专题3.1.2 椭圆的几何性质（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

本讲义聚焦椭圆的几何性质核心知识点，从范围（x、y取值）、对称性、顶点与长短轴到离心率及实际应用，构建递进式学习支架，先以形与数结合分析范围，再探究对称性应用，进而学习顶点、离心率计算与性质，最终延伸至实际问题。 该资料以10大题型系统分类，含例题与变式题，通过卫星轨道、绸伞影子等实例培养数学眼光，离心率范围推导等训练数学思维，标准方程表达强化数学语言。课中辅助分层教学，课后助力举一反三，有效查漏补缺。

专题3.1.2 椭圆的几何性质（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 椭圆中x、y的取值范围】 1 【题型2 根据椭圆的有界性求范围或最值】 3 【题型3 椭圆的对称性及其应用】 5 【题型4 利用椭圆的几何性质求标准方程】 8 【题型5 求椭圆的焦点、焦距】 11 【题型6 求椭圆的长轴、短轴】 12 【题型7 求椭圆的离心率或其取值范围】 14 【题型8 根据椭圆的离心率求参数】 16 【题型9 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系】 18 【题型10 椭圆的实际应用】 20 考点1 椭圆的范围 知识点1 椭圆的范围 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 【题型1 椭圆中x、y的取值范围】 【例1】（25-26高二上·全国·课后作业）椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先将方程化为标准方程，然后根据椭圆的性质分析判断 【解答过程】由，得， 所以椭圆的标准方程为，则， 因为点在椭圆上， 所以． 故选：C. 【变式1.1】（25-26高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 【答案】D 【解题思路】由椭圆的标准方程先确定求得，得到长轴长，焦点为即可判断A，B； 将方程中的互换，根据所得方程是否与原方程相同可判别C；根据椭圆的范围可判断D. 【解答过程】对于A、B，由得， ∴长轴长，焦点为，故A、B不正确； 对于C，将互换，得椭圆与原椭圆方程不相同，故椭圆不关于直线对称，故C不正确； 对于D，因为点在椭圆上，则，∴，故D正确. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】先把椭圆方程变为标准方程，再根据椭圆的范围求解. 【解答过程】因为点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆上， 所以点(m,n)满足椭圆的范围， 因此，即． 故答案为：. 【变式1.3】（25-26高二上·上海·期中）已知，若是椭圆上一点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】利用椭圆的范围求解即可. 【解答过程】因为是椭圆上一点， 所以点满足椭圆的范围， 因此，所以，即的取值范围是． 故答案为：. 【题型2 根据椭圆的有界性求范围或最值】 【例2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解题思路】设，确定，根据二次函数性质得到最值. 【解答过程】由题意可知：，设， 由可得，， 则， 因为，可知当时，最大为. 故选：B. 【变式2.1】（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设点，其中，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【解答过程】对于椭圆， 则，，， 所以、， 设点，其中，且，故， 所以，， 故， 故当时，取最小值. 故选：A. 【变式2.2】（25-26高二上·河北保定·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为____________. 【答案】 【解题思路】设，根据两点间的距离公式列出，再由点为椭圆上的点进行求解即可. 【解答过程】设，所以， 又因为为椭圆上任意一点， 所以， 因为，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式2.3】（25-26高二上·上海·阶段检测）点在曲线上运动，则的最大值为____________. 【答案】 【解题思路】结合已知消元得，再由得，最后利用二次函数性质求解最值. 【解答过程】因为，所以， 所以， 又，所以，所以， 所以当时，最大值为. 故答案为：. 考点2 椭圆的对称性 知识点2 椭圆的对称性 1．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 【题型3 椭圆的对称性及其应用】 【例3】（25-26高二上·山东日照·期末）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（    ）    A．40 B．28 C．35 D．30 【答案】C 【解题思路】由椭圆的对称性结合椭圆定义即可分析求解. 【解答过程】    由题可得，为椭圆上顶点， 则根据椭圆的对称性知，，，， ∴. 故选：C. 【变式3.1】（25-26高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C 【解题思路】根据椭圆的对称性可判断. 【解答过程】点与点关于原点对称， 点与关于轴对称， 点与关于轴对称， 若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上， 故选：C. 【变式3.2】（25-26高二上·广东汕头·期末）把椭圆的长轴分为等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于个点，是椭圆的一个焦点，则这个点到的距离之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设椭圆的左焦点为，右焦点为，且，根据椭圆的定义和椭圆的对称性，即可计算求解． 【解答过程】记个点分别为，如图： 设椭圆的左焦点为，右焦点为，由题意知， 由椭圆的对称性得， 所以， ， ， 累加得， 所以这个点到的距离之和为. 故选：D. 【变式3.3】（25-26高二上·浙江绍兴·期中）已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ） A．[51,76] B．[52,76] C．[64,80] D．[68,80] 【答案】C 【解题思路】由是左焦点，连接，利用椭圆对称性及定义，将目标式化为，结合及二次函数性质求范围. 【解答过程】若是左焦点，连接，又关于原点对称，    所以为平行四边形或为左右顶点，则， 由，则， 故，则 ，开口向上且对称轴为，又， 所以. 故选：C. 考点3 椭圆的顶点、长短轴与离心率 知识点3 椭圆的顶点、长短轴与离心率 1．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a. 这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 2．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 3．求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下: (1)直接求出a, c，利用离心率公式求解. (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解. (3)构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 【题型4 利用椭圆的几何性质求标准方程】 【例4】（25-26高二上·广东江门·期末）已知椭圆（），离心率为，长轴长为4，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合题意得到基本量，进而求出椭圆的方程即可. 【解答过程】因为椭圆的长轴长为4，所以， 因为椭圆的离心率为，所以，解得，可得， 则的方程为，故B正确. 故选：B. 【变式4.1】（25-26高二上·河南周口·阶段检测）若椭圆焦点在轴上，长轴长是焦距的3倍，且经过点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据椭圆的几何性质即可求解. 【解答过程】因为椭圆的长轴长是焦距的3倍，所以，即， 又因为经过点，且焦点在轴上，所以，， 所以，所以椭圆的标准方程为：， 故选:C． 【变式4.2】（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且离心率： (2)经过点，且与椭圆有相同的焦点. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据题意，分类讨论椭圆的焦点位置，结合椭圆的离心率公式求得，从而得解； （2）利用共焦点的性质得到，再利用点在椭圆上得到关于的方程组，解之即可得解. 【解答过程】（1）因为椭圆经过点， 若椭圆焦点在轴上，则， 由，得，所以， 此时椭圆的标准方程为； 若椭圆焦点在轴上，则， 由，得， 此时椭圆的标准方程为； 综上，椭圆的标准方程为或. （2）因为所求椭圆与椭圆有相同的焦点，可得， 因为焦点在轴上，可设它的标准方程为且， 因为椭圆过点，所以有①， 又因为②， 由①②解得：， 所以所求椭圆的标准方程为. 【变式4.3】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)离心率是，长轴长是12； (2)过点和； (3)焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 【答案】(1)或； (2)； (3). 【解题思路】（1）由椭圆的性质分焦点在x轴上和在y轴上可求； （2）设椭圆的标准方程，代入点坐标可得； （3）设椭圆方程为，由可解. 【解答过程】（1）由题意可得，又，则， 当焦点在x轴上时，椭圆方程为， 当焦点在y轴上时，椭圆方程为. （2）设椭圆的标准方程， 由于椭圆过点和， 代入可得，解得， 所以椭圆的方程为：. （3）设椭圆方程为， 则，，解得， 所以椭圆方程为. 【题型5 求椭圆的焦点、焦距】 【例5】（25-26高二上·河南商丘·期末）椭圆C：的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据椭圆的定义求解即可. 【解答过程】由题知，，所以， 所以C的焦点坐标为. 故选：B. 【变式5.1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据椭圆的标准方程，结合椭圆的焦点坐标进行求解即可. 【解答过程】因为椭圆的一个焦点坐标为， 所以该椭圆的焦点在纵轴上， 因此有，且， 故选：C. 【变式5.2】（25-26高二上·山东济南·期末）椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆焦点在轴，可得,，根据，即可求得焦点坐标. 【解答过程】由椭圆，可得椭圆焦点在轴，且,， 由，则， 所以椭圆的焦点坐标为， 故选：A. 【变式5.3】（25-26高二上·吉林长春·期中）椭圆的一个焦点坐标为，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的标准方程和几何性质计算即可求解. 【解答过程】由，得， 又椭圆的焦点为，所以且， 又，所以，解得. 故选：D. 【题型6 求椭圆的长轴、短轴】 【例6】（25-26高二上·江苏南通·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将椭圆方程化为标准方程，得出的值，即可得出该椭圆的长轴长. 【解答过程】将椭圆方程化为标准方程得，则，故该椭圆的长轴长为. 故选：D. 【变式6.1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆的焦点在轴上，且其短轴长等于焦距，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的几何性质结合焦点在轴上求出，再利用短轴长等于焦距构造方程，解方程求． 【解答过程】椭圆的焦点在轴上， ，，， 其短轴长等于焦距， ，解得，故D正确． 故选：D． 【变式6.2】（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型（如图），其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的长轴长为20cm，则小椭圆的短轴长为（   ） A．30cm B．20cm C．cm D．10cm 【答案】D 【解题思路】根据两个椭圆的扁平程度相同，由两个椭圆的离心率相同求解. 【解答过程】因为两个椭圆的扁平程度相同， 所以两个椭圆的离心率相同， 所以两椭圆长轴长与短轴长的比例相同， 即，即， 解得， 所以小椭圆的短轴长为10cm， 故选：D. 【变式6.3】（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知椭圆的两个焦点为，且.若在椭圆上，，三点不共线，且，则椭圆的长轴长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据正弦定理得到与的关系，再结合椭圆的定义得到与和的关系，进而求出关于的表达式，再由的范围得出结论. 【解答过程】因为，且三点不共线， 在中，由正弦定理得 ，所以，又， 所以.因为，即，又， 所以，又三点不共线， 所以，由，得， 所以，即椭圆长轴长的取值范围是. 故选：B. 【题型7 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例7】（25-26高二上·贵州黔南·期末）若椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意可得，再由、、的关系及离心率公式计算可得. 【解答过程】由题可知，即，从而，即． 由 ，可得，即，所以可得离心率． 故选：C． 【变式7.1】（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知椭圆的两个焦点分别为，，左顶点为，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆性质，可得，，，进而可得，，在中，结合余弦定理，可得，即可求得其离心率. 【解答过程】由题意，椭圆的焦点在轴上，所以，，， 所以在中，，， 又在椭圆中，，所以， 由余弦定理，可得， 即，化简得， 解得，即. 故选：A. 【变式7.2】（25-26高二上·四川眉山·期末）已知，是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设椭圆上一点，利用平面向量数量积以及椭圆的范围得出不等式即可求出离心率的取值范围. 【解答过程】依题意设椭圆上一点，所以，可得； 所以， 因此，即， 也即，所以， 因为，所以可得，因此， 即，即， 因此离心率为. 故选：B. 【变式7.3】（25-26高二上·山东泰安·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件结合椭圆定义得出，设焦距，根据余弦定理，化简计算，即可求出离心率. 【解答过程】 因为，又因为，所以， 设焦距，因为， 所以，， 因为在中，， 所以， 则 所以，所以. 故选：D. 【题型8 根据椭圆的离心率求参数】 【例8】（25-26高二上·陕西·阶段检测）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先将椭圆的方程转化为椭圆的标准方程，进而结合的范围得，再根据离心率公式计算即可得答案. 【解答过程】椭圆变形为， 因为，所以，所以椭圆的焦点在轴上，， 所以离心率，解得. 故选：D. 【变式8.1】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解. 【解答过程】当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得； 当的焦点在轴上时，， 易知 ，则，解得， 所以的值为或. 故选：D. 【变式8.2】（25-26高三上·四川南充·期末）已知椭圆的离心率为，则（   ） A．2 B． C．4或 D．或2 【答案】C 【解题思路】由椭圆方程可知对和进行分类讨论，再由离心率公式代入计算可得结果. 【解答过程】根据椭圆方程可知， 当时，可得，所以离心率， 解得； 当时，可得，所以离心率， 解得，所以； 所以或4. 故选：C. 【变式8.3】（25-26高二上·辽宁·期中）记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据离心率公式可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】因为， 所以，，，则，可得， ，则， 因为，即，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【题型9 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系】 【例9】（25-26高二上·上海浦东新·期中）用离心率作为衡量指标，下列四个椭圆中（    ）最接近圆. A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据椭圆方程计算离心率，越接近圆则离心率越小，即可得答案. 【解答过程】A：，则； B：，则； C：即，，则； D：即，，则； 因为，所以选项B中椭圆离心率最小，故最接近圆. 故选：B. 【变式9.1】（25-26高二上·河北·期中）下列四个椭圆中，椭圆的形状最接近圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】本题考查椭圆的离心率的几何意义，求出离心率对比即可. 【解答过程】由得， 得到椭圆的离心率为； 由得椭圆的离心率为； 由，得椭圆的离心率为； 由得椭圆的离心率为； 而离心率越小，椭圆形状越接近圆，故D正确. 故选：D． 【变式9.2】（25-26高二上·山东潍坊·期末）如图，直角坐标系中有3条圆锥曲线，其离心率分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据椭圆的离心率与图形的关系即可判断. 【解答过程】设三条曲线的方程为 （），其中相同，离心率， 由图可知，短半轴 ，因此 ， 即 . 两边同除以 ，得 ，即 . 故选：B. 【变式9.3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，求出各选项中椭圆的离心率即可判断得解. 【解答过程】椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 可得， 得到最接近于圆的椭圆是，故B正确. 故选：B. 【题型10 椭圆的实际应用】 【例10】（25-26高二上·江苏泰州·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程，求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【解答过程】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，    则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为 ， 又，所以. 故选：A. 【变式10.1】（25-26高二上·浙江·期末）2025年春晚语言类节目《借伞》中，一批精美的西湖绸伞成为舞台亮点．2008年，西湖绸伞制作技艺入选国家级非物质文化遗产，西湖畔绸伞摇曳，流转千年东方美学的匠心温度.如图有一绸伞放置于地面，假设伞面是一个半径为的圆形平面（与伞柄垂直），该圆形平面的圆心到伞柄底端距离为，当光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据勾股定理，椭圆离心率公式进行求解即可. 【解答过程】因为伞面是一个半径为的圆形平面（与伞柄垂直）， 所以， 因为当光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上， ，显然， 所以椭圆的离心率. 故选：B. 【变式10.2】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意可得，，进而可求，即可得椭圆方程. 【解答过程】由题意知，卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点. 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题可知，，即． 因为天平三号卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米， 所以，可得， 因此， 结合选项可知：天平三号卫星运行的轨迹方程可以为， 故选：A. 【变式10.3】（2026·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率. 【解答过程】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1.2 椭圆的几何性质（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 椭圆中x、y的取值范围】 1 【题型2 根据椭圆的有界性求范围或最值】 2 【题型3 椭圆的对称性及其应用】 3 【题型4 利用椭圆的几何性质求标准方程】 4 【题型5 求椭圆的焦点、焦距】 5 【题型6 求椭圆的长轴、短轴】 5 【题型7 求椭圆的离心率或其取值范围】 6 【题型8 根据椭圆的离心率求参数】 7 【题型9 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系】 7 【题型10 椭圆的实际应用】 8 考点1 椭圆的范围 知识点1 椭圆的范围 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 【题型1 椭圆中x、y的取值范围】 【例1】（25-26高二上·全国·课后作业）椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（25-26高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 【变式1-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是___________． 【变式1.3】（25-26高二上·上海·期中）已知，若是椭圆上一点，则的取值范围是___________． 【题型2 根据椭圆的有界性求范围或最值】 【例2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式2.1】（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高二上·河北保定·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为____________. 【变式2.3】（25-26高二上·上海·阶段检测）点在曲线上运动，则的最大值为____________. 考点2 椭圆的对称性 知识点2 椭圆的对称性 1．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 【题型3 椭圆的对称性及其应用】 【例3】（25-26高二上·山东日照·期末）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（    ）    A．40 B．28 C．35 D．30 【变式3.1】（25-26高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【变式3.2】（25-26高二上·广东汕头·期末）把椭圆的长轴分为等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于个点，是椭圆的一个焦点，则这个点到的距离之和为（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】（25-26高二上·浙江绍兴·期中）已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ） A．[51,76] B．[52,76] C．[64,80] D．[68,80] 考点3 椭圆的顶点、长短轴与离心率 知识点3 椭圆的顶点、长短轴与离心率 1．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a. 这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 2．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 3．求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下: (1)直接求出a, c，利用离心率公式求解. (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解. (3)构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 【题型4 利用椭圆的几何性质求标准方程】 【例4】（25-26高二上·广东江门·期末）已知椭圆（），离心率为，长轴长为4，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高二上·河南周口·阶段检测）若椭圆焦点在轴上，长轴长是焦距的3倍，且经过点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且离心率： (2)经过点，且与椭圆有相同的焦点. 【变式4.3】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)离心率是，长轴长是12； (2)过点和； (3)焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 【题型5 求椭圆的焦点、焦距】 【例5】（25-26高二上·河南商丘·期末）椭圆C：的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5.2】（25-26高二上·山东济南·期末）椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5.3】（25-26高二上·吉林长春·期中）椭圆的一个焦点坐标为，则实数（   ） A． B． C． D． 【题型6 求椭圆的长轴、短轴】 【例6】（25-26高二上·江苏南通·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆的焦点在轴上，且其短轴长等于焦距，则（   ） A． B． C． D．2 【变式6.2】（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型（如图），其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的长轴长为20cm，则小椭圆的短轴长为（   ） A．30cm B．20cm C．cm D．10cm 【变式6.3】（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知椭圆的两个焦点为，且.若在椭圆上，，三点不共线，且，则椭圆的长轴长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例7】（25-26高二上·贵州黔南·期末）若椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知椭圆的两个焦点分别为，，左顶点为，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式7.2】（25-26高二上·四川眉山·期末）已知，是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7.3】（25-26高二上·山东泰安·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【题型8 根据椭圆的离心率求参数】 【例8】（25-26高二上·陕西·阶段检测）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【变式8.1】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 【变式8.2】（25-26高三上·四川南充·期末）已知椭圆的离心率为，则（   ） A．2 B． C．4或 D．或2 【变式8.3】（25-26高二上·辽宁·期中）记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型9 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系】 【例9】（25-26高二上·上海浦东新·期中）用离心率作为衡量指标，下列四个椭圆中（    ）最接近圆. A． B． C． D． 【变式9.1】（25-26高二上·河北·期中）下列四个椭圆中，椭圆的形状最接近圆的是（   ） A． B． C． D． 【变式9.2】（25-26高二上·山东潍坊·期末）如图，直角坐标系中有3条圆锥曲线，其离心率分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式9.3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【题型10 椭圆的实际应用】 【例10】（25-26高二上·江苏泰州·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式10.1】（25-26高二上·浙江·期末）2025年春晚语言类节目《借伞》中，一批精美的西湖绸伞成为舞台亮点．2008年，西湖绸伞制作技艺入选国家级非物质文化遗产，西湖畔绸伞摇曳，流转千年东方美学的匠心温度.如图有一绸伞放置于地面，假设伞面是一个半径为的圆形平面（与伞柄垂直），该圆形平面的圆心到伞柄底端距离为，当光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【变式10.2】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 【变式10.3】（2026·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $