第三章圆锥曲线的方程单元检测-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学选择性必修一第三章圆锥曲线，通过单选、多选、填空及解答题的梯度设计，覆盖抛物线、双曲线、椭圆核心知识，注重数学思维与语言表达，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|抛物线定义、双曲线离心率、渐近线斜率|基础巩固，考查数学抽象与几何直观| |多选题|3题|抛物线焦点准线、双曲线焦点三角形|能力提升，体现推理意识与空间观念| |填空题|3题|抛物线焦点距离、中点轨迹、椭圆焦点三角形面积|综合应用，发展模型意识与运算能力| |解答题|5题|双曲线方程求解、抛物线综合（焦点、重心）、轨迹方程、直线与抛物线位置关系、椭圆离心率|创新应用，融合数学思维与问题解决，贴合高考命题趋势|

高中数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B C D C C BD ACD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】利用抛物线的定义求出，代入抛物线方程得到纵坐标，再结合三角形面积公式求解即可 【详解】由题意知，，且，可得， 将代入抛物线方程得：， 所以. 2．D 【分析】使用双曲线的离心率计算公式求解. 【详解】由题意知，双曲线的离心率为：. 3．B 【分析】首先利用双曲线渐近线的方程得到，然后利用离心率公式求解离心率即可. 【详解】根据双曲线渐近线的方程满足，所以. 所以双曲线的离心率为 4．B 【分析】根据抛物线标准方程以及定义，结合两点之间线段最短，即可求得结果. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 5．C 【详解】双曲线的渐近线方程为， 依题意，，所以. 6．D 【详解】渐近线为，焦点为，其中， 则焦点到渐近线的距离为，则， 故该双曲线的离心率为. 7．C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 8．C 【分析】联立焦点直线与抛物线方程求出两交点的横坐标，再结合抛物线定义的焦半径公式，将线段长转化为横坐标的代数式直接计算比值. 【详解】由题意得焦点为，直线的斜率， 所以直线的方程为， 代入到抛物线方程得， 整理得，解得，， 由题意得，，， 所以. 9．BD 【详解】抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1， 抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1． 故与的焦点不同，准线不同，离心率相同，与的焦点到准线的距离相同. 10．ACD 【分析】从已知双曲线方程得到，利用焦点到渐近线的距离公式求出，结合条件得出，判断A正确.通过作垂线构造相似三角形，证明与不重合，从而否定，判断B错误.在直角三角形中利用双曲线定义和勾股定理建立关于的方程，解得，进而求出离心率，判断C正确.最后利用三角形面积关系求得，判断D正确. 【详解】由题意知，由双曲线方程得，即. 又，故，焦点到渐近线的距离. 由条件，故选项A正确； 易知，，，过作垂直于，垂足为. 如图，过作于. 由，且，得. 又， 则，与不重合。 故，故选项B错误； 在中，，，， 则，即， 解得，则，所以，故C选项正确； ，故D选项正确． 11．ACD 【分析】求出双曲线中，然后逐项判断即可． 【详解】因为双曲线C：，所以，，． 对于A，C的离心率为，故A正确； 对于B，左焦点，渐近线方程为， 所以点到渐近线的距离为，故B错误； 对于C，在中，，所以为直角三角形， 由得， 所以的面积为，故C正确； 对于D，由得， 所以椭圆的离心率为，故D正确． 12． 【分析】利用抛物线标准方程求得焦点坐标，再利用两点之间距离公式即可求解. 【详解】由题得，抛物线焦点为， 抛物线即的焦点为， 所以两焦点之间的距离为. 13． 【分析】解法一：设，，的中点为．并令，，利用中点关系以及距离公式化简即可求解；解法二：设抛物线上两点横坐标为与，可得以横坐标为的中点对应的弦，其斜率恒为，且弦长满足，结合中点纵坐标满足化简即可求解. 【详解】解法一：（设点法与中点参数法） 设，，的中点为．则，． 令，，则，． 则． ，． 所以． 即代回，即得为中点的轨迹方程； 解法二：（用导数视角理解“局部斜率”与弦长结构） 抛物线上两点横坐标为与．对应弦的斜率为． 以横坐标为x的中点对应的弦，其斜率恒为．这与导数完全一致． 也是说，对于二次函数，任意一条以横坐标x为“对称中心”的弦，其斜率等于抛物线在x处切线的斜率． 由于弦的横向半长为，弦的横向全长为；弦的斜率为， 所以弦长满足．因此 中点纵坐标仍然为，所以 14． 【详解】由椭圆，得，可得， 即，则， 设，则有，， ， ， 15．(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线有公共焦点得到，然后将点的坐标代入双曲线方程求解. （2）根据双曲线有公共渐近线得到，然后将点的坐标代入双曲线方程求解. 【详解】（1）解法1：设双曲线方程为. 由题意易求. 又双曲线过点， ， ， ， 故所求双曲线方程为， 解法2：设双曲线方程为， 将点代入得， ∴双曲线方程为. （2）解法1：设双曲线方程为. 由题意得，解得. 故双曲线方程为. 解法2：设所求双曲线方程为， 将点代入得. 所以双曲线方程为，即. 16．(1) (2)1 【详解】（1）易知，则，     根据抛物线的定义，得，所以．     因此的方程为． （2）易得，设， 联立得消去得， ，     设的重心为， 则，     直线OG的斜率为，     要求直线OG的斜率的最大值，需使，则直线OG的斜率为， 当且仅当时，直线OG的斜率取得最大值1． 17．(1) (2)设，分两类情况： 第一种：直线垂直于轴，其方程为， 联立，解得，     此时， 所以，是直角三角形； 第二种：直线不垂直于轴， 设直线，联立得， ， 由韦达定理得， ， 即， 因为， 所以，所以为直角三角形． 【分析】（1）利用抛物线的定义，将动点到定点与定直线距离相等的关系直接转化为抛物线的轨迹方程. （2）分类讨论直线的斜率，通过联立直线与抛物线方程并借助韦达定理得到向量数量积为零，以此证明即可. 【详解】（1）由抛物线定义可知，点轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线， 设的方程为：，则，即， 所以动点的轨迹的方程为. （2）略 18．(1) (2)（i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形， 由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 【分析】（1）联立方程组并利用韦达定理得到，再结合题意求解参数，得到抛物线方程即可. （2）（i）法一直接利用斜率公式结合韦达定理得到定值，法二利用齐次化结合直线系方程求解定值，（ii）法一结合已证定值，求出直线方程，进而求解定点，法二结合齐次化得到的定值求出直线方程，最后求出定点即可. 【详解】（1）设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. （2）（i）略 （ii）略 19． 【分析】由中点弦的结论可得，，又，可得，即可得椭圆的离心率. 【详解】在中，取中点，由P为的重心，则P在上， 设，则， 则有， 两式作差得，， 可得， 则 则，即①， 同理可得，②， 因外心为M，则点为的中点，故 又，所以，由①②，可得 又，则， 故，即， 故. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 一、单选题 1．已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 2．已知双曲线：，则双曲线的离心率为（　　） A． B．5 C． D． 3．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 4．已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．若双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离之和为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 8．过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、多选题 9．已知抛物线：与：，则（    ） A．与的焦点相同 B．与的离心率相同 C．与的准线相同 D．与的焦点到准线的距离相同 10．已知双曲线的左、右焦点分别是，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线左支交于点，若，则（    ） A． B． C．的离心率为 D． 11．已知O为坐标原点，，分别是双曲线C：的左、右焦点，点A在C上且，则（    ） A．C的离心率为2 B．点到C的一条渐近线的距离为3 C．的面积为3 D．以，为焦点且经过点A的椭圆的离心率为 三、填空题 12．抛物线与焦点之间的距离为____________． 13．抛物线上有两点，，则中点的轨迹方程为______． 14．设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 四、解答题 15．根据下列条件，求双曲线方程： (1)与双曲线有公共焦点，且过点； (2)与双曲线有公共渐近线，且过点． 16．已知抛物线的焦点为F，M是的准线与轴的交点，是上的一点，且． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，过点的直线与交于A，B两点，若为的重心，求直线OG的斜率的最大值． 17．已知坐标平面内一动点P到定点的距离等于到定直线的距离． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设O为坐标原点，过点的直线m交E于A，B两点，求证：是直角三角形． 18．已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 19．椭圆，中心为O，斜率为2的直线交椭圆于A、B，D为椭圆上另一点且，、重心为P、Q，外心为M，若，求离心率e 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $