专题05 复数（高效培优专项训练）高一数学北师大版必修第二册

**基本信息** 聚焦复数核心概念与运算，按“概念-运算-几何意义-综合应用”递进设计，覆盖高频考点，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与分类|14题（含多选）|考查实部虚部、分类（实数/纯虚数）|从定义出发，建立复数分类标准| |四则运算|15题|基础运算及运算性质应用|概念延伸，培养代数运算能力| |几何意义|10题|复平面内点的位置、向量表示|数形结合，发展几何直观| |共轭复数|11题（含多选）|共轭复数概念及性质应用|概念深化，构建复数间关系| |求模及最值|19题（含多选）|模的计算、最值问题|综合应用，提升数学思维| |解答题|17题|分类讨论、方程根等综合问题|知识整合，培养问题解决能力|

专题05 复数 题型一：复数的概念与分类 题型二：复数的四则运算 题型三：复数的几何意义 题型四：复数综合1：共轭复数 题型五：复数综合2：复数求模及最值 题型六：复数综合3：解答题 题型一：复数的概念与分类 1．(25-26高一下·湖南长沙明德中学·期中)复数，则复数z的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 2．(25-26高一下·黑龙江牡丹江第三高级中学·期中)复数 的虚部是（ ） A．3 B．4 C． D． 3．已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 4．已知复数，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 5．(25-26高一下·广西南宁宾阳中学·期中)已知，，则（   ） A． B．7 C．8 D．6 6．(25-26高一下·吉林东北师范大学附属中学·期中)复数（其中i为虚数单位）是实数，则实数a的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．0或 7．(25-26高一下·贵州贵阳·月考)下列复数中，是实数的是（   ） A． B． C． D． 8．(25-26高一下·贵州毕节第一中学·期中)已知复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 9．(25-26高一·江苏连云港赣榆区·期中)已知集合，，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 10．(25-26高一下·河北石家庄精英中学·调研)若复数是方程的一个根，其中，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 11．(25-26高一下·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知复数是纯虚数，则__________． 12．(25-26高一下·河北沧州沧衡八县联考·期中)已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积小于0，则实数x的取值范围是______． 13．(25-26高一下·贵州贵阳·月考)（多选）关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（   ） A．当时，是实数 B．当且时，是纯虚数 C．复数的模 D．虚数单位满足 14．(25-26高一下·广西河池高级中学等学校·)（多选）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．复数的虚部为 B．，则实数的值分别为3，2 C． D． 题型二：复数的四则运算 1．(25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔教联体·期中)已知复数，则（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高一下·贵州贵阳·月考)计算（为虚数单位）的结果是（   ） A．3 B． C． D．1 3．(25-26高一下·宁夏吴忠兰亭中学·期中)计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高一下·贵州贵阳·月考)已知复数，则___________． 5．(25-26高一下·河北张家口宣化第一中学等校·期中)（    ） A． B． C． D． 6．(25-26高一下·湖北武汉部分重点中学（六校）·期中)若复数，则（   ） A． B． C． D． 7．(25-26高一·福建龙岩学院附属中学·期中)下列有关复数的计算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．(25-26高一下·山东济南西城实验中学·)（    ） A． B． C． D． 9．(25-26高一下·重庆礼嘉中学·期中)已知复数，则（   ） A． B． C． D． 10．(25-26高一·山东滕州第二中学等学校·期中)已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 11．(25-26高一下·河北保定定州·期中)已知，则的虚部为__________. 12．(25-26高一下·河北邢台卓越联盟·)复数的虚部为（    ） A．1 B． C．3 D． 13．(25-26高一·陕西榆林靖边中学·月考)的虚部为（    ） A．4 B． C． D．2 14．(25-26高一·山东枣庄第三中学·期中)若复数，则z的虚部为（   ） A． B． C． D． 15．(25-26高一·黑龙江佳木斯第二中学·期中)已知复数则的虚部为（    ） A． B． C． D． 题型三：复数的几何意义 1．(25-26高一·浙江嘉兴清华附中嘉兴实验高级中学·期中)若复数，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(25-26高一下·山东济宁第一中学·期中)设，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．(25-26高一下·黑龙江龙东十校联盟·期中)复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．(25-26高一下·河南郑州第一中学·期中)在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 5．(25-26高一·浙江A9协作体·期中)在复平面内，复数所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．(25-26高一下·河北唐山第二中学·期中)设O为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为_______. 7．(25-26高一·新疆乌鲁木齐实验学校·期中)如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量 对应的复数分别为 则 =（    ） A． B． C．5 D． 8．(25-26高一下·安徽临泉田家炳实验中学·期中)已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则向量表示的复数为（   ） A． B． C． D． 9．(25-26高一下·安徽蚌埠禹王学校等A10联盟·期中)在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 10．(25-26高一下·河北南宫中学等校·期中)（多选）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则的值可能是（    ） A． B． C．3 D．4 题型四：复数综合1：共轭复数 1．(25-26高一·天津西青区·)设复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高一下·吉林长春九台区第一中学、农安县实验中学等校·期中)复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 3．(25-26高一下·河南安阳文峰区、林州普通高中·期中)已知复数，则的虚部为（   ） A．3 B． C． D． 4．(25-26高一·福建厦门外国语学校·期中)若复数在复平面对应的点为，的共轭复数为，则_____. 5．(25-26高一下·江苏常州北郊高级中学·期中)已知复数满足，则（    ） A．2 B．4 C． D．8 6．(25-26高一下·河北沧州沧衡八县联考·期中)复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（    ） A． B．2 C． D． 7．(25-26高一下·山东临沂兰山区·)已知复数满足，则___________． 8．(25-26高一下·山西晋中榆次区第二中学·期中)已知复数，其中i为虚数单位，则________． 9．(25-26高一·山西太原师范学院附属中学·期中)（多选）设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 10．(25-26高一·浙江嘉兴八校联盟·期中)（多选）已知复数，则下列叙述正确的是（    ） A．的实部为1 B．的共轭复数为 C． D． 11．(25-26高一·江苏无锡第六高级中学·期中)（多选）已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（    ） A． B．的实部是4 C．的共轭复数 D．在复平面上对应点在第二象限 题型五：复数综合2：复数求模及最值 1．(25-26高一下·广东广州第二中学·期中)______. 2．(25-26高一·浙江嘉兴清华附中嘉兴实验高级中学·期中)已知为虚数单位，若 ，则______． 3．(25-26高一下·福建莆田第二十四中学·月考)设是虚数单位，则的值为________. 4．已知是虚数单位，则______． 5．(25-26高一下·河北南宫中学等校·期中)已知，则（    ） A．5 B． C．25 D． 6．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 7．(25-26高一·福建龙岩学院附属中学·期中)已知复数z有，则______． 8．(25-26高一·山东济宁实验中学等校·期中)若复数满足，则（   ） A． B．2 C． D．3 9．若复数，则（    ） A． B． C． D． 10．(25-26高一下·湖南邵阳第二中学等校·期中)（多选）若复数，则下列选项正确的有（    ） A． B．的共轭复数为 C．为实数 D．在复平面内对应的点位于第四象限 11．(25-26高一下·河北张家口宣化第一中学等校·期中)（多选）已知复数，则（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D． 12．(25-26高一下·安徽六安第二中学河西校区·期中)（多选）设复数在复平面内对应的点为，i为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．任何两个复数不能比较大小 B．若，则或 C．若，则点的集合所构成的图形的面积为π D．若点坐标为，且z是关于x的实系数方程的一个根，则 13．(25-26高一下·湖北襄阳第三中学·月考)（多选）已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在虚轴上 D．若复数满足条件，则复数对应点的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界 14．(25-26高一下·河南郑州第一中学·期中)（多选）已知为虚数单位，则下列选项中错误的是（    ） A．复数是纯虚数，则 B．若，则 C．若，则的最大值为 D．若，则 15．(25-26高一下·浙江平湖当湖高级中学等校·)（多选）已知复数，，下列选项正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若在复平面内复数对应的点在第二象限，则的取值范围为 D．的最小值为 16．(25-26高一·江苏无锡第三高级中学·期中)（多选）已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若复数，则， C．若，则 D．若，则的最大值为 17．(25-26高一下·河北石家庄精英中学·调研)（多选）已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（   ） A． B．的虚部为 C． D．复数满足，则的最大值为6 18．(25-26高一·山西晋中平遥县第三中学校·期中)（多选）在复平面内，复数对应点分别为.已知，则（    ） A． B． C． D． 19．(25-26高一下·四川凉山州西昌·期中)（多选）已知复数在复平面上对应的点为，复数满足，则下列结论中正确的是（   ）. A．点的坐标为 B． C．的最大值为 D．的最小值为 题型六：复数综合3：解答题 1．(25-26高一下·贵州贵阳·月考)已知复数，（为虚数单位），求： (1)的模；(2)；(3)若，求的共轭复数． 2．(25-26高一·江苏南京金陵中学·期中)设复数 （其中为虚数单位，），. (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值. 3．(25-26高一下·河北张家口宣化第一中学等校·期中)设复数． (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内表示复数的点位于第二象限，求的取值范围． 4．(25-26高一·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)已知复数，其中为虚数单位，. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围. 5．(25-26高一·天津蓟州区·期中)当实数取何值时，复数满足： (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第四象限． 6．(25-26高一下·吉林长春九台区第一中学·期中)已知复数，，． (1)若为实数，求m的值； (2)若为纯虚数，求； (3)证明：在复平面内对应的点位于第四象限． 7．(25-26高一下·重庆南开中学校·期中)已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数. (1)求复数； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 8．(25-26高一下·山西祁县中学校·月考)当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？ (1)位于第二象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上. 9．(25-26高一·江苏连云港赣榆区·期中)已知复数，，，i为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若为正实数，求. 10．(24-25高一下·福建南平·期末)已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 11．(25-26高一·广东肇庆端州中学·期中)已知复数，． (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 12．(25-26高一下·安徽太湖中学等校·)已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 13．(25-26高一下·河北沧州沧衡八县联考·期中)已知复数． (1)若复数z在复平面内对应点，求实数m的值； (2)若复数，求m的值． 14．(25-26高一·山东枣庄第三中学·期中)已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，. (1)求m的值； (2)求的值. 15．(25-26高一·浙江宁波鄞州中学·期中)复数其中，复数满足，其中为虚数单位． (1)若为虚数，求的取值范围； (2)求与； (3)求的最小值． 16．(25-26高一下·湖北海亮教育仙桃第一中学·期中)已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位． (1)求z； (2)若复数z是方程（m，）的一个解，求的值． 17．(25-26高一·江苏南京外国语学校·期中)已知复数，，其中为虚数单位，. (1)若是实数，求的值； (2)设复数，对应的向量分别是，，若，求的值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 复数 题型一：复数的概念与分类 题型二：复数的四则运算 题型三：复数的几何意义 题型四：复数综合1：共轭复数 题型五：复数综合2：复数求模及最值 题型六：复数综合3：解答题 题型一：复数的概念与分类 1．(25-26高一下·湖南长沙明德中学·期中)复数，则复数z的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】复数，则复数z的虚部为1. 2．(25-26高一下·黑龙江牡丹江第三高级中学·期中)复数 的虚部是（ ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】复数 的虚部是. 3．已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得复数的虚部为. 4．已知复数，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】，所以的虚部为. 5．(25-26高一下·广西南宁宾阳中学·期中)已知，，则（   ） A． B．7 C．8 D．6 【答案】C 【详解】因为，可得，即，所以. 6．(25-26高一下·吉林东北师范大学附属中学·期中)复数（其中i为虚数单位）是实数，则实数a的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．0或 【答案】C 【详解】由题可知，所以 7．(25-26高一下·贵州贵阳·月考)下列复数中，是实数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】四个选项中只有选项C 的复数的虚数单位的系数是零，因此只有是实数. 8．(25-26高一下·贵州毕节第一中学·期中)已知复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为复数是纯虚数，则，解得. 9．(25-26高一·江苏连云港赣榆区·期中)已知集合，，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，，，所以，所以. 10．(25-26高一下·河北石家庄精英中学·调研)若复数是方程的一个根，其中，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为复数是方程的一个根，所以复数是方程的另一个根， 所以，且，即，． 11．(25-26高一下·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知复数是纯虚数，则__________． 【答案】 【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得． 12．(25-26高一下·河北沧州沧衡八县联考·期中)已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积小于0，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为，因为复数的实部与虚部之积小于0，可得，解得，所以实数x的取值范围为． 13．(25-26高一下·贵州贵阳·月考)（多选）关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（   ） A．当时，是实数 B．当且时，是纯虚数 C．复数的模 D．虚数单位满足 【答案】AB 【详解】A. 当时，复数简化为，其中为实数，故是实数，A正确.B. 当且时，复数，其中为非零实数，符合纯虚数定义，B正确.C. 复数的模定义为，选项中为立方根，C错误.D. 虚数单位满足，选项中为，D错误. 14．(25-26高一下·广西河池高级中学等学校·)（多选）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．复数的虚部为 B．，则实数的值分别为3，2 C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，复数的虚部为，A错误；对于B，，所以，B正确；对于C，，C错误；对于D，以4为循环，每四项和都为0，所以，D正确. 题型二：复数的四则运算 1．(25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔教联体·期中)已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为复数，则.，故B正确. 2．(25-26高一下·贵州贵阳·月考)计算（为虚数单位）的结果是（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【详解】． 3．(25-26高一下·宁夏吴忠兰亭中学·期中)计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得原式. 4．(25-26高一下·贵州贵阳·月考)已知复数，则___________． 【答案】 【详解】. 5．(25-26高一下·河北张家口宣化第一中学等校·期中)（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为. 6．(25-26高一下·湖北武汉部分重点中学（六校）·期中)若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：. 7．(25-26高一·福建龙岩学院附属中学·期中)下列有关复数的计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，等号两边的两个复数实部不相等（虚部也不相等），它们不可能相等，A错； 选项B，由复数减法法则得，B错； 选项C，由复数乘法法则得，C错； 选项D，由复数乘法法则得，D正确． 8．(25-26高一下·山东济南西城实验中学·)（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 9．(25-26高一下·重庆礼嘉中学·期中)已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 10．(25-26高一·山东滕州第二中学等学校·期中)已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 11．(25-26高一下·河北保定定州·期中)已知，则的虚部为__________. 【答案】 【详解】由题意得，则，可得虚部为. 12．(25-26高一下·河北邢台卓越联盟·)复数的虚部为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】因为，所以复数的虚部为1． 13．(25-26高一·陕西榆林靖边中学·月考)的虚部为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【详解】因为，所以的虚部为2. 14．(25-26高一·山东枣庄第三中学·期中)若复数，则z的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以z的虚部为. 15．(25-26高一·黑龙江佳木斯第二中学·期中)已知复数则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故复数的虚部为. 题型三：复数的几何意义 1．(25-26高一·浙江嘉兴清华附中嘉兴实验高级中学·期中)若复数，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限 2．(25-26高一下·山东济宁第一中学·期中)设，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】因为，所以z在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限. 3．(25-26高一下·黑龙江龙东十校联盟·期中)复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 4．(25-26高一下·河南郑州第一中学·期中)在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由复数的几何意义可得. 5．(25-26高一·浙江A9协作体·期中)在复平面内，复数所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】.则其在复平面内所对应的点的坐标为，则对应的点在第二象限. 6．(25-26高一下·河北唐山第二中学·期中)设O为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为_______. 【答案】7 【详解】由题意得，，所以向量对应的复数的虚部为7. 7．(25-26高一·新疆乌鲁木齐实验学校·期中)如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量 对应的复数分别为 则 =（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】依题意，，则，因此， 所以. 8．(25-26高一下·安徽临泉田家炳实验中学·期中)已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则向量表示的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据向量的三角形法则：. 9．(25-26高一下·安徽蚌埠禹王学校等A10联盟·期中)在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，，． 10．(25-26高一下·河北南宫中学等校·期中)（多选）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则的值可能是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】AB 【详解】由题可得，解得，故AB符合题意． 题型四：复数综合1：共轭复数 1．(25-26高一·天津西青区·)设复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，故 2．(25-26高一下·吉林长春九台区第一中学、农安县实验中学等校·期中)复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故共轭复数为. 3．(25-26高一下·河南安阳文峰区、林州普通高中·期中)已知复数，则的虚部为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】，故，的虚部为. 4．(25-26高一·福建厦门外国语学校·期中)若复数在复平面对应的点为，的共轭复数为，则_____. 【答案】 【详解】由复数的几何意义可得，所以，故. 5．(25-26高一下·江苏常州北郊高级中学·期中)已知复数满足，则（    ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】B 【详解】因为，则；因为，故；则；故． 6．(25-26高一下·河北沧州沧衡八县联考·期中)复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则，其虚部为2． 7．(25-26高一下·山东临沂兰山区·)已知复数满足，则___________． 【答案】 【详解】设，则，，代入原式得， ，即，解得，． 8．(25-26高一下·山西晋中榆次区第二中学·期中)已知复数，其中i为虚数单位，则________． 【答案】 【详解】，所以，所以. 9．(25-26高一·山西太原师范学院附属中学·期中)（多选）设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ACD 【详解】设，.若，则,A正确；，若，则，故取，则，B错误；若，则对应的点在第三象限，C正确；若，则点的集合所构成的图形的面积为，D正确. 10．(25-26高一·浙江嘉兴八校联盟·期中)（多选）已知复数，则下列叙述正确的是（    ） A．的实部为1 B．的共轭复数为 C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，的实部为1，正确；对于B，的共轭复数为，正确；对于C，，正确；对于D，，错误. 11．(25-26高一·江苏无锡第六高级中学·期中)（多选）已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（    ） A． B．的实部是4 C．的共轭复数 D．在复平面上对应点在第二象限 【答案】AD 【详解】选项A，，A正确；选项B，的实部是，是虚部，B错误；选项C，的共轭复数，C错误；选项D，复平面中，对应点为，横坐标负、纵坐标正，对应点在第二象限，D正确. 题型五：复数综合2：复数求模及最值 1．(25-26高一下·广东广州第二中学·期中)______. 【答案】1 【详解】. 2．(25-26高一·浙江嘉兴清华附中嘉兴实验高级中学·期中)已知为虚数单位，若 ，则______． 【答案】 【详解】由，故． 3．(25-26高一下·福建莆田第二十四中学·月考)设是虚数单位，则的值为________. 【答案】 【详解】由题得. 4．已知是虚数单位，则______． 【答案】1 【详解】由，则. 5．(25-26高一下·河北南宫中学等校·期中)已知，则（    ） A．5 B． C．25 D． 【答案】B 【详解】，则． 6．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，所以. 7．(25-26高一·福建龙岩学院附属中学·期中)已知复数z有，则______． 【答案】 【详解】已知，，． 8．(25-26高一·山东济宁实验中学等校·期中)若复数满足，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】设，则，所以， 因为，所以，即，则. 9．若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】.所以. 10．(25-26高一下·湖南邵阳第二中学等校·期中)（多选）若复数，则下列选项正确的有（    ） A． B．的共轭复数为 C．为实数 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】CD 【详解】由题意，对于A：，故A错误；对于B：的共轭复数为，故B错误；对于C：为实数，故C正确；对于D：，故复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确. 11．(25-26高一下·河北张家口宣化第一中学等校·期中)（多选）已知复数，则（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D． 【答案】BD 【详解】由，故的虚部为1，故A错误；而，故B正确； ，故C错误；，故D正确． 12．(25-26高一下·安徽六安第二中学河西校区·期中)（多选）设复数在复平面内对应的点为，i为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．任何两个复数不能比较大小 B．若，则或 C．若，则点的集合所构成的图形的面积为π D．若点坐标为，且z是关于x的实系数方程的一个根，则 【答案】CD 【详解】A：复数包含实数和虚数，虚数不能比较大小，但实数可以比较大小，故A错；B：设，则可以得到，即，有好多种情况，例如，，，此时，故B错：C：设，则，即，所以的集合所构成的图形为环形，如下所示：所以面积为.故C正确.D：若的坐标为，则，又是关于的实系数方程的一个根，所以， 所以，解得，，故D正确； 13．(25-26高一下·湖北襄阳第三中学·月考)（多选）已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在虚轴上 D．若复数满足条件，则复数对应点的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，，根据虚数不能直接比较大小，故A错误；对于B，设，若复数等于零，则，所以，若，则，即复数等于零， 综上，复数等于零的充要条件是它的模等于零,故B正确；对于C，设，若为纯虚数，则，对应点的坐标为，由于其对应点的横坐标为0，且，所以复数在复平面内对应的点在虚轴上，故C正确；对于D，设复数，若复数满足条件，则有，故复数对应点的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界，D正确； 14．(25-26高一下·河南郑州第一中学·期中)（多选）已知为虚数单位，则下列选项中错误的是（    ） A．复数是纯虚数，则 B．若，则 C．若，则的最大值为 D．若，则 【答案】BD 【详解】对A，由是纯虚数，可得，解得：，故A正确；对，所以是正实数．例如：满足要求，但虚数不能比较大小，所以不能说，故B错误．对C，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，可看作单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为，则该单位圆上的点到点的距离最大值为，故C正确；对D，当时，此时，但是，可见，故D错误. 15．(25-26高一下·浙江平湖当湖高级中学等校·)（多选）已知复数，，下列选项正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若在复平面内复数对应的点在第二象限，则的取值范围为 D．的最小值为 【答案】BCD 【详解】由为纯虚数，则，故A错误；由，故B正确；由在复平面内复数对应的点在第二象限，则，故C正确；由，故D正确. 16．(25-26高一·江苏无锡第三高级中学·期中)（多选）已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若复数，则， C．若，则 D．若，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，故，所以，符合纯虚数(实部为，虚部不为的复数)的定义，所以是纯虚数，故A正确；对于B，因为复数能比大小的充要条件是两数均为实数，若复数，所以，必为实数，故B正确；对于C，当，时，，但，，与矛盾，故C错误；对于D，，表示复平面上以点为圆心，半径为的圆，表示圆上的点到原点的距离，如图所示，最大值为，故D正确. 17．(25-26高一下·河北石家庄精英中学·调研)（多选）已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（   ） A． B．的虚部为 C． D．复数满足，则的最大值为6 【答案】ACD 【详解】复数在复平面内对应的向量，则．的虚部为，故A，C正确，B错误；由复数满足，所以点的集合是以点为圆心，以1为半径的圆， 所以，故D正确． 18．(25-26高一·山西晋中平遥县第三中学校·期中)（多选）在复平面内，复数对应点分别为.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设，因为，可得，解得或，所以或. 19．(25-26高一下·四川凉山州西昌·期中)（多选）已知复数在复平面上对应的点为，复数满足，则下列结论中正确的是（   ）. A．点的坐标为 B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【详解】由在复平面内对应的点为，故A正确；又，所以，故B正确；设，，所以，所以，所以复数在复平面内对应的点，在以圆心为圆心，半径为的圆上，又，所以表示的是复数和在复平面内对应的两点之间的距离，即，又，所以的最大值为，故C正确； 所以的最小值为，故D错误； 题型六：复数综合3：解答题 1．(25-26高一下·贵州贵阳·月考)已知复数，（为虚数单位），求： (1)的模；(2)；(3)若，求的共轭复数． 【详解】（1）， . （2） （3）因为，所以. 2．(25-26高一·江苏南京金陵中学·期中)设复数 （其中为虚数单位，），. (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值. 【详解】（1）因为 ， ，所以 ， 因为 是实数，所以，解得 ，则 ， 所以 ； （2） 因为 是纯虚数，所以且 ， 则得，满足 ，故. 3．(25-26高一下·河北张家口宣化第一中学等校·期中)设复数． (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内表示复数的点位于第二象限，求的取值范围． 【详解】（1）若是纯虚数，则，解得． （2）由题意知，解得，所以的取值范围为. 4．(25-26高一·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)已知复数，其中为虚数单位，. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围. 【详解】（1）由z是纯虚数，则，，故. （2）由z在复平面内对应的点在第一象限，，，所以或. 5．(25-26高一·天津蓟州区·期中)当实数取何值时，复数满足： (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第四象限． 【详解】（1）若为实数，则，解得或； （2）若为纯虚数，则，解得或； （3）若在复平面内对应的点在第四象限， 则，即，解得，解得， 故的取值范围为. 6．(25-26高一下·吉林长春九台区第一中学·期中)已知复数，，． (1)若为实数，求m的值； (2)若为纯虚数，求； (3)证明：在复平面内对应的点位于第四象限． 【详解】（1）由题意，. 若为实数，则，解得. （2）由（1）知，. 若为纯虚数，则，解得. 所以. （3） 在复平面内对应的点为. 因为，， 所以横坐标为正，纵坐标为负，故对应点位于第四象限. 7．(25-26高一下·重庆南开中学校·期中)已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数. (1)求复数； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为为纯虚数， 所以且，所以，故； （2）因为复数， 且在复平面内对应的点在第二象限，所以， 故实数的取值范围是. 8．(25-26高一下·山西祁县中学校·月考)当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？ (1)位于第二象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上. 【详解】（1）复数在复平面内对应点为， 因为在第二象限，所以，解得或， 所以的取值范围为. （2）由题意可知或， 解得或或， 所以的取值范围为. （3）由题意得，解得. 9．(25-26高一·江苏连云港赣榆区·期中)已知复数，，，i为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若为正实数，求. 【详解】（1）， 因为为纯虚数，所以且，得. （2）， 因为，所以为实数， 所以且，得， 所以，所以. 10．(24-25高一下·福建南平·期末)已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【详解】（1）因为复数是纯虚数，所以. 由，解得或. 当时，    ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为1； （2）当时，复数， 由题意知复数是关于x的方程的一个根. 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数. 所以由韦达定理可得，解得. 11．(25-26高一·广东肇庆端州中学·期中)已知复数，． (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【详解】（1）复数，其中实部为，虚部为， 由纯虚数的定义得： ，解得. （2）当时， ， z是关于x的方程的一个根，得： ， 由复数相等的充要条件得： ， 解得， 代入方程得. 12．(25-26高一下·安徽太湖中学等校·)已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 【详解】（1）由题意可知：， 因为z是纯虚数，则，解得. （2）因为是关于的方程的一个根， 则，整理得， 则，解得，，所以. 13．(25-26高一下·河北沧州沧衡八县联考·期中)已知复数． (1)若复数z在复平面内对应点，求实数m的值； (2)若复数，求m的值． 【详解】（1）若复数z在复平面内对应点，则有，解得； （2）设复数， 若为负实数，则有，则有且，即为纯虚数． 因复数，则复数z为纯虚数，即，解得． 14．(25-26高一·山东枣庄第三中学·期中)已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，. (1)求m的值； (2)求的值. 【详解】（1）因为复数是纯虚数，则， 即，所以或且，，解得，所以m的值为3. （2）由（1）知，又，，，， 则（）， 所以 15．(25-26高一·浙江宁波鄞州中学·期中)复数其中，复数满足，其中为虚数单位． (1)若为虚数，求的取值范围； (2)求与； (3)求的最小值． 【详解】（1）因为复数为虚数，所以，所以. （2）因为复数满足，所以， 化简得，所以. 所以. （3）因为复数，，所以. 所以， 根据二次函数的性质可得，所以， 所以的最小值为. 16．(25-26高一下·湖北海亮教育仙桃第一中学·期中)已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位． (1)求z； (2)若复数z是方程（m，）的一个解，求的值． 【详解】（1）设（），则为实数， 所以，即，所以 因为 为实数，即 ，解得 ， 将 ， 代入 ，可得 . （2）因为复数z是方程（m，）的一个解， 代入可得， 因为 则方程变为，整理得： 所以，解得，，所以． 17．(25-26高一·江苏南京外国语学校·期中)已知复数，，其中为虚数单位，. (1)若是实数，求的值； (2)设复数，对应的向量分别是，，若，求的值. 【详解】（1）因是实数， 则，即，又，，则，即， 此时； （2）由题意可知， 则，， 因为， 所以 ， 即，又因为， 所以，故. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $