22.3.2 .相似三角形的判定 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“相似三角形的判定定理1（两角分别相等的两个三角形相似）”，通过回顾三角形全等判定方法，对比引出相似判定问题，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生自然过渡到新知探究。 其亮点在于通过类比全等、动手测量三角尺等活动培养数学眼光，证明过程的逻辑推理和例题分层讲解发展数学思维，课堂小结中总结等角寻找方法强化数学语言表达。如例2利用平行线性质找等角，随堂演练结合实际问题应用定理，助力学生理解定理形成过程，也为教师提供清晰的教学流程和实用的教学资源。

22.3.2 第1课时 相似三角形的判定定理1 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 情景导入 第22章 图形的相似 情景导入 我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应边是否成比例，对应角是否相等.那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？ 三角形全等的判定方法有哪些呢？ 定义 判定方法 全等三角形 相似三角形 角边角 ASA 角角边 AAS 边边边 SSS 边角边 SAS 斜边、直角边 HL 三角、三边对应相等的两个三角形全等 三边对应成比例,三角对应相等的两个三角形相似 获取新知 观察你和同伴的直角三角尺，同样角度（30°与 60°，或45°与45°) 的三角尺会相似吗？测量测量，得出你的猜想. 我们最常用的三角尺相似吗？ 这样从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了. 确实是这样吗？ 相似 全品文教 (批注) - 以生活实例为情景导入新课,让学生感受数学来源于生活,激发学生学习的兴趣;通过复习三角形相似的判定方法及证明思路,为本节课学习另一个判定定理做好铺垫;由数学课上常用的三角尺猜想三角形相似的条件,顺利地实现旧知识到新知识的迁移. 如图,任意画两个三角形，使其三对角分别对应相等.用刻度尺量一量两个三角形的对应边，看看这两个三角形的边是否对应成比例.你能得出什么结论？ 这两个三角形相似. 相似三角形的判定定理1： 数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中， ∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′. C A B A′ B′ C′ A′ B′ C′ 两角分别相等的两个三角形相似. 你能给出证明过程吗？ 本节课的重点 4 Administrator (authorId_606628886) - 在这里一定要强调学生的书写规范，顶点一一对应，学生丢分常出现在这里。 已知:如图，在△ABC和△A1B1C1中， ∠A= ∠A1, ∠B = ∠B1. 求证：△ABC ∽△ A1B1C1. 证明： 在边AB或它的延长线上截取AD=A1B1， 过点D作BC的平行线交AC于点E,则△ADE∽△ABC. ∵DE∥BC， ∴ ∠ADE= ∠B. ∵∠B=∠B1，∴ ∠ADE= ∠B1. 又∵∠A=∠A1，AD=A1B1, ∴ △ADE≌△A1B1C1. ∴△ABC∽△A1B1C1 . 将△A1B1C1全等变换到△ADE C A E C1 A1 B1 B D 只有一组对角相等的两个三角形相似吗？ 不相似 示例：我们常用的两块形状不一的三角板. A B C D E F Rt△ABC和Rt△DEF中， ∠B=∠E=90°， 两个三角形明显不相似. 例题讲解 例1 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∠C与 ∠C′ 都是直角， ∠A=∠A′ . 求证： △ABC∽△A′B′C′. 结论：有一对锐角对应相等的两个直角三角形相似 证明：∵ ∠C= ∠C′=90°,∠A =∠A′ ， ∴△ABC ∽ △A′B′C′(两角分别相等的两个三角形相似). A C B A′ B′ C′ Administrator (authorId_606628886) - 注意这只是一个方法，不是定理.提醒学生注意在书写证明过程时，不能直接应用这个方法得出直角三角形相似的结论，仍需通过证明两组角相等得到. A B C D E F 例2 如图，在△ABC中，DE // BC，EF // AB . 求证： △ADE ∽ △EFC . 证明：∵ DE // BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C. 又∵ EF // AB， ∴ ∠EFC=∠B, ∴∠ADE=∠EFC, ∴△ADE ∽ △EFC(两角分别相等的两个三角形相似). 思考：在例2中,如果点D恰好是边AB的中点,那么点E是边AC的中点吗?此时, DE和BC有什么关系?△ADE与△EFC又有什么特殊关系呢? C A E B D 是，DE=BC F △ADE与△EFC全等 随堂演练 1.下列说法中错误的是(　　) A．两个全等三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 D．相似的两个三角形不一定全等 B 2. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相似三角形共有( ) A. 1对 　　B. 2对 C. 3对 　　D. 4对 C 2.如图,已知P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点,若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D,截得的小三角形与△ABC相似,则点D的位置最多有___处. 3 4. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8. E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB,垂足为D,求AD的长. D A B C E 解：∵ ED⊥AB， ∴ ∠EDA=90°. 又∠C=90 °，∠A=∠A， ∴△AED∽△ABC. 全品初中 5. 如图,Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高. 求证:(1)△ACD∽△ABC;(2)△CBD∽△ABC. 证明：（1）∵ CD是斜边AB上的高， ∴ ∠CDA=90°. ∵ ∠ACB=90 °， ∴ ∠CDA=∠ACB. 又∵ ∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC. （2）同理可得∠CDB=∠ACB. 又∵ ∠B=∠B，∴△CBD∽△ABC. 全品初中 Administrator (authorId_606628886) - 这道例题说明直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形都相似，此处可以向学生介绍了解这个模型，方便以后解题寻找突破口. 等角的寻找方法： 1.角的和与差； 2.平行线的性质； 3.对顶角相等； 4.同角（或等角）的补角（或余角）相等. 课堂小结 相似三角形判定定理1 定理：两角分别相等的两个三角形相似 等角的寻找方法： 1.角的和与差； 2.平行线的性质； 3.对顶角相等； 4.同角（或等角）的补角（或余角）相等 ...... $22.3.2 第2课时 相似三角形的判定定理2、3 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 情景导入 第22章 图形的相似 情景导入 问题1：有两边对应成比例的两个三角形相似吗? 3 3 5 5 不相似 问题2：类比三角形全等的判定方法（SAS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？ 3 3 5 5 角相等？ 获取新知 观察右图, 如果有一点E在边AC上移动， 那么点E在什么位置时能使△ADE与△ABC相似呢？ 图中△ADE与△ ABC的一组对应边AD与AB的长度的比值为 将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE = AC时，△ADE与△ABC似乎相似. 此时 . 相似三角形的判定定理2 A C D B E 猜想 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 下面我们来证明上述猜想. 已知：如图，在△ABC和△ A1B1C1中，∠A=∠A1， 求证：△ABC∽△ A1B1C1. A1 B1 C1 A B C 证明： 在边AB或它的延长线上截取AD=A1B1， 过点D作 BC的平行线交AC于点E, 则△ADE∽△ABC. A1 B1 C1 A B C D E ∴ AE= A1C1. ∴△ABC∽△A1B1C1 . ∴ △ADE≌△A1B1C1. 又∵ AD=A1B1 ,∠A=∠A1， 证明过程需要教师引导，学生思考，来完成证明过程。思维转换在这里更能体现几何的思维，特别是辅助线，这是学生弱项。 B A C B' A' C' 相似三角形的判定定理2： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. ∵ ∽ ∴ 符号语言： 本节课的重点内容 6 Administrator (authorId_606628886) - 在这里一定要强调学生的书写规范，顶点一一对应，学生丢分常出现在这里。 相似三角形的判定定理3 如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？ 在如图所示的方格图中任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形三边长的相同倍数.画完之后，用量角器度量并比较两个三角形对应角的大小，你得出了什么结论？你同伴的结论和你的一样吗？ 三条边对应成比例的两个三角形相似 你能给出证明过程吗？ 胡123 (胡123) - 通过动手操作、猜想、证明、归纳等数学活动,获得判定三角形相似的条件,体会数学中的类比思想,培养学生分析问题的能力,同时通过规范证明过程,培养学生严谨的数学精神. 已知：在△ABC与△A′B′C′中， 求证：△ABC∽△A′B′C′. ∴ 证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∴ △ADE∽△ABC. ∴ DE=B′C′，AE=A′C′. ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′. 又 ，AD=A′B′， ∴ ， ， C′ B′ A′ B C A E D 证明过程需要教师引导，学生思考，来完成证明过程。思维转换在这里更能体现几何的思维，特别是辅助线，这是学生弱项。 A B C C′ B′ A′ 相似三角形的判定定理3： 三边成比例的两个三角形相似. 符号语言： 在△ABC与△A′B′C′中， ∴△ABC∽△A′B′C′. Administrator (authorId_606628886) - 在这里一定要强调学生的书写规范，顶点一一对应，学生丢分常出现在这里。 例题讲解 例1 如图，已知AE=54，BE=45，CE=30，FE=36. 求证：△AEB∽△FEC. 又∵∠AEB=∠FEC， ∴△AEB∽△FEC (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). A B C F E 45 54 30 36 (1)角与边的联系：角是对应边的夹角，边是此对应角的两边． 一定要注意：与对应角的对边无关． (2)找条件：已知条件中有明确的比例关系式时，只要证明与比例关系式相关的两边的夹角相等即可． 注意利用图形中的隐含条件，如：公共角、对顶角等． 利用两边及夹角判定三角形相似的策略： 例2 在△ABC和△A′B′C′中，AB=6 cm , BC=8 cm ,AC=10 cm, A′B′=18 cm, B′C′ =24cm , A′C′ =30cm. 求证：△ABC∽△A′B′C′. ∴△ABC∽△ A′B′C′ (三边成比例的两个三角形相似). 随堂演练 1.如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 (　　) C 2.如图所示,在△ABC中,AB=6,AC=4,P是AC的中点,过点P的直线交AB于点Q,若△APQ 和△ABC相似,则AQ的长为　　 . 点拨：“相似于(∽)”和“谁和谁相似”的区别： 虽然它们都表示两个图形相似，但前者对应关系固定，后者对应关系不固定，有时需分类讨论． Administrator (authorId_606628886) - 本小题是个典型题，当题目当中未明确写出“≌”符号时，若两个三角形相似，则一定要提醒学生注意字母的对应关系不一定是习以为常的对应关系，有时需要用到分类讨论思想. 3. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由： (1)AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm； A'B'=12cm，B'C'=18cm，A'C'=24cm. 边的信息利用三边成比例来证明 . 全品初中 . (2)∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm； ∠A'=120°，A'B'=3cm，A'C'=6cm. 边与角信息利用两边及夹角来证明 全品初中 4. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC， 求证： △ABC ∽△AED. 证明：∵ AB · AD = AE·AC， ∴ 又∵ ∠DAB =∠CAE， ∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ， 即∠DAE =∠BAC， ∴ △ABC ∽△AED. A B C D E 课堂小结 相似三角形的判定定理2、3 判定定理3：三边成比例的两个三角形相似 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 $