第15讲 复数（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦复数高考核心考点，涵盖复数的有关概念、几何意义及四则运算，按“基础概念—运算技巧—几何应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统突破实部虚部辨析、纯虚数参数求解、模的性质应用等难点。 资料突出数形结合思想与分层教学特色，如在复平面轨迹问题中，引导学生翻译几何意义、确定轨迹类型、用几何知识求最值，培养数学眼光与空间观念。设置基础演练与重难创新分层练习，配合题型陷阱总结，助力学生高效夯实基础、提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第15讲 复数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 复数的有关概念 知识点2 复数的几何意义 知识点3 复数的四则运算 题型破译 (含超链接） 题型1 复数概念辨析（实部、虚部、共轭复数） 题型2 根据复数类型求参数（高频填空） 题型3 复数四则运算（除法为重灾区） 题型4 复数相等条件求参 题型5 复数模的计算与性质简化 题型6 复平面几何意义（上海高考特色） 题型7 复数与充分必要条件结合 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 复数的分类 秋考第15题 / / 复数代数形式的四则运算 / / 春考第3题 秋考第9题 复数的模 春考第9题 秋考第10题 春考第3题 / 考情分析 复数是上海高考数学必拿满分、零失误的基础板块，知识点单一、套路固定、难度极低。该板块一旦失分，均为概念混淆、运算粗心、审题疏漏等低级失误，是一轮复习必须彻底夯实的核心基础题型。 2027届命题趋势预判 1.命题底层逻辑不变，仍以基础概念辨析+代数运算为核心必考内容，坚守教材本源，不拓展超纲知识点； 2.持续强化数形结合思想，复平面轨迹、模的最值问题会成为主要区分点，是2027届复习重点突破方向； 3.严格规避超纲内容，不考查复数三角形式、棣莫弗定理，复习无需拓展此类内容； 4.题型陷阱常态化，重点围绕虚部定义、纯虚数双重条件、虚数大小比较等易错点设题，侧重考查学生答题严谨性。 复习目标 ✅ 基础目标（全体学生必达成，保底满分） 1.熟记复数标准形式，精准区分实部、虚部（核心易错点：虚部不含）； 2.清晰掌握复数分类标准：实数（）、虚数（）、纯虚数（）； 3.熟练掌握复数四则运算，精准掌握除法分母实数化的标准解题步骤，无运算失误； 4.掌握共轭复数定义，熟练运用基础模长公式 ； 5.活用复数相等充要条件，能根据等式列方程求解实数参数。 ✅ 进阶目标（中档及优等生，突破中档题型） 1.熟练运用复数模的四大核心性质，简化运算、提升解题速度：、 、、； 2.建立完整复平面数形结合思维，实现复数、复平面内点、平面向量三者灵活转化； 3.精准翻译复数几何表达式，掌握距离模型，能识别圆、线段等常见轨迹，熟练求解限定条件下的最值问题。 ✅ 冲刺目标（冲120+高分，全面零漏洞） 1.熟练解决复数与简易逻辑结合的综合小题，精准判断充分、必要条件； 2.掌握代数法、几何法两种解题路径，能根据题型快速选择最优解法，规避繁琐运算； 3.全面识别复数所有题型陷阱，实现基础题、中档题零失误，考试稳定满分。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是复数的实部，b是复数的虚部，i为虚数单位. (2)复数的分类： 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复数 (3)复数相等： a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). (4)共轭复数： a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). (5)复数的模： 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R). 自主检测 1．若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 知识点2 复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 自主检测 2.（24-25高三下·上海静安·期中）若复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限，则（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 知识点3 复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝i(c＋di≠0). (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即，. 自主检测 3．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知复数 ，则 _______. 题●型●破●译 题型1 复数概念辨析（实部、虚部、共轭复数） 例1-1（2026·上海黄浦·三模）已知是虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个根，则的虚部为（     ）． A．3 B． C． D． 例1-2（25-26高三上·上海·期末）已知复数，其中为虚数单位，则___________. 例1-3（24-25高三上·上海·期中）复数方程解的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 方法技巧 所有复数先统一整理为标准形式，再拆分实部、虚部，避免格式混乱出错。 【变式训练1-1】（2025·上海徐汇·三模）已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部为______. 【变式训练1-2】（2025·上海黄浦·二模）为虚数单位，若复数满足且，则________． 【变式训练1-3】（25-26高三下·上海·阶段检测）向量，设向量对应的复数为，则___________． 【变式训练1-4】（25-26高三上·上海松江·期中）若复数为方程的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 题型2 根据复数类型求参数（高频填空） 例2（2026·上海金山·二模）已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数__________． 方法技巧 第一步：对复数化简，分离出独立的实部、虚部（含参数）； 第二步：按定义列条件：实数⇔虚部=0；虚数⇔虚部≠0；纯虚数⇔实部=0且虚部≠0； 第三步：求解参数，重点验证纯虚数题型，杜绝遗漏虚部非零条件产生增根。 【变式训练2-1】（25-26高三上·上海·阶段检测）若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为______. 【变式训练2-2】已知a是实数，并且是实数，则______． 【变式训练2-3】（2025·上海普陀·一模）若复数是纯虚数，且，则的实部为___________． 题型3 复数四则运算（除法为重灾区） 例3-1（2026·上海静安·二模）设i是虚数单位，计算：______． 例3-2（2026·上海普陀·二模）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______. 例3-3（25-26高三上·上海青浦·期末）若复数，则___________ 例3-4（2026·上海·三模）已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则的值为____________. 方法技巧 核心难点：除法运算符号出错、分母未完全实数化。 标准解题步骤：分子分母同乘分母的共轭复数，利用化简，最终合并实部、虚部，将结果化为标准形式。 运算口诀：先乘展开，再换虚数，最后合并，规范收尾。 【变式训练3-1】（2026·上海金山·模拟预测）已知，则_________． 【变式训练3-2】（2025·上海·模拟预测）已知两个复数的和为4、积为6，这两个复数为___________.． 【变式训练3-3】（2026·上海·模拟预测）已知是虚数单位，计算：__________． 【变式训练3-4】（2026高三下·上海·竞赛）复数满足，且，则_________． 题型4 复数相等条件求参 例4-1（25-26高三上·上海·阶段检测）i为虚数单位，（），则_________. 例4-2（2026·上海浦东新·三模）已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为___________． 方法技巧 等式左右两侧全部化简为标准形式，根据复数相等充要条件列二元方程组：，求解参数即可。 【变式训练4-1】（2026·上海闵行·二模）已知，若（其中为虚数单位），则______. 【变式训练4-2】（25-26高三上·上海·开学考试）已知、，且是关于的方程的一个根，______． 题型5 复数模的计算与性质简化 例5-1（2026·上海·模拟预测）若复数满足（其中是虚数单位），则__________． 例5-2（25-26高三下·上海·期中）已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 例5-3（25-26高三下·上海·阶段检测）若复数满足，则的取值范围是_________． 方法技巧 优先用模的性质简化运算，拒绝硬算化简，大幅提升速度、降低失误率。 常用简化思路：求无需化简分式，直接用；遇到直接替换为。 【变式训练5-1】（25-26高三上·上海·期中）设复数满足与均为实数（为虚数单位），则的值为____________. 【变式训练5-2】（2026·上海长宁·二模）已知复数满足：，且，则的最小值为________. 【变式训练5-3】（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）已知复数和满足，且，则的最小值为__________． 【变式训练5-4】（2026·上海奉贤·二模）已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________． 题型6 复平面几何意义（上海高考特色重难点） 例6-1（24-25高三下·上海青浦·阶段检测）若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（    ） A．一条直线上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．一支双曲线上 例6-2（2026·上海浦东新·三模）已知复数满足，且当复平面上以，，，对应的点为顶点的四边形面积最大时，与最接近的整数为（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 例6-3（2026·上海虹口·三模）已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________． 方法技巧 语言翻译：表示动点到定点的距离，表示动点到定点的距离； 确定轨迹：根据条件判断动点轨迹为圆、圆域或线段； 几何求解：利用圆心、半径、定点间距，直接通过平面几何知识求最值，替代繁琐的代数设元计算。 【变式训练6-1】（2025·上海·模拟预测）若复数z在复平面中的对应点都在一个过原点的圆上，则的对应点均在（   ） A．一条直线上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．一支双曲线上 【变式训练6-2】（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，复数在复平面内对应的点的坐标为.若复数满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．5 【变式训练6-3】（2025·上海·三模）在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为______． 题型7 复数与充分必要条件结合 例7（25-26高三上·上海·期中）设，则是的（    ）条件． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 先写出题干条件的完整充要范围，再根据集合包含关系判断充分、必要条件，重点注意边界取值的取舍。 【变式训练7-1】（2026·上海·模拟预测）若复数与在复平面上分别对应点与，则“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【变式训练7-2】（24-25高三上·上海·阶段检测）设复数分别对应于平面向量，则""是""的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【变式训练7-3】（24-25高三下·上海·阶段检测）复数z是纯虚数的一个充分条件为（   ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1.（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 2．（2024·上海·高考真题）已知，则_______. 3．（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 4．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 5.（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________. 6．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．复数的虚部是__________. 2．已知，求证：中至少有一个是0. 3．若，求． 4．已知复数在复平面上对应的点是一个正方形的3个顶点，求这个正方形的第4个顶点对应的复数. 5．已知是方程的两个根，求的值. 6．已知为实数，且，求的值. 7．若是关于的实系数方程的一个根，求的值. 8．如图，复平面内的是等边三角形，它的两个顶点A，B的坐标分别为，求点C的坐标. 9．在复平面内三点对应的复数分别为1，，． (1)求，，对应的复数； (2)判断的形状，并求的面积． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（24-25高三上·上海·开学考试）若是关于的实系数方程的一根，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．0 D．4 2．（24-25高三上·上海嘉定·期中）复数z满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 3．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知复数z满足，则（    ）． A． B． C． D．2 4．（2026·上海·三模）已知复数（i为虚数单位），则______． 5．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知集合，则用列举法表示集合_______. 6．（2026·上海·三模）若复数满足（为虚数单位），则__________． 7．（2026·上海·模拟预测）若（是虚数单位），则复数的虚部是______． 8．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，若复数满足（为虚数单位），且，则______. 9．（2026·上海松江·模拟预测）已知复数满足（其中为虚数单位），则__________. 10．（2026·上海·三模）已知复数满足，其中为虚数单位，则_____． 11．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数__________. 12．（2025·上海黄浦·三模）复数z满足（i是虚数单位），则在复平面内，z对应的点在第________象限． 13．（2025·上海·模拟预测）已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为________． 14．（2026·上海·三模）已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 15．（2026·上海·三模）若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则______． 16．（2026·上海·三模）已知，若，则的最小值为___________ 重难·创新演练 1．（24-25高三上·上海杨浦·期中）已知，则下列结论正确的个数是（    ） ①存在实数解； ②共有个不同的复数解； ③复数解的模长都等于； ④存在模长大于的复数解． A． B． C． D． 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）设复数记，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 3．（25-26高三上·上海金山·阶段检测）设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（   ） A．0 B．-1 C．-2 D．1 4．（2026·上海杨浦·二模）设集合，，若，则实数的取值范围是______. 5．（24-25高三上·上海·期中）设为正整数.若存在复数，满足且，则的最小值为________. 6．（2026·上海·二模）已知复数满足是实数，则的最小值为________． 7．（2026·上海静安·二模）若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______． 8．（2026·上海徐汇·二模）已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________. 9．（25-26高三上·上海·期中）下列命题，其中正确的是________（填序号） ①已知 为实数，若 ，则 ②已知 为复数，若 ，则 ③已知 为向量，若 ，则 10．（2026·上海嘉定·二模）在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． (1)求的值； (2)若复数z满足，求． 11．（2026·上海·模拟预测）设函数，． (1)若，求函数的所有单调区间； (2)若方程有两个虚根和，且．求的值． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 复数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 复数的有关概念 知识点2 复数的几何意义 知识点3 复数的四则运算 题型破译 (含超链接） 题型1 复数概念辨析（实部、虚部、共轭复数） 题型2 根据复数类型求参数（高频填空） 题型3 复数四则运算（除法为重灾区） 题型4 复数相等条件求参 题型5 复数模的计算与性质简化 题型6 复平面几何意义（上海高考特色） 题型7 复数与充分必要条件结合 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 复数的分类 秋考第15题 / / 复数代数形式的四则运算 / / 春考第3题 秋考第9题 复数的模 春考第9题 秋考第10题 春考第3题 / 考情分析 复数是上海高考数学必拿满分、零失误的基础板块，知识点单一、套路固定、难度极低。该板块一旦失分，均为概念混淆、运算粗心、审题疏漏等低级失误，是一轮复习必须彻底夯实的核心基础题型。 2027届命题趋势预判 1.命题底层逻辑不变，仍以基础概念辨析+代数运算为核心必考内容，坚守教材本源，不拓展超纲知识点； 2.持续强化数形结合思想，复平面轨迹、模的最值问题会成为主要区分点，是2027届复习重点突破方向； 3.严格规避超纲内容，不考查复数三角形式、棣莫弗定理，复习无需拓展此类内容； 4.题型陷阱常态化，重点围绕虚部定义、纯虚数双重条件、虚数大小比较等易错点设题，侧重考查学生答题严谨性。 复习目标 ✅ 基础目标（全体学生必达成，保底满分） 1.熟记复数标准形式，精准区分实部、虚部（核心易错点：虚部不含）； 2.清晰掌握复数分类标准：实数（）、虚数（）、纯虚数（）； 3.熟练掌握复数四则运算，精准掌握除法分母实数化的标准解题步骤，无运算失误； 4.掌握共轭复数定义，熟练运用基础模长公式 ； 5.活用复数相等充要条件，能根据等式列方程求解实数参数。 ✅ 进阶目标（中档及优等生，突破中档题型） 1.熟练运用复数模的四大核心性质，简化运算、提升解题速度：、 、、； 2.建立完整复平面数形结合思维，实现复数、复平面内点、平面向量三者灵活转化； 3.精准翻译复数几何表达式，掌握距离模型，能识别圆、线段等常见轨迹，熟练求解限定条件下的最值问题。 ✅ 冲刺目标（冲120+高分，全面零漏洞） 1.熟练解决复数与简易逻辑结合的综合小题，精准判断充分、必要条件； 2.掌握代数法、几何法两种解题路径，能根据题型快速选择最优解法，规避繁琐运算； 3.全面识别复数所有题型陷阱，实现基础题、中档题零失误，考试稳定满分。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是复数的实部，b是复数的虚部，i为虚数单位. (2)复数的分类： 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复数 (3)复数相等： a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). (4)共轭复数： a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). (5)复数的模： 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R). 自主检测 1．若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 【答案】A 【详解】因为，所以，解得， 则复数的虚部为或2，故A正确. 故选：A 知识点2 复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 自主检测 2.（24-25高三下·上海静安·期中）若复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限，则（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【详解】， 因为复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限， 所以，解得. 故选：D. 知识点3 复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝i(c＋di≠0). (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即，. 自主检测 3．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知复数 ，则 _______. 【答案】 【详解】由题意得， 所以 题●型●破●译 题型1 复数概念辨析（实部、虚部、共轭复数） 例1-1（2026·上海黄浦·三模）已知是虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个根，则的虚部为（     ）． A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】由实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭复数，故，其虚部为. 例1-2（25-26高三上·上海·期末）已知复数，其中为虚数单位，则___________. 【答案】 【详解】因为，所以，故. 故答案为：. 例1-3（24-25高三上·上海·期中）复数方程解的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】设，则，， 因为，即， 所以，解得或或，共4组解， 即复数方程解的个数为个. 故选：A 方法技巧 所有复数先统一整理为标准形式，再拆分实部、虚部，避免格式混乱出错。 【变式训练1-1】（2025·上海徐汇·三模）已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部为______. 【答案】 【详解】设，， 则， 所以，解得， 则z的虚部为. 故答案为：. 【变式训练1-2】（2025·上海黄浦·二模）为虚数单位，若复数满足且，则________． 【答案】 【详解】设，则，由，得，解得， 即，由，得，所以. 故答案为： 【变式训练1-3】（25-26高三下·上海·阶段检测）向量，设向量对应的复数为，则___________． 【答案】5 【详解】向量 对应的复数为 ，则， 则复数 的模为. 【变式训练1-4】（25-26高三上·上海松江·期中）若复数为方程的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程的一个根是复数， ∴该方程的另一个根是其共轭复数， 故选：B． 题型2 根据复数类型求参数（高频填空） 例2（2026·上海金山·二模）已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数__________． 【答案】 【详解】由复数为纯虚数， 则，解得. 方法技巧 第一步：对复数化简，分离出独立的实部、虚部（含参数）； 第二步：按定义列条件：实数⇔虚部=0；虚数⇔虚部≠0；纯虚数⇔实部=0且虚部≠0； 第三步：求解参数，重点验证纯虚数题型，杜绝遗漏虚部非零条件产生增根。 【变式训练2-1】（25-26高三上·上海·阶段检测）若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为______. 【答案】 【详解】因为为纯虚数，所以，解得， 故答案为：. 【变式训练2-2】已知a是实数，并且是实数，则______． 【答案】 【详解】依题意，， 由是实数，得，所以. 故答案为： 【变式训练2-3】（2025·上海普陀·一模）若复数是纯虚数，且，则的实部为___________． 【答案】 【详解】由复数是纯虚数，设， 由，得， , 所以的实部为. 故答案为：. 题型3 复数四则运算（除法为重灾区） 例3-1（2026·上海静安·二模）设i是虚数单位，计算：______． 【答案】 【详解】， 所以. 例3-2（2026·上海普陀·二模）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______. 【答案】 【详解】复数z满足， 则+3i， 则， 则. 例3-3（25-26高三上·上海青浦·期末）若复数，则___________ 【答案】 【详解】复数， 所以. 方法二： . 例3-4（2026·上海·三模）已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则的值为____________. 【答案】 【知识点】数列周期性的应用、求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】通过已知条件推出数列为周期数列，再利用周期性求和即可. 【详解】因为， 所以，即数列周期为， 已知，计算得，，以此类推，奇数项都为， 偶数项都为. . 因为，所以总和为， 所以. 方法技巧 核心难点：除法运算符号出错、分母未完全实数化。 标准解题步骤：分子分母同乘分母的共轭复数，利用化简，最终合并实部、虚部，将结果化为标准形式。 运算口诀：先乘展开，再换虚数，最后合并，规范收尾。 【变式训练3-1】（2026·上海金山·模拟预测）已知，则_________． 【答案】 【详解】由题意，， ∴， ， ∴. 【变式训练3-2】（2025·上海·模拟预测）已知两个复数的和为4、积为6，这两个复数为___________.． 【答案】和 【详解】设这两个数分别是，则， 因此这两个数是方程的两个根， 整理得，解得， 所以这两个复数为和． 故答案为：和 【变式训练3-3】（2026·上海·模拟预测）已知是虚数单位，计算：__________． 【答案】2 【详解】因为所以 因为所以原式的值为． 【变式训练3-4】（2026高三下·上海·竞赛）复数满足，且，则_________． 【答案】 【详解】因为由，可得，又， 所以，又 所以，所以． 题型4 复数相等条件求参 例4-1（25-26高三上·上海·阶段检测）i为虚数单位，（），则_________. 【答案】 【详解】由， 所以， 所以，即， 故答案为： 例4-2（2026·上海浦东新·三模）已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】5 【详解】方法一：由实系数一元二次方程的虚根性质可知，方程的两个虚根互为共轭复数， 已知是方程的一个根，则另一根为， 根据韦达定理，对于方程，两根之积等于常数项， 因此. 方法二：将代入方程，得： ， 展开并整理得，即， 因为为实数，根据复数相等的充要条件，可得方程组： ， 解得. 方法技巧 等式左右两侧全部化简为标准形式，根据复数相等充要条件列二元方程组：，求解参数即可。 【变式训练4-1】（2026·上海闵行·二模）已知，若（其中为虚数单位），则______. 【答案】 【详解】设，则， 由可得， 则，故. 【变式训练4-2】（25-26高三上·上海·开学考试）已知、，且是关于的方程的一个根，______． 【答案】34 【详解】由是关于的方程的一个根， 则， 整理得， 则，解得， 所以． 故答案为：34． 题型5 复数模的计算与性质简化 例5-1（2026·上海·模拟预测）若复数满足（其中是虚数单位），则__________． 【答案】2 【详解】设，所以，则，解得：，或, 所以 例5-2（25-26高三下·上海·期中）已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 【答案】1 【详解】已知复数满足，表示复平面上以原点为圆心，半径的圆， 复数表示复平面上点， 表示圆上动点到点的距离， 定点到圆心的距离为， 则圆上点到圆外定点的距离， 故． 例5-3（25-26高三下·上海·阶段检测）若复数满足，则的取值范围是_________． 【答案】 【详解】设，则，由复数模长的定义得：，即：，显然， 此时，其中，令，， 则， 当时，，当或时，， 所以，则， ，则，所以， 即：的取值范围是 方法技巧 优先用模的性质简化运算，拒绝硬算化简，大幅提升速度、降低失误率。 常用简化思路：求无需化简分式，直接用；遇到直接替换为。 【变式训练5-1】（25-26高三上·上海·期中）设复数满足与均为实数（为虚数单位），则的值为____________. 【答案】 【详解】设，所以， ， 又因为与均为实数，所以，解得， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 【变式训练5-2】（2026·上海长宁·二模）已知复数满足：，且，则的最小值为________. 【答案】 【详解】设 则， 化简得：， ， 又 所以 所以 所以的最小值为. 【变式训练5-3】（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）已知复数和满足，且，则的最小值为__________． 【答案】1 【详解】设，由可得，即， 因，由可得，即， 若，则得，显然不成立，即.则复数对应的点为， 由可知复数对应的点表示以为圆心，半径为1的圆及其内部，如图所示. 由图知，表示点与圆覆盖区域内（含边界）的点的距离， 故当且仅当点分别与和重合时，距离最小，即的最小值为. 【变式训练5-4】（2026·上海奉贤·二模）已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】， ， ，设， 则， 当，，即，时，， 此时取最大值， 当，，即，时，， 此时取最小值， ． 题型6 复平面几何意义（上海高考特色重难点） 例6-1（24-25高三下·上海青浦·阶段检测）若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（    ） A．一条直线上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．一支双曲线上 【答案】B 【详解】设复数，则，设对应点为， 而，于是， ，所以的对应点均在一个圆上. 故选：B 例6-2（2026·上海浦东新·三模）已知复数满足，且当复平面上以，，，对应的点为顶点的四边形面积最大时，与最接近的整数为（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】B 【详解】设， 所以，， 同理，如图， 四边形（梯形）面积为 ， 所以当时，四边形面积取得最大值，即或，或， 所以，即与最接近的整数为37. 例6-3（2026·上海虹口·三模）已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________． 【答案】16π 【详解】由知，点的轨迹为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆， 又，，所以点到点的距离小于或等于. 所以随着的运动，动点所形成的平面图形为以坐标原点O为圆心， 以为半径的圆的外部与以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的内部形成的圆环， 所以其面积为. 方法技巧 语言翻译：表示动点到定点的距离，表示动点到定点的距离； 确定轨迹：根据条件判断动点轨迹为圆、圆域或线段； 几何求解：利用圆心、半径、定点间距，直接通过平面几何知识求最值，替代繁琐的代数设元计算。 【变式训练6-1】（2025·上海·模拟预测）若复数z在复平面中的对应点都在一个过原点的圆上，则的对应点均在（   ） A．一条直线上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．一支双曲线上 【答案】A 【详解】设，圆心为，则半径， 则圆的方程为，即， 依题意有，变形得， 因为， 所以的对应点坐标为，显然在直线上. 故选：A 【变式训练6-2】（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，复数在复平面内对应的点的坐标为.若复数满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【详解】由题意知复数在复平面内对应的点的坐标为， 设复数在复平面内对应的点的坐标为，，， 则，又， 所以，即， ， ，当且仅当在线段上取等号， ，且， ，当时取等， 综上，当点在时等号同时成立，取得最小值3， 即的最小值为3． 故选：C 【变式训练6-3】（2025·上海·三模）在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为______． 【答案】1 【详解】复数是纯虚数， ，，解得， ，其对应的点为， 为曲线上的动点，则点在以原点为圆心，半径的圆上， 所以与之间的最小距离. 故答案为：. 题型7 复数与充分必要条件结合 例7（25-26高三上·上海·期中）设，则是的（    ）条件． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】设，，取，则，， 所以得不到； 当时，即， ， 所以能得到, 综上所述：是的必要不充分条件. 故选：B 方法技巧 先写出题干条件的完整充要范围，再根据集合包含关系判断充分、必要条件，重点注意边界取值的取舍。 【变式训练7-1】（2026·上海·模拟预测）若复数与在复平面上分别对应点与，则“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【详解】复数与在复平面上分别对应点与， ， 由， 可得，所以， 所以，所以或，所以， 当，满足， 所以，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 【变式训练7-2】（24-25高三上·上海·阶段检测）设复数分别对应于平面向量，则""是""的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【详解】设，则， 若，取，则，所以， 所以不能推出； 若，则，所以， 所以，化简可得， 所以或， 所以或，所以成立，所以可以推出； 所以""是""的必要非充分条件. 故选：B. 【变式训练7-3】（24-25高三下·上海·阶段检测）复数z是纯虚数的一个充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若 ，设 ，则， 由可得 ，即 ，所以 ， 此时为实数，不是纯虚数，所以选项A错误； 若，设 ， 则   ，解得 ， 此时，当 时，不是纯虚数，所以选项 B 错误； 若，设 ， 则， ， 由 可得 ， 两边同时平方得 ， 展开可得 ，化简得 ，即 ， 当时， 不是纯虚数，所以选项C错误； 若 ，设 ， 则，，， 表示复平面上点 到点和点的距离之和为 2 ， 而点和点之间的距离为 ， 所以点在线段 上， 即且 ，满足且，所以是纯虚数， 反之，若是纯虚数，设 ， 则 ， 当时， ， 所以是复数是纯虚数的一个充分条件，选项 D 正确. 故选：D. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1.（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，，， 则，， 当和伴随，有或， 又，， 若和伴随，则或， 所以和伴随的充要条件是，即. 2．（2024·上海·高考真题）已知，则_______. 【答案】 【详解】由题意可得，故. 故答案为：. 3．（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 【答案】 【详解】， 故． 故答案为：. 4．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 【答案】2 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 5.（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________. 【答案】3 【详解】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆， 因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1， 则的最小值为， 而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为， 则的最小值为， 又因为的最小值与的最小值相同， 所以，，解得. 故答案为：3. 6．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________． 【答案】 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．复数的虚部是__________. 【答案】. 【详解】复数的虚部是, 故答案为：. 2．已知，求证：中至少有一个是0. 【详解】证明： 两边同时取模得 由复数乘法性质 又 与中至少有一个为0 故中至少有一个为0 3．若，求． 【答案】或 【详解】解：设，则，则由， 得， 所以或，所以或. 4．已知复数在复平面上对应的点是一个正方形的3个顶点，求这个正方形的第4个顶点对应的复数. 【答案】 【详解】设复数在复平面上分别对应点 设正方形的第四个顶点对应的坐标是,则其对应的复数为,则, 又 故这个正方形的第四个顶点对应的复数是 5．已知是方程的两个根，求的值. 【答案】27 【详解】方程中 所以是方程的两个虚数根 由求根公式可知 6．已知为实数，且，求的值. 【答案】或或. 【详解】设：，则为实数，， ，解得或或， 或或. 7．若是关于的实系数方程的一个根，求的值. 【答案】 【详解】是关于的实系数方程的一个根， 其共轭复数也是方程的根. 由根与系数的关系，， . 8．如图，复平面内的是等边三角形，它的两个顶点A，B的坐标分别为，求点C的坐标. 【答案】C坐标为 【详解】解：将原点0平移至A点，建立平面直角坐标系，则 ， 将绕点A顺时针方向旋转得 ， ∴在原平面直角坐标系xOy中， 点C坐标为，即. 9．在复平面内三点对应的复数分别为1，，． (1)求，，对应的复数； (2)判断的形状，并求的面积． 【答案】(1)，， (2)直角三角形，2 【详解】（1）三点对应的复数分别为 对应的复数分别为， ，对应的复数为， ，对应的复数为， ，对应的复数为， （2），， ，为直角三角形 . 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（24-25高三上·上海·开学考试）若是关于的实系数方程的一根，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．0 D．4 【答案】C 【详解】由题意可得，即， 所以. 故选：C. 2．（24-25高三上·上海嘉定·期中）复数z满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 【答案】D 【详解】由得. 所以 ，所以A选项错误. ，所以B选项错误. 对应点为，在第三象限，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：D 3．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知复数z满足，则（    ）． A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】由可得， 故， 故选：C 4．（2026·上海·三模）已知复数（i为虚数单位），则______． 【答案】 【详解】由题意可得. 5．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知集合，则用列举法表示集合_______. 【答案】 【详解】由题意，集合的元素为满足的复数： 设，其中，为虚数单位，代入方程得： , 根据复数相等的充要条件，实部、虚部分别对应相等，可得方程组： , 若，则，无实数解，舍去；若，代入第一个方程得，解得, 因此满足方程的解为或，故 6．（2026·上海·三模）若复数满足（为虚数单位），则__________． 【答案】 【详解】因为， 所以，. 7．（2026·上海·模拟预测）若（是虚数单位），则复数的虚部是______． 【答案】2 【详解】因为复数，则.所以复数的虚部是. 8．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，若复数满足（为虚数单位），且，则______. 【答案】 【详解】由，得， 由，得， 又因为，所以. 故答案为：. 9．（2026·上海松江·模拟预测）已知复数满足（其中为虚数单位），则__________. 【答案】 【详解】由复数满足，可得， 则，所以. 10．（2026·上海·三模）已知复数满足，其中为虚数单位，则_____． 【答案】 【详解】因为， 所以， 故. 11．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数__________. 【答案】 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 12．（2025·上海黄浦·三模）复数z满足（i是虚数单位），则在复平面内，z对应的点在第________象限． 【答案】三 【详解】由题意，则在复平面内，z对应的点为在第三象限. 故答案为：三. 13．（2025·上海·模拟预测）已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为________． 【答案】8 【详解】因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以，解得， 根据实系数一元二次方程虚根的共轭性质，方程的另一个根为的共轭复数， 由韦达定理，又，且，所以. 14．（2026·上海·三模）已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 【答案】 【详解】由方程的一个根为，可得方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，可得. 15．（2026·上海·三模）若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则______． 【答案】 【详解】设实系数一元二次方程的两个虚数根为和，其中， 则. 所以. 16．（2026·上海·三模）已知，若，则的最小值为___________ 【答案】 【详解】由， 则， 所以时，取得最小值. 重难·创新演练 1．（24-25高三上·上海杨浦·期中）已知，则下列结论正确的个数是（    ） ①存在实数解； ②共有个不同的复数解； ③复数解的模长都等于； ④存在模长大于的复数解． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，可得， 则， 于是， 这两个的取值都在区间内． 故有解，因此有个不同的复数解． 当时，由于， 因此的复数解的模长都等于． 因此，②③正确， 故选：C. 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）设复数记，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【详解】设，则， 设，则， ， ， 因为， 所以. 3．（25-26高三上·上海金山·阶段检测）设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（   ） A．0 B．-1 C．-2 D．1 【答案】A 【详解】由题意，设，则， ∴，， ∵是实数， ∴，即， ∴，， ∴，即， ∴， 故选：A 4．（2026·上海杨浦·二模）设集合，，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】集合，由，即到与距离相等， 即的轨迹为与两点连线的垂直平分线， 设，所以，所以，化简得， 若，等式化为，任何都满足，此时为整个复平面，满足； 若，则，即的轨迹为直线，表示的为圆：， 即直线与圆有交点，所以，解得，所以实数的取值范围是. 5．（24-25高三上·上海·期中）设为正整数.若存在复数，满足且，则的最小值为________. 【答案】3 【详解】不妨设，， 因为，所以， 所以， 所以， 整理得，解得， 因为，所以，或 ①当时，则， 或时不满足上式，满足上式，即n最小值为3， ②当，则， 或时不满足上式，满足上式，即n最小值为3， 综上可知. 故答案为：3 6．（2026·上海·二模）已知复数满足是实数，则的最小值为________． 【答案】 【详解】设，则 ， 因为是实数，所以， 所以或， 当时，的轨迹是轴（除原点外）， 此时的几何意义表示轴上的点（除原点）和的距离，此时， 当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图， 根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离， 由图可知，的最小值为. 因为，所以的最小值为. 7．（2026·上海静安·二模）若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______． 【答案】 【详解】设，，，， 因为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆， 可得； 且，则，可知点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 则，，，可得， 联立方程，解得， 且，则，可得，， 所以. 8．（2026·上海徐汇·二模）已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】，. 设，则，即，，. 已知，根据复数模的几何意义，表示复数所对应的点到复数所对应的点的距离，集合中的元素对应的点的轨迹是以为圆心，半径分别在范围内的圆环上的点. 题干要求对都满足，因此是两个圆环的交集： 两个圆环分别以为圆心，内半径，外半径， 建立如图所示的坐标系： 是非空闭区域，当都在处时，最小距离可取到， 中最远的两点距离是两个外圆的交点距离， 因为两个外圆半径都是，圆心距， 由勾股定理可得两交点距离为： 因此∣的取值范围是 9．（25-26高三上·上海·期中）下列命题，其中正确的是________（填序号） ①已知 为实数，若 ，则 ②已知 为复数，若 ，则 ③已知 为向量，若 ，则 【答案】①③ 【详解】对于①：由两边平方有：，故①正确； 对于②：设，， 所以， 由平方得：，化简得； 又，若与不等价，故②错误； 对于③：由两边平方化简有：，故③正确. 故答案为：①③. 10．（2026·上海嘉定·二模）在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． (1)求的值； (2)若复数z满足，求． 【详解】（1）由已知可得，，，，所以，， 所以； （2）因为，，，所以， 所以复数对应的点到点到和点距离相等， 所以这两点的中垂线是直线，即复数的实部为，设， . 所以， 所以，解得， 所以或. 11．（2026·上海·模拟预测）设函数，． (1)若，求函数的所有单调区间； (2)若方程有两个虚根和，且．求的值． 【详解】（1）当时，，则，定义域为. 求导得. 令得. 当时，，故；当时，. 因此在上单调递减，在上单调递增. （2）方程有两个虚根，故判别式， 整理得，解得或. 设两根为，则，. ，解得或. 因为或，所以排除，即. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $