第1章 二次函数 单元测试卷 2026-2027学年 浙教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元测试卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三梯度设计，融合停车棚、喷泉等生活情境与跳长绳方案设计等综合实践，全面考查二次函数概念、图像性质及应用，适配单元复习，培养数学抽象、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|顶点坐标、图像平移、象限分布|接力游戏纠错（第4题）考查过程性思维| |填空题|6/24|最值、与x轴交点、新定义“开口大小”|青稞穗长最佳近似值（第14题）体现数据意识| |解答题|8/66|解析式求解、实际应用（喷泉/跳长绳）|跳长绳方案设计（第22题）融合数学建模与实践操作|

第1章 二次函数 单元测试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2． 已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（　　） A． B． C． D．无法确定 3．把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 4．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A．只有甲 B．丙和丁 C．甲和丁 D．乙和丙 5．已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 6．如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数在正常水位时水面宽AB=30m，当水位上升5m时，水面宽CD=（　　） A．8m B．10m C．15m D．20m 7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y＞n时，x的取值范围是m-4＜x＜2-m，且该二次函数的图象经过点P（2，t2+5），Q（s，4t）两点，则s的值可能是（　　） A．3 B．2 C．0 D．1 8．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，以下结论正确的是（　　） … -1 0 1 2 3 … … 3 0 -1 3 … A．抛物线的开口向下 B．当时，随增大而增大 C．当时，的取值范围是 D．方程的根为0和2 9．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为(　　) ​​ A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，根据图象判断以下结论：①abc2＞0；②＜b＜2；③若﹣bx1＝﹣bx2且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2；④直线y＝﹣cx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的一个交点（m，n）（m≠0），则m＝．其中正确的结论是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．二次函数 的最大值是　 　． 12．已知抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点，则m=　 　. 13．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 　 　完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 14．在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据a1，a2，…，an，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：cm），则这株青稞穗长的最佳近似值为　 　cm． 15．对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为　 　． 16．如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点，则的值为　 　． 三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题6分，第23题8分，第24题12分，共66分） 17．已知二次函数的顶点坐标为(3,－1),且其图象经过点(4,1),求此二次函数的解析式. 18．已知一次函数和二次函数，下表给出了与自变量的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 5 4 3 2 1 0 … … 0 3 4 3 0 … （1）求的解析式； （2）直接写出关于的不等式的解集． 19．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） （1）求缆索所在抛物线的函数表达式； （2）点E在缆索上，，且，，求的长． 20．花坛水池中央有一喷泉，水管，水从喷头C喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，为增强欣赏效果，喷头C不定时自动升降，上下升降的范围是．建立如图所示的平面直角坐标系，水的落地点B距水池中央的水平距离为，水流所形成的抛物线L：的最高点距离水面4m． （1）求a，n的值以及抛物线的顶点坐标； （2）升降喷头C时，水流所形成的抛物线形状不变．某一时刻，身高1.65m的小丽同学，恰好站在距花坛中心水管2m的位置，则喷头C在升降过程中，水流是否会打湿小丽的头发？ 21．【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也服务于生活． 【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设． 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将这棵古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）． 【解决问题】思路：把矩形的面积与边长（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可． （1）请用含有的代数式表示的长； （2）花园的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由： （3）求面积与的函数解析式，写出的取值范围：并求当为何值时，花园面积最大？ 22． 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为6m，绳子最高点为2m，摇绳同学的出手高度均为1m，如图2； （2）9名跳绳同学身高如右表． ​身高（m） 1.70 1.73 1.75 1.80 人数 2 2 4 1 ​ 素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在0.25m及以下较为舒适； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的 19 20 ． ​ 问题解决 任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． 任务2：确定排列方案．该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持0.45m的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． 任务3：方案优化改进．据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整．班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85m.此时中段长绳将贴地形成一条线段（x线段AB），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4． 请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题． 23． 如图，△ABC中，，，，，反比例函数的图象与AB交于点，与BC交于点E． （1）求m，k的值； （2）点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 24．如图，将抛物线沿直线向左上方平移，平移后的抛物线记为，直到其顶点D与原点重合时平移停止． （1）若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），求出A、B两点的坐标； （2）设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，设其顶点D的横坐标为m． ①用含m的式子表示顶点D的坐标； ②当点C与原点的距离最大时，求抛物线的解析式； （3）在抛物线的平移过程中，直线与抛物线交于点M，N，与抛物线交于点P，Q．当抛物线在平移停止后，若的值是整数，请直接写出n的最大值． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：=（x+1）2+2， ∴顶点坐标为（-1，2）. 故答案为：D. 【分析】先把抛物线解析式化为顶点式，即得顶点坐标. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵是关于x的二次函数，其图象经过， ∴， 解得：a=-1， 故答案为：C. 【分析】利用二次函数的定义及二次函数图象上点的特征列出，再求出a的值即可. 3．【答案】D 【解析】【解答】解： 把抛物线向左平移1个单位， 得到， 然后向上平移3个单位得到，即 故答案为：D. 【分析】根据二次函数的集合变换规律“上加下减，左加右减”规律进行变换即可求解. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：甲：y=2x2+8x+4=2(x2+4x+2)，故甲负责的一步出现错误； 丁：y=(x+2)2-2的顶点为（-2，-2)，故丁负责的一步出现错误； 故自己负责的一步出现错误的是：甲和丁. 故答案为：C. 【分析】根据二次函数的解析式变形为顶点式，即可求得. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1的图象经过第一、二、四象限， ∴ 解得. ∴a的取值范围为. 故答案为：A. 【分析】根据函数图象经过的象限，结合函数的图象与系数的关系可得对称轴直线在y轴的右侧，抛物线与x轴有两个不同的交点，抛物线与y轴的交点在原点或正半轴，据此建立出关于字母a的不等式组，求解得出a的取值范围. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：∵米， ∴当 时， 当水位上升5米时， 把 代入 得： 解得 此时水面宽：CD=20米 ， 故答案为： 20. 【分析】利用对称性确定点B的横坐标为15，把x=15代入抛物线求出点B的纵坐标，再结合题意求出点D的纵坐标，代入解析式求出点D的横坐标即可。 7．【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意作出如下图形： ∴对称轴为， ∵ y>n时，x的取值范围是 ∴a<0，开口向下. ∵， ∴与点Q相比，点P更靠近对称轴， ∴2-（-1）<|s-（-1）|，整理可得|s+1|>3， ∴s+1≥0时，s+1>3， 解得：s>2， 当s+1<0时，-（s+1）>3， 解得：s<-4， 综上，s>2或s<-4， 故答案为：A. 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用点到对称轴的距离越近，函数值越大，可得2-（-1）<|s-（-1）|，整理可得|s+1|>3，求出s的取值范围为s>2或s<-4，再求解即可. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：由表格可知：和的函数值相同，均为， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∴和的函数值相等，即：， 根据五点作图法，得到二次函数的图象如下： 由图可知： 抛物线开口向上，故选项A错误，不符合题意； 时，随值的增大而减小，时，随值的增大而增大，故选项B错误，不符合题意； 当时，x的取值范围是或，故选项C错误，不符合题意； 抛物线与轴交于，， ∴方程的根为和；故选项正确，符合题意； 故答案为：D． 【分析】根据表格确定对称轴的位置，进而求出的值，画出二次函数的图象，利用数形结合的思想，进行判断即可． 9．【答案】C 【解析】【解答】解：根据已知二次函数的图象，抛物线开口向下，则可知a＜0；由抛物线对称轴在y轴右侧，则对称轴为直线，∴b＞0. A、一次函数过一、二、三象限，a＞0，b＞0，A错误； B、一次函数过一、三、四象限，a＞0，b＜0，B错误； C、一次函数过一、二、四象限，a＜0，b＞0，C正确； D、一次函数过二、三、四象限，a＜0，b＜0，D错误； 故答案为：C. 【分析】本题考查了二次函数系数与图象的关系以及一次函数与二次函数的图象的综合判断，通过分析二次函数图象得到a，b的符号是解题关键。 10．【答案】A 【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（﹣3，0），B（1，0）， ∴可设y=a(x+3)(x-1)，即y=ax2+2ax-3a， ∴b=2a，c=-3a， ∴ abc2=a·2a·(-3a)2=18a4＞0，故①正确； 抛物线y=ax2+2ax-3a与y轴的交点为C（0，-3a）， ∵ 点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间， ∴-3＜-3a＜-2，即＜2a＜2， ∴＜b＜2，故②正确； ∵﹣bx1＝﹣bx2， ∴﹣2ax1＝﹣2ax2，则﹣2x1＝﹣2x2， ∴--2（x1-x2）=（x1-x2）（x1+x2-2）=0， ∵ x1≠x2， ∴x1+x2=2，故③错误； 直线y＝﹣cx+c与抛物线y＝ax2+bx+c，令y相等， 则﹣cx+c=ax2+bx+c， ∴ax-3a=ax2+2ax-3a， 解得x=或0（舍）， ∴m=，故④正确. 故答案为：A. 【分析】由抛物线与y轴的交点，可设y=a(x+3)(x-1)=ax2+2ax-3a，可得b=2a，c=-3a，代入①计算即可判断；由点C（0，-3a）的纵坐标在﹣3～﹣2之间， 可得-3＜-3a＜-2，据此求出b的范围即可判断②；把b=2a代入﹣bx1＝﹣bx2中，利用因式分解可得（x1-x2）（x1+x2-2）=0，据从可求出x1+x2-2=0，据此判断③；令y相等，可得﹣cx+c=ax2+bx+c，把b=2a，c=-3a代入方程并解方程，即得m值，据此判断④. 11．【答案】8 【解析】【解答】∵ ， ∴ 有最大值， 当 时， 有最大值8． 故答案为8． 【分析】二次函数的顶点式 在x=h时有最值，a>0时有最小值，a<0时有最大值，题中函数 ，故其在 时有最大值. 12．【答案】9 【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点 ， ∴△=（-6）2-4m=0， 解得m=9. 故答案为：9. 【分析】由抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点 ，可得△=0，据此解答即可. 13．【答案】能 【解析】【解答】解：∵B（6，2.68）， ∴OD=6， ∵CD=4米， ∴OC=OD-CD=2米， 在y＝-0.02x2+0.3x+1.6中，当x=2时，y=-0.02×22+0.3×2+1.6=2.12， ∵2.12＞1.8， 故可判定货车能完全停到车棚内. 故答案为：能. 【分析】先根据题意求出OC=2的值，从而将x=2代入函数解析式求出函数值，再与车的高度比较大小进行判断. 14．【答案】6.1 【解析】【解答】解：由题意得a与各个测量数据的差的平方和 ， ∵5＞0， ∴当时，存在最小值， 青稞穗长的最佳近似长度为， 故答案为：． 【分析】先根据题意写出a与各个测量数据的差的平方和，进而根据二次函数的最值结合题意即可求解. 15．【答案】4 【解析】【解答】解：∵ ∴ m=，k= 根据题意，设点P（x， ） ∴ 解得：x=或x=（不合题意，舍去） ∴ 开口大小==4 故答案为：4 【分析】本题考查二次函数顶点坐标，解一元二次方程及新定义，熟悉求二次函数的顶点坐标方法，解一元二次方程的方法等知识，是解题关键。根据配方法或者顶点公式求出顶点坐标，即m，k的值，再根据满足的条件，解出方程的根，可得点P的横坐标，根据开口大小公式求解即可。 16．【答案】 【解析】【解答】由AiBi垂直于x轴.故Ai、Bi横坐标都为i，由此可知Ai(i，i2)，Bi(i，-i)，AiBi=i2+i，故=，于是=， 故答案为： 【分析】由A和B的纵坐标求AB长度的表达式，通过裂项进行求和. 17．【答案】解：设此二次函数的解析式为y=a（x-3）2-1； ∵二次函数图象经过点（4，1）， ∴a（4-3）2-1=1， ∴a=2， ∴y=2（x-3）2-1。 【解析】【分析】已知了二次函数的顶点坐标，可用二次函数的顶点式来设抛物线的解析式，再将抛物线上点（4，1）代入，即可求出抛物线的解析式。 18．【答案】（1）解：根据题意，设该二次函数的解析式为． 当时，， ． ． （2）解： 【解析】【分析】（1）根据表格设该二次函数的解析式为，利用待定系数法求得a的值，即可求解； （2）直接根据表格数据即可求解； 19．【答案】（1）解：∵OC=100， 由对称可知，OD=CD=50， 又∵PD=2， 设 缆索所在抛物线的函数表达为，经过点A(0，17)， ∴，解得：. ∴缆索所在抛物线的函数表达为； （2）解： ∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴L2为， 当EF=2.6时，即y=2.6时，，解得x=-40或x=-60， 此时E未达到最低点，故x=-40， ∴的长为． 【解析】【分析】（1）根据已知条件设抛物线解析式为顶点式，代入点A解出抛物线表达式； （2）利用函数关于y轴对称得出所在抛物线解析式，代入EF=2.6解出OF长即可. 20．【答案】（1）解：y=mx2-2mx+3=m（x-1）2+3-m， ∵y=mx2-2mx+3的最高点距离水面4m， ∴3-m=4， 解得：m=-1， ∴y=-（x-1）2+4， ∴当顶点坐标（1，4）， 当y=0时， 即0=-（x-1）2+4， 解得：x1=3，x2=-1（舍）， ∴n=3， 综上所述：m=-1，n=3，顶点坐标为（1，4）. （2）解：当x=2时，y=-（2-1）2+4=3， 3-1.2=1.8（m）， ∵1.8m＞1.65m， ∴当喷头C在升降过程中，水流是不会打湿小丽的头发. 【解析】【分析】（1）先将抛物线写成顶点式，根据已知题意可知3-m=4，即可求出m值，根据顶点坐标得出抛物线的解析式，再将y=0代入解析式，即可求出n的值； （2）将x=2代入解析式中即可得出y=3中，再算出当喷头C在最低位置时，当x=2对应的纵坐标为3-1.2=1.8m，即可求解. 21．【答案】（1）由题意，， （2），则， 解得：或 ，， 花园的面积可等于，此时的值为 （3）． 点与的距离分别是和， ， 面积与的函数解析式为： ，抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，取到最大值， 即当时，花园面积最大，最大值为 【解析】【分析】（1）利用线段的和差求出BC的长即可； （2）根据“ 花园的面积能否为 ”列出方程求出x的值再判断即可； （3）根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可. 22．【答案】解：任务1： 以两个摇绳人的中点所在直线与地面的交点为原点，地面所在直线为轴，建立直角坐标系，如图： 由已知可得，在抛物线上，且抛物线顶点的坐标为， 设抛物线解析式为， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为： 任务2：∵抛物线的对称轴为直线，名同学，以轴为对称轴，分布在对称轴两侧，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，则最右边侧的同学的坐标为即， 当时， 按照排列方式可知最右（左）侧同学屈膝后身高： ∴当绳子在最高点时，长绳不会触碰到位于最边侧的同学； 任务3：∵当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线． 设开口向上的抛物线解析式为，对称轴为直线，则的顶点坐标为， ∵，的开口大小不变，开口方向相反， ∴当绳子摇至最低处时，抛物线的解析式为： ∵将出手高度降低至． ∴抛物线向下平移 ∴改变方案后的抛物线解析式为 将，代入 因此，方案可行 【解析】【分析】（1）观察图形分析抛物线经过原点，以及与y轴的交点的坐标为（0，2），设抛物线解析式为，根据抛物线两边对称，可知在抛物线上，即可求出a的值，从而知道抛物线的解析式. （2）将最右边同学的坐标代入抛物线解析式中求得最右侧同学的y值，根据保持0.45m的距离，将左侧身高乘1.7和所求最右侧同学y值比较即可求出长绳会不会碰到最左侧同学了. （3）根据两个y的开口方向开口大小即可求出y2的抛物线解析式，根据对称轴为直线y=1，可求出抛物线向下平移距离，从而求出改变方案后的抛物线，将x和y值代入即可判断方案的可行度. 23．【答案】（1）解：，，． 又，． ，点． 设直线AB的函数表达式为， 将，代入，得 ∴直线AB的函数表达式为． 将点代入，得． ． 将代入，得． （2）解：延长NP交y轴于点Q，交AB于点L． ，，． 轴，，． ，，，． 设点P的坐标为，，则，． ． ． 当时，有最大值，此时． 【解析】【分析】（1）在已知条件点A、C的基础上得出B点坐标，为求出D点横坐标m，可以利用函数解析式代入求出，后代入反比例函数中求得k； （2）由，故目标△PMN的面积，可设点P表示N，以PN为底进一步表示其高即可，其次结合PM∥AB，即可利用45°直角三角形将其高进行代数表示，最后目标面积利用代数式的非负性或二次函数的角度表示得出其最大值. 24．【答案】（1）对于抛物线， 令，得，解得或． ∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为，点B的坐标为． （2）①∵抛物线， 可得顶点，且顶点在直线上． 又∵抛物线为抛物线沿直线l向左上方平移得到， ∴其顶点D也在直线l上， 将横坐标为m代入，得， ∴顶点D的坐标为． ②由①可得在平移过程中抛物线的解析式为， 当时，， ∵，∴当时，有最小值， 此时点C与原点的距离最大， 此时抛物线的解析式为． （3） 【解析】【解答】（3） 当抛物线在平移停止时 C2：y=x2 ∵ 直线与抛物线交于点M，N ∴x2=n 解得： ∴ ∵ 直线与与抛物线交于点P，Q ∴x2-4x-n=0 解得 ∴ ∴ ∵的值是整数 ∴ ∴ k的最小值为2 ∴ 故答案为： 【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0，代入解析式中，即可； （2）①因为点D在直线，已知顶点D的横坐标为m，即可求得点D的坐标； ②根据①求得的D的坐标，可得抛物线的解析式为，C是C2与y轴的交点，可得，当m=1时，yc最大，所以C的坐标为（0，-1），即可求出C2解析式； （3）根据 直线与抛物线交于点M，N，与抛物线交于点P，Q ，可以用n表示出MN和PQ，，，所以为整数，所以，即可得到n的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $