12.4 第3课时　角平分线 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

第12章　全等三角形 12.4　逆命题和逆定理 第3课时　角平分线 讲授新课 角平分线的性质定理 一 如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程. 对折后PD、PE完全重合，PD=PE. 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ D P A C B E O 下面我们来证明刚才得到的结论. 已知:OC平分∠AOB, P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB . 求证:PD=PE. 证明:∵OC平分∠AOB, P是OC上一点， ∴∠DOP=∠BOP. ∵PD⊥OA,PE⊥OB ， ∴∠ODP=∠OEP=90°. 在△OPD和△OPE 中， ∠DOP=∠EOP ,∠ODP=∠OEP ,OP=OP, ∴ △OPD≌△OPE (AAS). ∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）. D P A C B E O 由上面证明，我们得到角平分线的性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等． 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. D P A C B E O 这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来有什么结果呢？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ t条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在角的平分线上 这个点到这个角两边的距离相等 一个点到角两边的距离相等 这个点在这个角的平分线上 想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？ 角平分线性质定理的逆定理 二 逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平 分线上. 分析：为了证明点P在∠AOB的平分线上，可以先作射线OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠AOP=∠BOP. 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. B A D O P E 证明： 作射线OP， 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知）， ∵PD⊥OA,PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）. ∴∠AOP=∠BOP B A D O P E ∴点P在∠AOB的平分线上. 判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边距离相等. 定理的作用：判断点在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE， ∴点P 在∠AOB的平分线上. D P A C B E O 角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. A B C P 例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P也在∠A的平 分线上. N M 典例精析 证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC， PF⊥AC, 垂足分别为D、E、F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）, ∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 同理 PE=PF. ∴ PD=PF（等量代换）. ∴ 点P在∠A的平分线上. A B C P E D F M N 角平分线的性质及判定 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 课堂小结 判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 1.如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OB,PD=2,则点P到OA的距离是(　C　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图,∠AOB=70°,QC⊥OA于点C,QD⊥OB于点D. 若QC=QD,则∠AOQ的度数为 　35°　.  35°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以点A为圆心,适当长为半径画圆弧,分别交AC、AB于点M、N,再分别以点M、N为圆心,大于 MN的长为半径画圆弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D. 若CD=3,AB=10,则△ABD的面积是 　15　.  15　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于点P,过点P作PD⊥AC于点D,PH⊥BA交BA的延长线于点H,连结AP. 求证:AP平分∠HAD. (第4题答案) 解:如图,过点P作PF⊥BE于点F. ∵ BP平分∠ABC,PH⊥BA, PF⊥BE,∴ PH=PF. ∵ CP平分∠ACE,PD⊥AC,PF⊥CE,∴ PD=PF. ∴ PD=PH. 又∵ PH⊥AH,PD⊥AC,∴ AP平分∠HAD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 如图,AB∥CD,O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于点E. 若OE=2,则AB与CD之间的距离是(　B　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E. 若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足条件的点P(　D　) A. 有且只有1个 B. 有且只有2个 C. 组成∠BEC的平分线 D. 组成∠BEC的平分线所在的直线和与∠BEC的邻补角的平分线所在的直线(点E除外) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图,O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等(即OF=OD=OE),若∠BAC=70°,则∠BOC的度数为 　125°　.  125°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 如图,AD平分∠BAC,BD平分∠ABC,DE⊥AB,垂足为E. 若△ABC的周长为20cm,面积为40cm2,则DE的长为 　4cm　.  4cm　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图,在△ABC中,BD=CD,∠1=∠2.求证:AD平分∠BAC. (第9题答案) 解:如图,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. ∴ ∠BED=∠CFD=90°.在△BED和△CFD中, ∴ △BED≌△CFD(AAS).∴ DE=DF. 又∵ DE⊥AB,DF⊥AC,∴ AD平分∠BAC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 如图,D是∠EAF的平分线上一点,AC<AB. 若∠ACD+∠ABD=180°,求证:CD=BD. (第10题答案) 解:如图,过点D分别作AE、AF的垂线,垂足分别为M、N. ∴ ∠CMD=∠BND=90°.∵ AD是∠EAF的平分线,∴ DM=DN. ∵ ∠ACD+∠ABD=180°,∠ACD+∠MCD=180°, ∴ ∠MCD=∠NBD. 在△CDM和△BDN中, ∴ △CDM≌△BDN(AAS).∴CD=BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $