专题06等式与方程、一元一次方程及其解法暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题06等式与方程、一元一次方程及其解法暑假预习讲义 ✺知识框架 等式—等式定义、等式两大基本性质（所有方程变形、等式运算的依据） 方程—方程定义、方程的解、解方程（三组易混概念辨析） 一元一次方程 — 一元一次方程定义、三重判定条件、标准形式（核心考点） 方程求解—一元一次方程标准化解题五步流程、方程解的检验方法. ✅本节知识遵循“性质→概念→判定→运算”的学习逻辑，以等式性质为变形依据，夯实方程基础概念，聚焦一元一次方程识别与规范求解，最终掌握解题技能、规避常见易错点，形成完整的方程基础知识体系。 ✺学习目标 基础知识：1.熟练掌握等式、方程、一元一次方程、方程的解、解方程的核心内涵；2.牢固掌握等式两条基本性质，精准区分一元一次方程的判定标准与标准形式 能力提升：1.能够依据等式基本性质完成等式变形，精准识别一元一次方程；2.遵循教材规范步骤求解一元一次方程，熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的运算技能，完成方程解的验证操作。 综合素养：1.初步建立数学方程模型思想，理解方程等价变形的数学逻辑；2.养成书写规范、步骤完整、运算严谨的代数解题习惯，为一元一次方程的实际应用、后续各类方程学习筑牢基础。 ✺题型归纳 题型1.判断各式是否是方程 题型2.等式的性质1 题型3.等式的性质2 题型4.列方程 题型5.判断是否是方程的解 题型6.已知方程的解，求参数 题型7.判断是否是一元一次方程 题型8.判断是否是一元一次方程解 题型9.解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 题型10.解一元一次方程（二）——去括号 题型11.解一元一次方程（三）——去分母 题型12.已知一元一次方程的解，求参数 题型13.一元一次方程解的关系 题型14.绝对值方程 题型15.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、等式 1.等式的定义：用等号“=”连接两个代数式，用以表示数量相等关系的数学式子，称为等式。 等式由左边代数式、等号、右边代数式三部分构成，等号是等式的核心标识。 示例：4+5=9、x-3=6、2a=3b均为等式； 2.等式的基本性质 等式的基本性质是等式变形、解方程的唯一依据，所有方程求解步骤均源于两条核心性质， 性质1（加减不变性）：等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，等式的相等关系保持不变，所得结果仍是等式。 符号语言：若a=b，则a±c=b±c（c为常数或整式）。 性质2（乘除不变性）：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式的相等关系保持不变，所得结果仍是等式。 符号语言：若a=b，则ac=bc；若a=b且c≠0，则=。 ★重难点提示：等式变形必须遵循同步性、一致性原则，左右两边运算完全相同，不可单边操作、单边变形；性质2中除数绝对不能为0，0作除数无数学意义. 知识点二、方程的相关概念 1.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。 方程的成立必要条件，：① 式子为等式（含等号）；② 式子中含有未知字母。 示例：3x+2=8同时满足两个条件，是方程。 2.方程的解与解方程 方程的解：能够使方程左右两边代数式的值完全相等的未知数的取值，称为方程的解。单一未知数的方程，其解为一个确定的数值。 解方程：通过等式变形、代数运算，逐步求出方程解的运算过程，称为解方程。 概念辨析：二者本质完全不同，方程的解是静态的数值结果，解方程是动态的运算过程。 解的检验方法：将求解得到的未知数数值，分别代入原方程的左右两边，独立计算两边结果。若左右两边数值相等，则该数值为原方程的解；若两边数值不等，则该取值不是方程的解，计算过程存在错误。 知识点三、一元一次方程 1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且等号左右两边均为整式的方程，叫做一元一次方程。 一元一次方程需同时满足三重判定条件： ① 一元：只含有一个未知数； ② 一次：未知数的最高次数为1； ③ 整式方程：分母中不含未知数，方程两边均为整式。 2.一元一次方程的标准形式 ax+b=0（a≠0，a、b为常数），该形式为一元一次方程的最简标准化形式。 提示：a≠0是不可缺失的限定条件。若a=0，方程化简为b=0，无未知数参与，不再属于方程范畴；常数项b可为任意常数，包含0。 示例：5x-3=0为标准一元一次方程；2x=7可整理为2x-7=0，属于一元一次方程； 知识点四、一元一次方程的解法 解题思想：依托等式两条基本性质，对原方程进行等价恒等变形，逐步消去分母、括号、移项化简，最终将复杂方程转化为x=c（c为常数）的最简形式。 1.去分母：精准找出方程中所有分母的最小公倍数，将方程左右两边的每一项同时乘以该最小公倍数，彻底消去方程中的分母。 注意：① 无分母的常数项必须同步乘最小公倍数，杜绝漏乘；② 若分子为多项式，去分母后需对整体分子添加括号，避免符号、运算错误。 2.去括号：依据整式去括号法则，由内到外逐层去除方程中的括号。括号前为正号，去括号后各项符号保持不变；括号前为负号，去括号后所有项统一变号。若括号前存在数字系数，系数需与括号内每一项逐一相乘，严禁漏乘单项。 3. 移项：统一整理方程结构，将所有含未知数的项移至方程左侧，所有常数项移至方程右侧。 注意：移项必变号，未移动的项符号保持不变。移项的本质是利用等式性质1进行等价变形。 4.合并同类项：分别合并方程左右两侧的同类项，化简整理方程，最终得到 ax=b（a≠0）的过渡最简形式，为系数化为1做好铺垫。 5.系数化为1：依据等式性质2，方程左右两边同时除以未知数的系数a，化简得到方程的唯一解x=。 运算过程中需重点关注正负符号，严格区分分子与分母，避免颠倒计算。 ✺题型精讲 题型1.判断各式是否是方程 1．下面的式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程的定义，方程需同时满足两个条件：一是含有未知数，二是等式，据此判断各选项即可． 【详解】∵方程是含有未知数的等式，必须同时满足上述两个条件， 对选项A，是等式，但不含未知数，因此不是方程； 对选项B，含有未知数x，但不是等式，因此不是方程； 对选项C，既含有未知数x，又是等式，符合方程的定义； 对选项D，含有未知数，但不是等式，因此不是方程． 2．在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为_______（填序号）． 【答案】③④ 【分析】本题考查方程的判断，根据含有未知数的等式叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：①不是等式，不是方程； ②不含未知数，不是方程； ③是方程； ④是方程； ⑤不是等式，不是方程； 故是方程的为③④． 故答案为：③④ 3．下列各式中．哪些是方程？如果是方程．指出方程中的未知数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)是方程，未知数是x (2)是方程，未知数是y (3)不是方程 (4)是方程，未知数是a (5)是方程，未知数是m (6)是方程，未知数是x、y 【分析】本题主要考查了方程的定义，熟练掌握方程定义是关键． 根据方程的定义解答，即含未知数的等式叫做方程． 【详解】（1）解：是方程，未知数是x； （2）解：4是方程，未知数是y； （3）解：因为不是等式，所以不是方程； （4）解：是方程，未知数是a； （5）解：是方程，未知数是m； （6）解：是方程，未知数是x、y． 题型2.等式的性质1 1．如果，那么，其依据为（     ） A．方程两边可以交换 B．相等关系可以传递 C．方程两边都加上同一个整式，方程的解不变 D．方程两边都乘以同一个数，方程的解不变 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，观察题干中等式的变形过程，对应匹配变形依据即可得到答案． 【详解】解： 由变形得到，是给方程左右两边同时加上同一个整式， 该变形的依据是等式两边都加上同一个整式，等式仍成立， 对应选项C． 2．已知方程，用含x的代数式表示y，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， 移项，得， 等式两边同乘，得． 3．请利用等式的基本性质，把下列方程化成的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质，是解题的关键． （1）方程两边同减3，得出答案即可； （2）先方程两边同加4，然后方程两边同减，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 方程两边同减3得：； （2）解：， 方程两边同加4得：， 方程两边同减得：． 题型3.等式的性质2 1．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式性质逐一判断变形是否正确即可，等式的性质为：等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，等式仍成立；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立． 【详解】解： A选项： ∵，等式两边同时加，可得，变形正确，不符合题意； B选项： ∵，等式两边同时乘，可得，变形正确，不符合题意； C选项： ∵，等式两边同时减，可得，变形正确，不符合题意； D选项： ∵，等式两边同时除以，得，变形错误，符合题意. 故选D． 2．若，则在：①；②；③；④；⑤中，正确的有______．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】根据等式的基本性质对每个式子逐一判断． 【详解】解：①，等式两边同时加，得，故①正确； ②，等式两边乘不同的数，可得，故②不正确； ③，等式两边乘不同的数，可得，故③不正确； ④，等式两边同时乘，再同时加，根据等式的基本性质，故④正确； ⑤，分母不为零，则有，等式两边乘相同的数可得，故⑤正确． 综上，正确的有①④⑤． 3．规定：*为一种新运算，对任意的有理数，，有，若，试用等式的性质求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用等式性质解方程，新定义运算，理解题意，列出方程，是解题的关键．先根据新定义得出方程，然后利用等式的性质，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 等式两边都乘3，得； 等式两边都减6，得； 等式两边都除以2，得． 题型4.列方程 1．小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得等量关系为：小华的钱数小红的钱数，将小红有35元钱，小华有元钱代入等量关系式后求解． 【详解】解：根据题意，得． 2．钢琴上的黑、白两种琴键共有88个，其中白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个．如果用表示白色琴键，表示黑色琴键，请根据不同的等量关系写出两个方程． ________________；____________________． 【答案】 【分析】根据等量关系“钢琴上的黑、白两种琴键共有88个”和“白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个”列出方程即可． 【详解】解：用表示白色琴键，表示黑色琴键， ∵钢琴上的黑、白两种琴键共有88个， ∴； ∵白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个， ∴． 3．列方程表示下列语句中包含的相等关系： (1)比它的补角少； (2)x的6倍与2的和等于x的3倍与4的差； (3)去年某镇居民人均可支配收入为元，比前年增长了，前年这个镇居民人均可支配收入为元； (4)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，问快马几天可以追上慢马．可设快马天可以追上慢马． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用、补角的定义以及追及问题的数量关系，熟练掌握从文字描述中提取相等关系并转化为方程是解题的关键． （1）先明确补角的定义（两角之和为），再根据“比它的补角少”这一条件，建立与它的补角之间的等式． （2）分别表示出“的6倍与2的和”和“的3倍与4的差”，再根据“等于”这一关键词，将两个代数式用等号连接． （3）根据“去年人均可支配收入=前年人均可支配收入×(1+增长率)”的关系，代入已知数据建立方程． （4）利用“追及路程=慢马先行的路程”的关系来建立等式． 【详解】（1）解：根据“它的补角”得； （2）解：根据“的6倍与2的和的3倍与4的差”得； （3）解：根据“前年人均可支配收入去年人均可支配收入”得； （4）解：根据“追及路程=慢马先行的路程”得． 题型5.判断是否是方程的解 1．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】把原方程变形为，根据题意可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴关于的一次方程的解为． 2．代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值，则关于x的方程的解是______． x 0 1 0 4 8 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程 转化为 ，然后从表格中找出当时对应的值即可． 【详解】解：由方程可得， 观察表格，当时，， 故方程的解为：． 故答案为：． 3．检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解： (1)； (2)． 【答案】(1)不是该方程的解，是该方程的解； (2)是该方程的解，不是该方程的解 【详解】（1）解：当时，方程左边， 方程右边， 左边不等于右边， ∴不是该方程的解； 当时，方程左边， 方程右边， 左边等于右边， ∴是该方程的解； （2）解：当时，方程左边， 方程右边， 左边等于右边， ∴是该方程的解； 当时，方程左边， 方程右边， 左边不等于右边， ∴不是该方程的解． 题型6.已知方程的解，求参数 1．若关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B． C． D．9 【答案】A 【分析】将已知方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，即可得到的值． 【详解】∵方程的解是， ∴将代入原方程得 ， 解得 ． 2．已知是方程的解，那么______． 【答案】 【详解】解：把代入方程，得， 解得． 3．已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】将代入方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 题型7.判断是否是一元一次方程 1．下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：一元一次方程需满足三个条件：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的次数为1， ∵选项A不是等式，不是方程， ∴A不符合题意； ∵选项B不含未知数，不是方程， ∴B不符合题意； ∵选项C是只含有一个未知数，且未知数次数为1的整式方程，符合一元一次方程的定义， ∴C符合题意； ∵选项D含有两个未知数和，不是一元方程， ∴D不符合题意． 2．已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的最高次数为，据此列出关于的方程即可求解. 【详解】解：是关于的一元一次方程， 未知数的次数为，即， 解得. 3．在一次数学活动课上，小军对小明说：我手中有四张卡片，它们上面分别写有9，，，．小明说：我用等号将这四张卡片中的任意两张卡片上的数或式子连接起来，就会得到等式或一元一次方程． 根据以上对话，回答下列问题： (1)小明一共能写出几个等式？ (2)在他写的这些等式中，有几个一元一次方程？请写出这几个一元一次方程． 【答案】(1)6个 (2)有3个，分别为：，， 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）列出从四张卡片中任意选择两张卡片，所有的可能得到的等式； （2）根据一元一次方程的定义从（1）中判断哪些等式是一元一次方程，从而得到答案． 【详解】（1）解：可写出的等式有：、、、、、，共6个等式； （2）解：由（1）可知，一元一次方程有：、、， 共有3个一元一次方程． 题型8.判断是否是一元一次方程解 1．下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入中，方程左边，此时方程左右两边相等，故原方程的解是，符合题意； B、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； C、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； D、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； 故选：A． 2．已知关于x的方程是一元一次方程，则多项式：的值是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、代数式求值等知识点，掌握一元一次方程定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义可知该方程的二次项系数为零且一次项系数不为零，据此可求出a的值，然后代入多项式求值即可． 【详解】解：∵方程为一元一次方程， ∴二次项系数，且一次项系数， ∴ ∴多项式． 故答案为． 3．，，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】是方程的解；是方程的解；是方程的解． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，，分别代入四个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到结论． 【详解】解：把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 综上所述，是方程的解；是方程的解；是方程的解． 题型9.解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 1．方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照先移项再将系数化为1的步骤直接解方程即可． 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得． 2．在方程中，，则的值是_________． 【答案】2 【详解】解：把代入原方程，可得， 解得． 3．解方程： 【答案】 【详解】解：， ， 题型10.解一元一次方程（二）——去括号 1．已知某运算中，，若，则N等于(    ) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】首先根据自定义运算规则，，先计算括号里面的，得出结果，再将其代入即可求解． 【详解】解： ， 即， ， ， ， ， ， 即等于． 2．方程：的解为______． 【答案】 【详解】解：， ， ， . 3．解方程：． 【答案】 【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】解：去括号，得 ， 移项，得， 合并同类项，得 ， 系数化为，得． 题型11.解一元一次方程（三）——去分母 1．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分母2和3的最小公倍数为6，去分母时需方程两边每一项同乘6，不可漏乘常数项． 【详解】解：方程两边同乘以6， 得． 2．若代数式与的值相等，则x的值是________． 【答案】 【分析】根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式与的值相等， ∴， ∴， ∴， 解得． 3．解方程：． 【答案】 【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项即可． 【详解】解：先去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 题型12.已知一元一次方程的解，求参数 1．若关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解的概念，方程的解能使方程左右两边相等，将已知解代入原方程即可求出的值． 【详解】∵是一元一次方程的解， ∴将代入方程得：， 整理得：， 解得：． 2．关于x的方程的解是，则______． 【答案】 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴ 解得． 3．已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求a的值． 【答案】 【分析】分别解两个方程，根据两个方程的解的关系列方程并解方程即可求出a的值． 【详解】解：的解为， 方程的解为 由题意： 解得 题型13.一元一次方程解的关系 1．若方程和方程的解相同，则a的值是（    ） A．7 B．5 C．3 D．0 【答案】A 【分析】先解方程得，再根据两个方程的解相同，把代入第二个方程求解即可． 【详解】解：由得， 把代入方程， 得， 解得． 2．已知关于的方程的解为负整数，则整数的所有可能取值的和为___________． 【答案】 【分析】首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为负整数，可得的所有可能取值，然后求和即可得． 【详解】解： 解得， ∵关于的方程的解为负数， ∴， 又∵关于的方程的解为整数， ∴10是的倍数， ∴的值有， 当时，， 此时（负整数，符合）； 当时，， 此时（负整数，符合）； 当时，， 此时（负整数，符合）； 当时，， 此时（负整数，符合）． ∴整数的所有可能取值的和为． 3．已知关于x的方程与的解互为相反数，求m的值以及两个方程的解． 【答案】，第一个方程的解为，第二个方程的解为 【分析】先解出两个方程的解，再根据两个方程的解互为相反数，列出关于m的一元一次方程，即可得出m的值，进一步即可得出两个方程的解． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得． 又两个方程的解互为相反数， ， 两边同时乘得，， ， ， ， 当时，第一个方程的解为，第二个方程的解为． 答：，第一个方程的解为，第二个方程的解为． 题型14.绝对值方程 1．如果，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义判断的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，，不满足；当时，，满足条件；当时，，满足条件； ∴满足的的取值范围是． 2．若，则______． 【答案】1或 【分析】根据绝对值的性质，绝对值等于的数为和，将原绝对值方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解： 或 当时，解得 当时，解得 3．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】利用绝对值的性质：若（），则，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：对于方程， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． （2）解：对于方程， 两边同乘，得， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可； 【详解】根据方程的定义可知：，是方程，有个． 2．运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据等式的性质逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故该选项错误； B．如果，等式两边同乘a，则，故该选项错误； C．如果，且时，则，故该选项错误； D．∵， ∴， ∴，故该选项正确． 3．是（     ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把分别代入下列方程，检验是否成立即可． 【详解】解：A.把代入方程，方程左边方程右边，所以是的解； B.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解； C.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解； D.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解． 4．下列式子中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义，对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A，式子中是分式，不是整式，不符合一元一次方程定义，错误； 选项B，是代数式，不是等式，不是方程，错误； 选项C，对原式化简：去括号得，整理后为，满足一元一次方程的所有条件，正确； 选项D，未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程定义，错误． 5．下列方程变形正确的是（     ） A．，移项得 B．，去括号得 C．，去分母得 D．，系数化为1得 【答案】B 【详解】解：A选项，方程移项时，移项要变号，正确结果应为，错误； B选项，方程去括号，用2乘括号内每一项，得，正确； C选项，方程去分母，两边同乘2，正确结果应为，错误； D选项，方程系数化为1，两边同除以，正确结果应为，错误． 二、填空题 6．由“的2倍与3的和等于5”可列方程为_____． 【答案】 【分析】根据题意将文字描述转化为代数式，结合等量关系列出方程即可 【详解】解：x的2倍可表示为，x的2倍与3的和可表示为， 根据和等于5，列方程为 7．写出一个关于y的一元一次方程，使它的解为，则这个方程可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程是解题关键． 根据定义结合方程解的定义即可求解． 【详解】解：由题意，方程的解为， 因此可构造方程（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 8．已知方程和方程 有相同的解，那么的值是______． 【答案】 【分析】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于的方程，从而可以求出的值． 【详解】解：解方程得：， 解方程得：， ∵方程和方程有相同的解， ∴， 解得：． 9．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】 【分析】将原方程变形后，利用已知解的定义，通过换元法即可求出所求方程的解． 【详解】解：对原方程变形为：， 整理得：， 令，则方程化为 原方程的解为， ∴， 即方程的解为：， 关于的方程与形式完全相同， 方程的解为：． 10．（1）若，则______，_______ （2）若，，且，则___________ 【答案】 或 【分析】（1）利用绝对值的非负性，即可求解和的值； （2）先根据绝对值的定义求出、的所有可能取值，再根据的条件筛选出符合要求的取值，最后计算得到的结果． 【详解】解：（1），且根据绝对值的非负性，可得，， ，； （2），， ，． 又， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当，时，，符合条件，此时； 当，时，，符合条件，此时 ， 综上，或． 三、解答题 11．一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． (1)设宽为，请列出关于x的方程． (2)说明是该方程的解，而不是它的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查根据实际问题列方程以及验证方程解的能力． （1）利用长方形周长公式和长与宽的关系列出方程； （2）通过代入数值验证是否为方程的解． 【详解】（1）解：∵长是宽的2倍，宽为， ∴长为， ∵长方形的周长(长+宽)，周长为， ∴方程为； （2）解：当时， 代入方程左边：， ∴左边=右边， ∴是该方程的解． 当时， 代入方程左边：， ∴左边≠右边， ∴不是该方程的解． 12．解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)； (9) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【分析】一元一次方程的解法：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可，根据方程的形式选择合适的步骤与解法求解． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （3）解：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （4）解：， 去括号得： 移项得：， 合并得：， 解得：． （5）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （6）解：， ∴， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （7）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （8）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （9）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 13．已知关于x的方程的解比关于y的方程的解小，求a的值． 【答案】 【分析】先求得关于x的方程的解，从而得到关于y的方程的解，然后代入方程，得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：解方程， 得； 由题意可知，关于y的方程的解为， 将代入方程中，得， 解得． 14．按要求解答问题： (1)解方程：； (2)若关于x的方程与的解之和为1，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）分别求出两个方程的解，再根据题意建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：解方程 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 解方程得， ∵关于x的方程与的解之和为1， ∴， 解得． 15．阅读与探究： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 例：解方程． 思路一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，去掉绝对值． 解：依题意得：或 解得：或． 思路二：分和两种情况进行分类讨论，去掉绝对值． 解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， 原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)已知关于x的方程的解为正整数，求整数a的值． 【答案】(1) 或 (2) 整数的值为或 【分析】（1）根据题意可得或，解方程即可得到答案； （2）仿照题意解方程得或，再根据方程的解为正整数得到，，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； （2）解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， ∵原方程的解为正整数，a是整数， ∴，， ∴或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06等式与方程、一元一次方程及其解法暑假预习讲义 ✺知识框架 等式—等式定义、等式两大基本性质（所有方程变形、等式运算的依据） 方程—方程定义、方程的解、解方程（三组易混概念辨析） 一元一次方程 — 一元一次方程定义、三重判定条件、标准形式（核心考点） 方程求解—一元一次方程标准化解题五步流程、方程解的检验方法. ✅本节知识遵循“性质→概念→判定→运算”的学习逻辑，以等式性质为变形依据，夯实方程基础概念，聚焦一元一次方程识别与规范求解，最终掌握解题技能、规避常见易错点，形成完整的方程基础知识体系。 ✺学习目标 基础知识：1.熟练掌握等式、方程、一元一次方程、方程的解、解方程的核心内涵；2.牢固掌握等式两条基本性质，精准区分一元一次方程的判定标准与标准形式 能力提升：1.能够依据等式基本性质完成等式变形，精准识别一元一次方程；2.遵循教材规范步骤求解一元一次方程，熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的运算技能，完成方程解的验证操作。 综合素养：1.初步建立数学方程模型思想，理解方程等价变形的数学逻辑；2.养成书写规范、步骤完整、运算严谨的代数解题习惯，为一元一次方程的实际应用、后续各类方程学习筑牢基础。 ✺题型归纳 题型1.判断各式是否是方程 题型2.等式的性质1 题型3.等式的性质2 题型4.列方程 题型5.判断是否是方程的解 题型6.已知方程的解，求参数 题型7.判断是否是一元一次方程 题型8.判断是否是一元一次方程解 题型9.解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 题型10.解一元一次方程（二）——去括号 题型11.解一元一次方程（三）——去分母 题型12.已知一元一次方程的解，求参数 题型13.一元一次方程解的关系 题型14.绝对值方程 题型15.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、等式 1.等式的定义：用等号“=”连接两个代数式，用以表示数量相等关系的数学式子，称为等式。 等式由左边代数式、等号、右边代数式三部分构成，等号是等式的核心标识. 示例：4+5=9、x-3=6、2a=3b均为等式； 2.等式的基本性质 等式的基本性质是等式变形、解方程的唯一依据，所有方程求解步骤均源于两条核心性质， 性质1（加减不变性）：等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，等式的相等关系保持不变，所得结果仍是等式。 符号语言：若a=b，则a±c=b±c（c为常数或整式）。 性质2（乘除不变性）：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式的相等关系保持不变，所得结果仍是等式。 符号语言：若a=b，则ac=bc；若a=b且c≠0，则=。 ★重难点提示：等式变形必须遵循同步性、一致性原则，左右两边运算完全相同，不可单边操作、单边变形；性质2中除数绝对不能为0，0作除数无数学意义. 知识点二、方程的相关概念 1.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。 方程的成立必要条件：① 式子为等式（含等号）；② 式子中含有未知字母。 示例：3x+2=8同时满足两个条件，是方程。 2.方程的解与解方程 方程的解：能够使方程左右两边代数式的值完全相等的未知数的取值，称为方程的解。单一未知数的方程，其解为一个确定的数值。 解方程：通过等式变形、代数运算，逐步求出方程解的运算过程，称为解方程。 概念辨析：二者本质完全不同，方程的解是静态的数值结果，解方程是动态的运算过程。 解的检验方法：将求解得到的未知数数值，分别代入原方程的左右两边，独立计算两边结果。若左右两边数值相等，则该数值为原方程的解；若两边数值不等，则该取值不是方程的解，计算过程存在错误。 知识点三、一元一次方程 1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且等号左右两边均为整式的方程，叫做一元一次方程。 一元一次方程需同时满足三重判定条件： ① 一元：只含有一个未知数； ② 一次：未知数的最高次数为1； ③ 整式方程：分母中不含未知数，方程两边均为整式。 2.一元一次方程的标准形式 ax+b=0（a≠0，a、b为常数），该形式为一元一次方程的最简标准化形式。 提示：a≠0是不可缺失的限定条件。若a=0，方程化简为b=0，无未知数参与，不再属于方程范畴；常数项b可为任意常数，包含0。 示例：5x-3=0为标准一元一次方程；2x=7可整理为2x-7=0，属于一元一次方程； 知识点四、一元一次方程的解法 解题思想：依托等式两条基本性质，对原方程进行等价恒等变形，逐步消去分母、括号、移项化简，最终将复杂方程转化为x=c（c为常数）的最简形式。 1.去分母：精准找出方程中所有分母的最小公倍数，将方程左右两边的每一项同时乘以该最小公倍数，彻底消去方程中的分母。 注意：① 无分母的常数项必须同步乘最小公倍数，杜绝漏乘；② 若分子为多项式，去分母后需对整体分子添加括号，避免符号、运算错误。 2.去括号：依据整式去括号法则，由内到外逐层去除方程中的括号。括号前为正号，去括号后各项符号保持不变；括号前为负号，去括号后所有项统一变号。若括号前存在数字系数，系数需与括号内每一项逐一相乘，严禁漏乘单项。 3. 移项：统一整理方程结构，将所有含未知数的项移至方程左侧，所有常数项移至方程右侧。 注意：移项必变号，未移动的项符号保持不变。移项的本质是利用等式性质1进行等价变形。 4.合并同类项：分别合并方程左右两侧的同类项，化简整理方程，最终得到 ax=b（a≠0）的过渡最简形式，为系数化为1做好铺垫。 5.系数化为1：依据等式性质2，方程左右两边同时除以未知数的系数a，化简得到方程的唯一解x=。 运算过程中需重点关注正负符号，严格区分分子与分母，避免颠倒计算。 ✺题型精讲 题型1.判断各式是否是方程 1．下面的式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 2．在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为_______（填序号）． 3．下列各式中．哪些是方程？如果是方程．指出方程中的未知数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 题型2.等式的性质1 1．如果，那么，其依据为（     ） A．方程两边可以交换 B．相等关系可以传递 C．方程两边都加上同一个整式，方程的解不变 D．方程两边都乘以同一个数，方程的解不变 2．已知方程，用含x的代数式表示y，则_________． 3．请利用等式的基本性质，把下列方程化成的形式． (1)； (2)． 题型3.等式的性质2 1．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若，则在：①；②；③；④；⑤中，正确的有______．（填序号） 3．规定：*为一种新运算，对任意的有理数，，有，若，试用等式的性质求的值． 题型4.列方程 1．小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．钢琴上的黑、白两种琴键共有88个，其中白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个．如果用表示白色琴键，表示黑色琴键，请根据不同的等量关系写出两个方程． ________________；____________________． 3．列方程表示下列语句中包含的相等关系： (1)比它的补角少； (2)x的6倍与2的和等于x的3倍与4的差； (3)去年某镇居民人均可支配收入为元，比前年增长了，前年这个镇居民人均可支配收入为元； (4)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，问快马几天可以追上慢马．可设快马天可以追上慢马． 题型5.判断是否是方程的解 1．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 2．代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值，则关于x的方程的解是______． x 0 1 0 4 8 3．检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解： (1)； (2)． 题型6.已知方程的解，求参数 1．若关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B． C． D．9 2．已知是方程的解，那么______． 3．已知关于的方程的解是，求的值． 题型7.判断是否是一元一次方程 1．下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 3．在一次数学活动课上，小军对小明说：我手中有四张卡片，它们上面分别写有9，，，．小明说：我用等号将这四张卡片中的任意两张卡片上的数或式子连接起来，就会得到等式或一元一次方程． 根据以上对话，回答下列问题： (1)小明一共能写出几个等式？ (2)在他写的这些等式中，有几个一元一次方程？请写出这几个一元一次方程． 题型8.判断是否是一元一次方程解 1．下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程是一元一次方程，则多项式：的值是_________． 3．，，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 题型9.解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 1．方程的解是（     ） A． B． C． D． 2．在方程中，，则的值是_________． 3．解方程： 题型10.解一元一次方程（二）——去括号 1．已知某运算中，，若，则N等于(    ) A．6 B．5 C．4 D．3 2．方程：的解为______． 3．解方程：． 题型11.解一元一次方程（三）——去分母 1．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 2．若代数式与的值相等，则x的值是________． 3．解方程：． 题型12.已知一元一次方程的解，求参数 1．若关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 2．关于x的方程的解是，则______． 3．已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求a的值． 题型13.一元一次方程解的关系 1．若方程和方程的解相同，则a的值是（    ） A．7 B．5 C．3 D．0 2．已知关于的方程的解为负整数，则整数的所有可能取值的和为___________． 3．已知关于x的方程与的解互为相反数，求m的值以及两个方程的解． 题型14.绝对值方程 1．如果，那么（     ） A． B． C． D． 2．若，则______． 3．解下列方程： (1)； (2)． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 2．运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．是（     ）方程的解． A． B． C． D． 4．下列式子中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 5．下列方程变形正确的是（     ） A．，移项得 B．，去括号得 C．，去分母得 D．，系数化为1得 二、填空题 6．由“的2倍与3的和等于5”可列方程为_____． 7．写出一个关于y的一元一次方程，使它的解为，则这个方程可以是________．（写出一个即可） 8．已知方程和方程 有相同的解，那么的值是______． 9．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 10．（1）若，则______，_______ （2）若，，且，则___________ 三、解答题 11．一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． (1)设宽为，请列出关于x的方程． (2)说明是该方程的解，而不是它的解． 12．解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)； (9) 13．已知关于x的方程的解比关于y的方程的解小，求a的值． 14．按要求解答问题： (1)解方程：； (2)若关于x的方程与的解之和为1，求m的值． 15．阅读与探究： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 例：解方程． 思路一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，去掉绝对值． 解：依题意得：或 解得：或． 思路二：分和两种情况进行分类讨论，去掉绝对值． 解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， 原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)已知关于x的方程的解为正整数，求整数a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $