1=3，|之21 (2)已知虚数之，其实部为1，且之十2 =8,则1十之2的最大值为。 m(m∈R),求n的值 19.已知a∈Ri为虚数单位，若号为 29.(1)已知虚数之满足|之|=1，且+ 2+1 0,求虚数之。 实数，则实数a的值为 20.已知复数x满足iz=2乏+3i,则|之 (2)在复数集内解方程|x2十（≈+产）i= 3-i o24+2 2+i 21.已知复数之= 则之= 1-i 30.已知：是复数，十25,2产均为实 22.定义一种运算： a c ad一bc,则 数，且复数（之+ai)在复平面内的对应点在 -i 第一象限，求实数a的取值范围。 满足 =0的复数x= 1-i1+i 23.若关于x的方程x2+(t+3t+tx)i 31.设是虚数：=十子，且一号< =0(t∈R)有纯虚数根，则该方程的根为 1 会2 (1)求x1的值及之1实部的取值范围。 24.在数学中，记表达式ad一bc是由 a 6 所确定的二阶行列式。若在复数域 2)若。-，求证如为纯虚数 c d 32.在复平面内，O为坐标原点，复数 2+i 内，之1=1十i,2= 1-’之：=2，则当 之1=m+i是关于x的方程x2-2√3x十n=0 之1 一i时，之：的虚部为 的一个根。 2 (1)求实数m,n的值。 62 高一数学德心点清育中学生款理化 (2)若复数：=1十i:导对应的 2[os(-）+ism(-3)门所以1-5) 点分别为A,B,C,记△AOB的面积为S1, 22925。 △BOC的面积为S,求 S2 一222。应选C。 33.四边形ABCD是复平面内的平行四 8.提示：已知之1=（入十2）十（入2 边形，A,B,C,D四点对应的复数分别为1+ cos2a)i,2x2=2m+(m+2sina)i,由之1=2z 3i,2i,2+i,。 (2+2=2n, 得 所以入2一m=1一 (1)求复数之。 λ2-cos2a=m+2sina, (2)之是关于x的方程2x2一px+q=0 sin2a+2sina=-2-(sina-1)2。因为-1≤ 的一个根，求实数p,9的值。 sina≤1，所以-2≤a2-m=(2n-2)2-m 1 厂广参考答案与提示 ≤2，解得≤m≤2。所以之-2m二2-2 一、选择题 2∈[-6,1]。应选A。 1.提示：由题意得之2=一1十i,所以之1之 =(1+i)(-1十i)=i-1=-2。应选C。 9.提示：由题意得=方+所以 2提示：曲 (a-2i)(1+i) (1一i)(1+i) 1=-)+() =1,A正确。由乏 a十2+“，是纯虚数，可得a=一2，所以 2 2 名.可得十=一1不正确。女 1十ai=1一2i的虚部为一2。应选C。 3.提示：设复数之=a十bi(a,b∈R),则 ++1=(-2+)+(-2+)+1 x-1=(a一1)+bi。由|x|=5,且之-1为 fa2+b2=5, (-名)+（分+）+1=0，c正确。 纯虚数，可得 解得 {a-1=0且b≠0， 由-(+)-(-+)( a=1,所以x=1士2i。应选D。 b=±2. 4奖示：曲行号得。一12牛 )=((名+)-1可得 i 之2024=x2022·g2=(之3)74·之2=之2=乏，D正 2i+4 确。应选ACD。 2 =4-2i,所以之=5-2i,所以之=5+ 10.提示：对于A,令a=i,则a2=一1< 2i。应选B。 0,A错误。对于B,若=之，则|= 5.提示：由复数的几何意义得点M(1, ||,所以之112=之22，则之1=之2，B正 1),N(1,-1),所以OM=(1,1),ON=(1, 确。对于C,令之1=1，之2=i,满足之十之= -1),MN=ON-OM=(0,-2),所以OM· 0,此时之1=之2=0不成立，C错误。对于D, MN=(1,1)·(0,-2)=-2。应选A。 6,提示：因为告-i卡-i,所以 令=1=专+则=此时= ≠，D错误。应选ACD。 f(n)=i”+(-i)”。对n=4k,4k十1,4k+2, 11.提示：由题意得xi一2i=之，即x(i一 4k+3,k∈N"进行讨论，可得{f(n)}={0, 一2,2}。应选C。 1）=2,则×=名--1+(-1-可 2i2i(-1-i) i(-1一i)=1一i,所以之2=一2i,A错误。 7提示：因为1-1=2（合） =(1-i)(1+i)=2,1x=√2，+=1-i+1 63 中学生款理化簧心整卓清练6车7-8月 +i=2,B正确，C,D错误。应选ACD。 c,d∈R,且a,b不同时为0，c,d不同时为 12.提示：由w=一 +可得 0,=(a+bi):=a2+2abi-b2=a2-b2 +2abi。而lx|=√a+b,所以|x|2=a2+ 6,所以之=之2不成立，A不正确。兰 a+bi (a+bi)' a=(a-bi)(a+bi=之下，B正确。由 。=(-号-(-名+)=月 共轭复数得一w=(a十bi)-(c十di)= (a-c)+(b-d)i=(a-c)-(b-d)i,z=a ()=1B正确。w+w=- 1 -bi,@=c-di,z-@=(a-bi)-(c-di)= 2 (a一c)一(b一d)i=x一o,C正确。由复数的 (名+)=-1，C正确。虚数不能比较 除法得之=a十bi (a+bi)(c-di) c+di (c+di)(c-di) 大小，D不正确。应选ABC。 (ac+bd)+(bc-ad)i 13.提示：若之1=乏1，则之1的虚部为0， 所以 c++d 所以之1∈R,A正确。当之2=乏：=0时，则之 √/(ac+bd)+(bc-ad) 十2=0成立，而：不是纯虚数，B错误。令 c2+d2 。由复数的模得 之1=a十bi(a,b∈R),则乏1=a一bi,所以 之 √a'+b √a'+b·√+d 1·1=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=|之2，C w √c2+d2 c2+d2 正确。令之1=a十bi(a,b∈R),z:=m十ni (m,n∈R),则（之1十之2）2=[(a+m)+(b+ W√(a2+b)(c2+d) c2+d2 ,且(ac+bd)2+(bc n)i门2=(a+m)2-(b+n)2+2(a+m)(b+ ad)=a2c2+b2d2+b2c2+a2d2=(a2+b2). n)i可能为虚数，而之1十之：2为实数，D不正 (c2+d),所以 x 确。应选BD。 w ,D正确。应选 14.提示：已知复数之=(cos0十sin9)+ BCD。 (cos6一sin0)i,因为之为纯虚数，所以 二、填空题 cos 0++sin 0-0. 所以9=3r十k(k∈Z). cos0-sin日≠0， 4 17.提示：将=2-i代入之十50十6= 当k=0时，0=经：当灰=-1时，0=一至：当 0,可得2-计兴+b=2-i计a2+十6 k=1时，9-系.应选ACD 0,整理得(2十2a十b)十(a-1)i=0,所以 15.提示：对于A,若|之1一之：=0，则之1 2+2a+b=0'解得a=1,b=一4，所以a十 a-1=0, 一之2=0，所以之1=之2，所以1=乏2，A正确。 b=一3。 对于B,若之1=乏2，则之1，之2互为共轭复数， 18.提示：因为之1十x≤|心1|十|之2|= 所以乏1=，B正确。对于C,已知|之1|= 之：，令之1=1，x2=i,则1=1，x=一1，这 3+8=11,所以|之1+之2|的最大值为11。 时心≠，C不正确。对于D,设之1=a1十 19提示：因为品-g名书 bi,2=a2+bi,a1,b1,a2,b2∈R,若|之1|= l之：1，则√a+b=√a+b,x1·乏1=ai+ (2a-1)-(a十2)i∈R,所以a十2=0，解得 b,x2·2=a十b,所以之1·乏1=之·2，D a=一2。 正确。应选ABD。 20.提示：设复数之=x十yi(xy∈R), 16.提示：设x=a十bi,w=c+di,a,b, 则(x+yi)i=2(x一yi)+3i,所以一y+xi= 64 高-数学20车考点清籍中学生教理化 核心考点演练 2x+(3一2y)i。由复数相等的充要条件得 a=- 时，区十：取得最小值 3 |-y=2x, x=-1, 2 解得 所以|之=1一1+ x=3-2y, y=2, 26.提示：(1)因为=2+4 -3ati=2 t 2i=√（-1)+22=√5。 21.提示：因为之= e+2_)o2+2 -3ai.所以a-bi-是+（-3a) 1-i 1-i -昌a-是+，所以1：1= 3 3(1+i) 3 a= 2 t 由复数相等得 消去t得2a+ 4 √g)+()- b=3at-7' 2 b=6,所以2a+b为定值。 22.提示：由1-11+1 1 0,可得之(1 (2)因为之-2=a-2+bi,且|之一2| 1a≥0， +i)-(1-iD(-i)=0,所以x=1i)(-i边 a,所以 (a-2)2+b2a2。 1+i =-1=1=001-D-2=-1 因为2a+b=6,即b=6一2a,所以 1+i(1+i)(1一i)2 a20, 化简整理得 23.提示：设x=bi(b∈R,b≠0)是方程 (a-2)2+(6-2a)2≤a2, 的一个纯虚数根，代入方程得(bi)十(t+3t a≥0， +t·bi)i=0,整理得一b2一bt十(t+3t)i= a2-7a+10≤0， 所以a≥0， 所以2≤ 2a5, 0。由复数相等的充要条件得 a≤5，即a的取值范围是[2,5]。 |-b°-bt=0, (t=-3, 27.提示：(1)因为(1+i)(a+i)=a-1 解得 当t=一3时，原 t2+3t=0, b=3。 十(a+1)i的对应点在实轴上，所以a+1= 方程为x2-3xi=0,解得x=0或x=3i,即 0,解得a=-1。 为所求的根。 (2)由复数相等的充要条件得 24.提示：根据题意得之1 之2 m=2c0s8, =之1之一 消去m得入=一4cos0 (4-m2=λ+3sin0, 2+i13. 之：之8。因为之=22：=2+2，所以 -3sin0+4=-4(1-sin0)-3sin0+4= 5 1 4(sin 0- 312 9 之：之，=之=2。因为之1之4一4之= -i, -所以∈ 67],即实 所以1+0，-名- 数入的取值范围 -i,即(1十i),=3 [-6 28.提示：(1)由题意知OZ1=2。设复 i,整理得，=-8-》-D=1-2 2 数之的对应点为(x,y),则x=1OZ1cos120 故之：的虚部是一2。 =-1,y=士|O21sin120°=士√3，所以复数 三、解答题 之的对应点为（一1，土3），即之=一1士√3i。 25.提示：(1)因为x2=(a+i)(1-i)=a (2)设之=1+bi(b∈R,b≠0)，则m= +1+(1一a)i,且之：在复平面内的对应点在 2 2 第一象限，所以+1>0， =1+bi+1+bi =1+bi+ 解得-1<a<1, 1-a>0, 2(1-bi) 2 (1+bi)(1一bi) 1+6+6-) 所以a的取值范围为（一1,1）。 (2)由之1=1+2i得乏1=1-2i,所以 因为m∈R,所以b一 1十6=0，可得b=1, 乏1十2=a+2-(a十1)i,所以|乏1十x2|= 2 √(a+2)+(a+1)=√2a+6a+5。故当 所以m=1十 1+6=2。 65 中学生款理化终心薇室流6车-心月 29.提示：(1)设=x+yi(x,y∈R),则 (1+bi)2-a 1+2bi一(a2+b) x十y=1,所以x2+2x十1=(x-y+ (1+a)+b 1+2a+a+b2 1+2bi-1b 1+2a+1-a+1。因为b≠0， 1 3x)十y(2x十1Di。因为x+2x+1<0,所 1 1y(2x+1)=0, 年，所以ω为纯虚数。 以 因为虚数之满足y≠0， x-y2+3x<0。 32.提示：(1)（方法1）依题意得(m+i) 1 2√3(m+i)+n=0,整理得m2一1一2√3m x= 2 x2+y2=1,所以 即之= 13 2±2i。 +n+(2n-2√3)i=0。 2, 可得 m2-1-23m十n=0'解得m= (2)原方程可化为|x|+(x十之)i=1一i。 2m-2√3=0， 设之=x十yi(x,y∈R),代入方程得x2十y 3,n=4。 x2+y2=1, (方法2)依题意可得，m一i是方程x2 +2xi=1一i。由复数相等得 解 2x=-1, 2√3x十n=0的另一个根，结合韦达定理得 x=- 2 m十i计m-i=25,解得m=3n=4 得 即方程的解为之=一 (m+i)(m-i)=n, 2 1。 2 (2)由(1)知之1=√3+i。因为之2=1十 30.提示：设之=x+yi(x,y∈R),则x+ 5,所以兰-1+-1+(-D_ 2i=x十(y+2)i∈R,所以y=一2，则之=x 之1√3+i(w3+i)(√3-i) 1 1 -2i。因为2产；号(2x+2)+号(x-4)i∈ +言i所以点A5.1)B1) 2 R,所以x=4,所以之=4一2i。因为（之十ai) c停，》，所以o=5,10.o丽=1 =(12十4a-a)+8(a-2)i,且复数（之+ ai)在复平面内的对应点在第一象限，所以 ).0心=，）所以0d=O,所以 (12+4a-a>0, 解得2一a6,所以实数a 8(a-2)>0, 52 1O心1 的取值范围是(2,6)。 33.提示：(1)复平面内点A,B,C的坐 31.提示：(1)设之1=a十bi(a,b∈R,b≠ 标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)。 0,则=a+6i+a6=(a+a千6)十 设点D的坐标为(x,y)。因为AD= BC,所以(x-1,y-3)=(2,-1),所以x 亿一。名。由题意得R,b≠0，所以 1=2,y一3=一1，解得x=3,y=2,即点 a+6=0,即Q+6=1,所以111=1. b D(3,2)。故点D对应的复数x=3+2i。 b (2)因为3+2i是关于x的方程2x 由上得：=2a结合-号≤：≤号得-名< 1 px+q=0的一个根，所以3一2i是关于x的 方程2x2一px十q=0的另一个根，则3十 2a<3解得-子<a<子，所以：，实部的取 2i+3-2i=号(3+2)8-2i)=号，解符 值他国为[子引 p=12,q=26。 (2)由乏1=a-bi(a,b∈R,b≠0)得w= 作者单位：河南商丘市夏邑县佳合高中 1-1= (责任编辑郭正华) 1-a+bi (1-a+bi)(1+a+bi) 1+1-1+a-b (1+a-bi)(1+a+bi) 66