3.4一元二次方程根与系数的关系同步练习题 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过基础应用、综合推理、创新拓展三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|根与系数关系直接应用（选择1-5、填空11-13）|直接应用公式计算，强化符号意识| |提升层|结合判别式、参数的综合应用（选择6-10、填空14-16、解答17-20）|需推理参数取值，发展运算能力| |拓展层|新定义情境下的迁移应用（解答21、24）|创设“美丽方程”“理想方程”情境，培养创新意识|

＊2026-2027湘教版数学九年级上册第三章3.4一元二次方程根与系数的关系同步练习题答案 一．选择题。 1.已知，是关于的一元二次方程的两个根，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D．无实数根 解：方程的判别式为：， 方程有两个不相等的实数根，即， 故选项A、D错误； 根据根与系数的关系得：，， 为任意实数， ，不是固定值， 故选项B错误，选项C正确． 2．已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴该方程的另一个根为． 3．已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 解：对于一元二次方程 ， 若方程两根为 ， 则两根之和 ， ∵ 原方程为 ， ∴ ，， ∴ ． 4．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 解：，是一元二次方程的两根，，，， ，， ． 5．若，是方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 6．若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 解：∵的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 的面积． 7.关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 解：由题意得：方程可化为， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：， ∴该方程的两个根为一正一负， 故选C． 8.若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 解：， ， 而， ， ， 故选：A． 9.设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴，， 又∵ ， ∴ 代入得． 10.已知，是一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．1 B．3 C．-1 D．-3 解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴，即， ∴ ． 故选B． 二．填空题。 11.设，是一元二次方程的两个根，则           ，           ． 【答案】 12.已知一元二次方程的两根为与，则的值为          ． 解：一元二次方程整理得，， 根据题意得，， 所以原式．故答案为：． 13．已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 【解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵，， ∴， ∴这个一元二次方程是． 14.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为          ． 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 、是方程的实数根， ，， ， 解得：，， 经检验，，都是原分式方程的根． 又， ． 故答案为． 15.若一元二次方程的两根为、，则的值为______． 解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2025． 16．已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到，，，代入所求代数式进行解答即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴，， ∴ 三．解答题。 17．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1)证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求k的值． （1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ ，解得． 即实数的取值范围为． （2）解：∵一元二次方程的两个实数根，， ∴，， 又∵， ∴ ，解得，． 由（1）知，故不符合要求舍去，因此． 19.已知关于的方程． 若方程总有两个实数根，求的取值范围； 若两实数根、满足，求的值． 解：关于的方程总有两个实数根， ， 解得：． 、为方程的两个根， ，． ， ， ， 整理，得：，即， 解得：不合题意，舍去，， 的值为．  20.已知关于的一元二次方程 求证无论实数取何值，此方程一定有两个实数根． 设此方程的两个实数根分别为，若，求的值． 证明：， ， 无论实数取何值，此方程一定有两个实数根． 【小题】 解：该方程的两个实数根分别为，， ，， ， ，即， 整理得：， 解得：或， 则的值为或  21．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 24.定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． （1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或． 学科网（北京）股份有限公司 $ ＊2026-2027湘教版数学九年级上册第三章3.4一元二次方程根与系数的关系同步练习题 一．选择题。 1.已知，是关于的一元二次方程的两个根，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D．无实数根 2．已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 3．已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．若，是方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 7.关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 8.若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 9.设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 10.已知，是一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．1 B．3 C．-1 D．-3 二．填空题。 11.设，是一元二次方程的两个根，则           ，           ． 12.已知一元二次方程的两根为与，则的值为        ． 13．已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 14.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为          ． 15.若一元二次方程的两根为、，则的值为______． 16．已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 三．解答题。 17．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求k的值． 19.已知关于的方程． 若方程总有两个实数根，求的取值范围； 若两实数根、满足，求的值． 20.已知关于的一元二次方程 求证无论实数取何值，此方程一定有两个实数根． 设此方程的两个实数根分别为，若，求的值． 21．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 24.定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $