3.3一元二次方程根的判别式 同步练习题 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根的判别式，通过基础认知、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到跨情境应用的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|判别式直接计算、根的情况判断|选择题1-3直接应用Δ=b²-4ac公式，巩固概念理解| |能力提升|含参数方程根的情况、取值范围讨论|选择题4-9及填空题11-14涉及参数分类讨论，发展推理能力| |综合应用|几何与实际情境中的判别式应用|解答题18-22结合三角形、平行四边形、勾股定理，体现模型意识与应用能力|

2026-2027湘教版数学九年级上册第三章3.3一元二次方程根的判别式同步练习题答案 一．选择题。 1．一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（  ） A．17 B．1 C．－1 D．－17 【答案】A 【详解】解：一元二次方程x2-3x-2=0， ∵a=1，b=-3，c=-2， ∴Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-2）=9+8=17． 2、一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 解：由题意得 ，，， ， 原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3、关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 解：， 故方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞－1 【答案】A 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即△=（-2）2-4k＞0，解得k＜1 5．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 即， 解得：且， ∴的取值范围为且． 6．下列所给方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； B、∵， ∴一元二次方程没有实数根； C、∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； D、∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 7．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞4 B．k≤4 C．k≥4 D．k＜4 解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×k≥0， 解得k≤4． 故选：B． 8．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）． A． B．0 C．1 D．4 解：由题意可知：△=4-4a=0， ∴a=1， 故选：C． 9．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，当a为正整数时，a的值为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．4 解：由方程， 知， 要使方程有两个不相等的实数根， 则， 即， 解得：， 要取正整数， 或， 故选：C． 10.定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若关于x的方程a※x＝0有实数根，则a的取值范围为（　　） A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．a≥0或a≤﹣1 D．a＞0或a≤﹣1 解：由题意可知：a※x＝ax2﹣2ax﹣1＝0， 当a＝0时，原来方程变形为﹣1＝0，方程无解； 当a≠0时， ∵关于x的方程a※x＝0有实数根， ∴Δ＝4a2+4a＝4a（a+1）≥0， 解得a≤﹣1或a＞0． 故选：D． 二．填空题。 11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式， 解得， 则的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 12.已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是 ． 解：∵点在第四象限， ∴，， ∴，, ∴， ∴关于的方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 13.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， 解得：且。 14.若实数a，b满足，则a的取值范围是 ． 解：∵实数a，b满足， ∴关于b的一元二次方程中， 且， 即且， ∴或， 解得， 即a的取值范围是． 故答案为： 三．解答题。 15、已知关于x的方程．求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （1）证明：∵， ∴， ∴不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根． 16.直线与的图象有两个不同的交点，求的取值范围． 解：联立与，则，整理得：， ∵直线与的图象有两个不同的交点， 则， 解得：或， 17．关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求此方程的根． 解：（1）根据题意得m≠0且Δ＝（2m﹣3）2﹣4m（m﹣1）≥0， 解得m≤且m≠0； （2）∵m为正整数， ∴m＝1， ∴原方程变形为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1． 18.已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果，，，求这个一元二次方程的根． （1）解：是等腰三角形，理由如下： 是方程的根， ， ， ，即， 是等腰三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ， 是直角三角形； （3）解：将，，代入方程得：， 解得：， ∴，． 19.已知平行四边形的两边，的长是关于的方程：的两个实数根． (1)当为何值的，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若此方程的一个根是，请求出此平行四边形的周长是多少？ （1）解：四边形是菱形， ， 平行四边形的两边，的长是关于的方程：的两个实数根， ， 解得：， 当时，四边形是菱形； 原方程为：， 解得：， 这时菱形的边长为：； （2）解：此方程的一个根是， ， 解得：，                    原方程为：， ， 解得：，， ， 平行四边形的周长是：． 20、已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． （1）解：关于x的一元二次方程， 可得， 当，即时，此方程没有实数根； （2）解：∵有两个实数根， ∴， ∴； ∴m的最小整数值为． 21、关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于0，求的取值范围． （1）解：， ， ， 方程总有两个实数根； （2）解：， ， ， 方程有一根小于0， ， ． 22.如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． （1）解：当，，时勾系一元二次方程为； （2）证明：根据题意，得， ∵， ∴ ∴， ∴勾系一元二次方程必有实数根； （3）解：当时，有，即， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027湘教版数学九年级上册第三章3.3一元二次方程根的判别式同步练习题 一．选择题。 1．一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（  ） A．17 B．1 C．－1 D．－17 2、一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 3、关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 4．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞－1 5．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 6．下列所给方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 7．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞4 B．k≤4 C．k≥4 D．k＜4 8．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）． A． B．0 C．1 D．4 9．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，当a为正整数时，a的值为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．4 10.定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若关于x的方程a※x＝0有实数根，则a的取值范围为（　　） A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．a≥0或a≤﹣1 D．a＞0或a≤﹣1 二．填空题。 11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可） 12.已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是 ． 13.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 14.若实数a，b满足，则a的取值范围是 ． 三．解答题。 15、已知关于x的方程．求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； 16.直线与的图象有两个不同的交点，求的取值范围． 17．关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求此方程的根． 18.已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果，，，求这个一元二次方程的根． 19.已知平行四边形的两边，的长是关于的方程：的两个实数根． (1)当为何值的，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若此方程的一个根是，请求出此平行四边形的周长是多少？ 20、已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 21、关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于0，求的取值范围． 22.如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $