第2章 专题6 绝对值的意义、非负性及化简提优练习 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 以绝对值的代数意义、几何意义、非负性及化简为主线，构建“概念-性质-应用”递进体系，融合数形结合与分类讨论思想，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数意义|5题|去绝对值法则及变式结论|从文字定义到符号表达，建立代数表征| |几何意义|3题|距离表示与最值求解|数形结合，将代数问题转化为几何距离| |非负性|5题|00模型（非负数和为0）|利用绝对值非负性构建方程求解| |多绝对值化简|3题|分类讨论（正负个数判断结果）|综合运用代数意义与符号法则|

专题6 绝对值的意义、非负性及化简 绝对值的代数意义 1. 文字表述: 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 2. 式子表示(去绝对值法则): 3. 变式及其结论： ①若，则；②若，则；③ 1. 若，则一定（ ） A. 大于1 B. 小于1 C. 不小于1 D. 不大于1 答案：D 2. (1) 已知，则的值为________； (2) 在(1)的条件下，若，则的值为________. 答案：(1) －8或－2或2或8 (2) 8或－8 3. 下列说法：①若|x|＋x=0，则为负数；②若－不是负数，则为非正数；③；④若||，||，则.其中正确的结论有________.(填序号) 答案：②③④ 4. 若. (1) 若，求的值； (2) 若，求的值. 答案：(1) 因为，所以.所以. (2) 因为，所以或，.所以或.即的值为2或8. 5. 在数轴上的位置如图： (1) 判断正负，用“”或“”填空：________0，________0，________0. (2) 化简：. 答案：(1) ＜ ＜ ＞ 解析：由题图可知，且，所以. (2) . 绝对值的几何意义(数形结合) 1. 的几何意义：数轴上表示的点到原点的距离 2. 的几何意义：数轴上两点之间的距离 的几何意义：数轴上两点之间的距离 表示点到两点的距离之和 1. (1) 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于.例如数轴上表示数2和5的两点之间的距离为________；数轴上表示数3和－1的两点的距离为________. (2) 已知，则的值是________. (3) 适合的整数的值有哪些? (4) 已知，求的值. 答案：(1) 3 4 (2) 12或－8 (3) 表示数轴上到－5的距离，表示数轴上到3的距离，如图①，因为－5到3的距离为8，故－5到3之间的所有点均满足条件，即－5.又因为为整数，故满足条件的的值有，0，1，2，3，共9个. (4) 如图②，根据绝对值的几何意义，表示数轴上到3的距离与到－2的距离之和等于7，当在－2左侧时，，，解得；当在3右侧时，，，解得. 2. (1) 已知，则________; (2) 已知，求的值. 答案：(1) 2 (2) ，表示数轴上到－12的距离是到8的距离的3倍.设表示的数分别为，由可得. ①如图①，当点在点的左侧时，不成立；②如图②，当点在两点之间，即时，，解得3；③如图③，当点在点的右侧，即时，，解得.综上所述，的值为3或18. 3. (1) 求的最小值； (2) 求的最大值. 答案：(1) 根据绝对值的几何意义，表示数轴上到－3和4的距离之和，如图，观察数轴可得，当时，有最小值7；当或时，的值大于7，所以的最小值为7. (2) 根据绝对值的几何意义，表示数轴上到－3的距离减去到4的距离，由数轴可得，当时，；当时，，当时，式子的值最大，最大为7；当时，；因此，当时，有最大值为7. 绝对值的非负性(00模型) 根据绝对值的定义可知，“绝对值”是“距离”这一几何量的代数表示，由于“距离”不可能是负数，因此绝对值也不可能是负数，即. 00模型(非负数和为0)：①若，则且；②，则且. 1. 若，则的值是（ ） A. 5 B. 1 C. 2 D. 0 答案：A 2. (1) 式子取最小值时，________，最小值为________. (2) 当________时，有最________值，最值为________. 答案：(1) 1 3 (2) 3 大 －5 3. (1) 若与互为相反数，则的值为________. (2) 已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，求的值. 答案：(1) 3 (2) 因为与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，所以.因为，所以或.又因为或，所以或，所以或，所以或，所以的值为3或5. 4. 已知为有理数，且，求的值. 答案：因为，所以，所以，所以，即，所以0，所以，解得，所以. 5. 已知均为整数，且，求的值. 答案：因为均为整数，所以均为非负整数.又因为，所以或或. ①当时，， 所以； ②当时，， 所以； ③当时，此时或2， 所以或. 综上所述，的值是1或2或3或4. 多绝对值的化简与分类讨论 1. 当为正数时值为1，当为负数时值为－1. 2. 当中有两个正数时值为2，当中有一个正数时值为0，当中没有正数时值为－2. 3. 当中有三个正数时值为3，当中有两个正数时值为1，当中有一个正数时值为－1，当中没有正数时值为－3. 1. 已知非零有理数，满足，则等于（ ） A. B. －1 C. 0 D. 1 答案：D 2. 已知：，且，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则________. 答案：7 3. 阅读材料：即当时，，用这个结论解决下面问题： (1) 已知是有理数，当时，求的值； (2) 已知是有理数，当时，求的值； (3) 已知是有理数，，求的值. 答案：(1) 已知是有理数，当时， ①若，则； ②若，则； ③若异号，则. 综上，或0. (2) 已知是有理数，当时， ①若，则； ②若，则； ③若中有两负一正，则； ④若中有两正一负，则. 综上，或. (3) 已知是有理数，，则中有两正一负，综上， 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6 绝对值的意义、非负性及化简 绝对值的代数意义 1. 文字表述: 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 2. 式子表示(去绝对值法则): 3. 变式及其结论： ①若，则；②若，则；③ 1. 若，则一定（ ） A. 大于1 B. 小于1 C. 不小于1 D. 不大于1 2. (1) 已知，则的值为________； (2) 在(1) 的条件下，若，则的值为________. 3. 下列说法：①若|x|＋x=0，则为负数；②若－不是负数，则为非正数；③；④若||，||，则.其中正确的结论有________.(填序号) 4. 若. (1) 若，求的值； (2) 若，求的值. 5. 在数轴上的位置如图： (1) 判断正负，用“”或“”填空：________0，________0，________0. (2) 化简：. 绝对值的几何意义(数形结合) 1. 的几何意义：数轴上表示的点到原点的距离 2. 的几何意义：数轴上两点之间的距离 的几何意义：数轴上两点之间的距离 表示点到两点的距离之和 1. (1) 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于.例如数轴上表示数2和5的两点之间的距离为________；数轴上表示数3和－1的两点的距离为________. (2) 已知，则的值是________. (3) 适合的整数的值有哪些? (4) 已知，求的值. 2. (1) 已知，则________; (2) 已知，求的值. 3. (1) 求的最小值； (2) 求的最大值. 绝对值的非负性(00模型) 根据绝对值的定义可知，“绝对值”是“距离”这一几何量的代数表示，由于“距离”不可能是负数，因此绝对值也不可能是负数，即. 00模型(非负数和为0)：①若，则且；②，则且. 1. 若，则的值是（ ） A. 5 B. 1 C. 2 D. 0 2. (1) 式子取最小值时，________，最小值为________. (2) 当________时，有最________值，最值为________. 3. (1) 若与互为相反数，则的值为________. (2) 已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，求的值. 4. 已知为有理数，且，求的值. 5. 已知均为整数，且，求的值. 多绝对值的化简与分类讨论 1. 当为正数时值为1，当为负数时值为－1. 2. 当中有两个正数时值为2，当中有一个正数时值为0，当中没有正数时值为－2. 3. 当中有三个正数时值为3，当中有两个正数时值为1，当中有一个正数时值为－1，当中没有正数时值为－3. 1. 已知非零有理数，满足，则等于（ ） A. B. －1 C. 0 D. 1 2. 已知：，且，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则________. 3. 阅读材料：即当时，，用这个结论解决下面问题： (1) 已知是有理数，当时，求的值； (2) 已知是有理数，当时，求的值； (3) 已知是有理数，，求的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $