全称量词命题与存在量词命题题型例析&例析方差的应用-《中学生数理化》高一数学2026年7～8月刊

青一敬学识体种与奶骨中学生款理化 全称量词命题与存在量词命题题型例析 ■陈敏 一、全称量词命题与存在量词命题的 判断 2医(-，2]，所以命题对yx∈[1,2] 例1（多选题）已知非空集合M,N满 x2一a.x十1<0”为假命题的一个充分不必要 足M≠N,且M∩N=M,则()。 条件是a≤2。应选B。 A.Hx∈M,x∈N 三、全称量词命题与存在量词命题的综 B.Vx∈N,x∈M 合应用 C.3x∈N,x∈M 例3记命题p:对任意x∈[一2,2]，不 D.3xtM,x∈N 等式一x2一m2十5m≥0恒成立，命题g:存在 解：因为M∩N=M,所以M三N。又 x∈(0,3]，使得不等式x2一mx十1<0成立。 M≠N,所以集合M是N的真子集，即元素 (1)若p为真命题，求实数m的取值 在集合M里就一定在集合N里，A正确。 范围。 若元素在集合N里不一定在集合M里，B错 (2)若命题p与命题q一真一假，求实数 误。3x∈N,x∈M成立，3xM,x∈N m的取值范围。 成立，C,D正确。应选ACD。 解：(1)对任意x∈[一2,2]，不等式一x 二、由全称量词命题与存在量词命题的 一m2十5m≥0恒成立，即m2一5n≤ 真假，确定参数的范围 (一x2)m在x∈[一2,2]上恒成立。令f(x) 例2(1)使命题p:“3x∈(1,2)，m≤ =一x2,则f(x)m=一4，所以m2一5m≤ x十1”为假命题的一个必要不充分条件是 一4，解得1≤m≤4，所以实数m的取值范围 ()。 为[1,4]。 A.m≥4B.m>5C.m≤2D.n≤5 (2)存在x∈(0,3]，使得不等式x2一mx (2)使命题“对/x∈[1,2]，x2-ax+ 十1<0成立，所以n>x十一有解，即n> 1<0”为假命题的一个充分不必要条件是 ()。 (x+1）在x∈(0,3]上恒成立。令g(x) T i A.a≥2B.a≤2C.a≤3D.a>3 解：(1)因为命题p:“3x∈(1,2)，m 五，则g(x)=x+1≥ 2 工=2 x· x十1”为假命题，所以命题p:“Vx∈(1， 2),m>x2+1”为真命题，即m>(x2十1)mx 当且仅当工二，即x1时等号成立，所以 当x∈(1,2)时，函数y=x2+1单调递增，所 g(x)。m=2,所以m>2,即命题g为真时， 以x2十1<5。因为m>(x2十1)m*,所以 m>2,则命题q为假时，n≤2。由(1)知命 m≥5。故m≥5的一个必要不充分条件为 题p为真时，1≤m≤4，则命题p为假时， m≥4。应选A。 m<1或m>4。 (2)原命题为假命题等价于其否命题 当p真q假时，可得1≤m≤4且n≤2， “3x∈[1,2]，x2一ax十1≥0”为真命题，所 即1≤m≤2；当p假g真时，可得m>2且m 以a≤()。y=1+上在区 1或m>4,即m>4。 x x 综上得实数m的取值范围为[1,2]U 间[1,2]上单调递增，当x=2时，y=+1 (4,+©∞)。 =x+子取得最大值号期a≤号又(-©， 作者单位：江苏省无锡市第六高级中学 (责任编辑王琼霞) 3 知识结构与拓展 中学生教理化高”数学2026年7-8月 二、利用数据的方差求百分位数 例2近年来，加强青少年体育锻炼，重 视体质健康已经在全社会形成高度共识。为 例折方差的应用 了考察某校各班参加两项以上体育项目锻炼 小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每 个班级参加两项以上体育项目锻炼小组的人 数作为样本数据。已知样本的平均数为7， 样本的标准差为2，若样本数据各不相同，则 ■刘正新 样本数据的80%分位数是。 解：由题意知样本的平均数为7，样本的 如果一个样本中个体的变量值分别为 方差为4。设5个数据由小到大分别为a,b, y1y2,…,y,样本的平均数为夕，那么称 c,d,e,则a+b+c+d+e=5×7=35,(a- 。一士之。一为样本的方整：方整糖 7)2+(b-7)2+(c-7)2+(d-7)2+(e-7)2 =5×4=20。由于5个数据的离差平方和为 述了数据相对平均数的离散程度，在平均数 20,所以必有0+1+1+9十9=20。由(x一 相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数 7)=9,解得x=10或x=4。由(x一7)= 据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据 1,解得x=6或x=8。故样本数据为4,6， 越集中、越稳定。 7,8,10。因为5×80%=4，所以样本数据的 一、利用数据的方差求新数据的平均数 例1已知成对样本数据(x1,y1),(x, 80%分位数为2(8十10)=9. y2),…,（x1,yo)中x1,x2,…,x10互不相 三、利用分层方差求总体方差 等，且所有样本点(x:,y:)(i=1,2,…,10)都 例3某动漫社团为了调查本校学生对 在曲线y=x2一2x上。若x1,x,…,x1的 新上映电影的喜好程度，对该校学生进行了 平均值与方差均为5，则y1,y,…,y1。的平 满意度调查，其中男生共调查了600人，女生 均值为 。(其中s=1∑(x,-)= 共调查了400人，男生平均给分4分，方差为 n 1,女生平均给分3分，方差也为1，则调研对 (空x-)】 象的总体方差为( )。 解：由x1,x2,…,x10的平均值为5，即x AR x:=50。 =1 c D引 由x1,x,…,x10的方差为5，即s2 解：记男生平均给分为x1,方差为s,女 (空-10z)=5,可得 x=300。 生平均给分为x,方差为s,则x1=4,x2= 3,s=s=1,所以总体平均数x= 因为所有样本点(x,y:)(i=1,2,…, 60090+60440,=号×4+号× 600 400 3 10)都在曲线y=x2-2x上，所以y:=x 2x=1,2,10,所以2y=(x 3=吕所以意体方老 600 1+ 600+400 x-22x4=300-2×50=200, (4-)门+6049o1+(a-1)门- 400 31 2x:)= 的平均位为品2 应选D。 所以y1,y2,…,y10 作者单位：安徽省六安市皖西中学 10×200=20. (责任编辑王琼霞)