函数的概念与性质核心考点强化训练-《中学生数理化》高一数学2026年7～8月刊

中学生款理化簧心整卓清练6车7-8月 函数的概念与性质核心考点强化训练 ■王国平（特级教师） 一、选择题 7.已知函数f(x)是三次函数且是幂函 1.已知二次函数f(x)满足f(2)=一1， 数，g(x)= f(x)十2x+ 2 ，则g(-2025)十 f(1一x)=f(x),且f(x)的最大值是8，则 此二次函数的解析式为f(x)=( )。 g(-2024)+g(-2023)+…+g(0)+…+ A.-4x2+4x+7 g(2023)+g(2024)+g(2025)=()。 B.4x2+4x+7 A.4051 B.8100 C.-4x2-4x+7 C.8102 D.9094 D.-4x2+4x-7 8.已知函数f(x)满足f(x+y十1)= 2.已知f(x)是定义在R上的函数，且 f(x)十f(y),则下列结论一定正确的是 f(2x一1)为偶函数，f(x一2)为奇函数，当 ( )。 x∈[0,1门时，f(x)=-1,则f(11)= A.f(x)十1是奇函数 22 B.f(x一1)是奇函数 )。 C.f(x)一1是奇函数 1 A.-1 C.2 D.1 D.f(x+1)是奇函数 3若函数(+)=+是 ,且f(m) 9.(多选题)已知函数f()=x-二(a ≠0)，则下列说法正确的是()。 =4,则实数m的值为( )。 A.当a>0时，f(x)在定义域上单调 A.√6 B.√6或一√ 递增 C.-√6 D.3 B.当a=一4时，f(x)的单调递增区间 4.若幂函数f(x)=(m2一n一1)· 为(-∞，-2)，(2，十∞) xm-3在(0，十∞)上单调递增，则实数m的 C.当a=一4时，f(x)的值域为（一∞， 值为( )。 -4]U[4,+∞) A.2 B.1 D.当a>0时，f(x)的值域为R C.-1 D.-2 10.(多选题)对于定义域为D的函数 5.函数f(x)=[x]被称为取整函数，也 f(x),若存在区间[a,b]三D,使得f(x)在 被称为高斯函数，其中[x]表示不大于实数x 区间[a,b]上单调，且在区间[a,b]上的值域 的最大整数。若Vm∈(0，十∞)，满足[x] 为[a,b],则称区间[a,b]是函数f(x)的一 十[x]≤m+1,则x的取值范围是( )。 个“优美区间”，则下列函数中不存在“优美区 m 间”的是( )。 A.[-1,2] B.(-1,2) A.f(x)=2.x+1 C.[-2,2) D.(-2,2] 6.若函数y=f(x)一1是定义在R上的 B.r)- 奇函数，则f(一1)十f(0)十f(1)=( )。 C.f(x)=2-|x A.3 B.2 D.f(x)=x2+1 C.-2 D.-3 11.(多选题)已知函数f(x)满足对任意 36 高一数学德心点清育中学生款理化 x∈R,都有f(x+3)=f(1一x),且对任意 4],则函数y=f(x2)+[f(x)]的值域为 x1x:∈[2，+o),fx)-f(x) 1一x2 <0(x1≠ 17.已知函数f(x)的定义域为（一4， x),则下列结论正确的是( ）。 一2)，则函数g(x)=f(x一1)+√x+2的定 A.f(-a+a+1)≤f(） 义域为一。 B.对任意x∈R,f(x)f(2) 1&,已知函数f(一)=+是则 C.f(0)>f(3) D.若f(m)>f(-1),则-1<m<5 f(径)=一：若函数g(x)满足2g(x)+ 12.(多选题)设函数f(x)的定义域为 R,f(x)为奇函数，f(1+x)=f(1一x), g(日）=x,则g(2)=一 f(3)=1,则()。 A.f(-1)=1 19.已知西数y=牛号x∈(mn的 B.f(x)=f(4+x) 最小值为8，则实数m的取值范围是一。 C.f(x)=f(4-x) 20.函数f()=2的值域为一 18 x2十2 D.∑f(k)=-1 =1 21.已知f(x+2)为偶函数，且f(x+2) 13.(多选题)已知函数f(x)的定义域为 +f(x)=-6,则f(2027)=。 R,f(x)不恒为零，且f(x+y)+f(x一y) 22.已知函数f(x)的定义域为R,f(x =2f(x)f(y),则()。 1)+f(x+1)=f(3),f(-2x+2)为偶函 A.f(0)=1 B.f(x)为偶函数 数，且（侵）=1，则（侵）=一艺+ C.f(x)在x=0处取得最小值 1Dr(k-)=一 D.若f(a)=0,则f(x)=f(x+4a) 14.(多选题)已知函数f(x)=ax2一 23.已知函数f(x)=一 2十，若 2bx一1，则下列结论正确的是()。 f(x)的定义域为[m,n](m<1),值域为 A.若f(x)是偶函数，则b=0 [2m,2n],则m十n=。 B.若f(x)<0的解集是（一1,1），则 三、解答题 a6=1 24.已知二次函数f(x)满足f(x十2) C.若a=1,则f(x)>0恒成立 f(x)=4x+6,且f(-1)=0。 D.Ha≤0，b<0,f(x)在(-∞，0)上单 (1)求f(x)的解析式。 调递增 (2)记g(x)=f(x)-x2-|2x-m,m 15.(多选题)已知定义在R上的函数 ∈R,当x∈[m,m+2]时，求g(x)的最大值 f(x),满足对任意的实数x,y,均有f(x十 (用m表示)。 y)=f(x)+f(y)一1，且当x>0时，f(x) 25.设函数f(x)与g(x)的定义域是 1,则()。 (x|x∈R且x≠土1}，∫(x)是偶函数，g(x) A.f(0)=1 B.f(1)+f(-1)=1 是奇函数，且f(x)十gx)-二 C.函数f(x)为减函数 (1)求f(x)与g(x)的解析式。 D.函数y=f(x)的图像关于点(0,1) 对称 (2)求f(2）+f(3)+f()+f(2)+ 二、填空题 f(3)+f(4)的值。 16.若函数f(x)=x一1的定义域为[0， 26.(1)已知f(x)是二次函数，且满足 37 中学生款理化接心整卓清练6车7-8月 f(0)=1,f(x+1)一f(x)=2x,求f(x)的 (2)有两个实根a,B,且满足0<a<1< 表达式。 B4。 (2)已知f(2x+1)=4x2+4x,求f(x) (3)至少有一个正根。 的表达式。 31.对于定义在R上的函数f(x),若在 (3)已知f(x)-2f() =3x十2，求 区间[p,g](p<g)上存在最小值m和最大 值M,且满足p≤m<M≤q,则称f(x)是区 f(x)的表达式。 间[p,q]上的“聚集函数”。现给定函数 27.已知f(x)是定义在(0，十∞)上的函 数，Hx>0,y>0,f(xy)=f(x)+f(y),且 当x>1时，f(x)<0。 (1)当a=2时，求函数f(x)在[一1,4] (1)求f(1)的值。 上的最大值和最小值，并判断f(x)是不是 (2)求证：f(x)是(0，十∞)上的减函数。 “聚集函数”。 (3)若f(2)=一3，求不等式f(x一7)一 (2)若函数f(x)是[一1,4]上的“聚集函 f()>一9的解集. 数”，求实数a的取值范围。 32.我们知道，函数y=p(x)的图像是关 28.已知f(x)是定义在D上的函数，对 于坐标原点的中心对称图形的充要条件是函 任意的x∈D,存在常数M>0,使得f(x)≤ 数y=(x)为奇函数，有同学发现可以将其 M恒成立，则称f(x)是D上的受限函数，M 推广为：函数y=f(x)的图像是关于点 为f(x)的限定值。 P(a,b)的中心对称图形的充要条件是函数 (1)若函数f(x)=-x2+2x+n在[0， y=f(x十a)一b为奇函数。给定函数 3]上是限定值为8的受限函数，求m的最大 F(z)=x- 6 值。 x十1。 (2)已知函数f(x)=√9-x+4,判断 (1)求函数F(x)图像的对称中心。 ∫(x)是不是受限函数。若是，求出f(x)的 (2)已知f(x)为奇函数，若函数y= 限定值M的最小值；若不是，请说明理由。 f(x一1)+2与y=3一x的图像共有n(n∈ N)个交点：A1(x1,y1),A2(x,y2),…,A。 《3)若函数f(x)=ax+名一x在 x (xmyn),且(x1+y1)+(x2十y2)+…+(x。 [合3]上是限定值为山的受限函数，求实数 +ym)=2025,求n的值。 (3)已知函数g(x)的图像关于点(1,1) a的取值范围。 中心对称，且当x∈[0,1]时，g(x)=x2 29.已知函数f(x)的定义域是{x|x∈R m.x十n。 若关于x的不等式g(x)≥2在区 且x≠0}，对定义域内的任意x1,x:都有 间[1,2]上有解，求实数m的取值范围。 f(x1x)=f(x1)+f(x:),且当x>1时， 33.若在函数f(x)的定义域内存在区间 f(x)>0,f(4)=1。 [a,b],使得f(x)在[a,b]上单调，且函数值 (1)判断函数f(x)的奇偶性并证明。 的取值范围是[ma,mb](m是常数)，则称函 (2)求证：f(x)在(0，十∞)上是增函数。 数f(x)具有性质M。 (3)解不等式f(3x+1)≤3一f(2x 6)。 1)当m=2时函数f(x)=√丘是否具 30.求实数m的取值范围，使关于x的 有性质M?若具有，求出a,b的值；若不具 方程x2+2(n一1)x十2m+6=0分别满足 有，说明理由。 下列条件。 (2)若定义在(0,2)上的函数f(x)= (1)有两个实根，且一个比2大，一个比 2小。 x十 一5具有性质M,求m的取值范围。 38 高一数学德心幸点清育中学生教理化 6.提示：设F(x)=f(x)一1，则F(x)+ 厂参考答案与提示 F(-x)=0,即f(x)一1+f(-x)-1=0, 一、选择题 所以f(x)+f(一x)=2,所以f(1)十 1.提示：由f(1一x)=f(x)得f(x)的 f(一1)=2。因为F(0)=f(0)一1=0，所以 f(0)=1,故f(-1)+f(0)+f(1)=2+1= 对称轴为x=弓，设二次函数为f(x) 3。应选A。 a(一2)广+k(a≠0)。因为f(x)的最大值 7.提示：因为f(x)是三次函数且是幂函 是8，所以a<0。当x=合时，1（合）=6 数.所以f(x)=x,所以g(x)=+2 2 8,这时函数fx)=a(e-2）+8(a<0). 2a+2。令h(x)=g(x）-2= 2,则 由f2)=-1得f(2)=a(2-)+8 h(-x)=g(-x)-2=-x)=二x 22 2 一h(x),即h(x)是奇函数，所以g(一2025) 一1，解得a=一4，所以函数f(x)= +g(-2024)+g(-2023)+…+g(0)+… -4(e-号）+8=-+4+7。应选A. +g(2023)+g(2024)+g(2025)= h(-2025)+h(-2024)+h(-2023)+… 2.提示：因为f(2x一1)为偶函数，所以 +h(0)+…+h(2023)+h(2024)+ f(2x-1)=f(-2x-1),即f(x-1)= h(2025)+4051×2=[h(-2025)+ f(-x一1)，所以f(x)=f(-x一2)。因为 h(2025)]+[h(-2024)+h(2024)]+ f(x一2)为奇函数，所以f(x一2)= [h(-2023)+h(2023)]+…+[h(-1)+ 一f(-x-2),所以f(x)=-f(x-2),即 h(1)]+h(0)+8102=8102。应选C。 f(x+2)=一f(x),所以f(x+4)=一f(x 8.提示：由f(x+y+1=f(x)+ 十2)=f(x),所以4为函数f(x)的周期，所 f(y),令x=y=-1,可得f(-1)=f(-1) 以f(11)=f(3)。又f(x+2)=一f(x),所 十f(一1)，则f(-1)=0。令y=-2一x,则 以f3)=-f1)=2则f1)=2。应选C f(-1)=f(x)+f(-2-x)=0,故f(x)的 3.提示：令x十1=，则≥2或≤ 图像关于点（一1,0）对称，所以f(x一1)的图 像关于点(0,0)对称，即f(x一1)是奇函数， -2.因为x+是=(+) -2=t2-2, B正确。对于C,令x=y=0得f(1)=f(0) 所以f(t)=t2-2,所以f(m)=m一2=4， +f0),则f(0)-2f(1),当f(1)≠2时， 所以m=士√6。应选B。 f(0)一1≠0，此时f(x)一1不可能是奇函数 4.提示：因为幂函数f(x)=(n2一n一 (由于无法确定f(1)的值，故f(x)一1不一 1)xm-3在(0，十∞)上是增函数，所以 定是奇函数)，C错误。对于A,D,设f(x) m2-m-1=1, x十1，满足题意，易知A,D不适合。应选B。 解得m=2。应选A。 2n-3>0, 9.提示：当a>0时，f(x)=x-g的定 5.提示：1m∈(0，十0，m+1-=m十 m 义域为（一∞，0）U(0,+∞)，则f(x)在 (一∞，0)，(0，+∞)上单调递增。若x>0, ≥2，当且仅当m1时取等号。由[x]+ 当x·+∞时f(x)·十∞，当x·0时f(x) [x]≤m十1，可得[x]+[]≤2，即([x]十 ·一∞，故∫(x)的值域为R,A错误（在整个 n 定义域上不单调)，D正确。当a=一4时， 2)([x]-1)≤0，所以-2≤[x]≤1，故-2≤ x<2。应选C。 f(x)=x十4为对钩函数，其单调递增区间 39 中学生款理化终心薇室流6车-心月 为（一∞，-2），(2，+©∞)，且当x>0时，x+ x),所以f(x)的图像关于直线x=1对称， 4≥2 所以f(x+2)=f(一x)=一f(x),则f(4+ =4(当且仅当x=2时取等 x)=一f(x+2)=f(x),所以f(x)为周期 号)当x<0时x+1=-[(-x)+(-)门≤ 函数且周期T=4,B正确。f(3)=f(一1) =1,A正确。f(4-x)=f(-x)=-f(x), 2-x)·(-)=-4(当且仅当x C错误。由上知f(2)=一f(0)=0,f(4)= f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)= 一2时取等号)，故f(x)的值域为（一∞， 4]U[4,+∞)，B,C正确。应选BCD。 -1+0+1+0=0,则∑f(k)=f(1)+ 10.提示：由区间定义知a<b,假设各函 f(2)=-1,D正确。应选ABD。 数存在“优美区间”[a,b]。A中，f(x)在R 13.提示：对于A,令x=y=0,可得 上单调递增，由f(a)=a,f(b)=b,可得a= 2f(0)=2[f(0)],解得f(0)=0或f(0)= b=一1，不存在“优美区间”。B中，当x<0 1。当f(0)=0时，令y=0,则2f(x)= 时，函数f(x)单调递增，由f(a)=a,f(b) 2f(x)f(0),所以f(x)=0,这与f(x)不恒 =b,可得a2=一1，b2=一1，此方程无解，当 为零矛盾，故f(0)=1,A正确。对于B,令x x>0时，函数f(x)单调递增，同理f(a)= =0,则f(0十y)+f(0-y)=2f(y)f(0), a,f(b)=b无解，不存在“优美区间”。C中， 即f(y)=f(一y),所以f(x)为偶函数，B 当x≤0时，f(x)=2+x在（一o∞，0]上单调 正确。对于C,取f(x)=cosx满足题意，此 递增，显然f(a)=a无解，当x>0时，f(x) 时x=0不是f(x)的最小值点，C错误。对 =2一x在(0，+∞)上单调递减，f(a)=2 于D,令y=a得f(x+a)+f(x-a)= a=b,f(b)=2-b=a,所以当b>a>0且a 2f(x)f(a),若f(a)=0,则f(x+a)= +b=2时，区间[a,b]是函数f(x)的一个 一f(x一a),所以f(x)=一f(x十2a),则 “优关区同，如[台，]D中，显然1) f(x+4a)=-f(x+2a)=f(x),D正确。 应选ABD。 x+1≥1，所以a≥1，所以f(x)在[a,b]上 14.提示：对于A,函数f(x)的定义域为 单调递增，f(a)=a2+1=a无解，不存在“优 R,若f(x)为偶函数，则f(一x)=f(x),即 美区间”。应选ABD。 ax+2bx-1=ax2-2bx-1,所以4b.x=0 11.提示：对任意x∈R,都有f(x十3)= 对任意的x∈R恒成立，所以b=0,A正确。 f(1一x),则函数f(x)关于直线x=2对称。 对于B,若不等式f(x)<0的解集为（一1， 对任意x1,∈[2，十o0),f）-fc< 1),则a>0且一1,1为方程f(x)=0的两 x1-2 0(x1≠x2),所以函数f(x)在[2，十∞)上单 -1X1=-1 fa=1, 根，所以 解得 故a= 调递减，在（一∞，2）上单调递增，故函数 -1+1=26 b=0, f(x)在x=2处取最大值，B正确。f(0)= f(4)<f(3),C错误。-a2+a+1= 1,B正确。对于C,若a=1,则f(x)=x2 +≤号，所以f(-。+a+1D 2bx-1,这时△=4b+4>0,所以f(x)>0 ）+ 不恒成立，C错误。对于D,当a=0时，由b ≤f(）A正确。若f(m)>f(-1).则1m <0得f(x)在（一∞，0）上单调递增，当a<0 -2|<|2一（一1）|，解得-1<m<5,D正 时，函数)的对称轴为直线￥=台，且台 确。应选ABD。 >0,则f(x)在（一∞，0）上单调递增，所以 12.提示：由f(x)为奇函数知f(x)的图 Ha≤0，b<0,f(x)在（一∞，0）上单调递增， 像关于点(0,0)对称，因为f(1十x)=f(1 D正确。应选ABD。 40 高一数学德心点清育中学生款理化 15.提示：对于A,令x=y=0,则f(0) 5 最小值为8，所以当x∈(m,n]时，3十 =f(0)+f(0)一1，即f(0)=1,A正确。对 x-1 于B,令x=1,y=一1，则f(0)=f(1)+ ≥8，即5 ≥5，所以1<x≤2，所以1≤m< f(-1)一1，故f(1)+f(-1)=2,B错误。 5 对于C,令y≥0，则f(x+y)-f(x)=f(y) ”≤2。易知反比例型函数y=3十x1在 -1,其中x+y>x,f(y)一1<0，令x1=x 十y,x=x,即对x1,x:∈R,当x1>x:时， 1,+)上单调递减，所以y=3十”，在 f(x1)一f(x:)<0恒成立，所以函数f(x) x=”处取到最小值8，即3十5 为减函数，C正确。对于D,令y=一x得 —1=8,解得 f(0)=f(x)+f(一x)一1，结合f(0)=1得 n=2,所以1m2。 f(x)十f(一x)=2,所以函数y=f(x)的图 20.提示：f(x)= +2,即y=2x+1 2x+1 x2+2 像关于点(0,1)对称，D正确。应选ACD。 整理得yx一2x+2y一1=0。当y=0时， 二、填空题 16.提示：要使函数y=f(x)+ x=- ;当y≠0时，由4=4-4y(2y-1) 1 10≤x2≤4， [f(x)]有意义，需满足 解得 0≤x≤4， 0得2)一y-1≤0，解得-名<y≤1，且 0≤x≤2，即该函数的定义域为[0,2]。因为 y≠0，综上可得一名≤y≤1，所以函数 f(x)=x-1,所以y=x-1+(x-1)2= 22-2,其对称轴为=日，所以当x=司 f)的位越是[-] 21,提示：因为f(x+2)为偶函数，所以 1 时，ymn= ,当x=2时，y=4,所以该 f(x+2)=f(-x+2)。因为f(x+2)+ 数的效为[小 f(x)=一6，所以f(一x+2)+f(x)=一6。 因为f(x+2)+f(x)=一6，所以f(x+4) 17.提示：f(x)的定义域为（一4，一2）， +f(x+2)=-6,所以f(x十4)=f(x),所 要使g(x)=f(x一1)十√x+2有意义，需满 以函数∫(x)为周期函数，且周期为4，所以 ∫-4<x-1<-2, f(2027)=f(3)=f(-1)。由f(-x+2) 足 解得一2≤x<一1，所 x+2≥0， +f(x)=-6得f(1)+f(1)=-6,由f(x 以函数g(x)的定义域为[一2，一1)。 +2)+f(x)=-6得f(1)+f(-1)=-6, 18.提示：因为f(x-）=x+是 所以f(1)=f(一1)=一3，所以f(2027)= -3。 (-)+2,所以f(x)=x+2,所以 22.提示：由f(x-1)+f(x+1)=f(3) 得f(x)+f(x+2)=f(3),所以f(x+2)+ (得)=告+2-器. 22 f(x+4)=f(3),所以f(x)=f(x+4),即 f(x)是周期为4的函数。因为f(一2x+2) 2g)+g(）=x 为偶函数，所以f(2-2x)=f(2+2x),所以 由已知得 解得 2g(）+)= 1 f2-)=f(2+),令x=2得f(停） g(x)=22-1 其中x≠0，因此g(2)= 6 f(受）=1。令x=1得f(1)=f(3).在 19.提示：因为y=3x+2=3(x-1)+5 f(x-1)+f(x+1)=f(3)中，令x=2得 x一1 x1 f(1)+f(3)=f(3),所以f(1)=f(3)=0 -1,且y=32+2 5 =3+ r-1在x∈(m,n]上的 令x= 得r(合)+f(停)=0，则f(合） 41 中学生款理化终心薇室流6车-心月 -()=-1。令x=得f()+ 则m十2--+2>0，m<<m+2 f()=0,则f(经)=-f(受)=-1。由函 gx)在[m]上单调递增，在[gm+2上 数的周期性得 芝(+1)(-)=(-2 单调递减，则g(x)=g(受)=罗 +3+4-5)+…+(-2022+2023+2024 2m+6,m-4, 2025)-2026=-2026。 综上可得，g(x)x= 2,-4<m<0, 23.提示：因为函数f(x)=一 2*+x= 0,m≥0。 1 (x一1)+乞，所以其对称轴为直线x 25.提示：(1)由f(x)+g(x)= 21,可 1。当m<n≤1时，函数f(x)在[m,n]上单 得f-x)+g(=x)=一x二+7因 1 f(m)= 2m2+m=2m, 为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以 调递增，所以 解 f(n)=- 1 n+n=2n, f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=x+1 得m=一2， 当m<1<n时，f(x)在[m,1] 由上联立得函数∫(x)=-,函数 n=0: 上单调递增，在[1，n]上单调递减，此时f(1) g(x)= x-1 =-号+1=号=2m,即n=子，与n>1子 (2)由1D知1)=六则（日） 盾，舍去。综上可得，n=一2，n=0,所以 m+n=一2。 x 三、解答题 1 24.提示：(1)设f(x)=ax2+b.x十c,a ≠0，由f(x+2)一f(x)=4x+6得a(x+ +号=1，则（分）+（侣）+（任）十 2)2+b(x+2)+c-(ax2十bx+c)=4x+6, 化简整理得4ax十4a十2b=4x+6,所以 f2)+f(3)+f(4)=[f(号)+f(2)]+ 4a=4, a=1'这时f(x)=x+x 解得 4a+2b=6, b=1, [f(号)+f3]+[F()+f4]=3。 十c。由f(-1)=0得c=0,所以函数f(x) 26.提示：(1)设f(x)=ax2+bx十c(a 的解析式是f(x)=x2十x。 ≠0)。因为f(0)=1,所以c=1。又因为 (2)由(1)知g(x)=x一|2x一m|= f(x十1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x 3-m<受 十1)+1-(ax2+bx十1)=2x,整理得2ax 当m≥0时，m≥2，g(x) 十(a十b)=2x。由恒等式的性质知上式中 一x十m,x≥ 12a=2, 2 对应项系数相等，所以 解得 a+b=0, =一x十m在[m,m+2]上单调递减， a=1, g(x)mx=g(n)=0。 所以函数f(x)=x一x+1。 b=-1. 当m<0时，若m十2≤罗，即m≤-4， (2)冷2x+1=1,则x=分，所以f) 则g(x)=3.x-m在[m,m十2]上单调递增， g(x)x=g(n十2)=2m+6;若-4<m<0, =4×(2)+4ב2--1，所以函数 42 高一黄学格点清籍中学生款理化 f(x)=x-1。 f(x)≤7，所以f(x)是[一3,3]上的受限函 (3)在原式中用】替换x后联立得 数，且f(x)的限定值M满足M≥7，故f(x) 的限定值M的最小值为7。 r(）-2fx)= 3十2 (3)因为f(x)在 消去()得 23上是限定值为 5(x)-2f()=3x+2. 1的受限函数，所以fx)≤11在[2]上 f(x)=-x- 一2(x≠0)，所以函数f(x) 恒成立，所以ax+a-x'一 ≤11在 一x一 2 -2(x≠0)。 +1 27.提示：(1)令x=y=1,可得f(1) [公可上恒成立，所以a≤ +11 一在 f(1)+f(1),则f(1)=0。 (2)任取x1x2∈(0，十∞)，且x1>x2, [2]上框成立，即a≤r+ +9 则fx)-f(x:)=f(x·)-f(:)= fx:)+f()-f(x)=(货).因为 [经可上成立。因为宁≤≤3，所以x十 1 9 >1,所以f()<0,即f(x)-f(x)<0, 1>0,所以x+ ≥6，当且仅当x x 1 x十 x 所以f(x1)<f(x),所以f(x)是(0，+∞) 上的减函数。 +1= 1,即x=3+ 2 2时等号成立，所 x+ (3)令x=y=2,可得f(4)=f(2)+ x f(2)=-6:令x=2,y=4,可得f(8)= 以a6,即a的取值范围为（一∞，6]。 f(2)+f(4)=一9。因为f(xy)=f(x)+ 29.提示：(1)f(x)是偶函数，证明如下。 f(y),所以f(xy)一f(y)=f(x),所以f(x 由f(x1x2)=f(x1)+f(x2),令x1=x2 -7)-f()=f(x-7x),则不等式f(x =1,可得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0。 令x1=x:=一1，可得f(1)=f(一1)+ 7)-f(）>-9等价于不等式f(x f(-1),即f(-1)=0。令x1=x,x2=-1, 可得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),即对 7x)>f(8)。由(2)知f(x)是(0，+∞)上的 任意x∈（一∞，0）U(0,十∞)都有f(一x) x-7>0, =f(x)成立，所以f(x)是偶函数。 减函数，则 1 x0, 解得7<x<8,所 (2)依题意任取x1,x2∈(0，十∞)，且x 0<x2-7x<8, >则f(但·)-f(侵)+fx,所以 以不等式fx-7)-f()的解集为(7,8)。 f()-f:)=f(g)。当x>1时fx) 28.提示：(1)因为x∈[0,3]，所以f(x) =-x2+2x+m=-(x-1)2+m+1∈[m >0,因为x1>x>0,所以>1，所以 x -3,m+1]。因为f(x)在[0,3]上是限定值 为8的受限函数，所以m十1≤8，解得m≤7， f()>0,所以f(x)-f(x)>0,即 即m的最大值为7。 f(x1)>f(x),所以f(x)在(0，+∞)上是 (2)由题意得9一x≥0，解得一3≤x 增函数。 3。当-3≤x≤3时，0≤9-x≤9，所以0≤ (3)已知f(x)是偶函数，由f(4)=1,可 √9-x2≤3，所以4≤√/9一x十4≤7，即4 得3=3f(4)=f(4)+f(4)+f(4)=f(16) 43 中学生款理化簧心整卓清练6车7-8月 +f(4)=f(64)。因为f(3.x+1)+f(2x 6)=f[(3x+1)(2.x-6)]=f[|(3.x+1)(2x f)=f(-1D-子，且-1≤m<M≤4， 一6)|门，所以不等式f(3x+1)≤3一f(2x 所以函数f(x)为[一1,4]上的“聚集函数”。 6)可化为f(|(3x+1)(2x-6)|)≤f(64)。 2)易得两数了)-合-ar十 4 由(2)知f(x)在(0，十∞)上是增函数， 所以0<|(3x+1)(2x一6)|≤64，所以x≠ 2(x-a)-a 4。 3,x≠- 号且-64≤(3x+1)(2x-6)≤64， ①若a≤-1，则m=f(-1)= 1 +a+ 解得x≠3r≠-言且-子≤：≤，所以：6 aM=f)=8-4u+行a,结合题意得 [-子-吉)U(-方a)U(85],做不等式 1 1 -1≤2+a+4a2<8-4a+4a≤4，这时 的解集为[子-台)U(-号3)U(31. 无解。@若-1<a≤号，则m=f(a= 30.提示：(1)设f(x)=x2+2(m-1)x +2n+6。依题意得f(2)<0,即4+4(m -子a,M=f(4)=8-4a+子a,结合题意 1)+2n+6<0,解得m<-1,所以实数m 得-1≤-子a<8-4a+a≤4，解得8 的取值范围为（一∞，一1）。 f(0)=2m+6>0, 45<a≤号.@若号<a<4,则m=fa) (2)依题意得f(1)=4m+5<0,解得 =- f(4)=10m+14>0, a,M=f(-1)=+a+,结合 ,所以实数m的取值范围为 5 5 想意得-1K-子a<名+a十子a<4,解得 <a≤2。④若a≥4，则m=f(4)=8-4a 3 (3)若方程至少有一个正根，则有下面三 子4，M=f-10=号+a十子a,结合题 种可能情况：①有两个正根，此时可得 △≥0， m≤-1或m≥5， 意得-1≤8-4a十子a<分+a十子a≤4， f(0)>0, 所以 m>-3, 解得 这时无解。 2(m-1) >0, m<1, 综上可得，实数a的取值范围为[8一 -2 一3<m≤一1。②有一个正根，一个负根，此 43,2]。 时可得f(0)<0,解得n<-3。③有一个正 32,提示：1)假设F()=一存在 2m+6=0, 根，另一根为0，此时可得 解 对称中心(a,b),则h(x)=F(x十a)一b= -2(m-1)>0, 6 得m=-3。 x+a一x十a十一b为奇函数。 综上可得，实数m的取值范围为（一©， 由x十a+1≠0，解得x≠一(a+1)。由 -1]。 于奇函数的定义域关于原点对称，故一(a+ 31.提示：1)当a=2时/x)=x 1)=0,即a=-1,所以h(x)=x-6 一b 2x+1= 2x-2-1. 1。由h(-x)=-x十6-6-1，可得 x 因为x∈[-1,4]，所以当x=2时，m= h(-x)十h(x)=一2b-2=0,解得b=-1。 f(x)mim=f(2)=-1,当x=一1时，M= 综上可得，a=b=一1，所以F(x)的对 44 高一数学德心幸点清育中学生款理化 称中心为（一1，一1）。 上的函数值的取值范围是[√a,√石]，即得 (2)若f(x)为奇函数，即f(x)关于点 (0,0)中心对称，则函数y=f(x一1)十2是 a=0, 结合0ab,解得 所以 由f(x)的图像先往右平移1个单位长度，再 b=4, √b= 往上平移2个单位长度得到的，故y=f(x 26, 1)十2关于点(1,2)中心对称。 函数f(x)=√x具有性质M。 而y=3一x的图像是一条直线，且经过 (2)已知函数f(x)= -5 点(1,2)，因此也关于点(1,2)中心对称，所以 4 函数y=f(x一1)+2与y=3一x的图像的 2+ -5,0x1, 交点也关于点(1,2)中心对称，所以x1十xm =2,y1十ym=4,x1十y1十xm+ym=6。 5-(x+4)1≤x<2。 若交点的数量”为偶数，则6·号 函数y=x十 4在(0,2)上单调递减，在 2025,解得n=675,不符合n为偶数，舍去。 (2,+∞)上单调递增。 若交点的数量n为奇数，由对称性知必有一 当[a,b]三(0,1)时，f(x)单调递减，所 个交点为(1,2)，所以6.”。1+3=2025，解 2 a+4-5 fa)=mb·可得，4 a b 以 ,整理得 得n=675,符合n为奇数。 Af(b)=ma, b+6-5 a 综上所述，n=675。 (a-b)(a+b-5)=0。 (3)因为函数g(x)的图像关于点(1,1) 由a十b=5与[a,b]二(0,1)矛盾，可得 中心对称，所以关于x的不等式g(x)≥2在 当[a,b]三(0,1)时，不符合题意，即m不存 区间[1,2]上有解等价于g(x)≤0在区间 [0,1]上有解，即g(x)在[0,1]上的最小值 在。 当[a,b]三[1,2)时，f(x)在[1,2)上单 g（x）min≤0。 (f(a)=ma, 当x∈[0,1]时，g(x)=x2-mx+m,对 调递增，可得 可知f(x）=mx f(b)=mb, 称轴为直线x=”。 2。 在[1,2)上有两个不等实根，即m=x) x 当≤0，即m≤0时，g(x)在x=0处 4 十51在，2)上有两个不等实根 取到最小值，可得g(x)mm=g(0)=m≤0，解 得m0; 令1=∈（1]则)=-4+51-1= x 当0<受<1，即0<m<2时，g(x)在x 4-)广+由m=h(分) =受处取到最小值，可得()。=（受） 9 =h(爱）=6m=A1)=0.可知要使m 4十m≤0，解得m≤0或m≥4，此时m 一1在[1,2)上有两个不等实数，则 无解； 当2≥1，即m≥2时：g(x)m=g(1) 2<m<16 1一m十m=10,这时不成立，n无解。 放n的取值花围是（分，）。 综上所述，m≤0，即m∈（一∞，0]。 作者单位：河南省开封高级中学 33.提示：(1)因为函数f(x)=√元在[0， (责任编辑郭正华) +∞)上单调递增，所以f(x)=√x在[a,b] 45