一题多解之三角形中的特殊线段问题-《中学生数理化》高一数学2026年7～8月刊

高一黄学想部鞋胸与奶骨中学生款理化 题多解之三角形中的特殊线段问题 ■徐春生 一、三角形的中线 (方法3)由2 cos C=2a+√2c,结合余 例1在△ABC中，内角A,B,C所对 弦定理得26×a十6一c =2a+√2c,所以 的边分别为a,b,c,且2 bcos C=2a+√2c, 2ab b=√I3,c=2√2，D为AC的中点，则BD= a2+c2-b2=-√2ac。 由余弦定理得cosB a”+c2-b__V2 2ac 。因为B∈(0，π)，所以 解：（方法1）由2 bcos C=2a十√2c,结合 余弦定理得26×0+b一c =2a+√2c,所 B=不。在△ABC中，由余张定理得(I) 2ab 以a2十c2一b2=一√2ac。由余弦定理得 =a+(2)-2a×2×(-)，所以 cos B 2ac 2。因为B三(0，】 a=1。因为B元=号(BA+BC),所以B可 x).所以B=F。在△ABC中，由余弦定理 -(B+B心+2B·BC)=[8+1+ 得（√13）=a+(2√2)2-2×a×2√2× (-号），所以a=1,所以cosC=a+Dc 2×2E×1×(-9】]-是，所以BD- 2 2ab 点评：求三角形中线长的三种方法：利用 1+13-83√13 正弦定理和余弦定理求中线长：利用中线长 2×1×√13 13二。在△CBD中，由余 定理，在△ABC中，若AD是BC边上的中 弦宠理得BD=1+号-2×1×× 线，则AB十AC2=2(BD十AD);向量法， 2 在△ABC中，若D是BC边上的中点，则 3√13 5 13 ,所以BD=5 4 2 1A市=6+c+2bcc0sA). (方法2)由2 bcos C=2a+√2c,结合余 二、三角形的角平分线 弦定理得26×a+b-c =2a十√2c,所以 例2在△ABC中，A=60°，AB=2, 2ab BC=√6，∠BAC的角平分线交BC于点D, a+c2-b=一√2ac。由余弦定理得cosB 则AD=()。 =a+c-b=-2 A.3B.2 C.2√2 D.2√3 2ac 。因为B∈(0，x),所以 B=3x 解：（方法1）在△ABC中，由余弦定理得 。在△ABC中，由余弦定理得（√3） (6)=2+AC-2×2×AC×分解得AC =a+(22)-2×a×22×(-),所以 2 =1+√5或AC=1一√3（舍去）。由正弦定理 a=1。因为∠BDC+∠BDA=x,所以 cos∠BDC+cos∠BDA=O。由余弦定理得 0-所以nC=4-竖 BC 29 BD+CD-CB BD+AD:-AB 0 因为AB<BC,所以0°<C<60°，所以C= 2BDXCD 2BDXAD 45°。因为AD平分∠BAC,所以∠BAD= 代入易得BD= 2。 ∠CAD= 2∠BAC=30°。 11 中学生数理化离数华与0年7-8月 知识结构与拓展 如图1，过点D <A<交，所以osA=-simA= v10 作DE⊥AC于点E。 10 设DE=t,则AD= 所以sinB=sin(A十C)=3×E+十 2t,AE=√5t,CE= 10 2 DE=t,所以AC= 0×E-25 AC 。由正弦定理得mB 三 10 2 AE+CE=+= 图1 AB √3+1，解得t=1,所 2所以AC=AB=2而. sin C 以AD=2t=2。应选B。 设AB边上的高为h,则h=ACsin A= (方法2)在△ABC中，由余弦定理得 20X3 10 ,=6,即AB边上的高为6。 W6=2+AC-2×2XAC×2,解得AC (方法2)因为tanA=3>0,所以灭<A< 4 =1+√3或AC=1一3（舍去）。因为S△A =SaAm+SD,所以2AB×ACsin60° 吾，所以0A=-nA= ,所以 w10 号AB XADsin30+2AC×ADsin30,即 sinB=sinA+C)=3Y1OX2+I0×√② 10 10×2 (5十1)=AD+51AD,解得AD=2. 2√5 5。 由正弦定理得sinA:sinB:sinC 2 应选B。 =BC:AC:AB=3√10：4√5：5√2。因 点评：求三角形的角平分线长的两种方 为AB=5,所以AC=2√10，BC=3√5。 法：利用内角平分线定理，若AD为△ABC 设AB边上的商为A,期2×5×方=司 1 的内角∠BAC的平分线，则是-B肥：等面 0X35X号15，解得=6， 积法，若AD为△ABC的内角∠BAC的平 2 beeos∠BAC 边上的高为6。 2 分线，则AD= b+c (方法3)因为C=至，tanA=3,所以 三、三角形的高线 tan B=-tan(A+C)=- tan A+tan C 例3在△ABC中，已知A+B=3C, 1-tan Atan C=2。 h 2sin(A-C)=sinB。 设AB边上的高为h,则AB= tanA十 (1)求sinA。 (2)设AB=5,求AB边上的高。 品B冬十合-5，解得A=6,即AB边上 解：(1)因为A+B=3C,A+B+C=π， 的高为6。 所以C=至，A+B=不.图为2sin(A-C) 点评：求三角形的高线长的三种方法：三 角函数法，若h是△ABC的边a上的高，则 =sinB=sin(A+C),所以2 sin Acos C h=csin B=bsin C;等面积法，若h是 2cos Asin C=sin A cos C+cos Asin C, sin Acos C=3 cos Asin C,所以tanA= △ABC的边a上的高，则h=besinA:几何 a 3tanC=3。因为0<A<π，所以sinA= 法，若h是△ABC的边a上的高，则h= 3√10 atan Btan C 10 tan B+tan C 作者单位：广东省仙头市澄海凤翔中学 (2)(方法1)因为anA=3>0,所以买 (责任编辑王琼霞) 12