第16讲 数列的概念及其表示（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦数列的概念及其表示，围绕数列的定义、分类、与函数关系等核心考点，按“概念解构-题型突破-真题溯源”逻辑架构，通过知识精讲、方法归纳、分层训练等环节，帮助学生系统掌握通项公式、递推关系等基础工具，突破单调性、周期性等高频难点。 讲义突出上海高考特色，采用分层目标设计，如通过累加法累乘法模型建构、周期数列列举观察法等策略，培养学生的抽象能力与推理意识。结合真题逻辑分析和课本典例挖掘，设置基础到培优的梯度训练，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏提供精准指导，助力学生提升应考能力。

第16讲 数列的概念及其表示 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 数列的有关概念 知识点2 数列的分类 知识点3 数列与函数的关系 题型破译 (含超链接） 题型1 通项公式基础应用（求项、判项） 题型2 基础递推数列求通项（累加、累乘） 题型3 数列单调性、最值问题 题型4 周期数列求值问题 题型5 数列概念辨析、命题真假判断（上海选择填空特色题） 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 数列的性质 / 秋考第16题 春考第12题 考情分析 数列的概念及其表示是上海高考数列模块的核心入门基石，极少单独考查压轴大题，但属于全章节必备基础工具，贯穿所有数列题型。整体命题特点如下： 基础题型：选择、填空高频必考，为固定基础分值题型； 上海特色：常结合函数单调性、最值、周期性、命题真假辨析出题； 创新题型：上海新定义数列压轴小题，核心载体均为数列概念、递推关系、an与Sn的转化。 复习目标 基础目标（全员必达，保底得分） 理解数列核心定义：明确数列是有序的一列数，区分项、项数，分清数列整体{an}与数列通项an的不同含义； 熟练掌握数列三种表示方法：列举法、通项公式法、递推公式法； 牢记an与Sn的分段转化公式，掌握规范书写格式，杜绝基础步骤失分； 具备基础运算能力：已知通项求指定项、根据简单数列前几项写出通项公式； 掌握数列单调性基础判断方法：作差法判断数列增减性。 能力目标（中档学生突破，冲刺中档分值） 掌握两类基础递推模型：累加法、累乘法，可独立求解简单递推数列的通项； 熟练掌握数列最大项、最小项的两种求解方法，规避函数思维误区； 能够根据递推公式列举数列项，快速识别周期数列，利用周期简化复杂求值运算； 掌握Sn与an混合等式的双向转化技巧，可灵活消去Sn或an，实现式子简化。 培优目标（冲刺120+，突破压轴小题） 熟练处理含参数数列的单调性、恒成立、存在性综合问题； 适配上海新定义题型，快速提取题干核心条件，拆解创新数列的递推、有序性特征； 精准辨析易混数列命题，具备构造反例、严谨论证的能力； 掌握分类讨论思想，可规范处理分段数列、多情况递推数列问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an 灵活应用两个常用结论 (1)若数列{an}的前n项和为Sn，则an= (2)在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则n≥2，n∈N*. 自主检测 1．（24-25高三上·上海·期中）已知数列的前项和，则数列的各项中（   ） A．所有项均是数列中的项 B．所有项均不是数列中的项 C．只有有限项是数列中的项 D．只有有限项不是数列中的项 知识点2 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大 小关系 递增数列 an+1>an 其中 n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 自主检测 2．（25-26高三上·上海·开学考试）设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（   ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 知识点3 数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n). 掌握数列的函数性质 由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质： (1)单调性——若an+1>an，则{an}为递增数列；若an+1<an，则{an}为递减数列，否则为摆动数列或常数列(an+1=an). (2)周期性——若an+k=an(k为非零常数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期. 自主检测 3．（24-25高三上·上海·开学考试）已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是__________ 题●型●破●译 题型1 通项公式基础应用（求项、判项） 例1-1（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 例1-2（25-26高三上·上海·阶段检测）已知数列满足，则__________. 方法技巧 求指定项：直接将正整数n代入通项公式计算即可； 判断数值是否为数列项：令an=x，解方程f(n)=x，验证方程是否存在正整数解； 【变式训练1-1】（2026高三下·上海·专题练习）数列中，，则的值为______. 【变式训练1-2】（25-26高三上·上海·开学考试）数列中，，，使对任意的恒成立的最大值为（　　） A．1209 B．1211 C．1213 D．1215 【变式训练1-3】（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 题型2 基础递推数列求通项（累加、累乘） 例2-1已知数列 满足 ，则 的通项公式为_____ 例2-2（25-26高三下·上海青浦·期中）若数列共 10 项，其中 ， ，且，，则这样的不同数列共有 ______ 个. （用数字作答） 方法技巧 1. 累加法（适用：aₙ₊₁ - aₙ = f(n)） 核心公式： 适用场景：后项与前项的差值为关于n的函数表达式。 2. 累乘法（适用：aₙ₊₁/aₙ = f(n)） 核心公式： 易错分析 累乘运算切勿遗漏首项a1，同时保证分母对应的项不为0。 【变式训练2-1】若，令，则关于结论：①M可以等于0；②M可以等于2.下面正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【变式训练2-2】（24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的函数，满足恒成立.数列满足:，. (1)若函数，求实数的取值范围; (2)若函数是上的减函数，求证：对任意正实数，均存在，使得时，均有； (3)求证："函数是上的增函数"是"存在，使得"的充分非必要条件. 题型3 数列单调性、最值问题 例3-1（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知正项数列满足，下列说法正确的是（   ） A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增 C．当时，存在正整数，当时， D．当时，存在正整数，当时， 例3-2（25-26高三上·上海·期中）设数列为项数为的严格增数列，且每一项均为正整数.若对于数列中的任意两项，均有，则项数的最大值为（   ）. A．6 B．7 C．10 D．11 例3-3（2025·上海·三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（    ） A．0 B．22 C．26 D．31 方法技巧 方法一：作差法（首选通用方法） 计算aₙ₊₁ - aₙ：差值>0为递增数列，差值<0为递减数列，差值=0为常数列。 方法二：不等式组法求最值项 求最大项ak：联立 求最小项ak：联立 求解后取正整数k，对应项即为数列最值项。 易错分析 严禁直接将离散数列当作连续函数求极值，必须优先满足n∈N*。 【变式训练3-1】（24-25高三上·上海黄浦·期末）设函数在区间I上有导函数，且在区间I上恒成立，对任意的，有．对于各项均不相同的数列，，，下列结论正确的是（    ） A．数列与均是严格增数列 B．数列与均是严格减数列 C．数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列 D．数列与均既不是严格增数列也不是严格减数列 【变式训练3-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，若数列满足，且为严格增数列，则的取值范围是___________ 【变式训练3-3】（2025·上海徐汇·一模）已知数列满足：，对任意的正整数均有，若存在正整数，使得所有数列均满足，则的最大值为__________． 题型4 周期数列求值问题 例4-1（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）已知数列，满足，若，则的前2025项的积为____. 例4-2（2026·上海·三模）已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则的值为____________. 例4-3（24-25高三下·上海·阶段检测）帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列的前n项和为，且满足：，则下列结论中正确的个数（    ） ①；②；③是偶数；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 方法技巧 1.根据递推公式依次列举数列前若干项； 2.观察数列重复规律，确定最小正周期T； 3.用项数n除以周期T，求余数，根据余数对应项求解数值。 【变式训练4-1】（24-25高三上·上海·阶段检测）斐波那契数列可以用如下方法定义：，.若各项除以4的余数依次构成一个新数列，则_______. 【变式训练4-2】（24-25高三上·上海·期中）数列满足：为正整数，，若，则______. 【变式训练4-3】（2025·上海嘉定·二模）设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（    ） A．数列和数列均不是周期数列 B．数列是周期数列，数列不是周期数列 C．数列不是周期数列，数列是周期数列 D．数列和数列均为周期数列 【变式训练4-4】（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）定义：若数列中存在连续三项之和为4的倍数，则称该数列为“4性数列”；反之，则称其为“非4性数列”.已知数列满足，，且对任意整数，都有等于与之和除以4的余数.若从数列的前40项中任选两项、，将数列中到之间（包含和）的所有项取出，按原来的顺序构成一个新的数列，则取出的所有新数列中，不同的“4性数列”的个数为______. 题型5 数列概念辨析、命题真假判断（上海选择填空特色题） 例5-1（2026·上海松江·模拟预测）已知数列满足（n为正整数），关于数列有以下两个命题：①若，则的取值范围是；②若，则的所有可能取值的个数是4个.则以下选项正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．两个都是真命题 D．两个都是假命题 例5-2（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知数列满足，有如下两个命题： 命题：“是严格减数列”的充要条件是“存在使得对任意，都有”； 命题：“是严格增数列”的充要条件是“存在使得对任意，都有”． 则下列说法中正确的是（    ） A．是真命题，是假命题 B．是假命题，是真命题 C．和都是真命题 D．和都是假命题 方法技巧 真命题：严格依据数列定义、性质论证；假命题：列举反例直接推翻。 易错分析 数列递增的充要条件：∀n∈N*，aₙ₊₁>aₙ，有限项递增不能判定整体数列递增； 数列与数集的区别：数列元素有序、可重复，数集元素无序、互异； 并非所有数列都存在通项公式，通项公式不唯一。 【变式训练5-1】（24-25高三下·上海·阶段检测）数列中，若，，给出下列两个命题： ①若数列为常数数列，则； ②若不是整数，任取中的项、、、构成数列，则数列是严格增数列，或者是严格减数列．则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题 【变式训练5-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知正项数列满足，记为数列的前项和，则对于p：“”；q：“”，判断正确的是（   ） A．p、q均是假命题 B．是真命题，是假命题 C．p、q均是真命题 D．是假命题，是真命题 【变式训练5-3】（2025·上海松江·二模）定义在上的函数满足，当时，，有以下两个命题： ①当为正整数时，； ②若函数在区间内有3个极大值点，则的取值范围是. 则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 二、填空题 2．（2024·上海·高考真题），任意，满足，求有序数列有_____对. 三、解答题 3．（2021·上海·高考真题）已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项 （1）已知，，，求的所有可能取值； （2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比； （3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值. 4．（2022·上海·高考真题）数列对任意，且，均存在正整数，满足. (1)求可能值； (2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由： (3)若成立，求数列的通项公式. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．根据下面数列的通项公式，分别说出各数列的前5项． (1) (2)． 2．写出下面各数列的一个通项公式： (1)，，，，…… (2)，，，，…… 3．已知下列数列的通项，画出数列的图象，并判断数列的增减性． (1)； (2)． 4．试分别根据下列条件，写出数列的前5项： (1)，，，其中； (2)，，其中． 5．将正整数数列、、、、、的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表： (1)写出数表的第行、第行； (2)写出数表中第行的第个数； (3)设数表中每行的第个数依次构成数列，数表中每行的最后一个数依次构成数列，试分别写出数列、的递推公式，并求出它们的通项公式． 6．已知数列的通项公式为． (1)数列从第几项起各项的数值逐渐增大？ (2)数列的哪些项为正数？ (3)数列中是否存在数值与首项相同的项？ 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．已知常数，有穷数列共有7项，其通项公式为.对于任意满足的正整数，记为中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（   ）. A．且 B．且 C．且 D．且 2．记为数列的前项和，已知，则（   ） A． B． C． D． 3．已知数列对任意正整数，均满足，则_________． 4．将自然数，，，，按照如图排列，我们将，，，称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是______. 5．数列的前n项和，则其通项公式__________. 6．某种规律排列的一列数： 那么第50个数是___________. 7．记为数列的前项和，若，，则____ 8．已知数列满足，则__________. 9．已知函数，数列满足，且（为正整数），则______________． 10．（24-25高三上·上海宝山·开学考试）已知数列，，若在上是递增数列，则实数的取值范围是______． 11．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设常数b为整数，数列的通项公式为，若（，）的最小值为，则b＝________． 重难·创新演练 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·期中）一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断： ①对于数列，若，则为周期数列；②若满足：，，则为周期数列；③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列．其中所有正确判断的序号是（    ） A．②③④ B．②④ C．②③ D．①②③④ 2．（2025·上海长宁·一模）将正整数按一定次序排列得到排列，若排列中的任意一项都满足：，则满足题意的排列的个数为（　　） A．36 B．55 C．89 D．144 3．（2026·上海闵行·二模）已知平面上13个向量，其中，若对任意，总有且，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 4．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）若数列满足：对任意的正整数，总存在正整数使得（其中），则称具有“性质”，对于以下两个结论，说法正确的是（    ） 结论①：若具有“性质”，则中任意一项均可写成中的两项之差； 结论②：等比数列不具有“性质”． A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错 5．（25-26高三上·上海金山·阶段检测）设，数列，数列．设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的正整数n有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无数个 6．（2026·上海嘉定·二模）设数列满足，且，其中．下列选项中错误的是（   ） A．存在，使得存在正整数N，当时，总有 B．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 C．对任意，都不存在正整数N，使得当时，总有 D．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 二、填空题 7．（2026·上海金山·二模）已知是数列的前项和，且，且．若，则__________． 8．（25-26高三上·上海·开学考试）设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②为减数列；③的所有项的和为m.记所有这样的不同数列的个数为.例如：当时，所有的不同数列为：与，从而.若，则的通项公式为___________. 9．（23-24高三下·上海·开学考试）整数列，，，对有，为固定正整数，求使成立时，的值为______. 10．（2025·上海杨浦·一模）数列：满足：，且，记集合.若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”.“好的”数列的个数为_____. 三、解答题 11．（2026·上海金山·二模）若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． (1)已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； (2)已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； (3)已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 12．已知无穷数列（）的前n项和为，记，，…，中奇数的个数为． (1)若，请写出数列的前5项； (2)求证：“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是严格增数列的充分不必要条件； (3)若，2，3，，求数列的通项公式． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 数列的概念及其表示 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 数列的有关概念 知识点2 数列的分类 知识点3 数列与函数的关系 题型破译 (含超链接） 题型1 通项公式基础应用（求项、判项） 题型2 基础递推数列求通项（累加、累乘） 题型3 数列单调性、最值问题 题型4 周期数列求值问题 题型5 数列概念辨析、命题真假判断（上海选择填空特色题） 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 数列的性质 / 秋考第16题 春考第12题 考情分析 数列的概念及其表示是上海高考数列模块的核心入门基石，极少单独考查压轴大题，但属于全章节必备基础工具，贯穿所有数列题型。整体命题特点如下： 基础题型：选择、填空高频必考，为固定基础分值题型； 上海特色：常结合函数单调性、最值、周期性、命题真假辨析出题； 创新题型：上海新定义数列压轴小题，核心载体均为数列概念、递推关系、an与Sn的转化。 复习目标 基础目标（全员必达，保底得分） 理解数列核心定义：明确数列是有序的一列数，区分项、项数，分清数列整体{an}与数列通项an的不同含义； 熟练掌握数列三种表示方法：列举法、通项公式法、递推公式法； 牢记an与Sn的分段转化公式，掌握规范书写格式，杜绝基础步骤失分； 具备基础运算能力：已知通项求指定项、根据简单数列前几项写出通项公式； 掌握数列单调性基础判断方法：作差法判断数列增减性。 能力目标（中档学生突破，冲刺中档分值） 掌握两类基础递推模型：累加法、累乘法，可独立求解简单递推数列的通项； 熟练掌握数列最大项、最小项的两种求解方法，规避函数思维误区； 能够根据递推公式列举数列项，快速识别周期数列，利用周期简化复杂求值运算； 掌握Sn与an混合等式的双向转化技巧，可灵活消去Sn或an，实现式子简化。 培优目标（冲刺120+，突破压轴小题） 熟练处理含参数数列的单调性、恒成立、存在性综合问题； 适配上海新定义题型，快速提取题干核心条件，拆解创新数列的递推、有序性特征； 精准辨析易混数列命题，具备构造反例、严谨论证的能力； 掌握分类讨论思想，可规范处理分段数列、多情况递推数列问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an 灵活应用两个常用结论 (1)若数列{an}的前n项和为Sn，则an= (2)在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则n≥2，n∈N*. 自主检测 1．（24-25高三上·上海·期中）已知数列的前项和，则数列的各项中（   ） A．所有项均是数列中的项 B．所有项均不是数列中的项 C．只有有限项是数列中的项 D．只有有限项不是数列中的项 【答案】A 【详解】由题意知数列的前项和, 当时，； 当时，， 也适合，故； 则， 由于，时，，时，， 结合二次函数性质，对称轴为， 则当，，递增， 再结合数的特点知， 故数列的各项中所有项均是数列中的项， 故选：A 知识点2 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大 小关系 递增数列 an+1>an 其中 n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 自主检测 2．（25-26高三上·上海·开学考试）设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（   ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【详解】数列-3，-2，-1，0，1，2，3，…是递增数列， 但不是递增数列，故不充分； 数列1，1，1，1，…的前n项和为是递增数列， 数列不是递增数列，故不必要； 故选：D 知识点3 数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n). 掌握数列的函数性质 由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质： (1)单调性——若an+1>an，则{an}为递增数列；若an+1<an，则{an}为递减数列，否则为摆动数列或常数列(an+1=an). (2)周期性——若an+k=an(k为非零常数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期. 自主检测 3．（24-25高三上·上海·开学考试）已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【详解】因为数列满足，对任意都有， 所以，即，解得； 又对任意都有，则对于任意恒成立， 即对于任意恒成立，故； 综上可知，实数的取值范围是. 故答案为： 题●型●破●译 题型1 通项公式基础应用（求项、判项） 例1-1（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【详解】当时，， 当时，，符合上式， 所以. 例1-2（25-26高三上·上海·阶段检测）已知数列满足，则__________. 【答案】 【详解】因为，， 所以，， ，， ，，， 则. 故答案为： 方法技巧 求指定项：直接将正整数n代入通项公式计算即可； 判断数值是否为数列项：令an=x，解方程f(n)=x，验证方程是否存在正整数解； 【变式训练1-1】（2026高三下·上海·专题练习）数列中，，则的值为______. 【答案】 【详解】由可得， 所以，； 因此可得数列的周期为3，所以. 【变式训练1-2】（25-26高三上·上海·开学考试）数列中，，，使对任意的恒成立的最大值为（　　） A．1209 B．1211 C．1213 D．1215 【答案】B 【详解】由已知可得，数列：， 可得规律为1，6，11；6，11，16；11，16，21；.．， 此时将原数列分为三个等差数列： ，； ，； ，； 因为， 所以满足对任意的恒成立的最大值为1211. 故选：B. 【变式训练1-3】（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 【答案】A 【详解】令，因为，所以当时， 而， 所以当时，即时，取最大值； 因为，且，，因为，所以距离最近， 所以当，即时，取最小值； 所以该数列既有最大项又有最小项， 故选：A． 题型2 基础递推数列求通项（累加、累乘） 例2-1已知数列 满足 ，则 的通项公式为_____ 【答案】 【详解】已知，将换为，可得， 那么（）. 利用累乘法求（）， 由（）可得： 观察发现，约分后可得（）. 当时，，与已知相符. 所以，. 故答案为：，. 例2-2（25-26高三下·上海青浦·期中）若数列共 10 项，其中 ， ，且，，则这样的不同数列共有 ______ 个. （用数字作答） 【答案】84 【详解】数列共10项，因此共有个相邻差， 每个​只能取或， 由， ， ， ， 相加可得： ， 即所有​的总和为， 设个差中有个1，个，由题意：， 解得，即9个差中恰好有3个1、6个2， 不同的排列顺序对应不同的数列，问题等价于从9个位置中选3个位置放1，剩余放2， 因此不同数列个数为组合数： . 即这样的不同数列共有84个. 方法技巧 1. 累加法（适用：aₙ₊₁ - aₙ = f(n)） 核心公式： 适用场景：后项与前项的差值为关于n的函数表达式。 2. 累乘法（适用：aₙ₊₁/aₙ = f(n)） 核心公式： 易错分析 累乘运算切勿遗漏首项a1，同时保证分母对应的项不为0。 【变式训练2-1】若，令，则关于结论：①M可以等于0；②M可以等于2.下面正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C 【详解】由，，得，同理或，或， 或或，…，或或…或， 即，由，得， 因此， ，由为自然数，， 不妨令，则， 显然，，当时，，因此①不成立，②成立，C正确. 故选：C 【变式训练2-2】（24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的函数，满足恒成立.数列满足:，. (1)若函数，求实数的取值范围; (2)若函数是上的减函数，求证：对任意正实数，均存在，使得时，均有； (3)求证："函数是上的增函数"是"存在，使得"的充分非必要条件. 【详解】（1）由，即对一切恒成立，所以， 当时，在上单调递增，所以对任意，均有， 综上，实数的取值范围为：. (2)由函数在上单调递减，即对一切，均有， 所以对一切，均有，可得:， 所以:，对一切， 对任意正实数，取，为表示为取整， 当时. (3)非必要性:取，在上不是增函数， 但，，，，， 充分性:假设对一切，均有， 所以， 由递推式， 因为为增函数，所以， 由可知:对一切均成立， 记可知，当时，上述不等式不成立， 所以假设错误，即存在，使得. 题型3 数列单调性、最值问题 例3-1（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知正项数列满足，下列说法正确的是（   ） A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增 C．当时，存在正整数，当时， D．当时，存在正整数，当时， 【答案】D 【详解】设，可知在内单调递增， 构建，则， 可知在内单调递减，且 当时，则，可得； 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可得的函数图象，如图所示： 对于选项AC：若，则， 且，可得， 若，则， 且，可得， 依此类推，可得， 可知数列单调递增，且， 即不存在正整数，当时，，故AC错误； 对于选项BD：若，则， 且，可得， 若，则， 且，可得， 依此类推，可得， 可知数列单调递减，且， 所以存在正整数，当时，（只需即可），故B错误，D正确； 故选：D. 例3-2（25-26高三上·上海·期中）设数列为项数为的严格增数列，且每一项均为正整数.若对于数列中的任意两项，均有，则项数的最大值为（   ）. A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】D 【详解】因为数列每一项均为正整数，且， 所以，所以， 设，则数列是严格递减数列， 所以可转化为，， 想要尽量大，就要让尽量慢的递减，且必须是正整数， 从开始，则， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，不满足条件，所以的最大值为， 故选：D 例3-3（2025·上海·三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（    ） A．0 B．22 C．26 D．31 【答案】B 【详解】因为，所以互为相反数，不妨设， 要使得取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小， 由题意知，满足，取的最小值为， 则满足，因为，故取的最小值， 满足，因为，，故取的最小值， 同理，取的最小值，所以， 满足，取的最小值， 满足，因为，所以，取的最小值， 满足，因为，所以，取的最小值， 同理，取的最小值，所以， 所以， 因为数列的各项均为非零的整数，，所以当时，有最小值22． 故选：B． 方法技巧 方法一：作差法（首选通用方法） 计算aₙ₊₁ - aₙ：差值>0为递增数列，差值<0为递减数列，差值=0为常数列。 方法二：不等式组法求最值项 求最大项ak：联立 求最小项ak：联立 求解后取正整数k，对应项即为数列最值项。 易错分析 严禁直接将离散数列当作连续函数求极值，必须优先满足n∈N*。 【变式训练3-1】（24-25高三上·上海黄浦·期末）设函数在区间I上有导函数，且在区间I上恒成立，对任意的，有．对于各项均不相同的数列，，，下列结论正确的是（    ） A．数列与均是严格增数列 B．数列与均是严格减数列 C．数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列 D．数列与均既不是严格增数列也不是严格减数列 【答案】C 【详解】依题意，因在区间I上恒成立，则函数在I上严格递减， 由，，因数列的各项均不相同，且， 若，则，即，即此时数列严格递增，数列严格递减； 若，则，即，即此时数列严格递减，数列严格递增. 综上所述，数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列. 故选：C. 【变式训练3-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，若数列满足，且为严格增数列，则的取值范围是___________ 【答案】 【详解】由于数列是严格增数列，所以, 即，解得. 故要使得数列是严格增数列，需满足. 由于，即，即, 即 , 解得或或 综上所述，首项的取值范围是. 故答案为: 【变式训练3-3】（2025·上海徐汇·一模）已知数列满足：，对任意的正整数均有，若存在正整数，使得所有数列均满足，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】由题可知：， 则：， ， ， ， 要使不等式恒成立，的最大值小于等于的最小值， 当时，取， ，，符合； 当时，取， ，此时：， ，符合； 当时，取， ，此时：， ，不符；故当时，不符； 当时，取， ，此时：，，不符； 当时，取， ，此时：，，不符； 综上：的最大值为. 故答案为： 题型4 周期数列求值问题 例4-1（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）已知数列，满足，若，则的前2025项的积为____. 【答案】2 【详解】由，得，， 因此数列是以4为周期的周期数列，且， 则，于是，而， 所以的前2025项的积为. 故答案为：2 例4-2（2026·上海·三模）已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则的值为____________. 【答案】 【详解】因为， 所以，即数列周期为， 已知，计算得，，以此类推，奇数项都为， 偶数项都为. . 因为，所以总和为， 所以. 例4-3（24-25高三下·上海·阶段检测）帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列的前n项和为，且满足：，则下列结论中正确的个数（    ） ①；②；③是偶数；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】由题设，，，，①错误； 由上分析，，②正确； 由知：*表示奇数，@表示偶数，如下表， * * * @ @ * @ * * * @ @ * @ * * * @ @ * @ * * * @ @ * @ …… 显然，该数列奇偶数出现以7为周期，一个周期内下标从小到大对应项依次出现3个奇数，2个偶数，1个奇数，1个偶数， 而，故是奇数，③错误； 由，，，…，，且， 所以，又， 故，④正确. 故选：B. 方法技巧 1.根据递推公式依次列举数列前若干项； 2.观察数列重复规律，确定最小正周期T； 3.用项数n除以周期T，求余数，根据余数对应项求解数值。 【变式训练4-1】（24-25高三上·上海·阶段检测）斐波那契数列可以用如下方法定义：，.若各项除以4的余数依次构成一个新数列，则_______. 【答案】1 【详解】由题意，数列为 各项除以4的余数依次构成一个新数列为 所以，数列是以6为周期的周期数列， 所以，， 故答案为：1. 【变式训练4-2】（24-25高三上·上海·期中）数列满足：为正整数，，若，则______. 【答案】 【详解】因为，， 所以，，，， 以此类推，可知，即数列是周期为的周期数列， 所以 . 故答案为：. 【变式训练4-3】（2025·上海嘉定·二模）设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（    ） A．数列和数列均不是周期数列 B．数列是周期数列，数列不是周期数列 C．数列不是周期数列，数列是周期数列 D．数列和数列均为周期数列 【答案】B 【详解】令，则数列的一个周期为6， 又， 则， 令，则数列的一个周期为8， 又， 则， 所以数列的一个周期为24，且，所以，则的一个周期为24， 又，， 所以，故，所以不是周期数列. 故选：B. 【变式训练4-4】（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）定义：若数列中存在连续三项之和为4的倍数，则称该数列为“4性数列”；反之，则称其为“非4性数列”.已知数列满足，，且对任意整数，都有等于与之和除以4的余数.若从数列的前40项中任选两项、，将数列中到之间（包含和）的所有项取出，按原来的顺序构成一个新的数列，则取出的所有新数列中，不同的“4性数列”的个数为______. 【答案】207 【详解】，，，，，，，，……， 可以看出该数列周期为， 在前8项中符合“4性数列”条件的有和， 同样满足条件的还有，……，，共有12个三元数组. 考虑符合条件的取出的数列长度，. 若，共有2个； 若，共有4个； 若，各有6个； 当时，各有5、4、3、2、1个， 所以总计个. 故答案为：207 题型5 数列概念辨析、命题真假判断（上海选择填空特色题） 例5-1（2026·上海松江·模拟预测）已知数列满足（n为正整数），关于数列有以下两个命题：①若，则的取值范围是；②若，则的所有可能取值的个数是4个.则以下选项正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．两个都是真命题 D．两个都是假命题 【答案】B 【详解】因为，所以，则（n为正整数）， 对于①因为，若，则，解得或（舍）， 又，则，解得或，故①是假命题； ②因为，，所以， 若，则，整理得， 解得，则的所有可能取值的个数是4个，故②是真命题. 例5-2（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知数列满足，有如下两个命题： 命题：“是严格减数列”的充要条件是“存在使得对任意，都有”； 命题：“是严格增数列”的充要条件是“存在使得对任意，都有”． 则下列说法中正确的是（    ） A．是真命题，是假命题 B．是假命题，是真命题 C．和都是真命题 D．和都是假命题 【答案】B 【详解】因为数列满足，所以， 设函数，， 所以当单调递增；当单调递减； , 单调递增；单调递减；， 所以是函数的切线；由迭代思想可知是假命题，是真命题； 所以时，，是严格增数列，存在使得对任意，都有； 所时，，是严格减数列的充要条件不是存在使得对任意，都有； 故选：B. 方法技巧 真命题：严格依据数列定义、性质论证；假命题：列举反例直接推翻。 易错分析 数列递增的充要条件：∀n∈N*，aₙ₊₁>aₙ，有限项递增不能判定整体数列递增； 数列与数集的区别：数列元素有序、可重复，数集元素无序、互异； 并非所有数列都存在通项公式，通项公式不唯一。 【变式训练5-1】（24-25高三下·上海·阶段检测）数列中，若，，给出下列两个命题： ①若数列为常数数列，则； ②若不是整数，任取中的项、、、构成数列，则数列是严格增数列，或者是严格减数列．则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题 【答案】C 【详解】数列中，若，，， ①若数列为常数数列，则， 作出函数与函数的图象如下图所示： 解方程，结合图形可得或，故①不正确； ②若，任取中的项、、、构成数列， 由，可得，为奇函数， 当时，， 因为，则函数在上单调递减， 因为，， 所以，存在唯一的，使得， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 又因为，故当时，，即， 即当时，则，，且， ，且，， 以此类推可知，数列为单调递增数列， 由于、、、，即数列为严格递增数列； 由于函数为奇函数，则当时，，即， 故当时，，，且， ，，且，， 以此类推可知，数列为单调递减数列， 由于、、、，即数列为严格递减数列； 若且时，则， 若，由上可知，数列从第二项开始单调递减， 由于、、、，即数列为严格递减数列； 若，由上可知，数列从第二项开始单调递增， 由于、、、，即数列为严格递增数列. 综上所述，若不是整数，任取中的项、、、构成数列， 则数列是严格增数列，或者是严格减数列，故②正确. 故选：C. 【变式训练5-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知正项数列满足，记为数列的前项和，则对于p：“”；q：“”，判断正确的是（   ） A．p、q均是假命题 B．是真命题，是假命题 C．p、q均是真命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【详解】由题意，即， 由于，则与同号， 由于，则， 所以， 所以单调递减， 当时，， 当时，，， ， 所以命题是真命题； ，， 由于，则可以设， 代入得，则可令， 由，令，则， 设，，则 设，则， 则单调递增，， 则，单调递增，， 所以，当时等号成立， 所以， 所以， 因为， 所以成立，命题是真命题. 故选：C. 【变式训练5-3】（2025·上海松江·二模）定义在上的函数满足，当时，，有以下两个命题： ①当为正整数时，； ②若函数在区间内有3个极大值点，则的取值范围是. 则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 【答案】A 【详解】对于①，当为正整数时，已知， 则，， 将这些式子累加可得， 由等差数列求和公式， 所以，故①正确， 对于②，当时，，令， ， 即， 同理，可得， ， 由，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极大值点， 当时，则， 同上易得是极大值点， 当时，则， 可得为极大值点， 当时，则， 易得为极大值点， 因为函数在区间内有3个极大值点，所以，故②错误. 故选：A. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【详解】由题意，不妨设， 三点均在第一象限内，由可知，， 故点恒在线段上，则有. 即对任意的，恒成立， 令，构造函数， 则，由单调递增， 又，存在，使， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故至多个零点， 又由， 可知存在个零点，不妨设，且. ①若，即时，此时或. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，即时，此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得或； 综上可知，正整数的个数有个. 故选：B. 二、填空题 2．（2024·上海·高考真题），任意，满足，求有序数列有_____对. 【答案】48 【详解】由题意知， 满足， 不妨设， 则必有， 若，解得； 若，解得， 由此可知此时有2种情况， 结合任意，共有对， 故答案为：48 三、解答题 3．（2021·上海·高考真题）已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项 （1）已知，，，求的所有可能取值； （2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比； （3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值. 【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）. 【详解】（1）由题意，或， ∴，此时，满足 ，此时，， 所以 （2）∵，∴，或，经检验，； ∴，或（舍），∴； ∴，或（舍），∴； ∴，或（舍），∴； 综上，、、成等比数列，公比为； （3）由或，可知或， 由第（2）问可知，， ∴，， ∴， 同理，，，∴， 同理，，∴的最大值为 4．（2022·上海·高考真题）数列对任意，且，均存在正整数，满足. (1)求可能值； (2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由： (3)若成立，求数列的通项公式. 【详解】（1）因为，所以或，所以可能值为7或9； （2）因为成等差数列，所以，, 所以， 逆命题：若，则为等差数列是假命题，举例：故命题为假命题， （3）因为，所以 ，所以， 因此， 以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明恒成立： 当时，明显成立； 假设当时命题成立，即， 则，即，即命题得证； 回到原题，分类讨论求数列的通项公式： 1.若，则矛盾； 2.若，则，所以，所以， 此时， 所以， 3.若，则，所以，所以， 所以（由（2）知对任意成立），所以，与事实上矛盾， 综上. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．根据下面数列的通项公式，分别说出各数列的前5项． (1) (2)． 【答案】(1)，，，， (2)，，，， 【详解】（1）因为，所以，， ，，. （2）因为， 所以，，，，. 2．写出下面各数列的一个通项公式： (1)，，，，…… (2)，，，，…… 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【详解】（1）数列的前几项可改写为，，，，……，则（答案不唯一）. （2）数列的前几项可改写为，，，，……，则（答案不唯一）. 3．已知下列数列的通项，画出数列的图象，并判断数列的增减性． (1)； (2)． 【详解】（1），且，， 数列为递减数列，如图：    （2），， 数列为递增数列，如图：    4．试分别根据下列条件，写出数列的前5项： (1)，，，其中； (2)，，其中． 【答案】(1)1，2，4，8，16 (2)2，，，，． 【详解】（1）因为，，，其中， 所以，， ． 因此，数列的前5项依次为1，2，4，8，16． （2）因为，，其中， 所以，， ，． 因此，数列的前5项依次为2，，，，． 5．将正整数数列、、、、、的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表： (1)写出数表的第行、第行； (2)写出数表中第行的第个数； (3)设数表中每行的第个数依次构成数列，数表中每行的最后一个数依次构成数列，试分别写出数列、的递推公式，并求出它们的通项公式． 【详解】（1）解：数表中的第行为、、、， 数表中的第行为、、、、； （2）解：前行中每一行的第一个数分别为、、、、、、、、、， 所以，数表中第行的第个数为； （3）解：，，，， 所以，数列的递推公式为， 则 ， 由数表可得，，，， 所以，数列的递推公式为， 所以，. 6．已知数列的通项公式为． (1)数列从第几项起各项的数值逐渐增大？ (2)数列的哪些项为正数？ (3)数列中是否存在数值与首项相同的项？ 【答案】(1) (2)及其时，. (3)存在， 【详解】（1）， 数列从第项起各项的数值逐渐增大. （2）令，解得：或， 因此及其时，. （3），令，解得：或， 因此数列中存在数值与首项相同的项，. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．已知常数，有穷数列共有7项，其通项公式为.对于任意满足的正整数，记为中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（   ）. A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【详解】，又， 所以， 对于A，若且，则即可，故A是可能，不符合题意， 对于B，若，则可知，则，故B不可能，符合题意， 对于C，若且，则即可，故C是可能的，不符合题意， 对于D，若且，则即可，故D是可能的，不符合题意. 故选：B. 2．记为数列的前项和，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 当时，，不满足上式，所以 3．已知数列对任意正整数，均满足，则_________． 【答案】 【详解】由数列对任意正整数，均满足， 当时，可得；当时，可得， 所以. 故答案为：. 4．将自然数，，，，按照如图排列，我们将，，，称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是______. 【答案】1275 【详解】设数列，，，，……，故， 利用叠加法：， ， 故. 故答案为：1275. 5．数列的前n项和，则其通项公式__________. 【答案】 【详解】当时，. 当时，， 显然， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 6．某种规律排列的一列数： 那么第50个数是___________. 【答案】 【详解】分母为的数个数为个， 其中，故第50个数的分母为11， 其中为第47个数，为第50个数. 故答案为： 7．记为数列的前项和，若，，则____ 【答案】243 【详解】，当时，有. 当时，有. 故，即，. 又因为，则数列是公比为，首项为的等比数列. 因此. 当时，. 故答案为：243. 8．已知数列满足，则__________. 【答案】 【详解】因为①， 当时，②， ①②得，所以， 所以. 故答案为： 9．已知函数，数列满足，且（为正整数），则______________． 【答案】 【详解】由有，所以， 所以数列是常数数列，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 10．（24-25高三上·上海宝山·开学考试）已知数列，，若在上是递增数列，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】在上是递增数列，所以，，且， 即， 所以，即， 又， 所以. 故答案为：. 11．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设常数b为整数，数列的通项公式为，若（，）的最小值为，则b＝________． 【答案】 【详解】由题意知， 当，即时，根据二次函数的性质可知，数列在上单调递增， 此时的最小值为，故， 可得，化简得， 因为，所以方程无解，故不符合题意； 当，即时，根据二次函数的性质可知， 的最小值为，故， 即，解得； 综上所述，. 故答案为： 重难·创新演练 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·期中）一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断： ①对于数列，若，则为周期数列；②若满足：，，则为周期数列；③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列．其中所有正确判断的序号是（    ） A．②③④ B．②④ C．②③ D．①②③④ 【答案】C 【详解】对于①，若为:，，满足题意，但是数列不是周期数列，故①错误; 对于②，由可知，，...， 即数列的偶数项都相等，奇数项都相等， 所以当时，能使得当取每一个正整数时，都有， 故数列为周期数列，故②正确; 对于③，若为周期数列，则一个周期内必存在最大值，它是有界的， 故存在正整数，使得恒成立，故③正确; 对于④，首项为1，公比为2的等比数列:，， 可任取一个符合题意的数，不妨取，满足题意， 但很明显数列：不是周期数列，故④错误. 故选：C. 2．（2025·上海长宁·一模）将正整数按一定次序排列得到排列，若排列中的任意一项都满足：，则满足题意的排列的个数为（　　） A．36 B．55 C．89 D．144 【答案】C 【详解】设 满足题意的排列个数为，本题所求为. 由题可得，，. 当，此时，，， 则满足题意的排列个数为； 当，，此时，，， 则满足题意的排列个数为； 当，，则，，，，， 此时没有整数使满足题意，即当，时，满足题意的排列不存在. 综上可得，. 注意到，，则， . 故选：C 3．（2026·上海闵行·二模）已知平面上13个向量，其中，若对任意，总有且，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 且对任意，总有 所以构成一个等比数列，其首项为1，公比为， 所以， 又因为， 即相邻向量垂直， 即, 所以共线，共线， 要使最小， 设，， 则有， 即求的最小值， 当共线且与反向时，最小， 且 ， 当共线且与反向时，最小， 且 ， 所以. 即的最小值为. 4．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）若数列满足：对任意的正整数，总存在正整数使得（其中），则称具有“性质”，对于以下两个结论，说法正确的是（    ） 结论①：若具有“性质”，则中任意一项均可写成中的两项之差； 结论②：等比数列不具有“性质”． A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错 【答案】A 【详解】对于①：若具有“性质”，则对任意的正整数，总存在正整数使得， 当时，， 因为具有“性质”，则存在正整数，使得， 所以， 当时，，由“性质”可得，存在正整数，使得，即， 当时，，由“性质”可得，存在正整数，使得， 则，即存在正整数，使得，， 综上，中任意一项均可写成中的两项之差，故①正确； 对于②：因为，所以， 假设它具有“性质”，则对任意的正整数，总存在正整数使得， 即， 当时，，此时符合题意； 当时，，6不是2的整数次幂，即不存在正整数，使得， 因此等比数列不具有“性质”，故②正确. 5．（25-26高三上·上海金山·阶段检测）设，数列，数列．设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的正整数n有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【详解】∵长为，，的线段均能构成三角形， ∴， ① 当时，有，即， 又，∴，即恒成立； ② 当时，有，即， ∴，因为，易知随着的增大而增大，所以； 则有，整理可得， 结合数列的函数特性以及指数函数和一次函数增长速度不同，以及， 可知当，，不合题意； 当时，，当时，， 当时，，因此可得， ③ 当时，有，即， 当时，显然成立，当时，， 因为，易知随着的增大而增大，所以， 因此即可，即，所以； 结合数列的函数特性以及指数函数和一次函数增长速度不同，以及，可得， 综上可得 ∴满足条件的n有2个． 故选：B． 6．（2026·上海嘉定·二模）设数列满足，且，其中．下列选项中错误的是（   ） A．存在，使得存在正整数N，当时，总有 B．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 C．对任意，都不存在正整数N，使得当时，总有 D．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 【答案】C 【详解】对于A，令，则， 存在，当时，有且，所以，故A正确； 对于B，令，则， 当时，， 当时，， 由A当时，总有， 因此不存在正整数，对所有的，总有，故B正确； 对于C，令，则， 当时，有， 又因为，，而，所以， 则时，总有， 因此当时，存在，当时，有，故C错误； 对于D，令，则，数列正负交替出现， 因此不存在正整数，对所有的，总有，故D正确； 二、填空题 7．（2026·上海金山·二模）已知是数列的前项和，且，且．若，则__________． 【答案】 【详解】因为， ， ， ， . 所以. 设， 则. 所以， 所以. 8．（25-26高三上·上海·开学考试）设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②为减数列；③的所有项的和为m.记所有这样的不同数列的个数为.例如：当时，所有的不同数列为：与，从而.若，则的通项公式为___________. 【答案】 【详解】当，即时，所有的不同数列为： ， ， ， ，以及，共12个， 故；同理可得，， 由题意知，， ，即， 则时，，， 累加得，又， ，也适合该式， 所以. 故答案为： 9．（23-24高三下·上海·开学考试）整数列，，，对有，为固定正整数，求使成立时，的值为______. 【答案】2024或1012 【详解】设，则，若，则由可得， 故对任意正整数，，这与矛盾，所以. 设（），则，，，，，， 因此整个数列是以6为周期的循环数列. 因此，设是整数（，都是正整数）， 则， 因此只可能是1或2，对应的也只有2个，即2024与1012. 故答案为：2024或1012. 10．（2025·上海杨浦·一模）数列：满足：，且，记集合.若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”.“好的”数列的个数为_____. 【答案】1926 【详解】由题意，要，则需满足， 即，即， 由已知数列为递增数列，， 则有， 设，则， 又，则，则； ，则，则， 所以，则整数个数为， 则“好的”数列的个数为1926. 故答案为：1926. 三、解答题 11．（2026·上海金山·二模）若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． (1)已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； (2)已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； (3)已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 【答案】(1)是，理由：由， 由，得，从而有，即得， 即， 从而函数在区间上为封闭函数； （2）由，， 函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线， 根据题意在区间上不为单调函数，得， 从而函数在区间单调递减，在区间单调递增， 从而，， 由函数在区间上为封闭函数，即有， 从而，即， 那么，即得， 即的最大值为 ； (3)证明：由函数在区间上连续且为封闭函数，令， 从而函数在区间上连续， 函数在区间上为封闭函数， 从而，，即有，， 由函数在区间上连续，且， 故存在，使得，即， 假设存在，且，使得，， 则， 又因为任意的、，都有成立， 所以矛盾， 所以存在唯一的常数，使得， 数列满足，且， 当，那么，那么， ， 可知数列中的，且， 那么由，则， ， 由，所以， 则，即有. 故存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 12．已知无穷数列（）的前n项和为，记，，…，中奇数的个数为． (1)若，请写出数列的前5项； (2)求证：“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是严格增数列的充分不必要条件； (3)若，2，3，，求数列的通项公式． 【详解】（1）解：因为，故当时，，则是第二项起的等差数列， 所以 所以 则，即数列的前5项为：1，2，2，2，3； (2)证明：（充分性） 是奇数，，3，为偶数， 对于任意，都是奇数， ， 数列是单调递增数列． （不必要性） 当数列中只有是奇数，其余项都是偶数时，为偶数，，3，均为奇数， ，数列是单调递增数列， “为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是单调递增数列”的不必要条件． 综上，：“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件 （3）解：①当为奇数时，若为偶数， 若是奇数，则为奇数，为偶数，与矛盾； 若为偶数，则为偶数，为奇数，与矛盾． 当为奇数时，不能为偶数； ②当为偶数，若为奇数， 若为奇数，则为偶数，为偶数，与矛盾， 若为偶数，则为奇数，为奇数，与矛盾， 当为偶数时，不能是奇数． 综上，与同奇偶， 若为奇数，则，若与同为奇数，则此时，与为奇数矛盾， 若与同为偶数，则此时，与为偶数矛盾， 所以为偶数，则，若与同为奇数，则此时， 若与同为奇数，则此时，与为奇数矛盾，若与同为偶数，则此时，与为偶数矛盾， 所以与同为偶数，则， 以此类推，，2，3，... 得到当时，，当时，为偶数即可满足. 所以. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $