第三章圆锥曲线单元检测基础卷01-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高二数学选择性必修一第三章圆锥曲线单元基础检测卷，聚焦椭圆、双曲线、抛物线核心概念与性质，通过基础辨析与综合应用题型，适配单元复习，培养数学抽象、运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|椭圆长轴短轴、双曲线离心率、抛物线焦点弦长|基础概念辨析，如椭圆离心率计算、双曲线渐近线斜率| |多选题|3|椭圆焦点三角形、双曲线渐近线与离心率关系|性质综合判断，如椭圆焦点三角形周长与面积最值| |填空题|3|椭圆弦长、双曲线轨迹方程、抛物线焦点坐标|运算能力考查，如直线与椭圆相交弦长计算| |解答题|5|抛物线方程求解、双曲线标准方程与距离定值证明、椭圆中点弦方程|综合应用，如直线与抛物线相交弦长公式应用，培养逻辑推理与数学表达|

2026-2027高二数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程单元检测 （基础卷01） 一、单选题 1．有关椭圆叙述错误的是（ ） A．长轴长等于4 B．短轴长等于4 C．离心率为 D．的取值范围是 2．已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．已知椭圆：的一个长轴端点与一个短轴端点之间的距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．已知离心率为的椭圆的方程为，则（   ） A．2 B． C． D．3 5．设点是双曲线上的动点，定点，则的最小值为（    ） A． B．3 C．12 D． 6．双曲线： （， ）过点和，则其渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　） A．2 B． C．3 D．4 8．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 10．若双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的有（   ） A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的虚轴长是实轴长的倍 C．双曲线与双曲线有相同渐近线 D．以双曲线实轴和虚轴端点为顶点的椭圆的离心率为 11．过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．当的倾斜角为时， C．当垂直于轴时，弦长最小 D． 三、填空题 12．已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 13．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 14．若抛物线的焦点在直线上，则__________． 四、解答题 15．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 16．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值. 17．已知双曲线的左、右顶点分别为、． (1)若双曲线的离心率，求实数的值； (2)在（1）的条件下，求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (3)直线与双曲线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，求实数的取值范围． 18．已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 19．已知是椭圆的右顶点，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，且，求弦的长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027高二数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线单元检测基础卷01》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C C A B A B ABD ABC 题号 11 答案 ABC 1．A 【分析】根据题意求出，进而根据椭圆的性质求得答案. 【详解】椭圆方程化为：，则，则长轴长为8，短轴长为4，离心率，x的取值范围是.即A错误，B,C,D正确. 故选：A. 2．A 【分析】由方程可得，根据椭圆的性质即可得结果. 【详解】由题意知，则， 所以椭圆上的点到焦点距离的最小值为． 故选：A． 3．C 【详解】由题意得，短半轴，长半轴为 因为一个长轴端点与一个短轴端点之间的距离为，所以，代入，两边平方得，解得，即 ，即 离心率 4．C 【分析】由椭圆的离心率求法得，进而求目标式的值. 【详解】由题设，可得， 所以. 故选：C 5．A 【分析】由数量积的定义可得，结合点在双曲线上可得，且，由此可求结论. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 因为点是双曲线上的动点， 所以或，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当点的坐标为或时，取最小值，最小值为， 故选：A. 6．B 【详解】已知点和在双曲线上，则，解得， 故其渐近线方程为． 7．A 【分析】利用焦点在x轴上的双曲线渐近线斜率得到，再结合双曲线的关系和离心率公式计算得到离心率. 【详解】对于焦点在轴上的双曲线，它的渐近线方程为， 由题意得， 所以. 8．B 【分析】利用抛物线交点弦长公式和，，求出，进一步得出抛物线方程. 【详解】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 9．ABD 【分析】由椭圆方程求出，即得离心率，判断A；根据椭圆的定义即可求出的周长，判断B；由椭圆上一点到焦点的距离最小值为，判断C；结合图形可知，当的边上的高最大时其面积最大，计算即可判断D. 【详解】由题可知，，则，则离心率，故A正确； 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故B正确； 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为，即，故C错误； 由，则当点在上顶点或下顶点时， 即取得最大值时，面积的最大值为，故D正确. 10．ABC 【详解】因双曲线渐近线方程为：，则. 对于A，双曲线离心率，故A正确； 对于B，虚轴长为，实轴为，则双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，故B正确； 对于C，双曲线的渐近线方程为，故C正确. 对于D，双曲线C实轴端点为,虚轴端点为. 则对应椭圆方程为：，离心率为，故D错误. 11．ABC 【分析】由抛物线方程可判断A,利用抛物线定义结合几何图形运算可判断BCD． 【详解】由抛物线：可得焦点，准线方程为，故A正确； 如图根据抛物线的定义可知：，， 由，故B正确； 设，则， 同理可得：， 所以， 此时取到最小值，故C正确； 由上可得：，故D错误； 故选：ABC 12．/ 【分析】依题意，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得. 【详解】由题意知，椭圆的右焦点的坐标为，直线的方程为． 联立方程，消去y整理得． 设，由根与系数的关系，得． 则. 13． 【详解】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如 其中，则， 故点的轨迹方程为. 14．2 【详解】由题知，抛物线的焦点为，代入得，解得． 15．(1) (2) 或 【分析】（1）将点A坐标代入抛物线方程求解p即可得抛物线方程； （2）设直线方程联立抛物线，结合韦达定理和抛物线焦点弦长公式求斜率. 【详解】（1）已知点在抛物线上， 代入方程得，解得，因此抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线焦点. ①当直线斜率不存在时，则，代入得，此时，不合题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立方程得，整理得，恒成立， 由韦达定理得. 则，因此， 所以，解得，即，因此直线的方程为或. 16．(1) (2) 如图所示： 设点的坐标为，则，即． 双曲线的两条渐近线，的方程分别为，， 则点到两条渐近线的距离分别为，， 则． 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值． 【分析】（1）由渐近线倾斜角得到，再把点代入，建立方程求解； （2）设出点M的坐标为，，利用点到直线距离公式得到点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得， 又由点在双曲线上，有， 代入，有，可得，， 故双曲线的标准方程为. （2）略 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的离心率求的值即可. （2）根据椭圆中的关系和离心率求，，即可确定椭圆的标准方程. （3）先将直线方程与双曲线方程联立，根据方程有两个不同的解确定的取值范围，再根据与的关系求的取值范围. 【详解】（1）由已知，可得，解得． （2）由已知、， 设椭圆方程为， 所以，又因为离心率为，所以， 所以，， 所以椭圆的标准方程为． （3）如图：    联立， 消去，得， 双曲线与直线相交于相异两点， 等价于不等式组， 解得或； 依题意：， 当时，；当时，， 所以的取值范围是． 18．(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的方程为，即可求出、； （2）设，，利用点差法求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】（1）依题意设椭圆的方程为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为，所以点在椭圆内，直线与椭圆相交， 设，，则， 所以，即， 又点为的中点，所以， 所以，则， 即，所以直线的方程为，即. 19．(1)； (2). 【分析】（1）根据椭圆右顶点以及经过点的坐标解方程即可求得椭圆的方程； （2）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式直接计算即可得出结果. 【详解】（1）由题意知， 代入点，即，解得， 可得椭圆的方程为； （2）联立与， 化简得， 可得， 由可得， 即解得， 所以， 可得， 即弦的长为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $