2.5.1 直线与圆的位置关系同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到能力提升，覆盖直线与圆位置关系、相交弦、切线等核心知识点，通过选择、填空、解答题梯度设计，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|位置关系判断、弦长计算、切线方程等基础知识点|以教材改编题和基础题型为主，如判断直线与圆位置关系的选择题，逐步过渡到解答题，夯实概念理解与基本运算| |能力提升练|参数范围、存在性问题、实际应用等综合知识点|结合情境题（如摄像头监控范围）和综合应用题，如动圆与直线相交的探究题，深化逻辑推理与数学建模能力|

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系 基础练习 题型一　直线与圆的位置关系 1.(教材习题改编)圆x2+(y+1)2=1与直线x+2y+3=0的位置关系是(　　) A.相交　　B.相切 C.相离　　D.不能确定 2.(2026湖南常德石门第一中学开学考试)已知圆C:x2+y2-8y+15=0,直线l:x+ky-1-4k=0,则直线l与圆C的位置关系为(　　) A.相交　　B.相离　　 C.相切　　D.相交或相切 3.(2025山东枣庄模拟)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是　(　　) A.[-3,-1]　　B.[-1,3]　　 C.[-3,1]　　D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 4.(2026江苏扬州邗江中学月考)已知圆C:(x-1)2+y2=1.若直线l:y=kx+2与圆C交于A,B两点. (1)求k的取值范围; (2)证明:直线OA与直线OB(O为坐标原点)的斜率之和为定值. 5.(2026北京房山调研)已知圆C与y轴相切于点(0,1),且圆心在直线x-2y=0上. (1)求圆C的标准方程; (2)若圆C与直线l:x-y+m=0交于A,B两点,再从下面的三个条件中选择一个作为已知,求m的值. 条件①:圆C被直线l分成两段圆弧,其弧长之比为2∶1; 条件②:|AB|=2; 条件③:∠ACB=90°. 题型二　圆的相交弦问题 6.(2026河北石家庄辛集中学月考)直线l:3x-y-6=0被圆C:x2+y2-2x-4y=0截得的弦AB的长是(　　) A.2　　B.3　　C.　　D.4 7.(2026北京日坛中学月考)直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围为(　　) A.∪　　 B.∪ C.　　 D. 8.(2025河南南阳一中月考)已知圆C:x2+y2=1,则经过圆C内一点P且被圆所截得的弦最短的直线的方程为(　　) A.3x-6y-5=0　　B.3x-6y+5=0　　 C.x-y+1=0　　D.6x-3y+4=0 9.(2026河南南阳月考)已知直线l:x+my+m=0与圆C:(x-2)2+(y-2)2=8交于A,B两点,当△ABC的面积最大时,m=(　　) A.-　　B.-　　C.0或-　　D.0或- 10.(易错题)(2026天津滨海新区大港第三中学月考)已知直线l1:x+y-1=0,l2:2x-y-8=0,圆心为(2,1)的圆C经过l1和l2的交点,则圆C的方程为　　　　　　;经过点(0,-2)的直线l与圆C交于M,N两点,且|MN|=2,则直线l的方程为　　　　　　　　　.  11.(2026北京大峪中学月考)已知三个点A(0,0),B(4,0),C(3,1),圆M为△ABC的外接圆. (1)求圆M的方程; (2)设直线y=kx-1与圆M交于P,Q两点,且|PQ|=,求k的值. 12.(2026黑龙江哈尔滨第三中学校月考)已知△ABC的顶点A(-1,1),C(-4,0),线段AB的垂直平分线方程为2x-y-2=0. (1)求△ABC的外接圆E的标准方程; (2)若直线l过点P(2,0),且与圆E相交所得弦的长为8,求直线l的方程. 题型三　圆的切线问题 13.(2026江西九江期中)过点P(2,1)作圆C:x2+y2-2y-3=0的切线,则切线方程为(　　) A.x-y-1=0　　B.x-2y=0　　 C.x+2y-4=0　　D.x-2=0 14.(多选题)(2026江苏泰州靖江斜桥中学月考)已知圆O:x2+y2=4,P(x0,y0)是圆O上的点,直线l:x-y+=0,则(　　) A.圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B.直线l与圆O相交所得弦的长为2 C.过点P的圆O的切线方程是x0x+y0y=2 D.过点P向圆M:(x-3)2+(y-4)2=1引切线,A为切点,则|PA|的最小值为2 15.(2025河北唐山迁安期中)过点P(2,2)作圆C:x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为　　　　　　　.  16.(2026广东江门第一中学月考)已知P是直线l:x-y+6=0上一动点,过点P作圆C:x2+y2-4x=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB周长的最小值为　　　　.  17.(2026四川内江第一中学月考)过点P(1,-3)引圆C:(x-4)2+(y-2)2=9的两条切线,切点分别为A,B,求: (1)切线的方程; (2)切线段PA,PB的长度. 能力提升练 题型一　直线与圆的位置关系 1.(2026山西晋中期中)已知圆C:(x+1)2+y2=r2(r>0)上仅有两个点到直线l:3x-4y-12=0的距离为1,则r的取值范围为(　　) A.(2,4)　　B.(3,5)　　C.(4,6)　　D.(5,7) 2.(2026浙江杭州六校联考)已知圆O:x2+y2=9,则“点M(a,b)在圆O外”是“直线ax+by=1与圆O相交”的(　　) A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件 C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件 3.(2026河南天立教育月考)若直线l:kx-y+4+2k=0与曲线y=有两个交点,则实数k的取值范围是(　　) A.{k|k=±1}　　B.　　 C.　　D. 4.(2026河南部分重点中学联考)已知两定点A(-3,0),B(1,0),若直线l:nx+y-3=0上有一点M满足|MA|=|MB|,则实数n的取值范围是　　　　　　　.  题型二　圆的相交弦、切线问题 5.(2026重庆第一中学校月考)若两条直线l1:y=3x+a,l2:y=3x+b与圆x2+y2=5的四个交点能构成长方形,其中较长边的长为4,则|a-b|=(　　) A.2　　B.2 C.或2　　D.2或4 6.(2026江苏南京第二十九中学月考)若过圆C:x2+y2-6x=0内不同于圆心的点P恰好可以作5条长度为正整数的弦,则所有符合条件的点P所围成的区域的面积为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 7.(2026河南南阳六校联考)已知圆O:x2+y2=9,直线l:y=-1,将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折,如图,若直线x-y+m=0与折叠后得到的两段弧恰有4个交点,则m的值可以是(　　) A.　　B.2　　C.　　D.3 8.(2026湖北武汉华中师范大学第一附属中学月考)已知直线x+ay-a+2=0与圆O:x2+y2=r2(r>0)交于不同的两点A,B,若∠AOB存在最小值且最小值不大于90°,则r的取值范围为(　　) A.(,2]　　B.(3,2]　　C.(3,3]　　D.(3,6] 9.(2025安徽蚌埠月考)已知圆O:x2+y2=2,一动点P在直线l:2x+y=4位于第一象限的部分上运动,若过P点作圆O的两条切线,切点分别是A,B,直线AB与x轴、y轴分别交于点M,N,则△OMN面积的最小值为　　　　.  10.(2026吉林长春第二实验中学月考)过圆x2+y2=25上的一动点P作圆C:x2+y2=9的两条切线,则圆C内不在任何切点弦(两个切点之间的线段称为切点弦)上的点形成的区域的面积为　　　　.  11.(2026湖南长沙雅礼中学月考)过动点P向圆C:x2+y2=16作两条相互垂直的切线,记动点P的轨迹为曲线C1,过定点D(-2,-2)作两条相互垂直的射线分别交C于点M,N,线段MN的中点为Q,则动点Q的轨迹曲线C2的方程为　　　　;过点P作曲线C2的两条切线,切点分别为S,T,则·的最小值为　　　　.  12.(2026重庆渝西中学期中)在平面直角坐标系Oxy中,已知圆C:x2+y2-2x-2y-12=0,M1,M2是圆C上的动点,且|M1M2|=4,M1M2的中点为M. (1)求点M的轨迹方程; (2)设A是直线l:x-y+4=0上的动点,直线AP,AQ是M的轨迹的两条切线,P,Q为切点,求四边形APCQ面积的最小值; (3)若垂直于y轴的直线l1过点C且与M的轨迹交于两点D,E,点N为直线x=-3上的动点,直线ND,NE与M的轨迹的另一个交点分别为F,G(FG与DE不重合),试探究直线FG是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由. 题型三　直线与圆的位置关系的综合应用 13.(2025山西运城测评)已知P(x,y)是圆C:(x-1)2+(y-2)2=1上任意一点,若|x+y+a|+|1-x-y|的取值与x,y无关,则实数a的取值范围是　　　　.  14.(2026四川成都七中月考)动圆C:x2+y2+λx+λy-(λ+1)=0(λ∈R)与直线l:y=2x交于A,B两点. (1)证明:动圆C必过两定点,并求出这两点坐标; (2)求|AB|的最小值; (3)是否存在一条定直线,在其上任取点K,无论λ为何值,都有·为常数?若存在,求出定直线的方程;若不存在,请说明理由. 15.如图,某公园内有一底面半径为2米的圆柱形建筑物,在其南面有一条东西走向的观景直道(图中用实线表示),建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道(图中用虚线表示),观景直道与辅道相距5米.在建筑物底面中心O的北偏东45°方向且相距10米的点A处,有一台360°全景摄像头,其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系,并解决问题: (1)在西辅道上与建筑物底面中心O相距4米处有一游客,他是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 答案 2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系 基础练习 1.A　由已知可得圆的圆心为(0,-1),半径为1, 圆心到直线x+2y+3=0的距离d==<1, ∴直线与圆的位置关系为相交. 2.D　直线l的方程x+ky-1-4k=0可整理为x-1+k(y-4)=0,则直线l恒过点(1,4),又点(1,4)在圆C上,故直线l与圆C相交或相切. 3.C　∵直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点, ∴圆心(a,0)到直线x-y+1=0的距离d≤,即≤,∴|a+1|≤2, ∴-3≤a≤1. 4.解析　(1)解法一:将直线l的方程代入圆的方程,得(x-1)2+(kx+2)2=1, 整理得(k2+1)x2+(4k-2)x+4=0, 因为直线与圆有两个交点, 所以Δ=(4k-2)2-16(k2+1)>0,解得k<-,即k的取值范围是. 解法二:由题意得圆心C(1,0)到直线l:kx-y+2=0的距离小于1, 所以<1,解得k<-,即k的取值范围是. (2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)中解法一及根与系数的关系得 所以kOA+kOB=+=+=+2k=+2k=1, 即直线OA,OB的斜率之和为定值. 5.解析　(1)因为圆C的圆心在直线x-2y=0上, 所以可设圆心为(2a,a),又圆C与y轴相切于点(0,1),所以a=1,则圆心为(2,1),半径为2, 故圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4. (2)若选条件①:圆C被直线l分成两段圆弧,其弧长之比为2∶1. 由题可知∠ACB=120°,而|CA|=|CB|=2,故圆心C到直线l的距离为2×cos 60°=1, 所以=1,解得m=-1或m=--1. 若选条件②:|AB|=2. 又|CA|=|CB|=2,故圆心C到直线l的距离为=, 所以=,解得m=1或m=-3. 若选条件③:∠ACB=90°. 又|CA|=|CB|=2,故△ACB是等腰直角三角形,所以|AB|=2, 故圆心C到直线l的距离为,所以=,解得m=1或m=-3. 6.C　将圆C的方程化为标准方程,得(x-1)2+(y-2)2=5,得圆心为C(1,2),半径r=, 因为圆心C(1,2)到直线l的距离d==, 所以|AB|=2=2×=. 7.D　由圆的方程知,圆心为(2,3),半径r=2, 圆心到直线y=kx+3即kx-y+3=0的距离d=,∵|MN|≥2, ∴2=2≥2, (解题关键:利用垂径定理及勾股定理表示出弦长|MN|) 变形整理得4k2+4-4k2≥3k2+3,即k2≤,解得-≤k≤, ∴k的取值范围是. 8.B　易得C(0,0),直线PC的斜率kPC==-2, 过点P且长度最短的弦应是过点P且垂直于直线PC的弦(关键点),设其所在直线的斜率为k,则k·kPC=-1,得k=, 所以所求直线的方程为y-=,即3x-6y+5=0. 9.D　圆C:(x-2)2+(y-2)2=8的圆心为C(2,2),半径是2, ∴△ABC的面积S△ABC=|CA|·|CB|·sin∠ACB=×2×2sin∠ACB=4sin∠ACB,易知∠ACB∈(0,π), ∴当∠ACB=时,△ABC的面积最大,此时圆心(2,2)到直线l的距离d=r=2, ∴d==2,解得m=0或m=-,经验证均符合题意, ∴当△ABC的面积最大时,m=0或m=-. 10.答案　(x-2)2+(y-1)2=10;x=0或5x-12y-24=0 解析　第一空:联立解得 因为圆心为(2,1)的圆C经过l1和l2的交点,所以圆C的半径r==, 所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=10. 第二空:①当直线l的斜率存在时,设其方程为y+2=kx,设圆心(2,1)到直线kx-y-2=0的距离为d, 则由垂径定理得|MN|=2=2,解得d=2(舍负),即=2,解得k=, 故直线l的方程为x-y-2=0,即5x-12y-24=0; ②当直线l的斜率不存在时,方程为x=0,满足|MN|=2, 所以直线l的方程为x=0或5x-12y-24=0. 11.解析　(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 因为点A(0,0),B(4,0),C(3,1)在圆M上, 所以所以 所以圆M的方程为x2+y2-4x+2y=0,即(x-2)2+(y+1)2=5. (2)由(1)可得圆M的圆心为M(2,-1),半径r=, 又|PQ|=,所以圆心M(2,-1)到直线y=kx-1的距离d==, 所以=,解得k=±. 12.解析　(1)由题知线段AC的垂直平分线方程为(x+1)2+(y-1)2=(x+4)2+y2,(点拨:垂直平分线上的点到两端点的距离相等)即3x+y+7=0. 由得即E(-1,-4). 又|AE|2=(-1+1)2+(1+4)2=25, 所以△ABC的外接圆E的标准方程为(x+1)2+(y+4)2=25. (2)思路点拨:先用几何法确定圆心到直线l的距离,再分直线l的斜率不存在和存在两种情况,利用点到直线的距离公式求直线的斜率. 因为直线l与圆E相交所得弦的长为8,所以圆心E到直线l的距离d==3. 若直线l的斜率不存在,则l的方程为x=2,点E(-1,-4)到直线l的距离为3,故x=2满足题意; 若直线l的斜率存在,可设直线l的方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0. 由=3⇒k=,此时直线l的方程为7x-24y-14=0. 综上,直线l的方程为x=2或7x-24y-14=0. 13.D　圆C的标准方程为x2+(y-1)2=4,则圆心为C(0,1),因为22+(1-1)2=4,所以点P在圆C上,又kPC==0,所以所求切线与x轴垂直,故所求切线的方程为x=2. 14.ABD　A中,由圆O:x2+y2=4,知圆心为O(0,0),半径r=2, 圆心O到直线l:x-y+=0的距离d==1, 则d+r=3,|d-r|=1,所以圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1,A正确; B中,结合A可知弦长为2=2×=2,B正确; C中,当直线OP的斜率存在且不为0时,斜率为,则切线斜率为-, 此时切线方程为y-y0=-(x-x0), 即xx0+yy0=+=4, 当直线OP的斜率不存在或为0时,切线方程为y=2或x=2,均适合上式, 故过点P的圆O的切线方程是x0x+y0y=4,C错误; D中,由圆M:(x-3)2+(y-4)2=1可知圆心为M(3,4),半径rM=1, 则|PA|==, 所以当|PM|取得最小值时,|PA|取得最小值, 又|PM|≥|OM|-r=-2=3, 即|PM|的最小值为3, 当且仅当O,P,M三点共线,且P在O,M之间时取等号, 所以|PA|的最小值为2,D正确. 15.答案　x+y-2=0 解析　易知两切点分别为(0,2),(2,0),所以直线AB的方程为+=1,即x+y-2=0. 16.答案　4+4 解析　圆C:x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4,圆心为C(2,0),半径为2. 由对称性可知,四边形PACB的周长为2(|PA|+|AC|)=2(|PA|+2), 因为△PAC为直角三角形,所以|PA|==,又|PC|为直线x-y+6=0上一点与圆心C之间的距离, 所以|PC|的最小值为点C(2,0)到直线x-y+6=0的距离,为=4, 所以|PA|的最小值为2, 则四边形PACB的周长的最小值为2×(2+2)=4+4. 17.解析　(1)由圆C:(x-4)2+(y-2)2=9,知圆心为(4,2),半径为3. 当切线斜率不存在时,切线方程为x=1, 此时圆心(4,2)到切线x=1的距离为3,等于半径,满足题意; 当切线斜率存在时,设切线方程为y+3=k(x-1),即kx-y-k-3=0,则=3,解得k=, 则切线方程为x-y--3=0,即8x-15y-53=0. 综上所述,切线方程为x=1或8x-15y-53=0. (2)由切线的性质,得|PA|=|PB|,当切线方程为x=1时,切线与x轴垂直, 则|PA|=|PB|=2-(-3)=5. 能力提升练 1.A　由题意知圆心C(-1,0)到l的距离d==3, 因为d>1,且圆C上仅有2个点到l的距离为1,所以|r-3|<1(关键点), 解得2<r<4,即r的取值范围是(2,4). 2.A　若点M(a,b)在圆O:x2+y2=9外,则a2+b2>9. 若直线ax+by=1与圆O相交,则圆心(0,0)到直线的距离小于半径,即<3,化简得a2+b2>. 由a2+b2>9⇒a2+b2>,但a2+b2>⇒/a2+b2>9, 所以“点M(a,b)在圆O外”是“直线ax+by=1与圆O相交”的充分不必要条件. 3.D　直线l的方程可转化为(x+2)k-y+4=0,所以直线l恒过点(-2,4),记A(-2,4). 曲线y=即为x2+y2=4(y≥0),(易错点:注意转化条件的等价性) 它是圆心为原点,半径为2的圆的上半部分,如图, 当直线l与该曲线相切时,点(0,0)到直线l的距离d==2,解得k=-. 设B(2,0),则kAB==-1. 由图可得,若要使直线l:kx-y+4+2k=0与曲线y=有两个交点,需要-1≤k<-,即k的取值范围为k-1≤k<-. 4.答案　∪[-1,+∞) 解析　设点M(x,y), ∵|MA|=|MB|,A(-3,0),B(1,0), ∴=·,化简得(x-5)2+y2=32.由此可知,点M的轨迹为圆. 由于点M在直线l:nx+y-3=0上,也在圆(x-5)2+y2=32上,所以直线与圆有公共点(关键点). 所以≤4,即7n2+30n+23≥0,所以(7n+23)(n+1)≥0, 解得n≥-1或n≤-, 所以实数n的取值范围是∪[-1,+∞). 5.D　不妨设a>b,如图, 由题意知直线l1,l2平行,且与圆的四个交点构成矩形ABCD, 故圆心到两直线l1,l2的距离相等,又圆x2+y2=5的圆心为(0,0), 故=,又a≠b,所以a=-b,故|a-b|=2|a|, 结合“较长边的长为4”这一题干信息,进行分类讨论. 假设|AB|=4,原点到直线l1的距离为d, 又圆x2+y2=5的半径为,所以d2+22=5,解得d=1(舍负),故=1,解得|a|=, 所以|a-b|=2|a|=2; 假设|AD|=4,则原点到直线l1的距离为|AD|=2,即=2,解得|a|=2, 所以|a-b|=2|a|=4. 综上,|a-b|=2或|a-b|=4. 6.B　 解析　由x2+y2-6x=0得(x-3)2+y2=9,所以圆C的圆心为C(3,0),半径r=3, 易知过点P的弦中,直径是最长的弦,长度为2r=6. 下面分析过点P的最短的弦: 不妨设过P所作的弦为AB,由垂径定理知,|AB|=2=2,其中d为圆心C到弦AB所在直线的距离, 要使得弦AB最短,则d最大, 易知d≤|CP|,当CP与弦AB垂直时取等号,所以当CP与弦AB垂直时,d最大,弦AB最短. 根据圆的对称性,可知这5条长度为正整数的弦的长度分别是4,5,6,5,4, 要使得长度为4的弦有两条,则最短弦的长小于4;要使得长度为3的弦不存在,则最短弦的长大于3, 因此过点P的最短弦的长在(3,4)内, 不妨设最短弦的长为l,则|AB|=l时由上述分析知|CP|2+=r2,则|CP|2=r2-=9-∈,则|CP|∈,所以点P落在以C(3,0)为圆心,和分别为半径的圆所夹的圆环内, 所以该区域的面积为π-=π. 7.B　由题意知圆O与l交于B,C两点,且B(-2,-1),C(2,-1), 当直线x-y+m=0过点B(-2,-1)时,得m=-1+2. 由对称性可知,折叠后的弧BC所在圆的方程为x2+(y+2)2=9, 当直线x-y+m=0与劣弧BC相切时,有=3,所以m=3-2(m=-3-2舍去), 结合题图可知,当-1+2<m<3-2时,直线x-y+m=0与两段弧恰有4个交点.结合选项知B符合题意. 8.C　将直线方程x+ay-a+2=0变形为x+2+a(y-)=0, 可知该直线恒过定点(-2,),记P(-2,),则|OP|==3. 当r≤3时,如图1,直线可与圆O相切,此时A,B重合,与题意不符,直线也可与圆O交于不同的两点A,B,此时∠AOB的大小可不断趋近于0,不存在最小值,与题意不符, 　 所以r>3,即P在圆O内,如图2,直线与圆O一定交于两点A,B,此时对于任意给定的半径r,根据圆的性质,可知当OP⊥AB时,弦AB最短,∠AOB最小,此时|AB|=2=2, 在△AOB中,当∠AOB=90°时,|AB|=r, 因为∠AOB的最小值不大于90°,所以∠AOB最小时,对应的弦AB的长满足|AB|≤r,即2≤r,所以3<r≤3,即r的取值范围为(3,3]. 9.答案　1 解析　设P(x0,y0),x0>0,y0>0,则2x0+y0=4,设A(x1,y1),B(x2,y2), 当x1≠0,y1≠0时,直线PA,OA的斜率均存在,则kOA·kPA=-1,即·kPA=-1,所以kPA=-,所以切线PA的方程为y-y1=-(x-x1), 又+=2,故切线PA:x1x+y1y=2, 显然当x1=0或y1=0时也适合,所以切线PA的方程为x1x+y1y=2, 同理得切线PB:x2x+y2y=2, 又点P在切线PA,PB上, 所以 所以直线AB的方程为x0x+y0y=2,令y=0,得x=,令x=0,得y=,因此M,N, 则△OMN的面积S=··=≥==1,当且仅当2x0=y0,即时取等号, 所以△OMN面积的最小值为1. 10.答案　π 解析　解法一:如图所示,AB是切点弦,连接PO交AB于M, 若圆C内的点不在任何切点弦上,则这些点到圆C的圆心的距离应小于|OM|,即这些点在以原点为圆心,|OM|为半径的圆的内部. 连接OA,由题意知|OP|=5,|OA|=3, 则cos∠POA===, 所以|OM|=, 则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为. 解法二:设点P(m,n),弦AB为点P所对应的切点弦,则m2+n2=25,弦AB所在直线的方程为mx+ny=9. 因为原点到直线mx+ny=9的距离为==, 所以圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为. 11.答案　x2+y2+2x+2y-4=0;4 解析　根据题意,可作出如下示意图: 连接OM,OQ,设Q(x,y),则|DQ|=|MN|, 又|MN|=|MQ|=, 所以|DQ|=, 即=, 化简得x2+2x+y2+2y-4=0,此方程即为动点Q的轨迹曲线C2的方程. 易知曲线C2为圆,其圆心为(-1,-1),半径为. 由数量积的定义知·=||·||·cos<,>,如图: 当P在圆C2外,PS与PT的长度大于圆C2的半径时,两切线的夹角为锐角,此时点P距离圆心C2越近,PS与PT的长度越小,两切线的夹角越大,两个向量的数量积越小. 由题意知点P和原点以及切线与圆C的两个切点构成一个以4为边长的正方形的四个顶点,可得P到原点的距离恒为4,设P(x,y), 则曲线C1:x2+y2=32, 所以点P(x,y)到C2(-1,-1)的距离为=≥=3, 当且仅当x=-4且y=-4时等号成立,此时切线PS(或PT),圆C2的半径和点P与C2所连线段围成直角三角形, 又圆C2的半径为, 所以|PS|=|PT|==2, 所以切点弦的长度为|ST|=2×=4. 在△PTS中,由余弦定理的推论可得cos<,>==,所以·的最小值为2×2×=4. 12.解析　(1)将圆C的方程x2+y2-2x-2y-12=0化为标准方程,为(x-1)2+=16, 所以圆心为C(1,),半径r=4. 因为M是M1M2的中点,M1,M2在圆C上,所以CM⊥M1M2. 又|M1M2|=4,所以|M1M2|=2. 在Rt△CM1M中,由勾股定理得|CM|===2, 所以点M在以C(1,)为圆心,2为半径的圆上, 所以点M的轨迹方程为(x-1)2+(y-)2=4. (2)如图,因为直线AP,AQ是M的轨迹的切线,所以CP⊥AP,CQ⊥AQ. 又因为|CP|=|CQ|=2, 所以四边形APCQ的面积S=2S△APC=2××|CP|×|AP|=2|AP|, 在Rt△APC中,由勾股定理得|AP|==, 所以S=2, 所以求S的最小值即求|AC|的最小值,易知当AC⊥l时,|AC|最小. 根据点到直线的距离公式,得圆心C到直线l的距离d==2,即|AC|min=2. 当|AC|取最小值2时,Smin=2×=2×=4, 所以四边形APCQ面积的最小值为4. (3)由题意可知直线l1:y=,其与M的轨迹的两个交点分别是(-1,),(3,),不妨令D(-1,),E(3,),如图, 先探究如下问题:若点P0(-4,y0)为直线x=-4上的动点,A1(-2,0),A2(2,0),直线P0A1,P0A2与圆O:x2+y2=4的另一个交点分别为R(x1,y1),T(x2,y2)(RT与A1A2不重合),则直线RT过定点. 易知直线P0R,P0T的斜率均存在,且==,==, 则=3,所以=, 可得=, 又因为R,T均在圆O上,所以+=4,+=4, 可得=4-=(2+x1)(2-x1),=4-=(2+x2)(2-x2), 则=,即=-, 整理可得2x1x2+5(x1+x2)+8=0. 若直线RT的斜率存在,设其方程为y=kx+b, 联立消去y可得(k2+1)x2+2kbx+b2-4=0, 则Δ>0,且x1+x2=-,x1·x2=, 则-+8=0,整理可得b2-5kb+4k2=0,解得b=k或b=4k, 若b=k,则直线RT:y=k(x+1),过定点(-1,0); 若b=4k,则直线RT:y=k(x+4),过定点(-4,0),由RT与A1A2不重合,知此时不符合题意, 所以直线RT过定点(-1,0). 若直线RT的斜率不存在,则x1=x2,可得2+10x1+8=0,即+5x1+4=0, 解得x1=-1或x1=-4(舍去),此时直线RT过定点(-1,0), 又(-1,0)在圆O内部,所以直线RT与圆O必相交,符合题意. 综上所述,直线RT过定点(-1,0). 将上述问题中的所有直线与圆整体向右平移1个单位长度,再向上平移个单位长度,即可得到本题涉及的直线与圆, 结合图形平移可知,直线FG过定点(0,). 13.答案　(-∞,--3] 解析　设z=|x+y+a|+|1-x-y|=, 故z可看作点P(x,y)到直线m:x+y+a=0与直线l:x+y-1=0的距离之和的倍, 因为|x+y+a|+|1-x-y|的取值与x,y无关, 所以这个距离之和与P点在圆上的位置无关, 因为圆心C(1,2)到直线l的距离为=>1, 所以圆C与直线l相离,如图所示, 由图可知,直线m平移时,P点与直线m,l的距离之和均为直线m,l之间的距离,与P点在圆上的位置无关,但圆C需在直线m,l之间,故当直线m与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切时为临界位置, 此时圆心C(1,2)到直线m的距离为=1,解得a=-3(舍去)或a=--3, 所以a∈(-∞,--3]. 14.解析　(1)x2+y2+λx+λy-(λ+1)=0(λ∈R)即x2+y2-1+λ(x+y-1)=0(λ∈R), 由解得或 即动圆C恒过两定点,它们的坐标分别为(1,0),(0,1). (2)由圆C的方程x2+y2+λx+λy-(λ+1)=0(λ∈R)可得,圆心为C-,-,半径r=, 则圆心C到直线l:y=2x的距离d===, 所以A,B两点间的距离为|AB|=2=2, 整理得|AB|=2, 设t=λ2+λ+1,λ∈R,其图象开口向上,对称轴方程为λ=-=-, 故tmin=×++1=, 所以|AB|min=2×=. (3)存在.设A(x1,2x1),B(x2,2x2), 联立y=2x与x2+y2+λx+λy-(λ+1)=0, 消去y,得x2+(2x)2+λx+λ·2x-(λ+1)=0, 整理得5x2+3λx-(λ+1)=0, 所以 设K(m,n),则=(x1-m,2x1-n),=(x2-m,2x2-n), 则有·=(x1-m)(x2-m)+(2x1-n)(2x2-n)=5x1x2-(m+2n)(x1+x2)+m2+n2=5×-(m+2n)+m2+n2=λ+m2+n2-1, 因为无论λ为何值,都有·为常数, 所以(m+2n)-1=0,即m+2n=,此时·为常数m2+n2-1. 故存在定直线x+2y=,即3x+6y-5=0,其上任意点K都满足条件. 15.解析　以O为原点,正东方向为x轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系,则O(0,0). (1)由题知|OA|=10,∠AOx=45°,则A(10,10), 游客所在位置的坐标为(-4,0),记B(-4,0), 则直线AB的方程为y=(x+4),即5x-7y+20=0, 所以圆心O到直线AB的距离d==>=2, 所以直线AB与圆O相离,所以游客在该摄像头的监控范围内. (2)由图知,当过A的直线与圆O相切或相离时,摄像头不会被建筑物挡住, 不妨设直线l过点A且和圆O相切, 若直线l垂直于x轴,则直线l不会和圆相切; 若直线l不垂直于x轴,设l:y-10=k(x-10),整理得kx-y+10-10k=0, 所以圆心O到直线l的距离为=2,解得k=或k=, 所以l:y-10=(x-10)或y-10=(x-10), 即3x-4y+10=0或4x-3y-10=0, 易知观景直道所在直线的方程为y=-5, 设两条过点A且与圆O相切的直线与直线y=-5的交点分别为D,E,且D在E左侧, 由解得x=-10, 由解得x=-, 所以|DE|===8.75, 因此观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为8.75米. 7 学科网（北京）股份有限公司 $