第22章 相似形全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 以“基础-核心”分层构建相似形题型体系，聚焦模型应用与动态问题，强化从概念到综合应用的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|4类高频题型|比例式变形技巧、平行线分线段成比例应用、相似判定与性质直接应用|从比例计算到相似判定，构建“概念-性质-应用”基础链条| |核心提升|5类重难题型|双垂直/一线三等角模型构造、动点相似分类讨论、位似坐标变换规律、实际问题建模|以模型为载体，衔接静态几何与动态问题，渗透数形结合思想|

第22章 相似形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 比例式变形与黄金分割计算 题型2 平行线分线段成比例 题型3 相似三角形的判定 题型4相似三角形性质计算 核心提升：重难题型归纳 题型1 双垂直模型 题型2一线三等角模型 题型3动点相似的存在性 题型4位似中心不在原点的坐标变换 题型5实际应用建模 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 比例式变形与黄金分割计算 1．若，则的值是________ ． 【答案】4 【详解】解：设， ∴， ∴． 2．如图，中国最大的室内卧佛位于甘肃省张掖市的大佛寺，又称卧佛寺，张掖大佛寺的卧佛是该寺的核心文物，具有极高的历史、艺术和宗教价值．现已知卧佛的肩宽身长，且肩宽为米，则卧佛的身长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】设卧佛的身长为米，根据肩宽与身长的比为，结合肩宽为米，列出比例式求解即可． 【详解】解：设卧佛的身长为米， 卧佛的肩宽身长，且肩宽为米， ， ， 解得， 即卧佛的身长为米． 3．中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与全长的比值为，结合图形判断出为较长线段，代入的长度进行计算即可． 【详解】解：点为线段的黄金分割点，且由图可知 为较长线段 ． ◆题型2 平行线分线段成比例 4．如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质及平行线分线段成比例定理，逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴， ∴，， 故选项B正确； ∵，， ∴， 故选项D正确； ∵，， ∴， ∴， 故选项C错误． 5．在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 【答案】B 【分析】利用时，或，逐一判断即可． 【详解】解：当时，或，由此可得： A：∵，， ∴， ∴，， ∴，故A错误； B：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴，故B正确； C：缺少或的长度，无法计算与的比值关系，无法判断，故C错误； D：由可知为中点，但仅凭无法确定点位置及比例关系，无法判断，故D错误； 6．如图，在中，，，点F在边上，连接． (1)若的面积为1，求四边形的面积； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得，结合，求出， 即可求解； （2）证明四边形是平行四边形，得出，根据平行线分线段成比例可得，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． ◆题型3 相似三角形的判定 7．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】，证明见详解 【分析】在网格中，利用勾股定理求出和的各条边长，计算，看比值是否相等即可判断与是否相似，利用两个三角形对应三边成比例判定即可证明结论． 【详解】相似，证明如下： 在中，； 在中，； ， 即， ． 【点睛】结合相似判定定理，在求两个三角形边的比值时，一定要根据图中两个三角形的边长，保证大边比大边、小边比小边计算． 8．如图，在中，平分交于点D，点E在边上，满足．连接交于点F，过点F作交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴，， 由（1）得，， ∴，， ； (3) 【分析】（1）根据平分得，由得，根据，得，再由三角形外角性质得，进而得，题目得证； （2）证明，，根据有两个角相等的两个三角形相似得，题目得证； （3）证明，即可得，由（1）得，进而得， 由，可得即可计算的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ， ， ， 又由（1）可得， ， 由（2）知， ． 9．如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）由，两边同时加，推得；结合已知边的比例关系，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证得； （2）由得对应角，结合对顶角，可证．根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ◆题型4相似三角形性质计算 10．如图，，，，则_______． 【答案】 【分析】由得到，再由证明，得到，所以，即可求出的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，且四边形的面积为， ∴， ∴． 11．已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______． 【答案】 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出两个三角形的相似比，即可得到周长之比． 【详解】解：，与的面积之比为， 与的相似比为， 相似三角形的周长比等于相似比， 与的周长之比为． 12．如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴，故A正确， ∴， ∴，，故B、C正确， ∴，故D错误． ◆题型5 双垂直模型 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【答案】 （1）∵，， ∴； （2） 【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出 （2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键． 2．如图，在中，于，求证：． 【答案】 证明：∵于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：证明，列出比例式即可求证． 【详解】略 3．如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键． （1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证； （2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． ◆题型6一线三等角模型 4．如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形的外角得到，即可得到，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 5．如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． 【详解】（1）∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 6．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；； （2）①证明：如图②，过点作，垂足为， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：；； 设，， 则，，， ∴， ∴， ② 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质，勾股定理，以及旋转的性质等知识点． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，； （2）同理（1）可得可求，，由此求出； （3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解． 【详解】解：（1）；； ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①略 ②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为， 同理可得：，；； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 ◆题型7动点相似的存在性 7．在中，，．点P从点A出发，沿向点C以每秒1个单位长度的速度移动；点Q从点C出发，沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．则经过______秒后，． 【答案】2.4 【分析】根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设经过t秒后，， ∵， ∴，即， 解得， 即经过2.4秒后，． 8．如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 根据题意得出，，易得，，分类讨论当时，利用相似三角形的性质得，解得；当时，，解得，综上所述，与相似，得的值． 【详解】解：由题意知，，， ，， 当时，， ，解得：； 当时，， ，解得：， 故答案为：或． 9．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． ◆题型8位似中心不在原点的坐标变换 10．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 【答案】 【分析】对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 11．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， (1)以原点为位似中心，在轴的左侧作，使它与的相似比为，点，，的对应点分别为，，； (2)与的面积比为________． (3)的面积是________． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) (3)14 【分析】（1）利用相似三角形的性质作图即可； （2）利用相似三角形的性质求解即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为； （3）解：的面积是． 12．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在所给网格中，以点为位似中心，画出的位似图形，使它与的相似比为； (2)画出以点为旋转中心，将绕点按逆时针旋转后得到的； (3)直接写出点移动到点所经过的路径的长为__________． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； (2)解：如图所示，即为所求； (3) 【分析】（1）画位似图形的步骤：先确定位似中心，连接位似中心与图形的每个顶点并延长，按位似比在射线上截取各点的对应点，依次连接各点； （2）确定旋转中心、旋转方向、旋转角度，按要求作图即可； （3）根据弧长公式即可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， 绕点按逆时针旋转后得到的， 点移动到点所经过的路径的长． 【点睛】注意确定位似比后一个图形有两个位似图形，一个在延长线上，一个在反向延长线上，本题要求在所给网格中，因此位似图形在延长线上． ◆题型9实际应用建模 13．如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 【答案】 【分析】先判断栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形，再列方程求解即可． 【详解】解：设长臂端点升高x米， 由题意可知，栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形， 则， 解得， 即长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是． 14．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 【答案】 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作，分别交标杆、树于点， 设树高为尺，由题意可知（尺），步，（步），尺， ∵标杆、大树均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 解得． 15．某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【分析】先证明，由此求得，进而求得；再证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为12米． 一、单选题 1．如图是小孔成像图，根据图中所示的尺寸，像的长是物长的（　　）    A． B．3倍 C． D．2倍 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 如图：先证明，再利用相似三角形的对应边成比例即可解答． 【详解】解：如图：过O作，，    ∵， ∴，， ∴，即． ∴像的长是物的长的． 故选A． 2．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似． D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似． 3．若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴设，， A．，故A正确； B．若，则无意义，故B错误； C．，，，故C错误； D．，故D错误． 4．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，， ∵的长度为， ∴. 5．如图，与交于点，且．若，则的面积与的面积之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴． 6．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，在正方形的边上有一动点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，连接，过点作于点，连接．若正方形的边长为3，且，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形求出和，由折叠对称性确定到的垂足的位置，发现，将到的距离转化为线段的长，通过线段减法直接求出高． 【详解】解：正方形的边长为，，， ，， 在中，， 将沿折叠得到， 为关于的对称点， 连接交于H，由轴对称图形的性质可知于， 在中，， ∴ ， ， ， 于， ， 正方形中， ， 又在中， ， 又 ， ， ， 即， 解得，， ，， ， 点到直线的距离等于到直线的距离， 在上，于， 到直线的距离为， 又 ，在、之间， ， ． 8．如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设，则，利用相似三角形得出线段比例关系，结合勾股定理和面积公式逐一判断结论. 【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，即，故②错误； ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ，解得， ， ， 在中，， ，故③正确； 在中，， ， ，， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有①③，共2个. 二、填空题 9．如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，在已经有公共角的前提下，再添一组角对应相等或者角的两边对应成比例即可． 【详解】解：添加条件，． ∵，， ∴． 故答案为：．（答案不唯一） 10．如图是一个三层实木阶梯花架，它的侧面可以抽象为图，已知最上层与中间层的垂直距离，中间层与最下层的垂直距离，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 11．如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得到，从而证得，利用相似三角形对应边成比例及已知线段比即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【答案】 【分析】证明，得出对应边成比例，求出相关线段即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 解得． 三、解答题 13．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)如图所示．    (2)如图所示．扫过的面积为 【分析】（1）先确定位似中心为，因为位似比为2，所以分别连接、、并延长，使对应线段长度变为原来的2倍，得到对应顶点、、，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质，确定旋转中心、旋转方向为顺时针、旋转角为，分别作出、、三点旋转后的对应点、、，顺次连接得到，因为扫过的面积是圆心角为，半径分别为、的两个扇形的面积差，所以先计算、的长度，再用扇形面积公式计算面积差． 【详解】（1）分别连接， 延长到使，延长到使，延长到使， 顺次连接，所以即为所求作的图形； （2）分别将点绕点顺时针旋转得到对应点，顺次连接得到即为所求作的图形； 根据勾股定理，结合网格可得：，， 线段旋转过程中扫过的图形是圆心角为的圆环，面积为大扇形面积减小扇形面积： ． 14．已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据等边三角形的性质得到，与已知的相等；再利用对顶角相等得到；最后根据两角分别相等的两个三角形相似，即可证得． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵（对顶角相等）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 15．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 16．已知：中，，F、G为、边上的点，且，． (1)求证：； (2)，，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵中，， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）利用垂直的定义得出，由同角的余角相等得出，即可证明． （2）设，，由含30度直角三角形的性质以及勾股定理分别得出，，，由相似三角形的性质得出，然后代入即可求出x的值． 【详解】（1）证明：略； （2）解：设，， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，即， 解得∶． 即． 17．如图，在中，平分交于点D，点E在边上，满足．连接交于点F，过点F作交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴，， 由（1）得，， ∴，， ； (3) 【分析】（1）根据平分得，由得，根据，得，再由三角形外角性质得，进而得，题目得证； （2）证明，，根据有两个角相等的两个三角形相似得，题目得证； （3）证明，即可得，由（1）得，进而得， 由，可得即可计算的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ， ， ， 又由（1）可得， ， 由（2）知， ． 18．【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． (1)如图1，在正方形中，，交于点G，则______（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交于点M，过点B作交于点 乙方案：过点E作交于点M，过点G作交于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明． 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合．若，，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，求的值． 【答案】(1)1 (2)证明：甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N； 四边形是矩形， ，，， 四边形均为平行四边形，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ； 乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O， 四边形是矩形， ，，， 四边形均为矩形， ， ， ，， ，， ， ， 又， ， ， ∴． (3)折痕的长为 (4)的值为 【分析】（1）证明，则，即可得到答案； （2）甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N；证明， ，，再证明，根据相似三角形的性质进行解答即可；乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O，证明，，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）由矩形的性质可得，，由勾股定理得，由（2）可知，，即可得到答案； （4）过点D作，交的延长线于，过点A作交EF于点，连接AC，过点F作于点，过点E作于点，证明，则，证明，最后证明 ，利用相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）略 （3）解：由矩形的性质可得，， 由勾股定理得， 由（2）可知，， ， ， 即折痕的长为； （4）解：如图4，过点D作，交的延长线于，过点A作于点，连接，过点F作于点，过点E作于点， ， ，， 四边形是矩形， ∴， ，，， ， ， ∴， ∵ ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ， ， （不合题意舍去）或 ， ， 同（2）知， ， 又， ∴ ， ， ， ， ， 即的值为． 2 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第22章相似形全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1比例式变形与黄金分割计算 题型2平行线分线段成比例 题型3相似三角形的判定 题型4相似三角形性质计算 目核心提升：重难题型归纳 题型1双垂直模型 题型2一线三等角模型 题型3动点相似的存在性 题型4位似中心不在原点的坐标变换 题型5实际应用建模 目题型专练：高频重难特训 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1比例式变形与黄金分割计算 1.4 2.C 3.（105-10)/-10+105） ◆题型2平行线分线段成比例 4.c 5.B 6.【详解】(1)解：：DE∥BC, △ADEP△ABC, 1/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD 1 DB2 ADAD 1 ABAD+DB 3' S.ADE =1, .S.4BC=9, .S四边形BCED=SABc-SADE=9-1=8: (2)解：：DE/BC,DF∥AC, ∴.四边形DFCE是平行四边形， .DE FC. :DF∥AC, BF BD ∴FCAD AD 1 :DB2' BD 2 …AD1' BF=3, 32 FC1' 解得FC=3 DE=FC=3 ◆题型3相似三角形的判定 7.【详解】相似，证明如下： 在△ABC中，AB=2,BC=V22+2=2W2,AC=V22+4-25: 在ADEF中，DE=P+P=V2,EF=2,DF=VP+32=V0: 是号架9-i治5， 2,DF√10 2/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB BC AC 即DE=EFDF' ,△ABC∽ADEF 8.【详解】(1)证明：，BD平分∠ABC, .∠ABD=∠CBD, :FG∥BC, .∠FGA=∠ACB, .∠BAE=∠ACB」 .∠BAE=∠ACB=∠FGA, ,∠AFD=∠BAE+∠ABD,∠ADB=∠CBD+∠ACB, .∠AFD=∠ADB, .AF=AD: (2)证明：，FG∥BC, .∠CBD=∠DFG,∠ACB=∠FGA, 由(1)得∠ABD=∠CBD,∠BAE=∠ACB .∠ABD=∠DFG,∠BAE=∠FGD .△DFGAFBA: (3)解：，∠BFE=∠AFD=∠ADF,∠EBD=∠ABD, .△BEF∽△BAD, BE =2EF, EF AD1 BE BA 2' 又由(1)可得AD=AF, 犯-1 BA 2' 由(2)知△DFG∽△FBA, DG FA1 FGBA2· 9.【详解】(1)证明：：∠ECB=∠DCA ∴.∠ECB+∠ECA=∠DCA+∠ECA,即∠ACB=∠DCE, DC EC 又：ACBC, 3/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ABC∽△DEC: (2)解：由(1)知△ABC△DEC, ∴.∠CDE=∠CAB, 又，∠DFC=∠AFE, ∴.△DFC∽△AFE, AE216 :.S.ocF CD 25' 8)216 25 .CD=10 ◆题型4相似三角形性质计算 10.15 11.1:2 12.D 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1双垂直模型 AD AC 1.【详解】(1)：4C=AB, ∠A=∠A' .△ACD~AABC: (2),△ACD~△ABC. ∴.∠ADC=∠ACB=90°，∠ACD=∠B, .∠CDB=180°-90°=90°=∠ACD, .△ACD~ACBD, CD BD AD-CD'B CD2 AD.BD=3x2=6' CD=√6」 2.【详解】证明：：CD⊥AB于D,∠ACB=90° 4/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADC=∠ACB=90°， ,∠A=∠A, ∴.△ACD∽△ABC, 指光 AC2=AD·AB. 3.【详解】(1)证明：由题意得，CD⊥AB,而∠ACB=90°， .LCDB=LACB=∠ADC=90°， .∠A+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°. .∠A=∠DCB, .△ACD∽△CBD: (2)解：，∠A=30°，CD1AB, .AC=2CD=4, .∠ACB=90° 85 ◆题型2一线三等角棋型 4.D 5.【详解】(1)，边形ABCD是正方形， .∠D=∠C=90°， ∴.∠DAP+∠DPA=90° 又，PF⊥AP, .∠APF=90° .∠CPE+∠DPA=90°， .∠DAP=∠CPE」 .△APD∽aPEC. (2)设正方形ABCD的边长为4k, P是CD边上的中点， 5/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DP=PC=2k. 又，△APD∽aPEC, CE CP 1 DPDA2’ .CE=k,BE=3k PC∥BF, .△CPE∽aBFE, PC CE 1 ∴BF=BE3 PC 1 故BF3 6.【详解】解：(1)CE=V2OD;∠OCE=45°； :△AOC和△ADE都是等腰直角三角形，∠AOC=∠ADE=90°， ∴.∠DAE=∠OAC=∠OCA=45°，AE=VAD2+DE2=2AD,AC=VAO2+OC2=V20A, ABAC= ·∠DAO=∠EAC'ADOA ∴△DAO∽△EAC, CE-4g-5,∠4CE=∠A0D=90, ∴ODAD ∴CE=V20D,L0CE=∠ACE-∠0CA=45°， 故答案为：CE=V2OD;45°； (2)①证明：如图②，过点A作OA1BC,垂足为0， A在 中， B 图② △ABC AB=AC∠BAC=90° ..OB=OC, ..OA=OB=OC=BC. 2 “△OAC是等腰直角三角形， 由旋转可知：△ADE是等腰直角三角形， 6/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理(1)可得：CE=V20D;∠ACE=90°； 设A0=0B=OC=a,0D=x, 则BD=OB-OD=a-x,AC=AB=V2a,CE=V2OD=V√2x, :.AC-CE=V2a-2x=2(a-x), ∴.AC-CE=V2BD ②当AE在∠BAC内时，如图③-1，过点A作OA⊥BC,垂足为O, 图③-1 同理可得：△DAO∽△EAC,CE=√2OD:∠ACE=90°： ,在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， .BC=AB2+AC2=8, ∴.0C=OB=OA=4. .当∠CAE=60°时， ∠AEC=30°， .AE =2AC=82, ..CE=AE2-AC2=3AC=46, .OD=E =46*2=45, ∴.CD=0C+0D=4+4V5 当AE在∠BAC内时，如图③-2， B C D 图③-2 同理可求：OD=4V3,OC=4, 7/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CD=OD-OC=4V3-4 综上所述：CD长为4V3±4 ◆题型3动点相似的存在性 7.2.4 2032 8.1i或23 【详解】解：由题意知，BM=3tcm,CN=2tcm, BN=(8-2t)cm,BA=V62+82=10(cm), BM BN 当△BMNn△BAC时，BA=BC' ·108,解得：1=20 3t8-2t 11: BM BN 当△BMNn△BCA时，BC=BA' 3t_8-2t 32 8=10,解得：1=23 2032 故答案为：11或23， 9.【详解】(1)解：，矩形ABCD, .CD‖AB,CD=AB=4,∠DAB=90°， .∠CDQ=∠QBP :在RtABD中，∠DAB=90°，AB=4,BC=3, .根据勾股定理得，BD=√AB2+AD2=V4+32=5, ,由题意可得，OD=BP=t, .BO=BD-OD=5-1, :以B,P,Q为顶点的三角形与DCQ相似， 又：∠CDO=∠QBP」 .△DCOABOP或△DCQ∽aBPQ, DC DO DC DO ∴.B0BP或BPB0 ∴5-或5-1： 8/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-1 解方程5-i得=1， 解方程5-1，得1=-2+26,5=-2-26（舍去)， 综合上述，当以B,P,Q为顶点的三角形与△DCQ相似时，t的值为1或-2+2√6： (2)解：如图，过点D作QE⊥AB,QF1BC,垂足分别为E,F, D E D B 由(1)得QD=BP=t,B0=5-1, 矩形ABCD DA⊥AB,DC⊥BC, DA⊥AB,QE⊥AB DAIOE, △BQEABDA, %器甲 E_5-t 5 0E=6-). :DC⊥BC,QF⊥BC .DCIIOF .△BOFABDC, %器即g, 5 0F-等6-. 21 :S四边形P8CQ=S△QPB+S△BCQ= 5, 5 整理得2-t-6=0, 9/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得4=3，=-2（舍去）， 21 六t=3时，四边形PBCQ的面积等于5cm; (3)解：如图，过点Q作QE⊥AB,QF⊥BC,垂足分别为E,F, B 由(1)得QD=BP=t,B0=5-t, 由(2)得E=6-),0F=5-), ,矩形ABCD. .AB L BC,AD BC =3,AB=CD=4, QE⊥AB,QF⊥BC, .四边形FQEB为矩形， ∴∠F0E=90,BF=QE-6-).8E=Qr=6-). CF=Bc-BF=3-6-.P=BE-BP-5-小4， :CO⊥P2,则∠COF+∠POF=90°， 又：∠FOE=∠EQP+∠PQF=90°， .∠EOP=∠CQF. 又.∠PEQ=∠CFQ=90° .△PQEn△COF, -0336-0 ∴.QFCF,即3 4 OE EP (5-0(5-0-11 解得=16 5 5 ◆题型4位似中心不在原点的坐标变换 10/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(4,5) 11.【详解】(1)(1)如图，△4BC即为所求： 5 4 B 65+43-21,012 34.6x B2 r- A (2)解：，△4BC与△ABC的相似比为2：1， ∴.△ABC与△4BC的面积比为1：4： (3)解：△48C的面积是4x10-)×2x10-×2×4-1 ×4×6=14 12.【详解】(1)解：如图所示，△O4B即为所求； (2)解：如图所示，△0,4，B即为所求： 11/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 B (3)解：AB=V22+6=2V10, :△OAB绕点B按逆时针旋转90°后得到的△O,4,B, :点A移动到点4所经过的路径的长 90r×20_0元」 180 ◆题型5实际应用建模 13.1.9m 5 14.7 15.【详解】解：，AB⊥BD,CD⊥BD, ∴.∠ABO=∠CD0=90°， .∠AOB=∠COD】 △ABOP△CDO AB OB ·CDOD' .1.6_5.4-0D ·2=0D OD=3. ..OF =OD+DF=18. .CD⊥OF,EF⊥OF, .CD∥EF, ∴.△CDO∽△EFO CD OD EF OF' 23 .EF18 12/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EF=12, 答：旗杆EF的高度为12米. 题型专练 高频重难特训 一、单选题 题号 1 3 4 5 6 7 8 答案 A A D A C 二、填空题 9.∠4DE=∠B(答案不唯-)10.7711.；12.36 三、解答题 13.【详解】(1)分别连接0A,OB,0C, 延长OA到使OA=20A,延长OB到B'使OB'=20B,延长OC到C使OC'=20C, 顺次连接A'B'C',所以△A'B'C'即为所求作的图形；△ABC'如图所示. B' π (2)△4BC如图所示.扫过的面积为4 (2)分别将点A,B,C绕点O顺时针旋转0°得到对应点A,B,G,顺次连接得到△4B,C即为所求作的图形： 根据勾股定理，结合网格可得：OA2=22=4,OB2=32+22=13, 线段AB旋转过程中扫过的图形是圆心角为90°的圆环，面积为大扇形面积减小扇形面积： S-90°×π×0B_90°×元x0_13z4r9元 360° 360° 444 14.,【详解】证明：△ADE是等边三角形， .∠E=60° 13/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠C=60°， .∠E=∠C. 又，∠AFE=∠DFC(对顶角相等)， :△AEFADCF(两角分别相等的两个三角形相似)· 15.【详解】(1)i证明：由题可知∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠DCE, .AABC∽AEDC (2)解：由题可知，BC=45m,DC=20m,DE=32m, ·△ABC∽△EDC, BC AB45AB .DC=DE,即2032， .AB=72, 答：河宽AB为72m 16. 【详解】(1)证明：Rt△ABC中，∠C=90°， .∠A+∠B=90°， DF⊥AB,EG⊥AB ·.∠ADF=∠GEB=90°， .∠A+∠AFD=90°， ∠AFD=∠B, .△ADF∽AGEB (2)解：设AD=x,EG=y, .∠AFD=∠B=30°， 4=2xG-2C=48=3 CF=3-2x,BC=AB-4C2=33,DF=(2x)-x=3x, .'BE=AB-AD-DE=6-x-2=4-x. BE2+GE=BG,即(4-x)'+y2=(2y)}2, ,即G=4-x) .y=4-x :BG=24-x) 3, 14/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CG=BC-BG=3N5-24-1+2x V3, .△ADFAGCF, AD DF GC CF' 3x 即1+2x3-2x,即V3x_V5x, 3 1+2x3-2x 解得：x」 2 00-号 17.【详解】(1)证明：BD平分∠ABC, .∠ABD=LCBD FG∥BC, ∴.∠FGA=∠ACB. .∠BAE=∠ACB ∴.∠BAE=∠ACB=∠FGA, ,∠AFD=∠BAE+∠ABD,∠ADB=∠CBD+∠ACB, .∠AFD=∠ADB, .AF AD: (2)证明：，FG∥BC .∠CBD=∠DFG,∠ACB=∠FGA, 由(1)得∠ABD=∠CBD,∠BAE=∠ACB, .∠ABD=LDFG,∠BAE=∠FGD, .△DFGAFBA: (3)解：，∠BFE=∠AFD=∠ADF,∠EBD=∠ABD, .△BEF∽△BAD. BE =2EF, EF AD 1 BE BA 2 又由(1)可得AD=AF, 15/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF 1 BA2 由(2)知△DFG∽aFBA, DG FA 1 FG BA2 18.【详解】(1)解：~四边形ABCD是正方形， AD=AB,∠DAE=∠ABF=90°， 又AF⊥DE, .∠AED+∠ADE=90°=∠AED+∠BAF, ∴.∠ADE=∠BAF, 在△ADE和△BAF中， ∠ADE=∠BAF AD=AB ∠DAE=∠ABF .△ADE≌△BAF(ASA), :DE AF, AF DE =1； (2)证明：甲方案：如图2，过点A作AM∥EF交BC于点M,过点B作BN∥HG交CD于点N: A E D H N 四边形 是矩形， M 图2 ABCD .AD∥BC,AB∥CD,∠ABC=∠BCD=90°，AD=BC, ∴，四边形AEFM、HGBN均为平行四边形，∠BAM+∠AMB=90°， :BN=GH,AM=EF, :EF⊥GH, .AM⊥BN, .∠NBC+∠AMB=90°， .∠BAM=∠NBC, 16/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：∠ABM=∠BCN=90°， ,∴.△BAM∽ACBN, AB AM BC BN EF AB GH AD 乙方案：如图2，过点E作EM⊥BC交BC于点M,过点G作GN⊥CD交CD于点N,EM交GH于点O, E D H 四边形 是矩形， G --W B M F C 图2 ABCD .∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AD=BC,ABICD, ∴四边形AEMB、GBCN均为矩形， ∴.AB=EM,GN=BC=AD, EF⊥GH,EM⊥GN, ∴.∠MEF+∠EOH=90°，∠GOM+∠HGN=90°， :∠EOH=∠GOM, .∴.∠MEF=∠HGN 又∠EMF=∠GNH=90°， .△EFM∽aGHN, EF EM GHGN· EF AB ·GHAD (3)解：由矩形的性质可得AD=BC=4,∠A=90°」 由勾股定理得BD=√AB2+AD2=V32+42=5, EF AB 由(2)可知，BDAD' g 17/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F= 4 ,15 即折痕EF的长为4： (4)解：如图4，过点D作MN'⊥BC,交BC的延长线于M,过点A作AN'⊥MN'于点N”,连接AC, 过点F作FH'⊥AW'于点H,过点E作EG⊥MN'于点G, A H D GG' B FC M 图4 :∠ABC=90°AN'⊥MN'MN'⊥BC ∴四边形ABMN'是矩形， ∠N'=∠M'=90°，AW'=BM',MN'=AB=10, AD=AB,BC=CD,AC=AC, △ACD≌△ACB(SSS), ∴∠ADC=∠ABC=90°， .∠ADN'+∠CDM'=90°， ∠ADN'+∠N'AD=90° ∠N'AD=∠CDM', 又∠N'=∠M'=90°， .△ADN'∽aDCM' CD CM'DM'5 1 AD-DN AN-102 AN'=2DM',DN'=2CM', .DC2 CM2+DM2. 52=CM2+10-2CM)2, ∴CM'=5(不合题意舍去)或CM'=3, BM'=BC+CM=5+3=8=AN', 同(2)知，∠AFH'=∠DEG, 又：∠AH'F=∠EG'D=90°， 18/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△DEG△AFH′， DE EG' AF FH' .EG'=AN'=8,FH'=AB=10, .DE84 AF105 DE 4 即AF的值为5： 19/19 第22章 相似形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 比例式变形与黄金分割计算 题型2 平行线分线段成比例 题型3 相似三角形的判定 题型4相似三角形性质计算 核心提升：重难题型归纳 题型1 双垂直模型 题型2一线三等角模型 题型3动点相似的存在性 题型4位似中心不在原点的坐标变换 题型5实际应用建模 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 比例式变形与黄金分割计算 1．若，则的值是________ ． 2．如图，中国最大的室内卧佛位于甘肃省张掖市的大佛寺，又称卧佛寺，张掖大佛寺的卧佛是该寺的核心文物，具有极高的历史、艺术和宗教价值．现已知卧佛的肩宽身长，且肩宽为米，则卧佛的身长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． ◆题型2 平行线分线段成比例 4．如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 5．在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 6．如图，在中，，，点F在边上，连接． (1)若的面积为1，求四边形的面积； (2)若，，求的长度． ◆题型3 相似三角形的判定 7．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 8．如图，在中，平分交于点D，点E在边上，满足．连接交于点F，过点F作交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 9．如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． ◆题型4相似三角形性质计算 10．如图，，，，则_______． 11．已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______． 12．如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． ◆题型5 双垂直模型 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 2．如图，在中，于，求证：． 3．如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． ◆题型6一线三等角模型 4．如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 5．如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 6．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． ◆题型7动点相似的存在性 7．在中，，．点P从点A出发，沿向点C以每秒1个单位长度的速度移动；点Q从点C出发，沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．则经过______秒后，． 8．如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为______． 9．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． ◆题型8位似中心不在原点的坐标变换 10．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 11．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， (1)以原点为位似中心，在轴的左侧作，使它与的相似比为，点，，的对应点分别为，，； (2)与的面积比为________． (3)的面积是________． 12．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在所给网格中，以点为位似中心，画出的位似图形，使它与的相似比为； (2)画出以点为旋转中心，将绕点按逆时针旋转后得到的； (3)直接写出点移动到点所经过的路径的长为__________． ◆题型9实际应用建模 13．如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 14．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 15．某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 一、单选题 1．如图是小孔成像图，根据图中所示的尺寸，像的长是物长的（　　）    A． B．3倍 C． D．2倍 2．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A．B．C．D． 3．若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 5．如图，与交于点，且．若，则的面积与的面积之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 6．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形的边上有一动点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，连接，过点作于点，连接．若正方形的边长为3，且，则的面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 9．如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． 10．如图是一个三层实木阶梯花架，它的侧面可以抽象为图，已知最上层与中间层的垂直距离，中间层与最下层的垂直距离，，若，则的长为______． 11．如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 12．如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 三、解答题 13．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． 14．已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 15．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 16．已知：中，，F、G为、边上的点，且，． (1)求证：； (2)，，，，求的长． 17．如图，在中，平分交于点D，点E在边上，满足．连接交于点F，过点F作交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 18．【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． (1)如图1，在正方形中，，交于点G，则______（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交于点M，过点B作交于点 乙方案：过点E作交于点M，过点G作交于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明． 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合．若，，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $