12.4.2 线段垂直平分线 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质与判定定理，通过对称图形测量实验导入，从对称知识过渡到垂直平分线概念，搭建从具体操作到抽象定理的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点是融合动手探究与逻辑推理，对折实验培养几何直观，性质与逆命题证明发展推理意识，三角形垂直平分线交点探究强化空间观念。学生能提升数学思维与应用能力，教师可借助完整结构高效开展教学。

12.4 逆命题和逆定理 第12章　全等三角形 2. 线段垂直平分线 导入新课 如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称．则点B关于直线MN的对称点是点____．我们连结BE，与直线MN相交于点H，量一量∠MHB的大小以及线段BH，EH的长度．你发现线段BE与直线MN有什么关系？ E 直线MN垂直于线段BE，且平分线段BE，我们说直线MN垂直平分线段BE，或者说直线MN是线段BE的垂直平分线． 探究新知 探究线段垂直平分线的性质定理和判定定理 知识模块一 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 如图，直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，P 是 MN 上任一点，连结 PA、PB. 将线段 AB 沿 直线 MN 对折，你发现了什么？如何 表达，并简述你的证明过程. 对折后 PA、PB 能够完全重合，PA = PB. M A B N C P 交流讨论 下面我们来证明刚才得到的结论： 证明： ∵MN ⊥AB（已知）， ∴∠ACP =∠BCP = 90° (垂直的定义). 在△ACP 和△BCP 中， ∵ AC = BC，∠ACP =∠BCP，PC = PC， ∴ △ACP≌△BCP (SAS). ∴PA = PB (全等三角形的对应边相等). M N P A C B 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理： 归纳总结 几何语言叙述： ∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 （或 PC⊥AB，AC = BC）， ∴ PA = PB. M N P A C B 这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在线段的垂直平分线上 这个点到线段两端的距离相等 一个点到线段两端的距离相等 这个点在线段的垂直平分线上 逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上. 已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上． 分析：为了证明点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上，可以先经过点 Q 作线段 AB 的垂线，然后证明该垂线平分线段 AB； 也可以先平分线段 AB，设线段 AB 的中点为点 C，然后证明 QC 垂直于线段 AB． 证明：过点 Q 作 MN⊥AB，垂足为点 C， ∵ QA = QB，QC⊥AB， ∴ AC = BC (等腰三角形的三线合一). ∴ 点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上. 已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上． 你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？ 线段垂直平分线的判定 定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 归纳总结 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. P A B 线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？ 发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等． 怎样证明这个结论呢? 试一试 点拨：要证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，只需证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了. B C A O l n m 试试看，你会写出证明过程吗？ l 是 AB 的垂直平分线 m 是 BC 的垂直平分线 OA = OB OB = OC OA = OC 点 O 在 AC的垂直平分线 n 上 其思路可表示如下： 证明：连接 PA，PB，PC. ∵ 点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上， ∴ PA = PB，PA = PC (线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等). ∴ PB = PC. ∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). B C A P l n m 运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题 知识模块二 例 已知：如图，在△ABC中，OM是AB的垂直平分线，OA＝OC，求证：点O在BC的垂直平分线上． 证明：连结OB. ∵OM是AB的垂直平分线， ∴OA＝OB． ∵OA＝OC， ∴OB＝OC. ∴点O在BC的垂直平分线上． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F. 求证：BE垂直平分CD. 练一练 证明：∵BD＝BC， ∴点B在CD的垂直平分线上，∠BCD＝∠BDC. ∵∠ACB＝90°＝∠BDE， ∴∠ACB－∠BCD＝∠BDE－∠BDC， 即∠ECD＝∠EDC. ∴ED＝EC. ∴点E在CD的垂直平分线上， ∴BE垂直平分CD. 线段的垂直平分的性质和判定 性质 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 判定 内容 作用 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 课堂小结 随堂检测 1.如图所示，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的是（　　　） A．AB 垂直平分 CD B ．CD 垂直平分 AB C．AB 与 CD 互相垂直平分 D．CD 平分∠ACB Ａ Ｂ Ｃ Ｄ A 2.已知线段 AB，在平面上找到三个点 D、E、F，使 DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点在组合共有　 　种. 无数 3.下列说法： ①若点 P、E 是线段 AB 的垂直平分线上两点， 则EA＝EB，PA＝PB； ②若 PA＝PB，EA＝EB，则直线 PE 垂直平分线段AB； ③若 PA＝PB，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的点； ④若 EA＝EB，则经过点 E 的直线垂直平分线段 AB． 其中正确的有 （填序号）. ① ② ③ 4.在锐角三角形 ABC 内一点 P，满足 PA = PB = PC，则点 P 是△ABC ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点 D 5.如图，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交交 AC 于 E，连接 BE，AB + BC = 16 cm，则△BCE 的周长是 cm. A B C D E 16 完成对应课时练习 作业布置 $