4.2二次函数的图像与性质 同步练习 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级上册二次函数图像与性质同步练，以"基础巩固-性质应用-综合拓展"分层设计，覆盖概念理解、性质运用到实际建模，适配新授课知识内化与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|图像识别、顶点坐标等概念|选择1-5直接考查图像特征，填空29-32强化开口方向等基础表述，培养几何直观| |提升层|平移规律、增减性等性质|选择16-25结合图像辨析参数关系，填空33-35渗透推理意识，训练运算能力| |综合层|最值探究、实际建模|解答45-46以矩形、三角形为情境构建函数模型，体现模型意识与应用意识|

2026-2027湘教版数学九年级上册第四章二次函数4.2二次函数的图像与性质同步练习答案 一．选择题。 1.二次函数y＝200x2的图象大致是（　B　） A B C D 解：y＝ax2的图像当a＞0时，开口向上，顶点的原点，a＜0时，开口向下，顶点在原点，故选B。 2.下列各点在二次函数y＝4x2的图象上的是（　C　） A.（2，2） B.（4，1） C.（1，4） D.（－1，－4） 解：当x=1时y=4×12=4，故选C。 3．若二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，则a的值可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向由a的正负决定是解题的关键．由抛物线开口方向可求得a的取值范围，可求得答案． 解：∵二次函数的图象是一条开口向下的抛物线， ∴， ∴， 观察发现只有选项A符合题意， 故选：A． 4．如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④，比较的大小，用“>”连接为（   ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据中决定开口方向和开口大小，越大，开口越小，进行判断即可． 解：由图象可知：， ∴； 故选A． 5.以下对二次函数y＝5x2的图象与性质的描述中，不正确的是（　B　） A.开口向上 B.对称轴是x轴 C.顶点是原点 D.x＞0时，y随x的增大而增大 解：a=5＞0，开口向上，对称轴为y轴，顶点为原点，对称轴为直线x=0，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故不正确的为B，故选B。 6.如图所示的图象对应的函数表达式可能是（　B　） A.y＝x2 B.y＝－x2 C.y＝3x D.y＝－ 解：图像是抛物线所以是二次函数，开口向下a＜0，顶点在原点，故选B。 7.已知抛物线y＝－x2过A（－3，y1），B（2，y2）两点，则下列关系一定正确的是（　C　） A.y1＜0＜y2 B.y2＜0＜y1 C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜0 解：当x=-3时，y1=-9 当x=2时，y2=-4， 所以y1＜y2＜0 故选C。 8．已知点在二次函数的图象上，则a的值是（    ） A． B．3 C．或3 D．或 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、求一个数的立方根，利用待定系数法求解a值即可． 解：∵点在二次函数的图象上， ∴，即， ∴，故选：B． 9．将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 解：平移图像，x左加右减，y上加下减。 所以将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线是，故选D。 10．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解：当时，随的增大而增大，所以a＞0，故a-1＞0，解得a＞1，故选B。 11．二次函数图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．利用二次函数的顶点坐标为，进行解答即可． 解：二次函数， 二次函数图象的顶点坐标为． 故选：D． 12.抛物线y＝－（x－3）2的顶点坐标是（　D　） A.（0，－3） B.（－3，0） C.（0，3） D.（3，0） 解：二次函数y＝－（x－3）2， 二次函数图象的顶点坐标为（3，0）． 故选：D． 13.二次函数y＝（x－1）2＋3的图象的顶点坐标是（　A　） A.（1，3） B.（1，－3） C.（－1，3） D.（－1，－3） 解：二次函数y＝（x－1）2＋3， 二次函数图象的顶点坐标为（1，3）． 故选：A． 14.关于二次函数y＝（x－4）2＋6的最大值或最小值，下列说法正确的是（　D　） A.有最大值4 B.有最小值4 C.有最大值6 D.有最小值6 解：因为a=1＞0，所以二次函数有最小值，当x=4时，二次函数最小值为6， 故选D。 15．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．从解析式可知，则开口即可判断，对称轴为直线，顶点坐标为，则即可判断最值，以及增减性． 解：二次函数， 该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意； 顶点坐标为，故选项C正确，不符合题意； 当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 16．对于抛物线和的图象比较，下列说法不正确的是（   ） A．开口都向下 B．对称轴相同 C．最大值都是0 D．与y轴交点不相同 【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：函数：开口向下，对称轴为：，顶点为：，经过， 函数：开口向下，对称轴为，顶点为：， 故选：B． 17．关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．时，y随x增大而减小 【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向、顶点坐标、对称轴和单调性．通过直接计算顶点坐标和对称轴来判断选项． 解：∵ 二次函数 中，， ∴ 抛物线开口向下，选项A错误． 对称轴， ∴ 对称轴是直线 ，选项C错误． 顶点横坐标为，代入得纵坐标， ∴ 顶点坐标为，选项B错误． ∵ 开口向下，对称轴， ∴ 当 时，随x增大而减小． ∵ 时，满足， ∴ 选项D正确． 故选：D． 18．若抛物线经过，，则它的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的对称性，即可求解． 解：抛物线经过，， ∴对称轴为直线 故选：C． 19．关于x的二次函数在y轴右侧y随x的增大而减小，则a的范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 20．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键 由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，即可得出答案． 解：抛物线中， A．因为，所以抛物线开口向下，故A不符合题意； B．由题意知：抛物线的对称轴为直线，故B不符合题意； C．由题意知：抛物线的顶点坐标是，故C符合题意； D．时，y随x增大而减小，故D不符合题意； 故选：C． 21．对于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．当>时，随的增大而减小 B．当时，有最大值，为 C．图象的顶点坐标为 D．图象经过第一、二、四象限 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．根据二次函数的开口方向，顶点坐标，增减性及最值等性质，即可判断答案． 解：∵， ∴的对称轴为 选项，a=， 抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大，故选项错误，不符合题意； 选项，， 抛物线开口向上， 当时，有最小值，故选项错误，不符合题意； 选项，图象的顶点坐标为，故选项错误，不符合题意； 选项，令，则， 所以抛物线与轴的交点在轴的正半轴上， 又抛物线开口向上，顶点在第四象限， 所以图象经过一、二、四象限，所以选项正确，符合题意； 故选． 22.将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了抛物线平移的性质，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，先处理向下平移，再处理向左平移，直接计算新表达式． 解：∵ 原抛物线为 ， 向下平移2个单位：， 再向左平移1个单位：， ∴ 新抛物线表达式为， 故选：A． 23．已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据二次函数的图象和性质，先确定对称轴，再根据增减性进行求解即可． 解：∵ 二次函数的对称轴为，且开口向下， ∴ 点离对称轴越近，值越大， 计算各点到对称轴的距离： 点：， 点：， 点：， ∴ 距离关系：近，其次，最远， 故值大小关系为，即， 故选： C． 24.关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最小值4 【分析】本题考查二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题关键．根据二次函数的性质，由于二次项系数为正，函数有最小值，没有最大值；通过求顶点坐标得到最小值为4． 解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，有最小值，没有最大值； 顶点横坐标， 代入得， ∴最小值为4． 故选：D． 25．已知二次函数，其中，当且仅当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，则关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，即可解答． 解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当且仅当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， ∴， 故选：A． 26．二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】本题考查二次函数的图象与各项系数符号的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的方法解题，是解此题的关键．根据开口向下，与y轴的交点位于x轴上方，对称轴为直线，可得出，，，即得出，故①错误；将代入二次函数解析式，结合，即可判断②；由当时，，即得出，故③正确；由图象可知当时，，则，即可判断④． 解：由图象可知开口向下，与y轴的交点位于x轴上方，对称轴为直线， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； 由图象可知当时，，即， ∴，即，故②正确； 由图象可知当时，，即，故③正确； 由图象可知当时，y有最大值，且， ∴当时，y的值都比小，即， ∴， ∴，故④正确．　 综上可知正确的有3个． 故选D． 27．在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解题的关键．分别根据一次函数的图象得出的取值范围，再判断对应的二次函数图象，然后可得答案． 解：A．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； B．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； C．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项符合题意； D．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； 故选：C． 28．已知二次函数在时有最小值，则（　　） A．或 B．4或 C．或 D．4或 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用二次函数的性质求出对称轴，然后分和两种情况讨论即可求解． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线， 当时， ∵在时有最小值， ∴当时，， ； 当时， ∵在时有最小值， ∴当时，， 解得：； 综上所述：或， 故选：B． 二．填空题。 29.抛物线的开口方向向 ，对称轴是 ，最高点的坐标是 ． 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后分别解答即可． 解：， 开口方向向下，对称轴是直线，最高点的坐标是． 故答案为：下，直线，． 30.如果二次函数y＝a（　x＋3）2有最大值，那么a　＜　0，当x＝　－3　时，函数的最大值是　0　. 解：当a＜0且x=-3时二次函数y＝a（　x＋3）2有最大值，最大值为0，故答案为＜；－3；0。 31.抛物线上有三点，，，则，，的大小关系是 ．（用“＜”连接） 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的单调性和对称轴的应用． 先求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的开口方向，比较三点到对称轴的距离，从而得出函数值的大小关系；也可直接代入计算函数值进行比较． 解：对于抛物线，其对称轴为直线， 且抛物线开口向下（因为）， 点到对称轴的距离越远，函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向下， ． 32.二次函数的最小值为 ． 【分析】本题考查了二次函数的最值问题．通过配方将二次函数化为顶点式，根据二次项系数的正负判断抛物线的开口方向，从而确定函数的最小值，据此进行分析，即可作答． 解：， ∵中的二次项系数， ∴函数的开口向上，顶点坐标为， ∴二次函数的最小值为， 故答案为：1． 33．二次函数中，当时，的最小值是 ． 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点式得到当时，y随着x的增大而增大，即可得到当时，当时取最小值，代入求解即可． 解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y随着x的增大而增大， ∴当时，当时取最小值，最小值为， 故答案为：1 34．二次函数的图象如图，以下结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论序号为 . 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是读懂图象，由图象得到之间的关系 ．根据图象可知该函数的对称轴大于零，可判断符号，由此可判断①；由函数图象可知该函数与x轴交于和两点，由此可求对称轴，由此可判断②；根据，，由此判断③；根据a与c的符号可判断④；根据函数的最小值即可判断⑤． 解：①：由图象可知，该函数的对称轴大于零， ∴，即， ∴，故①错误； ②：∵该函数与x轴交于和两点， ∴对称轴为， 即，则有， ∵点在函数图象上， ∴，即， 将，代入， 即，可得， ∴， ∵函数图象开口向上，即， ∴，则，故②正确； ③：由②知，，， ∴，故③正确； ④：∵，且， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵，， ∴⑤由图象可知，该函数的最小值小于， 即，且， ∴，故⑤错误． ∴正确的结论序号为②③④． 故答案为：②③④ ． 35.已知二次函数，当时，的最大值为3，则的值为 ． 【分析】本题考查二次函数的最值问题，二次函数的图象与性质，先求出抛物线的对称轴为直线，分三种情况：当，即时，当，即时，当，即时，结合二次函数的性质，进行求解即可． 解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向下， 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， ， 整理得：， 解得：； 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， 解得：(舍去)，(舍去)； 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， 整理得：， 解得：，； 综上分析可知：a的值为或或； 故答案为：2或或． 三．解答题。 36．已知二次函数. （1） 在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2） 图象的开口方向是____，对称轴是________，顶点坐标是____________. （3） 当________时，随的增大而增大；当________时，随的增大而减小. （4） 当____时，取最__值，其最值是____. 解：（1）函数图象如答图. （2） 向上； ； （3） ； （4） 1； 小； 0 37．已知二次函数. （1） 在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2） 图象的开口方向是____，对称轴是________________，顶点坐标是____________，当时，随的增大而____，当时，随的增大而____. （3） 当________时，函数有____值，其最值为____. 解：（1）函数图象如答图. （2） 向下； 直线； ； 增大； 减小 （3） ； 最大； 3 38．用配方法求下列二次函数的最大值或最小值： （1） ； （2） . 解：（1）. 当时，函数有最小值. （2） . 当时，函数有最大值2. 39．已知抛物线． (1)将上述抛物线化成的形式为______； (2)该抛物线的开口向______，对称轴是直线______，顶点坐标是______； (3)当______时，函数有最______填“大”或“小”值为______； (4)该抛物线可由抛物线先向左平移______个单位长度，再向______平移______单位长度得到． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）进行配方即可求解； （2）由二次项系数的符号即可判断出图象的开口方向，再运用（1）中的顶点式即可求出对称轴与顶点坐标； （3）运用（1）中的结论即可求出y的最值； （4）抛物线的平移规律是“左加右减、上加下减”，已知目标抛物线的顶点式为，顶点坐标为；原抛物线的顶点坐标为，横坐标从0到，即向左平移2个单位长度，纵坐标从0到，变化为，即向下平移5个单位长度， 解：（1）； 故答案为：； （2）， 图象的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为； 故答案为：上，； （3）∵，顶点坐标， 当时，y取得最小值为； 故答案为：，小，； （4）抛物线的平移规律是“左加右减、上加下减”，已知目标抛物线的顶点式为，顶点坐标为；原抛物线的顶点坐标为， 横坐标从0到，即向左平移2个单位长度，纵坐标从0到，变化为，即向下平移5个单位长度， 故答案为：2，下， 40．已知抛物线． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，y的最大值为6，求抛物线的函数表达式； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）①将点代入函数表达式求得b的值，再把原式化为顶点式求解即可；②根据二次函数的开口方向和对称轴方程可得函数在时的最大值为，结合题意求得c的值，即可得到函数表达式； （2）先得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据题意分当时、当时和三种情况，分别利用二次函数的性质得到最大值和最小值，再根据最大值与最小值的差列方程求解即可． （1）解：①∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； ②由①可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，当，y有最大值，最大值为， ∵当时，y的最大值为6， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， ∵ ∴①当时，即， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得， ∵， ∴舍去； ②当时，即， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得， ∵， ∴舍去； ③当时，即， 当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最小值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得， 综上所述，当，最大值与最小值的差为时，b的值为． 41．已知二次函数． (1)将化成的形式：___________； (2)补全表格，则___________，___________； x … 0 m 2 n 4 … y … 0 k 0 … (3)若关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围是___________． 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，画出函数图象，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）利用配方法将函数解析式进行转换即可； （2）令，即可求得，，然后根据表格中数据描点、连线即可； （3）由题意可知要使得方程在的范围内有解，只需函数与有交点即可，由图可知，符合题意． （1）解：， 故答案为：； （2）解：令，，解得：，， ∴，； 则，在坐标系中描点、连线： 故答案为：1，3； （3）∵， ∴， 即：方程的解可看作函数与交点的横坐标， 要使得方程在的范围内有解，只需函数与有交点即可， 由图可得：当时，则，当时，则， 关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围， 故答案为：． 42．如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求点C及顶点M的坐标； (2)求点A、B的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题以及二次函数顶点坐标，函数图像与y轴的交点可得点C坐标；顶点坐标通过对函数解析式配成顶点式即可得到． （2）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题，函数图像与轴的交点，转化为解一元二次方程即可求解． （3）本题主要考查了最短距离问题，点B是点A关于抛物线的对称轴对称的点，根据两点之间线段最短，线段即为所求最短距离． 解：（1）二次函数， 令，得到：． ∴； ， ∴． （2）∵二次函数与x轴相交于A、B两点， 令， 得到：，， ∴；． （3）假设存在点，使得的值最小 ∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 又∵，， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴ 又∵， ∴, 即，的最小值为． 43．已知：二次函数 (1)求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)若，在抛物线上，且，求n的取值范围． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）将二次函数一般式改为顶点式即可解答； （2）根据二次函数的性质，分点A和点B在对称轴同侧和点A和点B在对称轴异侧两种情况求解即可． 解：（1）∵ ， ∴这个二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上． 由（1）知这个二次函数图象的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 分类讨论：①当点A和B在对称轴同侧时， ∵，且， ∴y随x的增大而减小， ∴点A和B在对称轴左侧， ∴， 解得：； ②当点A和B在对称轴异侧时，即， ∴． ∵，且， ∴点B到对称轴的距离比点A到对称轴的距离大． ∵， ∴， 解得：， ∴． 综上可知当． 44．已知点在二次函数的图象上. （1） 求点的坐标； （2） 在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1） 点在二次函数的图象上， 点的坐标为. （2） 存在.如答图，过点作轴于点. 在中，. 当为顶角的顶点时， 或， ，； 当为顶角的顶点时，， 点的坐标为； 当为顶角的顶点时，， 在中，设， 则, 解得， 点的坐标为. 综上所述，使是等腰三角形的点的坐标为或或或. 45．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5．在AD上取一点E，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作四边形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上，若AF＝x，△BFM的面积为S． （1）当AE＝2，四边形EFMN是正方形时，求x的值为 　 　； （2）当AE＝2，四边形EFMN是菱形时，求S与x的函数关系式； （3）当四边形EFMN是矩形时且矩形的两邻边EF：EN＝2：1，请直接写出S与x的函数关系式；并指出S的最大值． 【答案】（1）3 （2）解：如图2，连接FN，作MQ⊥FB于Q，则∠MQF＝90°，∠MQF＝∠A， ∵四边形FEMN是菱形， ∴EN＝FM，EN∥FM， ∴∠ENF＝∠NFM， 在矩形ABCD中，DC∥AB， ∴∠DNF＝∠NFQ， ∴∠DNF﹣∠ENF＝∠NFQ﹣∠NFM，即∠DNE＝∠MFQ， ∴△DNE≌△QFN（AAS）， ∴MQ＝DE＝3， ∵AB＝8，AF＝x， ∴FB＝AB﹣AF＝8﹣x， ∴S△FBM＝×FB×MQ＝（8﹣x）×3＝12﹣x， ∴S与x的函数关系式S＝12﹣x； （3）解：如图3，作MQ⊥FB于Q，则∠MQF＝90°，∠MQF＝∠A， ∵四边形EFMN是矩形， ∴FM＝EN，∠FEM＝∠A＝90°， ∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠MFQ＝90°， ∴∠AEF＝∠MFQ， ∴△AEF∽△QFM， ∴， ∵矩形的两邻边EF：EN＝2：1，AF＝x， ∴， ∴MQ＝x， ∵FB＝AB﹣AF＝8﹣x， ∴S＝S△FBM＝×FB×MQ＝（8﹣x）×x＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣4）2+4， ∵﹣＜0， ∴S的最大值为4． 46．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG=xmm，EF=ymm． （1）写出x与y的关系式； （2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值． 【答案】（1）解：∵四边形ABCD为矩形 ∴KD=EG=x ∴AK=AD-DK=80-x ∵EF∥BC ∴△AEF∽△ABC ∴，即 ∴y=-x+120（0＜x＜80） （2）解：说法错误，S=xy=-x2+120x=-（x-40）2+2400 当x=40时，S有最大值2400 此时，y=-×40+120=60 ∴矩形的长为60，宽为40，矩形的面积最大，最大值为2400 ∴此时的矩形不是正方形，说法错误。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027湘教版数学九年级上册第四章二次函数4.2二次函数的图像与性质同步练习 一．选择题。 1.二次函数y＝200x2的图象大致是（　　） A B C D 2.下列各点在二次函数y＝4x2的图象上的是（　　） A.（2，2） B.（4，1） C.（1，4） D.（－1，－4） 3．若二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，则a的值可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④，比较的大小，用“>”连接为（   ）． A． B． C． D． 5.以下对二次函数y＝5x2的图象与性质的描述中，不正确的是（　　） A.开口向上 B.对称轴是x轴 C.顶点是原点 D.x＞0时，y随x的增大而增大 6.如图所示的图象对应的函数表达式可能是（　　） A.y＝x2 B.y＝－x2 C.y＝3x D.y＝－ 7.已知抛物线y＝－x2过A（－3，y1），B（2，y2）两点，则下列关系一定正确的是（　C　） A.y1＜0＜y2 B.y2＜0＜y1 C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜0 8．已知点在二次函数的图象上，则a的值是（    ） A． B．3 C．或3 D．或 9．将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 10．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．二次函数图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 12.抛物线y＝－（x－3）2的顶点坐标是（　D　） A.（0，－3） B.（－3，0） C.（0，3） D.（3，0） 13.二次函数y＝（x－1）2＋3的图象的顶点坐标是（　A　） A.（1，3） B.（1，－3） C.（－1，3） D.（－1，－3） 14.关于二次函数y＝（x－4）2＋6的最大值或最小值，下列说法正确的是（　D　） A.有最大值4 B.有最小值4 C.有最大值6 D.有最小值6 15．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 16．对于抛物线和的图象比较，下列说法不正确的是（   ） A．开口都向下 B．对称轴相同 C．最大值都是0 D．与y轴交点不相同 17．关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．时，y随x增大而减小 18．若抛物线经过，，则它的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 19．关于x的二次函数在y轴右侧y随x的增大而减小，则a的范围为（　　） A． B． C． D． 20．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 21．对于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．当>时，随的增大而减小 B．当时，有最大值，为 C．图象的顶点坐标为 D．图象经过第一、二、四象限 22.将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 23．已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 24.关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最小值4 25．已知二次函数，其中，当且仅当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 27．在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 28．已知二次函数在时有最小值，则（　　） A．或 B．4或 C．或 D．4或 二．填空题。 29.抛物线的开口方向向 ，对称轴是 ，最高点的坐标是 ． 30.如果二次函数y＝a（　x＋3）2有最大值，那么a　　0，当x＝　　时，函数的最大值是　　. 31.抛物线上有三点，，，则，，的大小关系是 ．（用“＜”连接） 32.二次函数的最小值为 ． 33．二次函数中，当时，的最小值是 ． 34．二次函数的图象如图，以下结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论序号为 . 35.已知二次函数，当时，的最大值为3，则的值为 ． 三．解答题。 36．已知二次函数. （1） 在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2） 图象的开口方向是____，对称轴是________，顶点坐标是____________. （3） 当________时，随的增大而增大；当________时，随的增大而减小. （4） 当____时，取最__值，其最值是____. 37．已知二次函数. （1） 在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2） 图象的开口方向是____，对称轴是________________，顶点坐标是____________，当时，随的增大而____，当时，随的增大而____. （3） 当________时，函数有____值，其最值为____. 38．用配方法求下列二次函数的最大值或最小值： （1） ； （2） . 39．已知抛物线． (1)将上述抛物线化成的形式为______； (2)该抛物线的开口向______，对称轴是直线______，顶点坐标是______； (3)当______时，函数有最______填“大”或“小”值为______； (4)该抛物线可由抛物线先向左平移______个单位长度，再向______平移______单位长度得到． 40．已知抛物线． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，y的最大值为6，求抛物线的函数表达式； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 41．已知二次函数． (1)将化成的形式：___________； (2)补全表格，则___________，___________； x … 0 m 2 n 4 … y … 0 k 0 … (3)若关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围是_________． 42．如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求点C及顶点M的坐标； (2)求点A、B的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 43．已知：二次函数 (1)求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)若，在抛物线上，且，求n的取值范围． 44．已知点在二次函数的图象上. （1） 求点的坐标； （2） 在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 45．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5．在AD上取一点E，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作四边形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上，若AF＝x，△BFM的面积为S． （1）当AE＝2，四边形EFMN是正方形时，求x的值为 　 　； （2）当AE＝2，四边形EFMN是菱形时，求S与x的函数关系式； （3）当四边形EFMN是矩形时且矩形的两邻边EF：EN＝2：1，请直接写出S与x的函数关系式；并指出S的最大值． 46．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG=xmm，EF=ymm． （1）写出x与y的关系式； （2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $