第20讲 空间点、线、面的位置关系（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦空间点线面位置关系高考核心考点，涵盖平面基本事实、位置关系分类、等角定理及异面直线所成角，按命题透视-知识解构-题型破译逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统构建空间思维框架，突破位置关系判断、共面证明等难点。 资料以正方体等模型为载体，融合几何推理与空间想象，如通过正方体展开图辨析线线位置关系培养空间观念，用平移法求异面直线所成角强化推理意识。设置分层练习与真题溯源，确保复习针对性，助力教师精准把控复习节奏，提升学生空间几何应考能力。

第20讲 空间点、线、面的位置关系 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 平面的四大基本事实（公理）及推论 知识点2 空间点、线、面位置关系分类 知识点3 等角定理 知识点4 异面直线所成的角 题型破译 (含超链接） 题型1 空间位置关系的判断 题型2 共点、共线、共面证明（基础必会） 题型3 由平面的基本性质作截面图形 题型4 异面直线判定（小题高频） 题型5 异面直线所成的角 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 空间位置关系的判断 / / 春考第14题 异面直线的判定 / 春考第13题 / 求异面直线所成的角 / 春考第9题 / 考情分析 1. 固定题型分布 客观题（填空/选择 5分）：高频考查空间命题真假辨析、异面直线识别、线面位置关系判断，常以正方体、长方体为核心模型，重点考查空间想象能力与举反例解题思维，侧重基础概念辨析，无复杂计算。 解答题（固定14分，第17/18题）：立体几何核心必考题型，设问梯度清晰。第一问必考线面、面面平行或垂直证明，是基础得分点；第二、三问搭配线面角、二面角、体积、表面积计算，是中档分、高分段的关键区分点。 2. 2027届核心命题趋势 ✅ 双新改革导向：几何法（公理定理推理）与空间向量坐标法并重，不限制解题方法，鼓励择优解题； ✅ 去套路化明显：新增动点、截面、翻折几何情境，弱化机械刷题，强化逻辑推理严谨性； ✅ 阅卷标准严苛：证明题定理条件必须完整书写，遗漏关键条件直接扣分，步骤规范优先级高于结果； 复习目标 1. 熟练掌握平面四大基本事实及推论，实现文字语言、图形语言、符号语言的精准转换，杜绝符号书写错误； 2. 清晰区分空间三类位置关系：线线、线面、面面的平行、相交、异面关系，精准掌握异面直线的定义与核心特征； 3. 熟练解决基础题型：共点、共线、共面证明，异面直线判定，简单线面平行、垂直证明； 4. 依托正方体、长方体基础模型，快速举反例判断空间命题真假，规避基础概念陷阱。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 平面的四大基本事实（公理）及推论 基本事实1：过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面（不共线三点确定唯一平面）。 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（判定直线在平面内的核心依据）。 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（证明三点共线、多点共线的核心工具）。 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（空间平行线传递性，仅限平行关系）。 平面确定三大推论：①一条直线与直线外一点确定一个平面；②两条相交直线确定一个平面；③两条平行直线确定一个平面。 自主检测 1．（2025·上海静安·一模）在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（     ） A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一个平面的两个平面平行 C．若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直 D．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直 知识点2 空间点、线、面位置关系分类 1.空间中直线与直线的位置关系 2.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 a∩α=A 1个 平行 a∥α 0个 在平面内 a⊂α 无数个 平面与平面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β=l 无数个 自主检测 2．（2025·上海嘉定·二模）已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若m与n是异面直线，则 知识点3 等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 自主检测 3．（24-25高三上·上海嘉定·阶段检测）如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 知识点4 异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围：. 自主检测 4．（24-25高三上·上海黄浦·期末）若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（    ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 空间位置关系的判断 例1-1如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 例1-2（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知直线、和平面、，且、，则“与相交”是“与相交”的（    ） A．充分必要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 方法技巧 优先用正方体、长方体、正棱锥基础模型具象化空间位置关系，快速判断； 【变式训练1-1】已知空间直线和平面，则“直线在平面外”是“直线∥平面”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【变式训练1-2】已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题： ：过点M有且只有一个平面与和都平行； ：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交． 则以下说法正确的是（     ） A．命题是真命题，命题是假命题 B．命题是假命题，命题是真命题 C．命题，都是真命题 D．命题，都是假命题 【变式训练1-3】（25-26高三下·上海·阶段检测）设为两个平面，m、n为两条直线，且．下述四个命题： ①若，则或；    ②若，则； ③若，且，则；    ④若与和所成的角相等，则； 其中，所有真命题的编号是____________． 题型2 共点、共线、共面证明（基础必会） 例2-1如图，已知分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．求证：点在直线上．    例2-2如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 例2-2如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 方法技巧 1. 三点共线证明思路：证明三点同时属于两个相交平面，根据基本事实3，三点必在两平面交线上； 2. 多点/多线共面证明思路：①定面证点线：先用相交/平行直线确定唯一平面，再证明其余点、直线在平面内；②统一平面法，规避多平面矛盾； 3. 三线共点证明思路：先证明其中两条直线相交，再证明交点在第三条直线上，完成共点证明。 【变式训练2-1】已知在正方体中，分别为、的中点，，．求证：四点共面. 【变式训练2-2】在四面体中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：    (1)，，，四点共面； (2)直线，，相交于一点． 【变式训练2-3】如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 题型3 由平面的基本性质作截面图形 例3如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练3-1】用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是__________（填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 【变式训练3-2】（24-25高三下·上海·阶段检测）在棱长为的正方体，中，，过点，，的平面截该正方体所得截面的周长为_______． 【变式训练3-3】在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，，点在棱上，若，则平面截正方体，所得截面多边形的周长_________． 题型4 异面直线判定（小题高频） 例4-1（25-26高三下·上海·阶段检测）在正方体中，与直线异面的直线可以是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 例4-2在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 方法技巧 1. 定义反证法：假设共面，推出矛盾，证明两直线异面； 2. 模型结论法：平面内一点与平面外一点的连线，和平面内不经过该点的直线互为异面直线； 易错分析 无公共点的两条直线不一定异面，还可能平行。 【变式训练4-1】（24-25高三上·上海·期中）已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（ ） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 【变式训练4-2】（2025·上海长宁·一模）如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A． B． C． D． 【变式训练4-3】（25-26高二上·上海·期中）正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论： （1）直线AM与是相交直线；（2）直线AM与BN是平行直线； （3）直线BN与是异面直线；（4）直线AM与是异面直线. 其中正确的结论为____________.（把你认为正确结论的序号都写上） 题型5 异面直线所成的角 例5-1（25-26高三上·上海嘉定·期中）以下说法正确的个数为（    ） ①直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是 ②平面内两个非零向量的夹角的取值范围是 ③空间两条异面直线所成角的取值范围是 A．0 B．1 C．2 D．3 例5-2若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例5-3如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 例5-4（24-25高三上·上海浦东新·期末）如图，已知为圆柱底面圆的直径，，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点． (1)若，求三棱锥的体积； (2)若，求异面直线与所成的角的余弦值． 方法技巧 异面直线所成角的求法 方法 解读 平移法 将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解 补形法 在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解 【变式训练5-1】如图所示，是长方体，其中，，点是棱上一点，若异面直线与互相垂直，则_________．    【变式训练5-2】（24-25高三上·上海·开学考试）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为2． (1)求该圆锥的侧面积： (2)设为该圆锥的底面半径，且为线段的中点，求直线与直线所成的角的余弦值． 【变式训练5-3】（24-25高三上·上海·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点．    (1)求点到平面的距离； (2)求异面直线与所成的角． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2022·上海·高考真题）如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（    ）次 A． B． C． D． 2．（2025·上海·高考真题）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）．    A．和； B．和； C．和； D．和． 3．（2023·上海·高考真题）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 4．（2022·上海·高考真题）如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（   ）．    A．点Q B．点P C．点B D．点R 5．（2024·上海·高考真题）空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．（2025·上海·高考真题）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．如果两条直线与没有公共点，那么与（    ） A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 2．连接空间四边形四条边的中点，得到四边形，则是一个（　　） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．空间四边形 3．下列叙述中，正确的是（   ）． A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，，所以 D．因为，，所以 4．下列命题中，错误的是（    ） A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．平行于同一个平面的两个平面平行 C．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 D．一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 二、填空题 5．已知平面，和直线a，b，且，，，则与的位置关系是______； 6．“是异面直线”是指： （1）平面，平面，且； （2）且不平行； （3）平面，平面，且； （4）平面，平面； （5）不存在平面，使且． 上述说法中，正确的序号是______． 三、解答题 7．如图，点是正方体的上底面的中心，过，，A三点作一个截面．求证：此截面与对角线的交点P一定在上．    8．如图所示的正方体中，是棱上的一点，试说明、、三点确定的平面与平面相交，并画出这两个平面的交线. 9．如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点．求证： (1)，O，M三点共线； (2)E，C，，F四点共面． 10．如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)若，求证：四边形EFGH是菱形； (3)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？ 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是（    ）． A．若，不平行，则在内不存在与平行的直线 B．若，平行于同一平面，则与可能异面 C．若，不平行，则与不可能垂直于同一平面 D．若，垂直于同一平面，则与可能相交 2.若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3.已知圆柱的底面半径为，高为，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点．若直线和该圆柱的轴始终是异面直线，则线段AB长度的取值范围是________． 4．（24-25高三下·上海·阶段检测）在正七棱锥中，直线过A、B、C、D、E、F、G中的两个不同点．当与直线所成角为最小值时，则满足条件的的条数为________． 5．（2025·上海奉贤·一模）在正四棱台中，异面直线与所成角的大小为______． 6．已知是单位正六棱柱（即所有的棱长都是1，如图所示），黑、白两个蚂蚁同时从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．黑蚂蚁爬行的路线是，白蚂蚁爬行的路线是．它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在的直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑、白两蚂蚁走完2025段后各停留在正六棱柱的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是______． 7．如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是和的中点，求异面直线与之间的距离. 8.在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且．    (1)求证：、、、四点共面； (2)若四面体为棱长为6的正四面体，求四边形的周长． 重难·创新演练 1．如图，正方体中，分别为的中点，则    ①四点共面 ② ③三线不共点 ④ 以上四个结论中，正确结论的序号是______. 2.下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 3．（24-25高三上·上海宝山·开学考试）若四面体的各个顶点到平面距离都相等，则称平面为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是______. 4.已知异面直线、所成角为，过空间内一点P作直线，使l与、所成角为，则直线可能有条，则_____________. 5.如图，已知顶点为的圆锥其底面圆的半径为8，点为圆锥底面半圆弧的中点，点为母线的中点.        (1)若母线长为10，求圆锥的体积； (2)若异面直线与所成角大小为，求、两点间的距离. 6．（24-25高三下·上海·开学考试）直三棱柱中，，，. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离. 7.如图所示，三棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：与是异面直线； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 8．（25-26高三下·上海·阶段检测）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为的中点． (1)求异面直线与直线所成角． (2)点是线段上一个动点，求三棱锥的体积； 9．（24-25高三上·上海·期中）如图，正方体的棱长为4，点E、F分别为棱和的中点. (1)求异面直线EF与BC所成角的大小； (2)求作平面CEF与正方体各面相交所得截面，保留痕迹并简要说明截面特征； (3)若某正四棱锥的表面积与正方体的表面积相等，求该正四棱锥体积最大时侧棱与底面所成角的大小． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 空间点、线、面的位置关系 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 平面的四大基本事实（公理）及推论 知识点2 空间点、线、面位置关系分类 知识点3 等角定理 知识点4 异面直线所成的角 题型破译 (含超链接） 题型1 空间位置关系的判断 题型2 共点、共线、共面证明（基础必会） 题型3 由平面的基本性质作截面图形 题型4 异面直线判定（小题高频） 题型5 异面直线所成的角 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 空间位置关系的判断 / / 春考第14题 异面直线的判定 / 春考第13题 / 求异面直线所成的角 / 春考第9题 / 考情分析 1. 固定题型分布 客观题（填空/选择 5分）：高频考查空间命题真假辨析、异面直线识别、线面位置关系判断，常以正方体、长方体为核心模型，重点考查空间想象能力与举反例解题思维，侧重基础概念辨析，无复杂计算。 解答题（固定14分，第17/18题）：立体几何核心必考题型，设问梯度清晰。第一问必考线面、面面平行或垂直证明，是基础得分点；第二、三问搭配线面角、二面角、体积、表面积计算，是中档分、高分段的关键区分点。 2. 2027届核心命题趋势 ✅ 双新改革导向：几何法（公理定理推理）与空间向量坐标法并重，不限制解题方法，鼓励择优解题； ✅ 去套路化明显：新增动点、截面、翻折几何情境，弱化机械刷题，强化逻辑推理严谨性； ✅ 阅卷标准严苛：证明题定理条件必须完整书写，遗漏关键条件直接扣分，步骤规范优先级高于结果； 复习目标 1. 熟练掌握平面四大基本事实及推论，实现文字语言、图形语言、符号语言的精准转换，杜绝符号书写错误； 2. 清晰区分空间三类位置关系：线线、线面、面面的平行、相交、异面关系，精准掌握异面直线的定义与核心特征； 3. 熟练解决基础题型：共点、共线、共面证明，异面直线判定，简单线面平行、垂直证明； 4. 依托正方体、长方体基础模型，快速举反例判断空间命题真假，规避基础概念陷阱。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 平面的四大基本事实（公理）及推论 基本事实1：过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面（不共线三点确定唯一平面）。 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（判定直线在平面内的核心依据）。 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（证明三点共线、多点共线的核心工具）。 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（空间平行线传递性，仅限平行关系）。 平面确定三大推论：①一条直线与直线外一点确定一个平面；②两条相交直线确定一个平面；③两条平行直线确定一个平面。 自主检测 1．（2025·上海静安·一模）在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（     ） A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一个平面的两个平面平行 C．若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直 D．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直 【答案】C 【详解】如图为正方体， ，但，故A错误； 平面平面，平面平面， 但平面平面，故B错误； ，与平面平行的所有平面均与平行，故D错误； 如图， ，由线面平行的性质定理可知，平面内一定存在直线与平行， 由线面垂直的性质定理可知，，则有，故C正确. 故选：C 知识点2 空间点、线、面位置关系分类 1.空间中直线与直线的位置关系 2.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 a∩α=A 1个 平行 a∥α 0个 在平面内 a⊂α 无数个 平面与平面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β=l 无数个 自主检测 2．（2025·上海嘉定·二模）已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若m与n是异面直线，则 【答案】B 【详解】对于A，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故A错误； 对于B，直线，直线，若，则，故B正确； 对于C，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故C错误； 对于D，直线，直线，若与为异面直线，则或平面和平面相交，故D错误. 故选：B 知识点3 等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 自主检测 3．（24-25高三上·上海嘉定·阶段检测）如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 【答案】B 【详解】根据等角定理：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 两个三角形的两边分别平行，那么这两个三角形的三个角可能出现以下情况： （1）三组角对应相等，那么这两个三角形相似； （2）三组角中有一组对应角互补，如，，， 又，则，所以，此时两个三角形相似； （3）三组角中有两组对应角互补，如，，， 由，则，这与矛盾，故这种情况不会出现. （4）三组对应角都互补，即，，， 这与，矛盾，所以该情况也不会出现. 综上可知，两个三角形相似. 故选：B 知识点4 异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围：. 自主检测 4．（24-25高三上·上海黄浦·期末）若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】①由题意作图如下：    由图易知为等腰直角三角形，则直线与的夹角为； ②由题意作图如下：    由图易知为等边三角形，则直线与的夹角为； ③由题意作图如下：    由图易知，因为，则直线与的夹角为. 而不管怎么找顶点，都无法得到直线AB与CD所成角为. 故选：A. 题●型●破●译 题型1 空间位置关系的判断 例1-1如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，还原正方体，如图所示， 连接，可得，又由，所以，所以A正确； 由正方体的结构特征，可知，所以B正确； 因为,为在平面上的射影，所以，所以C正确； 根据正方体的结构特征和异面直线的定义，可得与是异面直线，所以D错误. 故选：D. 例1-2（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知直线、和平面、，且、，则“与相交”是“与相交”的（    ） A．充分必要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】C 【详解】直线、和平面、，且、， 若与相交，记，由于、， 所以、，则与相交， 所以“与相交”能得到与相交， 但“与相交”，则与可能异面，如图， 平面为，平面为，， 、，， 若与不重合，则直线、为异面直线， 所以“与相交”是“与相交”的充分不必要条件. 故选：C. 方法技巧 优先用正方体、长方体、正棱锥基础模型具象化空间位置关系，快速判断； 【变式训练1-1】已知空间直线和平面，则“直线在平面外”是“直线∥平面”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【详解】直线在平面外，包括直线与平面平行和相交，不充分，但直线∥平面，一定有直线在平面外，必要的，因此是必要不充分条件． 故选：B． 【变式训练1-2】已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题： ：过点M有且只有一个平面与和都平行； ：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交． 则以下说法正确的是（     ） A．命题是真命题，命题是假命题 B．命题是假命题，命题是真命题 C．命题，都是真命题 D．命题，都是假命题 【答案】A 【详解】已知点为正方体内（不包含表面）的一点，过点的平面为， 如图所示： 对于，在平面与平面之间与平面与平面平行的平面均与和平行，如平面 ，当点为正方体内（不包含表面）的一点，满足要求的平面有且只有一个，故命题是真命题； 对于，点M在正方体内部（不包含表面），假设过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交，则由平面的基本性质可得，，M在同一平面内，与和异面矛盾，所以假设错误，所以命题是假命题. 故选：A. 【变式训练1-3】（25-26高三下·上海·阶段检测）设为两个平面，m、n为两条直线，且．下述四个命题： ①若，则或；    ②若，则； ③若，且，则；    ④若与和所成的角相等，则； 其中，所有真命题的编号是____________． 【答案】①③ 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误. 题型2 共点、共线、共面证明（基础必会） 例2-1如图，已知分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．求证：点在直线上．    【详解】平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上.    例2-2如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 【详解】由题意得平面， 又，平面， 所以平面， 由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上， 所以三点共线． 例2-2如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明：如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． (2)证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 方法技巧 1. 三点共线证明思路：证明三点同时属于两个相交平面，根据基本事实3，三点必在两平面交线上； 2. 多点/多线共面证明思路：①定面证点线：先用相交/平行直线确定唯一平面，再证明其余点、直线在平面内；②统一平面法，规避多平面矛盾； 3. 三线共点证明思路：先证明其中两条直线相交，再证明交点在第三条直线上，完成共点证明。 【变式训练2-1】已知在正方体中，分别为、的中点，，．求证：四点共面. 【详解】证明：因为是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以在一个平面内，即四点共面． 【变式训练2-2】在四面体中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：    (1)，，，四点共面； (2)直线，，相交于一点． 【答案】(1)    连接，， 在三角形中，，所以， ∵，分别是边，的中点， ∴， ∴，，，，四点共面. (2) ∵，为中点， ∴与不平行， ∵平面， ∴与相交， 设， ∵，平面， ∴平面，同理平面， ∵平面平面， ∴， ∴直线，，相交于一点. 【变式训练2-3】如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【详解】（1）连接 在长方体中 、分别是和的中点 、、、四点共面 （2） 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. （3）延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. 题型3 由平面的基本性质作截面图形 例3如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】①当时，如图（1），是四边形，故①正确； ②当时，如图（2），是等腰梯形，故②正确； ③当时，如图（3），此时截面为菱形，两条对角线的长分别为 所以，③正确. ④当时，如下图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，则，由，可得，所以，故④正确； 故选：D 【变式训练3-1】用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是__________（填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 【答案】①②④ 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】根据几何体的结构特征以及平面的性质作出判断. 【详解】①正三棱柱的截面可以是五边形，如下图所示： ②正方体的截面可以是五边形，如下图所示： ③正三棱锥的截面最多边数的是四边形，不可能是五边形； ④正四棱锥的截面可以是五边形，如下图所示： 圆柱、圆锥、圆台的截面都不可能是五边形， 故答案为：①②④. 【变式训练3-2】（24-25高三下·上海·阶段检测）在棱长为的正方体，中，，过点，，的平面截该正方体所得截面的周长为_______． 【答案】 【详解】取正方体轴线与交点为， 连接并延长，交延长线与， 连接，交于， 连接， 作出图形如图， 由图可知，过点，，的平面截该正方体所得截面为五边形， 则，所以，同理，， 正方体的棱长为，， ， ， 四边形的周长为. 故答案为： 【变式训练3-3】在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，，点在棱上，若，则平面截正方体，所得截面多边形的周长_________． 【答案】 【详解】    如图，连接,设， 因为E、F分别为AB、BC的中点，所以，所以平面， 因为平面平面，连接GH，所以， 设平面，连接SO，则CG、OS、AH三者平行且相等， 在平面中，，，，， 所以，从而三点共线，即也在平面EFG内，连接，则截面多边形为， 易计算得，，，又根据对称性，截面多边形的周长为． 故答案为：． 题型4 异面直线判定（小题高频） 例4-1（25-26高三下·上海·阶段检测）在正方体中，与直线异面的直线可以是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【详解】对于A，在正方体中，平面，平面，平面， 点直线，点直线，因此直线与直线互为异面直线，A是； 对于B，，直线与直线是相交直线，B不是； 对于C，连接，由，得四边形是平行四边形，直线与直线是相交直线，C不是； 对于D，由选项C，同理得直线与直线是相交直线，D不是. 例4-2在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】直线a、b为异面直线，则直线a、b不相交， 反之，直线a、b不相交，直线a、b可能平行，也可能是异面直线， 所以在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的充分非必要条件. 故选：A 方法技巧 1. 定义反证法：假设共面，推出矛盾，证明两直线异面； 2. 模型结论法：平面内一点与平面外一点的连线，和平面内不经过该点的直线互为异面直线； 易错分析 无公共点的两条直线不一定异面，还可能平行。 【变式训练4-1】（24-25高三上·上海·期中）已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（ ） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 【答案】D 【详解】空间三条直线. 若与异面,且与异面,则可能平行（图1）,也可能相交（图2）,也与可能异面（图3）, 故选：D. 【变式训练4-2】（2025·上海长宁·一模）如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图取正方体底边的中点，和正方体的顶点M，N，P，Q， 连接， 在正方体中有， 所以，所以点四点共面；同理可知点四点共面，点四点共面，点四点共面，所以六点共面, 所以直线与直线、直线与直线共面、直线与直线共面， 直线平面AFG， 直线平面，所以直线与直线是异面直线. 综上可知ABC错误D正确. 故选：D. 【变式训练4-3】（25-26高二上·上海·期中）正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论： （1）直线AM与是相交直线；（2）直线AM与BN是平行直线； （3）直线BN与是异面直线；（4）直线AM与是异面直线. 其中正确的结论为____________.（把你认为正确结论的序号都写上） 【答案】（3）（4） 【详解】对于（1）：因为与为异面直线，可知四点不共面， 所以直线AM与是异面直线，故（1）错误； 对于（2）：因为与为异面直线，可知四点不共面， 所以直线AM与是异面直线，故（2）错误； 对于（3）：直线BN与是异面直线，故（3）正确； 对于（4）：因为与为异面直线，可知四点不共面， 所以直线AM与是异面直线，故（4）正确. 题型5 异面直线所成的角 例5-1（25-26高三上·上海嘉定·期中）以下说法正确的个数为（    ） ①直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是 ②平面内两个非零向量的夹角的取值范围是 ③空间两条异面直线所成角的取值范围是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解析：①直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是，正确； ②平面内两个非零向量的夹角的取值范围是，错误； ③空间两条异面直线所成角的取值范围是，正确. 故正确的说法有2个. 故选：C. 例5-2若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】在空间取一点，经过点分别作， 设直线确定平面，当直线满足它的射影在所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 所以当射影在所成锐角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故选：D. 例5-3如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为点P是对角线上的动点，所以， 所以， 所以 设直线与所成角为， ， 设，单调递增，所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 例5-4（24-25高三上·上海浦东新·期末）如图，已知为圆柱底面圆的直径，，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点． (1)若，求三棱锥的体积； (2)若，求异面直线与所成的角的余弦值． 【详解】（1）依题意，平面，由，得， 所以三棱锥的体积. （2）过点作圆柱的母线，连接， 则，于是四边形为平行四边形，， 因此是异面直线与所成的角或其补角， 由，得，，， 则，， 由平面，得， 在中，， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 方法技巧 异面直线所成角的求法 方法 解读 平移法 将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解 补形法 在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解 【变式训练5-1】如图所示，是长方体，其中，，点是棱上一点，若异面直线与互相垂直，则_________．    【答案】 【详解】如图所示，作，连接AF，则，且AD=EF， 即四边形ADEF为平行四边形，所以AF⊥， 故在矩形中， 解得 故答案为：    【变式训练5-2】（24-25高三上·上海·开学考试）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为2． (1)求该圆锥的侧面积： (2)设为该圆锥的底面半径，且为线段的中点，求直线与直线所成的角的余弦值． 【详解】（1）由题意，圆锥的母线长， 所以圆锥的侧面积为． （2）取中点，连接，则，， 所以直线与直线所成的角即为直线的夹角， 因为平面，平面，所以， 在中，，同理可得， 在中，由余弦定理得，， 所以直线与直线所成的角的余弦值为． 【变式训练5-3】（24-25高三上·上海·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点．    (1)求点到平面的距离； (2)求异面直线与所成的角． 【详解】（1）在正方体中，为线段的中点，所以平面，且， 因为是线段的中点，所以， 故三棱锥的体积； 因为，分别为线段，的中点，所以， 又因为，，所以在中满足，故为直角三角形， 则，设点到平面的距离为， 则，解得， 因此点到平面的距离为. （2）    连接，，因为、分别为线段、的中点，所以，故异面直线与所成的角为； 又平面，平面，所以， 所以， 故异面直线与所成的角为. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2022·上海·高考真题）如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（    ）次 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时针在3时或9时相互垂直，0时或6时时针平行，其它时间时针所在直线异面但不垂直，所以能够垂直2次. 故选：B. 2．（2025·上海·高考真题）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）．    A．和； B．和； C．和； D．和． 【答案】D 【详解】因为是正四棱台，所以，故A错误， 侧棱延长交于一点，所以与相交，故B错误， 同理与也相交，所以四点共面，所以与相交，故C错误， 与是异面直线，故D正确. 故选：D 3．（2023·上海·高考真题）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当、重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当、重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 4．（2022·上海·高考真题）如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（   ）．    A．点Q B．点P C．点B D．点R 【答案】A 【详解】A选项，四边形是平行四边形，，得点平面，得与为异面直线， 四边形是平行四边形，且平面，得点平面，得与为异面直线，根据题意，得两点可视，故A对； B选项：四边形是平行四边形，与相交，故B错； C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错； D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错； 故选：A. 5．（2024·上海·高考真题）空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【详解】对于A，若，，则或， 当时，，则或者与斜交或者， 当时，，则或者与斜交或者，故A错误； 对于B，若，，，可在取作为的法向量， 由于，故，即，则，故B正确； 对于C，若，，，则可能平行可能相交，也可能异面，故C错误； 对于D，若，，，则或，故D错误； 故选：B 6．（2025·上海·高考真题）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________． 【答案】 【详解】 如图，过作交底面圆锥于点，连接， 因为，则为异面直线与所成角， 所以， 又，所以，即， 因为，函数在上单调递减，所以， 故异面直线与所成角的最小值为. 故答案为：. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．如果两条直线与没有公共点，那么与（    ） A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【详解】根据空间中两条直线的位置关系，可得如果两条直线与没有公共点，那么与可能平行，也可能是异面直线. 故选：D. 2．连接空间四边形四条边的中点，得到四边形，则是一个（　　） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．空间四边形 【答案】C 【详解】 如图所示，在空间四边形中，分别为的中点， 连接， 是的中位线，所以，且. 同理，且. ，且. 四边形是一个平行四边形. 故选：C 3．下列叙述中，正确的是（   ）． A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，，所以 D．因为，，所以 【答案】D 【详解】A：因为，所以，故A错误； B：因为，所以或，故B错误； C：因为，所以，故C错误； D：因为，所以，故D正确. 故选：D 4．下列命题中，错误的是（    ） A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．平行于同一个平面的两个平面平行 C．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 D．一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 【答案】A 【详解】对于A，平行于同一条直线的两个平面相交或平行，故A错误； 对于B，若平面满足， 根据面面平行的定义可得与没交点，与没交点， 则与没交点，即，所以平行于同一个平面的两个平面平行，故B正确； 对于C，由平面平行的性质得一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，故C正确； 对于D，由平面平行的性质得一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，故D正确. 故选：A. 二、填空题 5．已知平面，和直线a，b，且，，，则与的位置关系是______； 【答案】或与相交 【详解】由，，，得或与相交，如图所示:    故答案为: 或与相交. 6．“是异面直线”是指： （1）平面，平面，且； （2）且不平行； （3）平面，平面，且； （4）平面，平面； （5）不存在平面，使且． 上述说法中，正确的序号是______． 【答案】（2）（5） 【详解】（1），即没有交点，但可能平行，得不出是异面直线； （2）由条件可知没有交点，且也不平行，所以只能是异面直线； （3）由可得，此时可能平行，得不出是异面直线； （4）由平面，平面可知，可能平行也可能相交，得不出是异面直线； （5）根据异面直线定义可知，不在同一平面内，即能判断出是异面直线； 故答案为：（2）（5） 三、解答题 7．如图，点是正方体的上底面的中心，过，，A三点作一个截面．求证：此截面与对角线的交点P一定在上．    【详解】证明：如图所示，连接， 因为是正方体的上底面的中心， 所以，且， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又因为平面，平面， 所以平面平面， 因为对角线平面，所以平面，平面， 所以由基本事实三可得，对角线与平面的交点一定在上.    8．如图所示的正方体中，是棱上的一点，试说明、、三点确定的平面与平面相交，并画出这两个平面的交线. 【详解】解：延长、交于点，连接交于点，则平面与平面的交线为，证明如下： 因为，平面，则平面， ，平面，平面， 又因为为平面和平面的公共点，则平面与平面的交线为. 9．如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点．求证： (1)，O，M三点共线； (2)E，C，，F四点共面． 【答案】(1) 由题意得平面， 又，平面， 所以平面， 由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上， 所以三点共线 (2) 连接EF、、， 因为E、F分别为AB、的中点， 所以， 又正方体， 所以， 所以， 因为两平行直线可确定一个平面， 所以E，C，，F四点共面. 10．如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)若，求证：四边形EFGH是菱形； (3)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？ 【详解】（1） ∵分别是边的中点． ∴, , ∴四边形是平行四边形； （2）同（1）可得 若，则， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形． （3）要使EFGH为正方形，则需满足且EF⊥EH， 即AC＝BD且AC⊥BD即可. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是（    ）． A．若，不平行，则在内不存在与平行的直线 B．若，平行于同一平面，则与可能异面 C．若，不平行，则与不可能垂直于同一平面 D．若，垂直于同一平面，则与可能相交 【答案】A 【详解】对于A，因，不平行，令，直线，若，必有，A不正确； 对于B，若，直线，直线b与m是相交直线，则有直线b与m都平行于， 把直线b平行移出平面外为直线n，且不在内，此时与是异面直线，都平行于，B正确； 对于C，假定与垂直于同一平面，则有，与，不平行矛盾，即假设是错的，C正确； 对于D，令，若直线c垂直于某个平面，由面面垂直的判定知，垂直于这一平面，D正确. 故选：A 2.若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】考虑平面上个点两两距离相等，构成等边三角形，成立； 若平面内个点两两距离相等，则其中有三个点、、构成等边三角形， 第四个点到等边三角形三个顶点的距离相等，则第四个点必为等边三角形的中心， 则，易知，则，矛盾， 当时，也不成立； 在空间中，个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立； 当时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点与它们距离相等， 必为正四面体的外接球的球心， 将棱长为的正四面体置于正方体中，则正方体的棱长为， 正四面体的外接圆半径为，矛盾， 同理时不成立． 故选：C． 3.已知圆柱的底面半径为，高为，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点．若直线和该圆柱的轴始终是异面直线，则线段AB长度的取值范围是________． 【答案】 【详解】如下图， 要使直线AB与该圆柱的轴始终互为异面直线，则不能与重合， 假设能与重合，若与重合时线段AB长度最小为3； 若与重合时线段AB长度最大为， 综上，线段AB长度的取值范围是. 故答案为： . 4．（24-25高三下·上海·阶段检测）在正七棱锥中，直线过A、B、C、D、E、F、G中的两个不同点．当与直线所成角为最小值时，则满足条件的的条数为________． 【答案】 【详解】作出底面的外接圆，圆心为， 由题意得，当直线过点，且最近接点时，与直线所成角最小，即与夹角最小， 因为，所以，所以，则也符合题意， 同理可得，， 所以满足题意得直线有，共6条， 故答案为：6．      5．（2025·上海奉贤·一模）在正四棱台中，异面直线与所成角的大小为______． 【答案】 【详解】   取中点，取中点，连接. 因为四棱台是正四棱台， 所以平面，平面， 所以， 又因为是正方形，所以， 且平面，所以平面， 平面，所以， 所以异面直线与所成角的大小为. 故答案为：. 6．已知是单位正六棱柱（即所有的棱长都是1，如图所示），黑、白两个蚂蚁同时从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．黑蚂蚁爬行的路线是，白蚂蚁爬行的路线是．它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在的直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑、白两蚂蚁走完2025段后各停留在正六棱柱的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是______． 【答案】0 【详解】因为蚂蚁爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线， 则黑蚂蚁爬行的路线是 ，因此每隔18段后回到点，并重复按原来线路爬行， 而，于是黑蚂蚁走完2025段后停留在正六棱柱的点处， 白蚂蚁爬行的路线是 ，因此每隔18段后回到点，并重复按原来线路爬行， 于是白蚂蚁走完2025段后停留在正六棱柱的点处，所以黑、白两蚂蚁的距离是0． 故答案为：0 7．如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是和的中点，求异面直线与之间的距离. 【答案】 【详解】如图： 取的中点G，连接EG、FG，所以， 因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 所以异面直线与之间的距离即为直线与平面间的距离， 即点B与平面的距离. 连接，，设. 因为，，所以. 因为平面，平面，所以， 因为，所以 因为，平面 所以平面，即为点到平面的距离. 因为，， 所以， 即异面直线EF与AB之间的距离为. 8.在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且．    (1)求证：、、、四点共面； (2)若四面体为棱长为6的正四面体，求四边形的周长． 【详解】（1）如图，连接，    因为、分别是、的中点，所以，又， 所以，所以， 所以、、、四点共面； （2）因为四面体为棱长为6的正四面体，又，则， ∴， 因为、分别是、的中点，则， ∴ ， ∴ . 重难·创新演练 1．如图，正方体中，分别为的中点，则    ①四点共面 ② ③三线不共点 ④ 以上四个结论中，正确结论的序号是______. 【答案】①② 【详解】解：由题意可得，， ，， 所以且， 所以四点共面，故①，②正确； 所以四边形为梯形，为两底， 因为四边形为梯形，为腰， 所以设， 所以平面，平面， 又因为平面平面， 所以， 所以三线共点，故③错误； 易知三角形为等腰直角三角形， 所以； 设正方体的棱长为1， 在中，, 所以 又因为， 所以， 所以，故④错误. 故答案为：①② 2.下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 【答案】①②③ 【详解】 在①中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 所以，因为，所以是平行四边形， 所以， 所以，∴四点共面． 在②中， 取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 可得交于直线延长线上一点， ∴四点共面，设为， 在正方体中：，∴四点共面，设为. ∵都经过不共线的三点，∴与重合，∴四点共面． 在③中，分别是所在棱的中点，所以，所以， ∴四点共面． 在④中， 连接，如图，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴四点不共面． 故答案为：①②③ 3．（24-25高三上·上海宝山·开学考试）若四面体的各个顶点到平面距离都相等，则称平面为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是______. 【答案】 【详解】解：将所考虑的四面体记作. 若四个顶点均在平面的一侧，则这四个顶点必位于一个与平面平行的平面内，不符合条件； 只考虑以下两种情形. （1）平面的一侧有三个顶点，另一侧有一个顶点. 不妨设在平面 的一侧，点在另一侧， 则三点所确定的平面必平行与， 由点作平面的垂线，为垂足. 则中位面必为经过的中点且与垂直的平面（存在且唯一），该中位面平行于平面，如图. 这种类型的中位面共有4个. （2）平面的两侧各有两个顶点，不妨设点在平面的一侧，点在另一侧， 显然 ， 易知，与为异面直线，中位面必为经过它们公垂线中点且平行于它们的平面（存在且唯一）如图. 因为四面体的6条棱可按异面直线关系分为3组， 所以，这种类型的中位面共有3个. 综上，一个四面体有7个互不相同的中位面. 故答案为：7. 4.已知异面直线、所成角为，过空间内一点P作直线，使l与、所成角为，则直线可能有条，则_____________. 【答案】 【详解】过点作异面直线、的平行线、， 则直线、交成、两个角； 当时，直线不存在； 当时，直线只能是直线、所夹角的平分线，故有1条； 当时，过点在空间可作2条直线与直线、均成角； 当时，直线可以是120°角的平分线，再加上前一情况的2条，此时共有3条； 当时，过点在空间可以作4条直线与直线、均成角； 当时，存在唯一一条直线与、都垂直，故有1条. 故答案为：. 5.如图，已知顶点为的圆锥其底面圆的半径为8，点为圆锥底面半圆弧的中点，点为母线的中点.        (1)若母线长为10，求圆锥的体积； (2)若异面直线与所成角大小为，求、两点间的距离. 【详解】（1）圆锥的底面圆半径为8，母线长为10，而，则，解得， 所以圆锥的体积为. （2）取的中点，连接,，      由弧为圆锥底面的半圆弧知圆锥底面圆心在上且为中点， 为母线的中点，则与所成角为或其补角， 由平面，得平面，平面，则， 于是有，由是半圆弧的中点可得， 则， 所以. 6．（24-25高三下·上海·开学考试）直三棱柱中，，，. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）在直三棱柱中，， 为异面直线与所成角，，， ，， ，， 平面，平面，，， 故，，， 故异面直线与所成角的大小为. （2） 连接，，， 平面，平面，， ，平面， 平面， 而，则平面， 设点到平面的距离为，由等体积法可得， 则， 解得，故点到平面的距离为. 7.如图所示，三棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：与是异面直线； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【详解】（1）证明 假设与共面，设平面为， 因为，，，所以平面即为平面，所以平面， 这与平面矛盾， 所以与是异面直线． （2）取的中点，连接，，则，所以（或其补角）就是异面直线与所成的角． 因为，，平面， 所以，，，， 故异面直线与所成角的余弦值为． 8．（25-26高三下·上海·阶段检测）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为的中点． (1)求异面直线与直线所成角． (2)点是线段上一个动点，求三棱锥的体积； 【详解】（1）因为平面，且平面，所以． 又因为四边形为矩形，所以． 因为，且，平面，所以平面． 因为平面，所以． 故异面直线与所成的角为． （2）连接交于点，在中，为中点，为中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为点在线段上，所以点到平面的距离等于点到平面的距离（或者视为定值）． 即． 在中，． 点到平面（即底面）的距离，所以． 所以． 故三棱锥的体积为． 9．（24-25高三上·上海·期中）如图，正方体的棱长为4，点E、F分别为棱和的中点. (1)求异面直线EF与BC所成角的大小； (2)求作平面CEF与正方体各面相交所得截面，保留痕迹并简要说明截面特征； (3)若某正四棱锥的表面积与正方体的表面积相等，求该正四棱锥体积最大时侧棱与底面所成角的大小． 【详解】（1）取中点，连接，易知， 所以异面直线EF与BC所成角即， 由正方体特征可知平面，平面， 则，所以， 所以异面直线EF与BC所成角为； （2）延长交于N点，连接交于H点， 并延长与延长线交于M点，连接交于G点， 则五边形为所求截面，易知， 则由等角定理知：，； （3）易知正方体的表面积为，设正四棱锥的底面正方形边长与高分别为， 则其表面积，化简得， 不妨设， 而体积为， 显然，即时体积取得最大值， 设侧棱与底面夹角，此时有. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $