3.1.2 椭圆的几何性质 分层同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

3.1.2　椭圆的几何性质 一、基础达标练 1.已知椭圆=1,则它的短轴长为(　　) A.2　　　　 B.4　　　　C.6　　　　 D.8 2.已知F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,A为上顶点,则△AF1F2的面积为(　　) A.6 B.15 C.6 D.3 3.已知椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1,则两个椭圆(　　) A.有相同的长轴与短轴 B.有相同的焦距 C.有相同的焦点 D.有相同的离心率 4.若椭圆C:=1的离心率为,则椭圆C的长轴长为(　　) A.6 B.或2 C.2 D.2或2 5.已知点A,B,C为椭圆D的三个顶点,若△ABC是正三角形,则椭圆D的离心率是(　　) A. B. C. D. 6.写出一个焦点在x轴上,且离心率为的椭圆的标准方程:　　　　　　　　　　.  7.设P是椭圆C:=1(a>)上任意一点,F为C的右焦点,|PF|的最小值为,则椭圆C的离心率为　　　　　　.  8.已知椭圆C1与椭圆C2:=1具有共同的焦点F1,F2,点P在椭圆C1上,PF1⊥PF2,　　　　　.在下面三个条件中选择一个,补充在上面的横线上,并作答.  ①椭圆C1经过点(5,0);②椭圆C1的短轴长为10;③椭圆C1的离心率为. (1)求椭圆C1的标准方程; (2)求△PF1F2的面积. 二、能力提升练 9.设椭圆=1(m>0,n>0)的离心率为e,则“e=”是“m=4n”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.已知椭圆的中心在原点,对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为,则这个椭圆的方程为(　　) A.=1 B.=1或=1 C.=1 D.=1 11.椭圆=1与椭圆=1(0<k<9)的关系为(　　) A.有相同的长轴长与短轴长 B.有相同的离心率 C.有相同的焦点 D.有相同的焦距 12.设F1,F2分别是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆E上存在点P满足=c2,则椭圆E的离心率的取值范围为(　　) A. B. C. D. 13.设F1,F2是椭圆E:=1(a>b>0)的两个焦点,P为直线y=a上一点,△F1PF2是底角为30°的等腰三角形,则椭圆E的离心率为　　　　　.  14.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为椭圆的蒙日圆.若椭圆C:=1(a>0)的离心率为,则椭圆C的蒙日圆的方程为　　　　　.  15.如图,设椭圆=1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1,F2,短轴的上端点为B,短轴上的两个三等分点为P,Q,且四边形F1PF2Q为正方形. (1)求椭圆的离心率; (2)若过点B作此正方形的外接圆的切线在x轴上的一个截距为-,求此椭圆的方程. 16.已知椭圆C的离心率为,焦点F1(-2,0),F2(2,0). (1)求椭圆C的方程; (2)已知A(-3,0),B(3,0),若P(xP,yP)是椭圆C在第一象限部分上的一动点,且∠APB是钝角,求xP的取值范围. 三、拓展探究练 17.(多选题)一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成,如图所示,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的右焦点F(3,0),椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线y=t(t>0)与半圆交于点A,与半椭圆交于点B,则下列结论正确的是(　　) A.椭圆的离心率是 B.线段AB长度的取值范围是(0,3+3] C.△ABF面积的最大值是+1) D.△OAB的周长存在最大值 参考答案 1.B　2.D　3.D　4.D　5.C 6.+y2=1(答案不唯一)　7. 8.解 (1)由题意,设椭圆C1的方程为=1(a>b>0). 因为椭圆C1与椭圆C2:=1具有共同的焦点,则c2=25. 选①,由已知可得a=5,则b2=25,所以椭圆C1的方程为=1. 选②,由已知可得b=5,则a2=50,所以椭圆C1的方程为=1. 选③,由已知可得,则a2=50,所以b2=25,所以椭圆C1的方程为=1. (2)由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=10.① 又因为PF1⊥PF2,所以=4c2=100,② 由①②,得+2|PF1|·|PF2|=100+2|PF1|·|PF2|=200,解得|PF1|·|PF2|=50, 因此|PF1|·|PF2|=25. 9.B　10.B 11.D　解析 对于椭圆=1,则a1=5,b1=3,c1==4,且焦点在x轴上,所以长轴长为10,短轴长为6,焦距为8,焦点为(±4,0),离心率为.对于椭圆=1,因为0<k<9,则0<9-k<9<16<25-k<25,可得a2=,b2=,c2==4,且焦点在y轴上, 所以长轴长为2<10,短轴长为2<6,焦距为8,焦点为(0,±4),离心率为,所以ABC错误,D正确. 12.D　解析 由椭圆的方程可得F1(-c,0),F2(c,0).设P(x0,y0),由=c2,得(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=c2,即=2c2.由点P在椭圆上,可得=1,所以=b2(1-),代入可得+b2=2c2,所以. 由∈[0,a2],得整理,得所以 所以,即,可得e∈[]. 13. 14.x2+y2=17　解析 因为椭圆C:=1(a>0)的离心率为,则,解得a=8,即椭圆C的方程为=1,于是椭圆的上顶点A(0,2),右顶点B(3,0),经过A,B两点的椭圆的切线方程分别为y=2,x=3,则两条切线的交点坐标为(3,2),显然这两条切线互相垂直,因此点(3,2)在椭圆C的蒙日圆上,圆心为椭圆C的中心O,椭圆C的蒙日圆半径r=,所以椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=17. 15.解 (1)由题意,知P(0,),F1(-c,0).因为四边形F1PF2Q为正方形,所以c=,即b=3c, 所以b2=9c2,即a2=10c2,所以离心率e=. (2)由(1)知B(0,3c),由几何关系可求得一条切线的斜率为2, 所以切线方程为y=2x+3c. 因为切线在x轴上的截距为-,所以c=1,所以椭圆的方程为=1. 16.解 (1)依题意,得c=2.由,得a=3,b=,所以椭圆C的方程为=1. (2)依题意,得=(-3-xP,-yP),=(3-xP,-yP). 因为∠APB是钝角,所以-9+<0.① 因为P(xP,yP)是椭圆C在第一象限部分上的一动点, 所以0<xP<3,且=1,则=5(1-).　② 将②代入①,得-9+5--4<0,<9,-3<xP<3,则0<xP<3,所以xP的取值范围是(0,3). 17.AC　解析 由题意,得半圆的方程为x2+y2=9(x≤0). 设半椭圆的方程为=1(a>b>0,x≥0).由题意,知b=c=3,则a=3,则半椭圆的方程为=1(x≥0),则椭圆的离心率e=,故选项A正确;因为直线y=t(t>0)与半圆交于点A,与半椭圆交于点B,则线段AB的取值范围是(0,3+3),故选项B错误;不妨设A(x1,t),B(x2,t),则由+t2=9(x1≤0),得x1=-.由=1(x2≥0),得x2=,则S△ABF=)t=·t≤(当且仅当t=时等号成立),故选项C正确;△OAB的周长l(t)=|OA|+|OB|+|AB|=3++(+1),则l(t)在(0,3)上单调递减,则△OAB的周长不存在最大值,故选项D错误. 4 学科网（北京）股份有限公司 $