古典概型中的“一题多解”&聚焦古典概型的交汇问题-《中学生数理化》高一数学2026年5月刊

商一黄华新题碧耀霸骨中学生款理化 古典概型中的“一题多解 ■何炜 从不同的层面，不同的角度，去思考、探 (含9环)以上的概率为0.56，命中8环的概 索、研究问题，可以有效地激发同学们的学习 率为0.22，命中7环的概率为0.12。求甲射 兴趣，培养同学们的创造性思维能力和多种 击一次，至少命中7环的概率。 应变能力。下面是概率问题的一题多解，供 解：（方法1）记“甲射击一次，命中8环” 大家学习与参考。 为事件B,“甲射击一次，命中9环（含9环） 例1箱子中装有6张卡片，分别写有1 以上”为事件C,“甲射击一次，命中7环”为 到6这6个整数。从箱子中任意取出1张卡 事件D,则“甲射击一次，至少命中7环”的事 片，记下它的读数x,然后放回箱子，第二次 件为BUCUD,所以P(BUCUD)=P(B) 再从箱子中取出1张卡片，记下它的读数y。 +P(C)+P(D)=0.22+0.56+0.12=0.9。 试求：x,y中至少有一个5或6的概率。 (方法2)记“甲射击一次，命中7环以下” 解：将x,y的读数列表，如表1所示。 为事件A,则P(A)=1一0.56一0.22-0.12 表1 =0.1。因为“甲射击一次，至少命中7环”为 、y号 2 3 4 5 6 事件A,所以P(A)=1一P(A)=1-0.1= x号 0.9。 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)(1,6) 例3现有一批产品共10件，其中8件 (2,1) （2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,5)(3,6) 为正品，2件为次品。如果从中一次取3件， 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1)(4,2) (4,3) (4,4) (4.5)(4,6) 求3件都是正品的概率。 5 (5,1)(5,2) (5,3) (5,4) (5,5)(5,6) 解：（方法1）可以看作不放回抽样3次， 6 (6,1)(6,2) (6.3) (6,4) (6,5)(6,6) 顺序不同，则试验的结果不同，按抽取顺序 由表1知x,y的所有读数的可能结果 (x,y,x)记录结果，则x有10种可能结果，y 为6×6=36（种）情况。 有9种可能结果，之有8种可能结果，所以试 (方法1)直接利用互斥事件合理分类求 验的所有可能结果为10×9×8=720（种）情 解。记事件A为“x,y中至少有一个5或 况。设事件B为“3件都是正品”，则事件B 6”,事件B为“只有x的读数是5或6”，事件 包含的试验可能结果个数为8×7×6=336， C为“只有y的读数是5或6”，事件D为“x, 所以P(B)-28≈0,467. y的读数均为5或6”。显然事件B,C,D彼 此互斥且A=BUCUD,事件B与C都包含 (方法2)可以看作不放回3次无顺序抽 8个不同的基本事件，事件D有4个不同的 样，先按抽取顺序(x,y,之)记录结果，则x有 基本事件，所以P(A)=P(BUCUD)= 10种可能结果，y有9种可能结果，之有8种 PB+P(G+PD+是+高-音 可能结果，但(x,y,),（x,x,y),(y,x,x), (y,之，x),(之，xy),(之，y,x)是相同的，所以 (方法2)间接利用对立事件简化求解。 试验的所有结果个数为10×9×8÷6=120。 事件A的对立事件A是“x,y都不是5或 设事件B为“3件都是正品”。按同样的 6”,可知事件A包含的可能结果个数为4×4 方法，事件B包含的试验结果个数为8×7× =16,所以x,y中至少有一个5或6的概率 56 6÷6=56,所以P(B)=120≈0.467。 PA=1-P)=1g- 作者单位：陕西省洋县中学 例2已知射手甲射击一次，命中9环 (责任编辑郭正华) 37 中学生数理化 创新题追根溯源 高-数学2026年5月 聚焦古典概型的东江间题 ■茹威豪 (-1,0),(0,-1),(0,0),(1,0),(0,1), 古典概型与其他知识的交汇问题，应根 (一2,0)，(0，一2)，共7个，所以所求概率 据相关知识点，构建有序实数对，列举出所有 P=7 事件和满足特殊条件的事件，进而利用古典 16。应选B。 概型求解。 (2)从集合M,N中各任取一个数x,y, 题型一：古典概型与集合问题 则基本事件总数为2×5=10，其中1og(xy) 例1已知集合A={(x,y)|x十y=8, 为整数包含的基本事件为(1,1)，(1,3)， x,y∈N'},B={(x,y)|y>x+1}。从集合 (1,9),(3,1),(3,3),(3,9),共6种可能结 A中任取一个元素n,则m∈B的概率为 果，所以og(xy)为整数的概率P=音-三。 ()。 应选C。 A 3 B.7 c D是 题型二：古典概型与函数问题 解：由题意得集合A中的元素为(1,7)， 例2将一枚骰子抛掷两次，所得向上 (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1),共 的点数分别为m和n,则函数y=mx 7个，其中属于集合B的为(1,7)，(2,6)， 4nx十1在[1，十∞)上是增函数的概率是 (3,5),共3个。从集合A中任取一个元素 )。 3 m,则m∈B的概率为7。应选B。 A日 反思：解决古典概型与集合的交汇问题， 解：由题意知m,n∈{1,2,3,4,5,6}。若 需要对题设条件有清晰的认识，列举出所有 函数y=mx2一4nx十1在[1，十∞)上是增函 的基本事件，找到其中满足条件的基本事件， 数，则一 -4n_2≤1，即m≥2m。以(mn） 2m m 这样即可实现问题的圆满解决。 代表一个基本事件，所有的基本事件个数为 变式1：(1)已知集合M={一1,0,1， 6×6=36,满足n≥2n的基本事件个数为 一2}，从集合M中有放回地任取两个元素作 (2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2), 为点P的坐标，则点P落在坐标轴上的概率 (6,1),(6,2),(6,3),共9个。所以所求概率 为()。 7 p=91 5 A.16 B.16 C.g D.g 36=4。应选B。 反思：解决古典概型与函数的交汇问题， (2)对数的发明是数学史上的重大事件 应根据函数的性质构建有序实数对，确定基 它可以改进数字的计算方法，提高计算速度 本事件的个数，进而利用古典概型求解。 和准确度。已知集合M={1,3},N=(1,3, 5,7,9},若从集合M,N中各任取一个数x, 变式2：1)从合号23中随机抽取 y,则log(xy)为整数的概率为( )。 一个数记为a,从{一1,1，一2,2}中随机抽取 A.号 B号 c D号 一个数记为b,则函数y=a+b的图像经过 第三象限的概率是( )。 提示：(1)由已知得所有的基本事件个数 为4×4=16，其中落在坐标轴上的点为 A日 38 资一数氧新愿鸿捏骨中学生教理化 (2)已知集合A={1,2,3,4,5,6},a∈ 熟记平面向量的有关概念与性质，列举出基 A,b∈A,则“使函数f(x)=ln(x+ax十b) 本事件的个数，进而利用古典概型求解。 的定义域为R”的概率为( )。 变式3：(1)设向量a=(m,n),b=(-2, 13 A.36 15 b.36 17 C.36 19 D.36 一1)，若从集合{2,3,4,5,6}中一次性随机抽 取两个数，分别记为m,n,则满足a∥b的概 提示：1)从架合合方2,3中随机轴 率为。 取一个数记为a,有4种情况，从{一1,1， (2)设平面向量a=(m,1),b=(2,n), 一2,2}中随机抽取一个数记为b,有4种情 其中m,n∈{-2，一1,1,2}。记“使得a⊥b 况，则总的基本事件个数为4×4=16。函数 成立的(m,n)”为事件A,则P(A)=。 y=a+b的图像经过第三象限，需满足x< 提示：(1)向量a=(m,n),b=(一2， 0且y<0,即存在x<0,使a十b<0,则有6 一1)，若a∥b,则（一1）×m一（一2）×n=0, 种情况：a=3,b=一1；a=3,b=-2:a=2, 即m=2n,且m,n∈{2,3,4,5,6}。从集合 (2,3,4,5,6}中一次性随机抽取两个数，分别 b=-1:a=2,b=2a三3，b=-2:a 记为m,n,则基本事件的总数为4十3+2+1 ,6=2。故函数图像经过第三象限的概 1 =10。满足m=2n的有2种情况：n=2,m =4;n=3,m=6。故满足a∥b的概率P= 率为-音应选c 21 10=5 (2)由题意知a一4b<0。因为a∈{1， (2)有序数组(n,n)的所有可能结果为 2,3,4,5,6},b∈{1,2,3,4,5,6}，所以a,b构 (-2,-2),(-2,一1)，(-2,1)，(-2,2)， 成的数组(a,b)为(1,1)，(1,2)，(1,3)，…， (-1,-2),(-1,-1),(-1,1),(-1,2), (6,6),共36种情况，其中(1,1)，(1,2)， (1,-2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-2), (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,3), (2,一1)，(2,1)，(2,2)，共16种情况。使得 (2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5), a⊥b成立的(m,n)需满足2m十n=0,即 (3,6),(4,5),(4,6),共17种情况满足a2 n=-2m,则事件A为（一1,2），(1，一2)，共 46<0:故所求概率P名。应选C。 ?种特说。放所求概率P(A)=品-日 题型三：古典概型与平面向量问题 例3从集合{0,1,2,3}中随机地取一 个数a,从集合(2,4,6}中随机地取一个数b, 从1,2,3,4中任取2个不同的数作为点 则向量m=(b,a)与n=(1,一2)垂直的概率 P(x,y)的坐标，若点P在角&的终边上，则 为()。 tana∈[1，√3]的概率是()。 1 A.2 1 1 D.6 B号 1 D.6 解：从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数 提示：从1,2,3,4中任取2个不同的数 a,从集合{2,4,6}中随机地取一个数b,则基 作为点P(x,y)的坐标，共有4×3=12（种） 本事件的总数为4×3=12。由向量m= (b,a)与n=(1,一2)垂直，可得m·n=b 情况，其中满足tana=义∈[1,3]的为 2a=0,即b=2a,则满足b=2a的可能情况 P(2,3),P(3,4),即2种情况，故所求概率 为(2,1)，(4,2)，(6,3)，共3个。所以所求概 p=2=1 率P是子应选C 126。应选D。 作者单位：宁波市鄞州中学 反思：解决古典概型与平面向量问题，应 (责任编辑郭正华) 39