第三章圆锥曲线单元检测基础卷02-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高二数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线单元检测基础卷，覆盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，通过基础巩固与综合应用题型，培养数学抽象、逻辑推理及运算能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|椭圆方程与离心率、双曲线渐近线、抛物线定义|第1题椭圆方程求解，第3题抛物线距离最值，强化数学抽象| |多选题|3题|抛物线焦点弦性质、椭圆几何性质、曲线分类|第9题结合抛物线定义与圆的性质，第11题曲线类型判断，培养逻辑推理| |填空题|3题|抛物线焦点距离、椭圆离心率与长轴长|第13题分类讨论椭圆焦点位置，考查数学运算| |解答题|4题|椭圆与抛物线综合、椭圆定点问题、双曲线面积|第15题椭圆与抛物线综合应用，第16题直线过定点探究，体现模型意识与创新应用|

2026-2027高二数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程单元检测 (基础卷02) 一、单选题 1．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．双曲线 的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 4．椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 5．“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 6．抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A． B． C． D． 7．已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线C：（，），斜率为的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设O为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点，且与抛物线C交于M，N两点，l为抛物线C的准线，则（ ） A． B． C．为等腰三角形 D．以MN为直径的圆与l相切 10．关于椭圆，下列选项正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 11．若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（   ） A．曲线可能是圆 B．若曲线为椭圆，则 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线为双曲线，则 三、填空题 12．已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，且，则到轴的距离为__________. 13．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为___________. 14．若双曲线的一个焦点为，则_________． 四、解答题 15．如图，椭圆过点，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为，，过椭圆的右焦点且与轴相交的直线与椭圆相交于，两点，与抛物线相交于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线在轴上截距的范围. 16．已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由． 17．已知双曲线的左，右焦点分别为. (1)若的实轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程； (2)已知是双曲线的左支上一点，）.当周长最小时，求的面积. 18．已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027高二数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线单元检测基础卷02》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A D A D A B AD BD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】根据长轴以及离心率即可求解. 【详解】由长轴长为4，可得，又离心率为，即， 解得，故， 所以椭圆方程为， 故选：A 2．B 【分析】根据渐近线方程的公式即可得到答案. 【详解】由题意得，则其渐近线方程为. 故选：B. 3．A 【分析】求出的焦点为，作出辅助线，由抛物线定义得到，从而过点作于点，与抛物线交于点，最小值为. 【详解】如图所示的焦点为，为其准线， 过点作⊥于点，作⊥于点， 连接，故， 故动点P到直线和直线的距离之和为， 故过点作于点，与抛物线交于点， 即为所求，即到直线和直线的距离之和的最小值， 最小值为， 故选：A 4．D 【分析】利用椭圆的定义表达式，代值计算即得. 【详解】由椭圆方程：，可知， 因，故. 故选：D. 5．A 【分析】由方程表示双曲线可得或，进而可知“”是该方程表示双曲线的充分而不必要条件. 【详解】若方程表示双曲线， 则有，解得或. 所以是方程表示双曲线的充分而不必要条件. 故选：A. 6．D 【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得. 【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为. 故选：D． 7．A 【分析】设点，其中，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆， 则，，， 所以、， 设点，其中，且，故， 所以，， 故， 故当时，取最小值. 故选：A. 8．B 【分析】先由双曲线与直线对称性，得四边形为平行四边形，再将已知条件转化为焦点三角形中的长度关系，然后利用定义求离心率即可. 【详解】设双曲线C的左焦点，右焦点为，P为第二象限上的点， 连接PF，，QF，， 根据双曲线的性质和直线l的对称性知，四边形为平行四边形. 因为以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点， 所以，即四边形为矩形， 由直线l的斜率为，得， 又，则是等边三角形，所以. 在中，，则，故， 又由双曲线定义知，所以， 则. 故选：B. 9．AD 【分析】由题意作图，根据抛物线焦点的概念，结合直线方程，求得参数；联立方程，求得直线与抛物线交点坐标，从而求得弦长；根据两点距离公式，求得三角形三边；由中点坐标公式，结合圆切线的判定，可得答案. 【详解】由题意，取的中点，作图如下：      由直线，令，则可得，即抛物线的焦点， 所以，解得，故A正确； 联立可得，消去可得，解得或， 当时，由，可得，当时，由，可得， 即，，所以，故B错误； 由，，则C错误； 由图可得，易知点到准线的距离，圆的半径，故D正确. 故选：AD. 10．BD 【分析】根据椭圆的方程可得a，b的值，即可判断A、B的正误，根据a，b，c的关系，可得c值，即可判断C、D的正误. 【详解】由椭圆的方程可得，所以， 所以椭圆的长轴长为，故A错误； 短轴端点为，则一个顶点为，故B正确； 因为，所以椭圆的焦距为，故C错误； 离心率为，故D正确. 故选：BD 11．ACD 【分析】根据曲线分别表示圆、椭圆、双曲线求出参数的值或取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若曲线表示圆，则，解得， 即曲线可能是圆，A对； 对于B选项，若曲线为椭圆，则，解得且，B错； 对于C选项，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，解得，C对； 对于D选项，若曲线为双曲线，则，即，解得，D对. 故选：ACD. 12．2 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义直接求出结果. 【详解】依题意，抛物线上点到拋物线的准线的距离为， 所以到轴的距离为. 故答案为：2 13．或 【分析】根据题意，分类讨论和两种情况，结合椭圆方程的性质与离心率公式求解即可. 【详解】因为椭圆的离心率为，易知， 当时，椭圆焦点在轴上，，， 所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为. 当时，椭圆焦点在轴上，，， 所以，得，满足题意， 此时，所以椭圆的长轴长为. 故答案为：或. 14． 【分析】根据双曲线即可求解． 【详解】由题得，， 故答案为：4． 15．(1) (2) 【分析】（1）由题知，进而解方程即可求得答案； （2）设，进而分别与椭圆和抛物线联立计算弦长，，进而计算面积，，再结合已知求得，且再求直线在轴上截距的范围即可. 【详解】（1）根据题意得解得所以，焦点. 所以椭圆的方程是：. （2）由题可设直线方程为：，，，，. 由得, 由题知，，, . 又点到直线的距离， . 由得，由题知，得，. . ，，解得：且, 或， 直线在轴上截距的取值范围是. 16．(1) (2)过定点 【分析】（1）根据椭圆顶点坐标以及离心率列方程求解即可； （2）分情况讨论直线斜率是否存在并设出直线的方程并于椭圆方程联立，利用韦达定理并根据斜率之间的关系列方程计算得出或，可求出直线过定点. 【详解】（1）由顶点为可知， 又离心率为，即，可得， 因此， 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线：，，如下图所示： 联立，整理可得， 显然，即，可得； 且， 则直线与直线的斜率分别为； 即可得 ， 所以可得，所以； 解得或； 当时，直线为，此时直线恒过点， 当时直线为，恒过，与点重合，不合题意； 当直线的斜率不存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程可得， 不妨取， 则， 解得，即直线为，恒过点， 当时，直线过点，不合题意； 综上可知，直线过定点. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用实轴长，和焦距求出渐近线. （2）利用双曲线定义，及两点之间线段最短，得到点在线段上，得到直线的方程，再代入得到面积. 【详解】（1）令双曲线的半焦距为，依题意，， 由，得，则，所以双曲线的渐近线方程为. （2）由双曲线的定义可得， 所以的周长为, 由于为定值，要使的周长最小，则应使最小为， 即点在线段上, ∵，所以直线的方程为：， 即，将其代入，解得或（舍去）， 因此点.所以 18．(1)； (2)为定值. 【分析】（1）根据抛物线焦点写出抛物线方程即可； （2）设直线的方程为，，，联立抛物线，应用韦达定理及两点距离公式化简目标式，即可证结论. 【详解】（1）抛物线的焦点为，依题意，解得， 所以抛物线． （2）由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，， ∴ ，为定值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $