例析解三角形中的最值(范围)问题-《中学生数理化》高一数学2026年3月刊

中学生数理化 知识结构与拓展 高一数学2026年3月 例析韶三角形中的最值（疤围）问题 ■柳悦 解三角形中的最值（范围）问题的综合性 23 强，解法灵活，具有一定的难度，求解这类问 3 sinC,所以bc= 3 sin Bsin C 题必须讲究策略，下面举例说明。 sin Bi(-B）-sin2B- 3 cos 2B 例1在△ABC中，内角A,B,C所对 的边分别为a,b,c,已知5 asin B=b(2 十吉=号m(2B-若)十吉.因为B∈ cosA)。 (1)求角A的大小。 o,）所以2B-∈(-石，7).放当 (2)若a=1,求△ABC面积S的最大值。 分析：(1)利用正弦定理边化角，再利用 2B一若-受，即B=子时，bc有最大值，其最 辅助角公式即可求出角A的大小。(2)结合 大值为1，所以S.=)(bc)inA=3 余弦定理及基本不等式求出最值；也可以根 4 据正弦定理边化角，利用三角函数求出最值， 例2已知△ABC的内角A,B,C的对 但要注意定义域的限制。 边分别为ab,c,C=3c=2。 解：(1)由正弦定理可得，√5 sin Asin B= (1)求△ABC面积S的最大值。 sinB(2-cosA)。 (2)求△ABC周长L的取值范围。 因为B∈(0，元)，所以sinB≠0，所以 分析：(1)利用余弦定理和基本不等式求 √5sinA=2-cosA,即√/5sinA+cosA=2, 出ab的范围，再利用面积公式求解；也可以 所以sin(A+答)=1。由A∈(0，x)得A+ 利用正弦定理及辅助角公式求出ab的范围。 (2)利用余弦定理和基本不等式求出a+b的 吾∈（答，）所以A+否-受，即A= 范围；也可以利用正弦定理及辅助角公式求 出a十b的范围。 (2)(方法1)由a2=b2+c2-2 bccos A, 解：(1)（方法1）由余弦定理c2=a2+b2 可得1=b2+c2-bc。 一2 abcos C得4=a2+b2+ab,结合基本不等 因为b2+c2≥2bc,所以1=b2+c2-bc 式得4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab,所以 ≥bc,即bc≤1（当且仅当b=c=1时取等 ab≤营，当且仅当a=b=2时取等号，所 3 号)，所以S= 在mA-停∈（当且仅 1 当b=c=1时取等号)。 21 故当b=c=1时，△ABC的面积S有最 △ABC面积S的最大值为3。 太值其最大值为气。 (方法2)由正弦定理得.a b sin A sin B (方法2)由正弦定理得6 sin B sin C sin C 4,所以a=4y sinA,b= 3 a 1 2w sin A ,所以6=23 3 sin B,c= 45 sin 3 3 inB,所以s=ubsinC=号×（色） 3 知识结构与拓展 高一数学 2026年3月 中学生数理化 $$\times \sin A \sin B \times \frac { \sqrt 3 } { 2 } = \frac { 4 \sqrt 3 } { 3 } \sin A \sin B 。$$ $$l = a + b + c = \frac { 4 \sqrt 3 } { 3 } \sin \left( A + \frac { \pi } { 3 } \right) + 2$$ 在 △ABC 中，因为 $$C = \frac { 2 \pi } { 3 } ，$$ ，所以A+B 因为 $$A \in \left( 0 ， \frac { \pi } { 3 } \right) ，$$ 所以 $$A + \frac { \pi } { 3 } \in$$ $$= \frac { \pi } { 3 } ，$$ 即 $$B = \frac { \pi } { 3 } - A ， 且 A \in \left( 0 ， \frac { \pi } { 3 } \right) ，$$ 所以 ( $$\left( \frac { \pi } { 3 } ， \frac { 2 \pi } { 3 } \right) ，$$ $$f \left( x \right) \sin \left( A + \frac { \pi } { 3 } \right) \in \left( \frac { \sqrt 3 } { 2 } ， 1 \right] ，$$ 所以 $$\sin A \sin B = \sin A \sin \left( \frac { \pi } { 3 } - A \right) = \frac { \sqrt 3 } { 2 } \sin A .$$ 周 $$l \in \left( 4 ， \frac { 4 \sqrt 3 } { 3 } + 2 \right] 。$$ $$\cos A - \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { 2 } A = \frac { \sqrt 3 } { 4 } \sin 2 A + \frac { 1 } { 4 } \cos 2 A - \frac { 1 } { 4 }$$ 例3 在 △ABC 中，内角A， ，B， C的对 边分别为 a，b，c， ，已知 $$B = \frac { \pi } { 3 } ， b = \sqrt 3 ，$$ $$= \frac { 1 } { 2 } \sin \left( 2 A + \frac { \pi } { 6 } \right) - \frac { 1 } { 4 } 。$$ 的取值范围。 因为 $$A \in \left( 0 ， \frac { \pi } { 3 } \right) ，$$ 所以 $$2 A + \frac { \pi } { 6 } \in$$ 分析：由正弦定理得 a=2sinA，c= 2sinC， ，结合内角和公式、两角和的正弦公式 $$\left( \frac { \pi } { 6 } ， \frac { 5 \pi } { 6 } \right) ，$$ $$\omega x \sin \left( 2 A + \frac { \pi } { 6 } \right) \in \left( \frac { 1 } { 2 } ， 1 \right] ，$$ ，所以 及辅助角公式得 $$a _ { c } = 2 \sin \left( 2 A - \frac { \pi } { 6 } \right) + 1 ，$$ ，再 $$\sin A \sin B \le \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } = \frac { 1 } { 4 } ，$$ 当且仅当 $$A = \frac { \pi } { 6 }$$ 由正弦函数的性质和A的范围即得结果；也 可以由余弦定理得 $$a ^ { 2 } + c ^ { 2 } = a c + 3 ，$$ ，结合基本 等 等号成立，所以 $$S = \frac { 4 \sqrt 3 } { 3 } \sin A \sin B \le \frac { 4 \sqrt 3 } { 3 } \times$$ 不等式求出ac的范围。 $$\frac { 1 } { 4 } = \frac { \sqrt 3 } { 3 } ，$$ 即 △ABC 面积S的最大值为 $$\frac { \sqrt 3 } { 3 } 。$$ 解：(方法1)已知 $$B = \frac { \pi } { 3 } ， b = \sqrt 3 ，$$ ，结合正 (2) (方法 \left.1) )由余弦定理得 $$a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + a b$$ 弦定理得 =4， 则 $$\left( a + b \right) ^ { 2 } - 4 = a b 。$$ ，结合基本不等式得 $$\frac { a } { \sin A } = \frac { c } { \sin C } = \frac { b } { \sin B } = \frac { \sqrt 3 } { \sin \frac { \pi } { 3 } } = 2 ，$$ $$\left( a + b \right) ^ { 2 } - 4 = a b \le \left( \frac { a + b } { 2 } \right) ^ { 2 } ，$$ ，所以 a+b≤ 所以 a=2sinA，c=2sinC， ，所以 ac= $$4 \sin A \sin C = 4 \sin A \sin \left( A + \frac { \pi } { 3 } \right) = 4 \sin A .$$ $$\frac { 4 \sqrt 3 } { 3 } ，$$ 当且仅当 $$a = b = \frac { 2 \sqrt 3 } { 3 }$$ 时取等号。 $$\left( \frac { 1 } { 2 } \sin A + \frac { \sqrt 3 } { 2 } \cos A \right) = 1 - \cos 2 A + \sqrt 3 \sin 2 A$$ 因为 c<a+b， ，所以 $$\lambda 2 < a + b \le \frac { 4 \sqrt 3 } { 3 } ， 则$$ 所 $$= 2 \sin \left( 2 A - \frac { \pi } { 6 } \right) + 1 。$$ 以周长1的取值范围为 $$\left( 4 ， \frac { 4 \sqrt 3 } { 3 } + 2 \right] 。$$ 因为 $$A \in \left( 0 ， \frac { 2 \pi } { 3 } \right) ，$$ 所以 $$2 A - \frac { \pi } { 6 } \in$$ (方法2)由题意结合正弦定理得 a= $$\frac { 4 \sqrt 3 } { 3 } \sin A ， b = \frac { 4 \sqrt 3 } { 3 } \sin B ，$$ 所以周长 $$\left( - \frac { \pi } { 6 } ， \frac { 7 \pi } { 6 } \right) ，$$ $$， 则 L i \sin \left( 2 A - \frac { \pi } { 6 } \right) \in \left( - \frac { 1 } { 2 } ， 1 \right] ，$$ 所以 ac∈(0，3]。 $$+ c = \frac { 4 \sqrt 3 } { 3 } \left( \sin A + \sin B \right) +$$ (方法2) 因为cos B= $$\cos B = \frac { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 3 } { 2 a c } = \frac { 1 } { 2 } ，$$ 在 △ABC 中，因为 $$C = \frac { 2 \pi } { 3 } ，$$ 所以A+B 以 $$a ^ { 2 } + c ^ { 2 } = a c + 3 。$$ 由基本不等式得 $$a ^ { 2 } + c ^ { 2 } \ge 2 a c ，$$ ，当且仅当 $$= \frac { \pi } { 3 } ，$$ ，即 $$B = \frac { \pi } { 3 } - A ，$$ 且A $$A \in \left( 0 ， \frac { \pi } { 3 } \right) ，$$ 所以 a=c 时等号成立，所以 ac+3≥2ac， ，即 ac≤ $$\sin A + \sin B = \sin A + \sin \left( \frac { \pi } { 3 } - A \right) =$$ ac>0， ，所以 ac 的取值范围为 (0，3]。 3，当且仅当 $$a = c = \sqrt 3$$ 时等号成立。又因为 $$\frac { 1 } { 2 } \sin A + \frac { \sqrt 3 } { 2 } \cos A = \sin \left( A + \frac { \pi } { 3 } \right)$$ 所以周长 作者单位：江苏省前黄高级中学国际分校 (责任编辑郭正华) 7