12.4.2 线段垂直平分线 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“线段垂直平分线”，系统呈现性质定理与逆定理，通过“线段是否为轴对称图形”的问题及对折操作导入，经证明得出性质定理后，以“反过来会有什么结果”引导探究逆命题，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合几何直观与推理能力，通过对折观察发现PA=PB培养数学眼光，用两种证明方法（作垂线、作中点）发展数学思维，以规范几何语言表述定理强化数学语言。结合例1求AC长、尺规作图探究三角形三边垂直平分线交点等实例，助力学生理解知识，教师可提升教学效率。

第十二章 全等三角形 12.4 逆命题和逆定理 12.4.2 线段垂直平分线 如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，你发现了什么？ M N P A C B 对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB. 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 你能给出PA=PB的证明吗？ A B M N P A C B 已知：如图，MN丄AB，垂足为点C，AC = BC，点P是直线MN上的任意一点.求证：PA=PB. 证明：∵MN ⊥AB, ∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义). 在△ACP和△BCP中, ∵AC=BC,∠ACP=∠BCP,PC=PC, ∴△ACP≌△BCP(SAS). ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). M N P A C B 几何语言: ∵ 点P在线段AB的垂直平分线上 （或PC⊥AB，AC=BC）， ∴ PA=PB. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理： 例1、如图，在△ABC 中，AB=5 cm，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，△ACD的周长为8 cm，求线段AC的长. 这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在线段的垂直平分线上 这个点到线段两端的距离相等 一个点到线段两端的距离相等 这个点在线段的垂直平分线上 想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？ 已知： 如图，QA＝QB.求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 分析： 思路1：作垂线，证中点； 思路2：作中线，证垂直． 逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上. 证明： 如图，过点Q作MN⊥AB，垂足为点C， ∵ QA=QB，QC⊥AB， ∴ AC=BC（等腰三角形的三线合一性）. ∴ 点Q在线段AB的垂直平分线上． 已知： 如图，QA＝QB.求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 你能写出后一种添加辅助线的证明过程吗？ 如图，作AB边的中点C，连结QC， ∵ QA = QB ,CA = CB，， ∴ QC ⊥ AB（等腰三角形的三线合一性）. ∴ 点Q在线段AB的垂直平分线上． 几何语言： ∵ PA＝PB， ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 上述两条定理互为逆定理. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，说说你在操作后的发现. 怎样证明这个结论呢? 发现： 三角形三边的垂直平分线交于一点O． 这一点到三角形三个顶点的距离相等． A B C M N P Q E F 0 B C A P l n m l是AB的垂直平分线 m是BC的垂直平分线 PA=PB PA=PC PB=PC 点P在AC的垂直平分线n上 分析： 要证明三角形三边的垂直平分线交于一点，只要证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了. 其思路可表示如下： 证明： 如图，连结PA、PB、PC. ∵ 点P在AB，AC的垂直平分线上， ∴ PA=PB，PA=PC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. ∴ PB=PC. ∴点P在BC的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）. B A P l n m 1．关于线段的垂直平分线有以下说法： ①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点； ②线段的垂直平分线是一条直线； ③线段的垂直平分线是这条线段的对称轴． 其中正确的说法有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 C 2．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　　) A．AB＝AD　 B．CA平分∠BCD C．AB＝BD　 D．△BEC≌△DEC C 练1、 例2、如图，AB＝AC，MB＝MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ A B C D M 解： ∵ AB＝AC， ∴ 点A在线段BC的垂直平分线上． ∵ MB＝MC， ∴ 点M在线段BC的垂直平分线上， ∴直线AM是线段BC的垂直平分线． 性质定理： 垂直平分线上的点到 线段两端点的距离相等. 线段垂直 平分线 三角形三条 垂直平分线 交于内部一点 逆定理： 到线段两端点距离相等的点 在线段的垂直平分线上 互 逆 定 理 作业 1、如图，在△ABC中，∠A =30°，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D. 求证：点D在AB的垂直平分线上. 2、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE并延长AE交BC的延长线于点F.(1)求证：CF＝AD； (2)若AD＝2，AB＝8，当BC的长为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？ $