第1章 二次函数 单元测试 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 浙教版九年级上册二次函数单元卷，90分钟100分，覆盖全章知识，基础与应用结合，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/30|二次函数定义（1）、图像性质（2）、判别式（4）|基础概念辨析，强化符号意识| |填空题|4/20|对称轴顶点（7）、解析式求解（8）、面积最值（10）|核心技能应用，提升几何直观| |解答题|4/50|配方与性质（11）、利润模型（13）、图像几何综合（14）|综合问题设计，培养推理能力与模型意识|

浙教版九年级上册 第1章 二次函数 单元测试卷 【考试时间】90分钟　　【满分】100分　　【命题范围】浙教版九年级上册第1章 二次函数（全章） 班级：____________　　姓名：____________　　得分：____________ 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。每小题只有一个正确选项） 1. 下列函数中，y 是 x 的二次函数的是（ ） A. y = 3x + 1 B. y = 1/x² C. y = x² - 2x + 1 D. y = (x + 1)² - x² 2. 抛物线 y = -2(x + 1)² - 3 的开口方向和顶点坐标分别是（ ） A. 开口向上，顶点 (1, -3) B. 开口向上，顶点 (-1, 3) C. 开口向下，顶点 (-1, -3) D. 开口向下，顶点 (1, 3) 3. 将二次函数 y = x² - 4x + 7 化为 y = a(x - h)² + k 的形式，正确的是（ ） A. y = (x - 2)² + 3 B. y = (x + 2)² + 3 C. y = (x - 2)² + 11 D. y = (x - 4)² + 7 4. 二次函数 y = ax² + bx + c 的图像与 x 轴有两个交点，则 b² - 4ac 满足（ ） A. b² - 4ac = 0 B. b² - 4ac > 0 C. b² - 4ac < 0 D. 无法确定 5. 若点 A(-3, y₁)、B(0, y₂)、C(5, y₃) 均在抛物线 y = (x - 2)² - 3 上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（ ） A. y₁ < y₂ < y₃ B. y₃ < y₁ < y₂ C. y₂ < y₃ < y₁ D. y₂ < y₁ < y₃ 6. 某商品进价为每件 30 元，售价为 x 元时，每天的销售量为 (90 - x) 件。要使每天的利润最大，售价应定为（ ） A. 45 元 B. 50 元 C. 55 元 D. 60 元 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 7. 二次函数 y = 2x² - 8x + 5 的对称轴为 __________，顶点坐标为 __________。 8. 已知抛物线经过 A(-1, 0)、B(3, 0)、C(0, -3) 三点，则该抛物线的解析式为 y = __________（用一般式表示）。 9. 若二次函数 y = kx² - 4x + 2 的图像与 x 轴只有一个交点，则 k 的值为 __________。 10. 用一段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃（墙长 20 m），花圃的最大面积为 __________ m²。 三、解答题（本大题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 11. （10分）已知二次函数 y = -2x² + 8x - 5。 （1）用配方法将该函数化为 y = a(x - h)² + k 的形式；（3分） （2）写出该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（3分） （3）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？当 x 取何值时，y 有最大值？最大值是多少？（4分） 12. （12分）已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图像经过点 (0, 3)、(1, 0)、(3, 0)。 （1）求 a、b、c 的值，并写出该二次函数的表达式；（4分） （2）求该二次函数图像的顶点坐标，并说明函数的最值情况；（4分） （3）若将该函数图像先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，求平移后的函数表达式。（4分） 13. （14分）某工厂生产一种产品，每件成本为 20 元。经市场调查发现： 该产品在未来 40 天内，日销售量 m（件）与时间 t（天）满足 m = -2t + 100（1 ≤ t ≤ 40，t 为整数）； 日销售价格 p（元/件）与时间 t（天）满足 p = t + 30（1 ≤ t ≤ 40，t 为整数）。 （1）写出日销售利润 W（元）关于时间 t（天）的函数表达式；（4分） （2）在未来的 40 天中，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（5分） （3）在实际销售的前 20 天中，该工厂决定每售出一件产品就向公益机构捐赠 2 元。求前 20 天中，扣除捐赠后日利润最大的那一天，以及最大利润。（5分） 14. （14分）如图，抛物线 y = x² - 2x - 3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C。 （1）求 A、B、C 三点的坐标；（3分） （2）求 △ABC 的面积；（3分） （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使 △PBC 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4分） （4）若点 M 为抛物线上一动点，且 △ABM 的面积为 6，求点 M 的坐标。（4分） 【解答区】 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题5分，共30分） 1. C 解析：A 是一次函数；B 不是整式；C 是二次函数（a = 1 ≠ 0）；D 展开为 y = 2x + 1，是一次函数。 2. C 解析：y = -2(x + 1)² - 3，a = -2 < 0 ∴ 开口向下；顶点为 (-1, -3)。 3. A 解析：y = x² - 4x + 7 = (x² - 4x + 4) - 4 + 7 = (x - 2)² + 3。 4. B 解析：二次函数图像与 x 轴有两个交点 ⇔ ax² + bx + c = 0 有两个不等实根 ⇔ △ = b² - 4ac > 0。 5. C 解析：y = (x - 2)² - 3，对称轴 x = 2，开口向上。|-3 - 2| = 5，|0 - 2| = 2，|5 - 2| = 3。离对称轴越远 y 越大。y₁ = (-3-2)² - 3 = 22，y₂ = (0-2)² - 3 = 1，y₃ = (5-2)² - 3 = 6。∴ y₂ < y₃ < y₁。 6. D 解析：利润 W = (x - 30)(90 - x) = -x² + 120x - 2700 = -(x - 60)² + 900。当 x = 60 时利润最大。 二、填空题（每小题5分，共20分） 7. 直线 x = 2；(2, -3) 解析：y = 2x² - 8x + 5 = 2(x² - 4x) + 5 = 2(x - 2)² - 8 + 5 = 2(x - 2)² - 3。对称轴 x = 2，顶点 (2, -3)。 8. y = x² - 2x - 3 解析：抛物线与 x 轴交于 -1 和 3，设 y = a(x + 1)(x - 3)。代入 C(0, -3)：-3 = a×1×(-3) → a = 1。∴ y = (x + 1)(x - 3) = x² - 2x - 3。 9. k = 2 解析：图像与 x 轴只有一个交点 → △ = 0。△ = (-4)² - 4k×2 = 16 - 8k = 0 → k = 2。且 k ≠ 0（保证是二次函数）。 10. 162 解析：设与墙垂直的边长为 x m，则平行墙的边长为 (36 - 2x) m。S = x(36 - 2x) = -2x² + 36x = -2(x - 9)² + 162。当 x = 9 时，平行边 = 18 ≤ 20，满足条件。∴ S_max = 162 m²。 三、解答题（共50分） 11. 解： （1）y = -2x² + 8x - 5 = -2(x² - 4x) - 5 = -2(x - 2)² + 8 - 5 = -2(x - 2)² + 3。（3分） （2）a = -2 < 0，∴ 开口向下；顶点坐标为 (2, 3)；对称轴为直线 x = 2。（3分） （3）∵ 开口向下，∴ 在对称轴左侧 y 随 x 增大而增大，即当 x < 2 时，y 随 x 的增大而增大。（2分） 当 x = 2 时，y 有最大值，最大值为 3。（2分） 12. 解： （1）∵ 图像经过 (1, 0) 和 (3, 0)，∴ 设解析式为 y = a(x - 1)(x - 3)。（1分） 代入 (0, 3)：3 = a(-1)(-3) = 3a → a = 1。（1分） ∴ y = (x - 1)(x - 3) = x² - 4x + 3。（1分） 即 a = 1，b = -4，c = 3。（1分） （2）y = x² - 4x + 3 = (x - 2)² - 1，顶点 (2, -1)。（2分） a = 1 > 0，开口向上，∴ 当 x = 2 时，y 有最小值 -1。（2分） （3）向右平移 1 个单位：y = (x - 1 - 2)² - 1 = (x - 3)² - 1；（2分） 再向下平移 2 个单位：y = (x - 3)² - 1 - 2 = (x - 3)² - 3。（2分） 13. 解： （1）W = (p - 20) × m = (t + 30 - 20)(-2t + 100) = (t + 10)(-2t + 100)（2分） = -2t² + 100t - 20t + 1000 = -2t² + 80t + 1000（1 ≤ t ≤ 40，t 为整数）。（2分） （2）W = -2t² + 80t + 1000 = -2(t² - 40t) + 1000 = -2(t - 20)² + 800 + 1000 = -2(t - 20)² + 1800。（2分） ∵ a = -2 < 0，开口向下，∴ 当 t = 20 时 W 最大。（1分） W_max = -2(20 - 20)² + 1800 = 1800 元。（1分） 答：第 20 天日销售利润最大，最大利润为 1800 元。（1分） （3）前 20 天中，扣除捐赠后：W' = (t + 10 - 2)(-2t + 100) = (t + 8)(-2t + 100)（1分） = -2t² + 100t - 16t + 800 = -2t² + 84t + 800（1 ≤ t ≤ 20，t 为整数）。（1分） W' = -2(t² - 42t) + 800 = -2(t - 21)² + 882 + 800 = -2(t - 21)² + 1682。（1分） ∵ 对称轴 t = 21，开口向下，且 1 ≤ t ≤ 20 在对称轴左侧，函数递增。（1分） ∴ 当 t = 20 时，W' 最大。W'_max = -2(20-21)² + 1682 = -2 + 1682 = 1680 元。（1分） 答：前 20 天中，第 20 天的利润最大，最大利润为 1680 元。 14. 解： （1）令 y = 0：x² - 2x - 3 = 0 → (x - 3)(x + 1) = 0 → x₁ = -1，x₂ = 3。（1分） ∵ 点 A 在点 B 左侧，∴ A(-1, 0)，B(3, 0)。（1分） 令 x = 0：y = -3，∴ C(0, -3)。（1分） （2）|AB| = 3 - (-1) = 4，点 C 到 AB 的距离为 | -3 | = 3。 S_{△ABC} = ½ × 4 × 3 = 6。（3分） （3）对称轴：x = -(-2)/(2×1) = 1。P 在对称轴 x = 1 上，设 P(1, p)。（1分） △PBC 的周长 = PB + PC + BC。BC 为定值，要使周长最小，只需 PB + PC 最小。 B 关于对称轴 x = 1 的对称点为 B'(-1, 0) = A。∴ PB + PC = PB' + PC。 当 P、B'、C 三点共线时，PB' + PC 最小。（2分） 直线 B'C（即直线 AC）：过 A(-1, 0) 和 C(0, -3)，斜率 k = (-3-0)/(0+1) = -3。 方程：y = -3x - 3。当 x = 1 时，y = -3 × 1 - 3 = -6。∴ P(1, -6)。（1分） （4）|AB| = 4，设 M 的坐标为 (m, m² - 2m - 3)。 S_{△ABM} = ½ × |AB| × |y_M| = ½ × 4 × |m² - 2m - 3| = 6。（2分） ∴ |m² - 2m - 3| = 3。 当 m² - 2m - 3 = 3 时：m² - 2m - 6 = 0 → m = 1 ± √7。 当 m² - 2m - 3 = -3 时：m² - 2m = 0 → m = 0 或 m = 2。（1分） ∴ M₁(1 + √7, 3)，M₂(1 - √7, 3)，M₃(0, -3)，M₄(2, -3)。（1分） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $