第27章 反比例函数 单元练习题-2026-2027学年人教版九年级上册数学

**基本信息** 本单元卷聚焦初中数学反比例函数，通过选择、填空、解答题（10/10/4题，30/30/60分）覆盖定义、图像性质、几何综合及实际应用，适配单元复习，体现抽象能力、几何直观与运算能力等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|反比例函数定义（第1题）、图像性质（第2题面积关系）、几何综合（第4题矩形与k值）|结合实际情境（第9题骑行速度与时间），基础巩固与概念辨析| |填空题|10/30|交点坐标（第1题）、k值求解（第4题）、图像与几何图形面积（第5题圆与反比例）|注重逆向思维（第2题反比例函数定义求m），知识迁移应用| |解答题|4/60|解析式求解（第1题）、面积最值（第2题矩形中k与面积）、函数与几何综合（第3题正方形与一次函数）|突出综合应用，如第4题结合中点、面积关系求解析式，体现模型意识与推理能力|

第27章 反比例函数 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列函数中y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝﹣3x B． C． D． 2．（3分）三角形的面积是4cm2，底边上的高y（cm）与底边x（cm）之间的函数关系大致为（　　） A． B．C．D． 3．（3分）下列函数变量y随变量x的增大而减小的是（　　） A． B． C．y＝﹣3x D．y＝3x 4．（3分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．4 D．1或﹣3 5．（3分）双曲线y1，y2在第一象限的图象如图所示，其中y1，y2的解析式分别为，，过y1图象上的任意一点A，作x轴的平行线交y2的图象于点B，交y轴于点C，连接OA，OB．则△AOB的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（3分）在平面直角坐标系中，若点（﹣1，m）在反比例函数的图象上，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 7．（3分）如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于A、B两点，若反比例函数y（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（　　） A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8 8．（3分）已知一次函数y＝﹣bx+a的图象如图所示，则反比例函数和二次函数y＝ax2+bx﹣c在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）已知老李家距离鱼菜共生田地300米，骑自行车从老李家匀速骑行到田地的速度v（米/分钟）关于骑车时间t（分钟）的函数图象为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k＞0，b＞0）与反比例函数的图象分别交于A（﹣3，﹣1），B（1，3）两点，动直线l∥y轴，与直线和反比例函数的图象分别交于（t，y1），（t，y2）两点，下列结论正确的是（　　） A．当t＜﹣3时，y1＞y2 B．当﹣3＜t＜0时，y1＜y2 C．当0＜t＜1时，y1＜y2 D．当t＞1时，y1＜y2 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是　 　 ． 2．（3分）若函数是反比例函数，则m＝　 　 ． 3．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象位第二、四象限，则k的取值范围是　 　 ． 4．（3分）已知：反比例函数的图象经过点A（2，﹣3），那么k＝　 　 ． 5．（3分）如图，反比例函数，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为 　 　 ． 6．（3分）如图，矩形OABC的两边OA，OC在坐标轴上，且OC＝2OA，M，N分别为OA，OC的中点，BM与AN交于点E，且四边形EMON的面积为2，则经过点B的双曲线的解析式为　 　 ． 7．（3分）如图，双曲线（x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴．将△ABC沿AC翻折后得△AB′C，B′点落在OA上，则四边形OABC的面积是 　 　 ． 8．（3分）如图，已知函数y＝2x和函数的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是 　 　 ． 9．（3分）如图，已知双曲线经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k＝　 　 ． 10．（3分）如图，▱ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，﹣2），顶点C、D在双曲线y上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k＝　 　 ． 三．解答题（共4小题，满分60分） 1．（14分）如图，点C在反比例函数的图象上，过点C作CD⊥y轴，交y轴负半轴于点D，且△ODC的面积是3． （1）求反比例函数的解析式； （2）若CD＝1，求直线OC的解析式． 2．（14分）如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y（k＞0）的图象与BC边交于点E． （1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式； （2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？ 3．（16分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函数y＝kx+b的图象过点D和M，反比例函数y的图象经过点D，与BC的交点为N． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标． 4．（16分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB＝4，AD＝3， （1）求反比例函数y的解析式； （2）求cos∠OAB的值； （3）求经过C、D两点的一次函数解析式． 参考答案 一．选择题 1．【解答】解：A．y＝﹣3x，该选项是正比例函数，不符合题意； B． ，该选项是正比例函数，不符合题意； C． ，该选项是反比例函数，符合题意； D． ，该选项是y关于（x﹣2）的反比例函数，不符合题意； 故选：C． 2．【解答】解：∵S=xy=4 ∴y=（x＞0，y＞0）， ∴该函数图象是反比例函数，且位于第一象限． 故选：D． 3．【解答】解：A、 是反比例函数 k＝3＞0 y仅在每个象限内随x增大而减小，在全体定义域内不满足y随x增大而减小，故A错误； B、 是反比例函数 k＝﹣3＜0 y在每个象限内随x增大而增大，故B错误； C、y＝﹣3x 是正比例函数∵k＝﹣3＜0∴y随x的增大而减小，故C正确； D、y＝3x 是正比例函数∵k＝3＞0∴y随x的增大而增大，故D错误． 故选：C． 4．【解答】解：设C（x，y）． ∵四边形ABCD是矩形，点A的坐标为（﹣2，﹣2）， ∴B（﹣2，y）、D（x，﹣2）； ∵矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点， ∴设直线BD的函数关系式为：y＝kx， ∵B（﹣2，y）、D（x，﹣2）， ∴k，k， ∴，即xy＝4；① 又∵点C在反比例函数的图象上， ∴xy＝k2+2k+1，② 由①②，得 k2+2k﹣3＝0，即（k﹣1）（k+3）＝0， ∴k＝1或k＝﹣3， 解法二：由矩形的性质易得左下的正方形与右上的小矩形面积相等， 由此得出反比例函数的K值等于4，即4＝k2+2k+1，可得结论． 故选：D． 5．【解答】解：过y1图象上的任意一点A，作x轴的平行线交y2的图象于点B，交y轴于点C， ∵点B在的图象上， ∴， ∵点A在的图象上， ∴， ∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC＝4﹣2＝2， 故选：B． 6．【解答】解：由题意可得：， ∴m的值为﹣2， 故选：A． 7．【解答】解：∵点C（1，2），BC∥y轴，AC∥x轴， ∴当x＝1时，y＝﹣1+6＝5， 当y＝2时，﹣x+6＝2，解得x＝4， ∴点A、B的坐标分别为A（4，2），B（1，5）， 根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝1×2＝2最小， 设反比例函数与线段AB相交于点（x，﹣x+6）时k值最大， 则k＝x（﹣x+6）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9， ∵1≤x≤4， ∴当x＝3时，k值最大， 此时交点坐标为（3，3）， 因此，k的取值范围是2≤k≤9． 故选：A． 8．【解答】解：对于一次函数y＝﹣bx+a，由图象知a＞0，﹣b＞0， ∴b＜0，a＞0，对于二次函数y＝ax2+bx﹣c， ∵b＜0，a＞0， ∴开口向上，对称轴在y轴右边，则B和C错误，不符合题意； ∵选项A和D中，二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象与y轴的交点都在原点下方， ∴﹣c＜0， ∴c＞0， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴A符合题意， 故选：A． 9．【解答】解：由题意得，vt＝300， ∴v． ∴v关于t的函数是反比例函数． 又当t＝2时，v＝150， ∴符合题意的图象是D． 故选：D． 10．【解答】解：如图所示， 当t＜﹣3时，直线x＝t与直线的交点在与双曲线交点的下方，即y1＜y2， 当﹣3＜t＜0时，直线x＝t与直线的交点在与双曲线交点的上方，即y1＞y2， 当0＜t＜1时，直线x＝t与直线的交点在与双曲线交点的下方，即y1＜y2， 当t＞1时，直线x＝t与直线的交点在与双曲线交点的上方，即y1＞y2， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 二．填空题 1．【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， ∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称， ∴该点的坐标为（-1，-3）． 故答案为：（-1，-3）． 2．【解答】解：根据题意得：， 解得：m＝3． 故答案为：3． 3．【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k﹣2026＜0， 解得k＜2026． 故答案为：k＜2026． 4．【解答】解：根据题意，得 ﹣3， 解得，k＝﹣6． 故答案为：﹣6． 5．【解答】解 ∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形， ∴图中两个阴影面积的和是圆的面积， ∵圆的半径r＝2， ∴S阴影π． 故答案为：π． 6．【解答】解：过M作MG∥ON，交AN于G，过E作EF⊥AB于F， 设EF＝h，OM＝a， 那么由题意可知：AM＝OM＝a，ON＝NC＝2a，AB＝OC＝4a，BC＝AO＝2a △AON中，MG∥ON，AM＝OM， ∴MGON＝a， ∵MG∥AB ∴， ∴BE＝4EM， ∵EF⊥AB， ∴EF∥AM， ∴． ∴FEAM，即ha， ∵S△ABM＝4a×a÷2＝2a2， S△AON＝2a×2a÷2＝2a2， ∴S△ABM＝S△AON， ∴S△AEB＝S四边形EMON＝2， S△AEB＝AB×EF÷2＝4a×h÷2＝2， ah＝1，又有ha，a（长度为正数） ∴OA，OC＝2，因此B的坐标为（﹣2，）， 那么经过B的双曲线的解析式就是y． 7．【解答】解：延长BC，交x轴于点D， 设点C（x，y），AB＝a， ∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角， ∴CD＝CB′，△OCD≌△OCB′， 再由翻折的性质得，BC＝B′C， ∵双曲线 （x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C， ∴S△OCDxy＝1， ∴S△OCB′xy＝1， 由翻折变换的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC＝B′C＝CD， ∴点A、B的纵坐标都是2y， ∵AB∥x轴， ∴点A（x﹣a，2y）， ∴2y（x﹣a）＝2， ∴xy﹣ay＝1， ∵xy＝2 ∴ay＝1， ∴S△ABCay， ∴SOABC＝S△OCB′+S△AB'C+S△ABC＝12． 故答案为：2． 8．【解答】解：如图∵△AOE的面积为4，函数的图象过一、三象限， ∴S△AOE•OE•AE＝4， ∴OE•AE＝8， ∴xy＝8， ∴k＝8， ∵函数y＝2x和函数的图象交于A、B两点， ∴2x， ∴x＝±2， 当x＝2时，y＝4，当x＝﹣2时，y＝﹣4， ∴A、B两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4）， ∵以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个， ∴满足条件的P点有3个，分别为： P1（0，﹣4），P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）． 故答案为：P1（0，﹣4），P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）． 9．【解答】解：设F（x，y），那么B（x，2y），xy＝k， ∵点E在反比例函数解析式上， ∴S△COEk， ∵点F在反比例函数解析式上， ∴S△AOFxyk， ∵S四边形OEBF＝S矩形ABCO﹣S△COE﹣S△AOF，且S四边形OEBF＝2， ∴2xykk＝2， ∴2kkk＝2， ∴k＝2． 故答案为：2． 10．【解答】解：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，DG交BC于M点，过C点作CH⊥DG，垂足为H， ∵ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC， ∵BO∥DG， ∴∠OBC＝∠GDE， ∴∠HDC＝∠ABO， ∴△CDH≌△ABO（AAS）， ∴CH＝AO＝1，DH＝OB＝2，设C（m+1，n），D（m，n+2）， 则（m+1）n＝m（n+2）＝k， 解得n＝2m，则D的坐标是（m，2m+2）， 设直线AD解析式为y＝ax+b，将A、D两点坐标代入得 ， 由①得：a＝b，代入②得：mb+b＝2m+2， 即b（m+1）＝2（m+1），解得b＝2， 则， ∴y＝2x+2，E（0，2），BE＝4， ∴S△ABEBE×AO＝2， ∵S四边形BCDE＝5S△ABE＝54×1＝10， ∵S四边形BCDE＝S△ABE+S四边形BEDM＝10， 即2+4×m＝10， 解得m＝2， ∴n＝2m＝4， ∴k＝（m+1）n＝3×4＝12． 故答案为：12． 三．解答题 1．【解答】解：（1）设C点坐标为（x，y）， ∵△ODC的面积是3， ∴OD•DCx•（﹣y）＝3， ∴x•y＝﹣6， 而xy＝k， ∴k＝﹣6， ∴所求反比例函数解析式为y； （2）∵CD＝1，即点C （ 1，y ）， 把x＝1代入，得y＝﹣6． ∴C 点坐标为（1，﹣6）， 设直线OC的解析式为y＝mx， 把C （1，﹣6）代入y＝mx得﹣6＝m， ∴直线OC的解析式为：y＝﹣6x． 2．【解答】解：（1）∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2， ∴B（3，2）， ∵F为AB的中点， ∴F（3，1）， ∵点F在反比例函数y（k＞0）的图象上， ∴k＝3， ∴该函数的解析式为y（x＞0）； （2）由题意知E，F两点坐标分别为E（，2），F（3，）， ∴S△EFAAF•BEk（3k）， kk2 （k2﹣6k+9﹣9） （k﹣3）2， 在边AB上，不与A，B重合，即02，解得0＜k＜6， ∴当k＝3时，S有最大值． S最大值． 3．【解答】解：（1）∵正方形OABC的顶点C（0，3）， ∴OA＝AB＝BC＝OC＝3，∠OAB＝∠B＝∠BCO＝90°， ∵AD＝2DB， ∴ADAB＝2， ∴D（﹣3，2）， 把D坐标代入y得：m＝﹣6， ∴反比例解析式为y， ∵AM＝2MO， ∴MOOA＝1，即M（﹣1，0）， 把M与D坐标代入y＝kx+b中得：， 解得：k＝b＝﹣1， 则直线DM解析式为y＝﹣x﹣1； （2）把y＝3代入y得：x＝﹣2， ∴N（﹣2，3），即NC＝2， 设P（x，y）， ∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等， ∴（OM+NC）•OCOM|y|，即|y|＝9， 解得：y＝±9， 当y＝9时，x＝﹣10，当y＝﹣9时，x＝8， 则P的坐标为（﹣10，9）或（8，﹣9）． 4．【解答】解：（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m）， ∵点C为线段AO的中点， ∴点C的坐标为（2，）． ∵点C、点D均在反比例函数y的函数图象上， ∴，解得：． ∴反比例函数的解析式为y． （2）∵m＝1， ∴点A的坐标为（4，4）， ∴OB＝4，AB＝4． 在Rt△ABO中，OB＝4，AB＝4，∠ABO＝90°， ∴OA4，cos∠OAB． （3）∵m＝1， ∴点C的坐标为（2，2），点D的坐标为（4，1）． 设经过点C、D的一次函数的解析式为y＝ax+b， 则有，解得：． ∴经过C、D两点的一次函数解析式为yx+3． 学科网（北京）股份有限公司 $