一道三角形问题的多种解法探究&例说解三角形问题的常见题型-《中学生数理化》高一数学2026年3月刊

中学生数理化 知识结构与拓展 高-数学2026年3月 道三角形问题的多种解法探究 ■张仁华 题目：记△ABC的内角A,B,C的对边 √6 分别为a,b,c,已知sinC=√2cosB,a2十b 2cX √E 2 _3十5=3+5，所以c=2E。 8 -c2=√2ab。 解法3：利用外接圆的半径求解。 (1)求B。 设△ABC的外接圆半径为R。易得 (2)若△ABC的面积为3十√3，求c。 B=音，C-子mA-6十2 4 解：(1)由a2+b2-c2=√2ab,可得cosC 因为a=2 Rsin A,c=2 Rsin C,所以 a2+b2-c2 2ab_2 ，所以C=至，所 1 2ab 2ab S△ax=z(2R)'sin Asin Csin B=2R2× 以sinC= 。由sinC=2cosB,可得 √2 后+巨×巨×5=3十5，所以R=2,所以 4 2 2 cos B-- 。注意到B∈(0，x),所以B= c=2 Rsin C=2√2。 解法4：得到关于b,c的两组等式再求解。 (2)解法1：几何法列方程求解。 如图1所示，作△ABC的高AD。 易得sinA= 6+2 4 ,所以S△ABC= 名sinA=2×62×c=3十后，可得 1 4 2 2十 bc=46。由品厅C,可得会 sin 3 图1 因为B=答，C=至，所以AD在△ABC 所以b-6。 c。因为bc=46,所以b=46 内。设BD=x,由两个直角三角形得AD 所以6。=4 2,即c2=8,所以c=2√2。 √5x=DC,AB=2x。由△ABC的面积为 2 解法5：利用ab和c的关系求解。 3十尽，可得2（十1）x·5x=3十，解 易得B=否，C=至A=设snA 得x=√2，所以c=AB=2x=2√2。 解法2：利用正弦定理将c作为变量求解。 5+E。已知△ABC的面积为3十5，且 4 易得B=否，C=至，所以A 2,所以 2 absinC,则2 bin子-8十后，即 1 S AALC= sinA=sin登=sin(径+吾）= 6+√② 4 ab=2(3√2+√6)。 由正弦定理得a b 5π sin C,=csin B 由正弦定理得a=csinA snC,所 sin 12 sin sin4 5π c'sin 12sin 3 所以a= 以ab= sr开 =2(3√2十√6)，化简 4 2 2c= 2c。 得c2=8,所以c=2√2。 作者单位：湖北省十堰市郧阳区第二中学 1 因为S△ABe= 2 (责任编辑郭正华) 12 高一数识施物氧骨中学生教理化 题型一：应用正弦定理解三角形 例1在△ABC中，角A,B,C的对边 分别为ab,c若B=若b=厅，a=3,则6 例说解三角衫问题的 sin Bsin A,可得9 b a 常见题型 解：由正弦定 1 2 ■谢成泽 sinA,解得sinA= 3 2 解：要使角B有两解，需角C有两解。 因为 0<A+B=A+. 6<π'所以0<A 由正孩定理得入C,所以sinC 0Aπ， <,所以A=晋或A-,均符合题意。 =csin A a a 当A=时，C=元一A一B=空，由正孩 要使角C有两解，需满足ac且sinC =22 定理c b 宁，解得c=23； a <1,解得22<a<4。应选C。 题型四：三角形面积的最值（范围）问题 例4△ABC的内角A,B,C的对边分 当A-警时，C=天一A一B=若=B,此时 别为a,b,c,已知cos2B十cos2C一cos2A= △ABC是等腰三角形，则c=b=√3。 1-2sin Bsin C. (1)求角A的大小。 综上可得，c=2√3或c=√3。 (2)若a=4,求△ABC面积的最大值。 题型二：判断三角形的形状 解：(1)由cos2B+cos2C-cos2A=1一 例2在△ABC中，若acos A=bcos B 2sinBsin C 1-2sinB+1-2sinC-1+ =ccos C,试判断△ABC的形状。 2sinA=1-2sin Bsin C,sinA-sin2B- 解：由acos A=bcos B=ccos C,结合正 sinC=-sin Bsin C,结合正弦定理得a2 弦定理得sin Acos A=sin Bcos B=sinC· cosC,即sin2A=sin2B=sin2C。 b-c2=-bc,所以cosA=b+c2-a2=1 2bc -=2 由sin2A=sin2B得2A=2B或2A+ 2B=π。当2A=2B时，可得A=B,符合题 又因为0<A<π，所以A= 3。 意：当2A十2B=x时，C=,则A-2,B (2)由余弦定理得a2=b2+c2一2bc· 受，不符合题意，合去。同理得B=C 0sA。因为a=4,A=答，所以16=6十c 一bc≥2bc一bc=bc,即bc≤16，当且仅当b= 故A=B=C,即△ABC为等边三角形。 题型三：三角形的多解问题 c=4时等号成立。所以S△Ax= 2bcsin A= 例3记△ABC的内角A,B,C的对边 c≤43，故△ABC面积的最大值为 4 分别为abc。已知c=4,A=至，若角B有 4√5。 两解，则a的值可以是( )。 题型五：角平分线、中线和高线问题 A.2 B.2√2 例5设△ABC的内角A,B,C的对边 C.2w5 D.4 分别为a,b,c,已知△ABC的周长为 13 中学生数理化需识皱学与02年3月 知识结构与拓展 bsin C 合余弦定理得sin Bsin Ccos A=2 bccos A,所以 sin B+sin C-sin A cos A(sin Bsin C-2bc)=0. (1)求角A的大小。 因为△ABC为锐角三角形，所以cosA卡 (2)若a=√7，∠BAC的平分线交BC于 0,所以sin Bsin C-2bc=0,即sin Bsin C=2bc。 2 点D,且AD=3,求△ABC的边BC上的 设△ABC的外接圆半径为r,由正弦定理 高。 得sin Bsin C-会×号=2k所以r=吉 8,可得 解：(1)由题意可知，a十b十c= 1 sinB+sinC一sinA。结合正弦定理得a十b bsin C ，所以inA= r② 2r =号。因为 bc 2② +c一b十C-a即(b十c)-a=bc,整理得 4 b2+c2-a2=-bc。 A∈(0，受），所以A=开 4 由余弦定理得cosA=b十c-a 2bc (2)由)知A=子，则C-8要-B, 纸=-女又A∈0，)，所以A= 1 b 3 由正孩定理得=s品B-sC (2)由题意得S△Ac=S△AD十S△ACD,即 1 1 2 ,所以6= √2 2 sin B,c 2sinC.。 sin 4 bsin登，整理得AD=年2，又AD=号，所 bc 1 易得△ABC的面积S=之besin A 以b+c-2c 由(1)知(b+c)2-a2=bc,且a=√7，所 8 sin Bsin C 以9b2c2一bc一7=0，解得bc=2或bc自 nnB) 兰（不符合题意，合去，所以Sm 8(sin'B+sin Bcos B) 1 = csin∠CAB=c-E 1 4 2 2sin 2B) 设△ABC的边BC上的高为h,则S△4x =2ah= 1 √7 ，解得h= √3 V21 7。故 0<B< △ABC的边BC上的高为√②T 由 可得天<B< 79 4 2,所 题型六：正弦定理、余弦定理与三角形的 -B< 0<4 面积问题 以<2B一<，故当2B一-号，即B 4 例6在锐角△ABC中，角A,B,C的 对边分别为ab,c,a=子，且sin Bsin C· 时，△ABC的面积取得装大值号+后 8 cosA=b2+c2-a2。 2+1 (1)求角A的大小。 16 (2)求△ABC面积的最大值。 作者单位：湖北省枣阳市第二中学 解：(1)由sin Bsin Ccos A=b+c2-a2,结 (责任编辑郭正华) 14