1.3 集合的基本运算（讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合的基本运算核心知识点，系统梳理交集、并集、补集的概念（文字、符号、图形语言）、运算性质及Venn图表示，构建从基础概念到容斥原理、含参数问题求解的递进式学习支架。 资料特色在于通过多语言表征培养数学眼光（Venn图直观展示集合关系），题型分层训练发展数学思维（分类讨论参数取值范围），结合实际问题（如幼儿园涂色统计）强化数学语言表达，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

第一章： 集合与常用逻辑用语 1.3 集合的基本运算 课标要点 1. .理解并集.交集.补集的概念与数学符号含义 2. .能够使用Venn图表示集合的交.并.补运算 3. .掌握集合基本运算的性质，熟练进行有限集.无限区间型集合运算 4. .会结合集合运算求解含参数问题，能利用容斥原理解决实际问题 学习重难点 重点：交集.并集.补集的概念与基础运算 难点： 1. .综合交并补混合运算的逻辑分析 2. .结合集合运算求解参数取值范围 3. .区分全集变化对补集结果带来的影响 知识点 交集的运算及性质 文字语言 一般地，由所有属于集合A___且________属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作___________（读作“_____交______”） 符号语言 _ __________ 图形语言 运算性质 ___________，___________，______ _____，，， 特别提醒：1.交集符号读作A交B. 2.代表由所有既属于集合A又属于集合B的元素构成的集合. 3.且. 易错提醒：1.区分交集“且”与并集“或”的逻辑含义. 2.含参集合求交集问题优先讨论集合为空集的情况. 教材延伸：交集常用性质 . . . . . 随学随练 1．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知集合{是小于5的正整数}，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，所以. 2．（25-26高二下·北京·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合，，所以. 3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 【答案】 2 【分析】（1）根据交集的定义求解即可； （2）由，可得，再根据集合的包含关系求解即可. 【详解】（1）由题意得，当时，，则． （2）因为，所以，因为，所以， 所以2是关于x的方程的解，即，解得． 故答案为：；. 知识点 并集的运算及性质 文字语言 一般地，由所有属于集合A_____或______属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作___________（读作“____ 并_______”） 符号语言 __ _________ 图形语言 运算性质 ___________，___________，___________；，， 特别提醒：1.并集符号读作A并B. 2.代表由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合. 3.或. 易错提醒：1.“或”包含三种情况.且.且.且. 2.集合内元素具备互异性.并集中重复元素只保留一个. 教材延伸：并集常用性质 . . . . . 随学随练 1．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知集合，集合，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】使用集合的并集运算求解. 【详解】 2．（25-26高一上·河南南阳·期中）设集合 则中的元素个数为__________ 【答案】 【分析】由题可得当时，，当时，，从而可得，两集合有个相同元素，再利用集合的并集运算即可求解. 【详解】由题集合 则中有个不同的元素， 又，可得中也有个不同的元素， 当时，，当时，, 当时，，当时，， 所以集合与有个相同元素4,17,54， 则中的元素个数为. 故答案为：. 3．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知，集合，. (1)若，求，； (2)是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在，或0 【分析】（1）当时，可得集合A、B，根据交集、并集运算的定义，即可得答案. （2）当时，分析可得不符合题意，则，由题意，可得，分别讨论和两种情况，根据集合的性质，即可求得答案. 【详解】（1）当时，集合，集合， 则，. （2）当时，集合，集合，不合题意，舍去， 当时，集合，集合， 因为，所以，又，只需， 情况①，，符合题意； 情况②，解得（1舍去），此时，符合题意， 综上可得或0. 知识点 全集的概念，补集的运算及性质 全集 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的___所有元素________，那么就称这个集合为全集，通常记作___U________． 补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中___不属于________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作___________ 符号语言 _____且_________________ 图形语言 运算性质 ___________，___________，___ ________，___________ 特别提醒：1.全集U是根据研究问题人为选定的全部元素组成的集合. 2.读作集合A在全集U中的补集. 3.且. 易错提醒：1.补集必须依托指定全集.全集发生改变.补集结果随之变化. 2.补集运算前提是. 教材延伸：补集常用性质 . . . . . 德摩根公式 . . 随学随练 1．（25-26高二下·云南·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 所以. 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知全集，集合，，若，则实数a的值为_____ 【答案】或0或1 【分析】根据给定条件，求出，再利用并集的结果，结合包含关系求解. 【详解】由集合，得， 由，得，依题意，是的子集， 当时，；当时，；当时，， 所以实数a的值为或0或1. 故答案为：或0或1 3．已知全集，集合，，，若C的真子集共有3个，则实数m的值为________． 【答案】 【分析】先得到，，故，根据C的真子集个数得到C中只有2个元素，即，故，求出， 【详解】，，， 故，因为C的真子集共有3个， 所以集合C中只有2个元素，即， 所以，即时，经验证，符合题意． 故答案为： 知识点 Venn图表示集合 在数学中，经常用平面上封闭曲线的_内部__代表集合，这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表示集合间的关系.常见数集间的关系如图所示.    特别提醒：1. Venn图使用封闭曲线内部区域代表集合.直观展示集合关系与运算. 2.全集通常使用矩形区域表示.子集使用圆形表示. 易错提醒：1. Venn图仅为辅助工具.不能直接作为严谨证明的书写过程. 2.绘制多个集合Venn图时.注意划分区域不重不漏. 教材延伸：1.两个集合相交Venn图分为四个区域.对应.... 2.容斥原理 . 随学随练 1．（25-26高二下·天津河西·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 【答案】 【分析】先根据韦恩图确定阴影部分表示的集合，进而根据集合的运算求解即可． 【详解】由韦恩图可知，如图所示的阴影部分表示的集合为， 又，， 则 ， 所以． 2．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为___________．    【答案】或 【分析】利用并集和补集的概念求即可. 【详解】由题意得，，则或， 故阴影部分表示的集合为或. 故答案为：或 3．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）（多选）如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】阴影部分位于集合内，且不属于与的交集，即阴影部分为“中除去的部分”. 【详解】选项A：表示“的全部”与“中的补集”的并集，包含了外的部分区域，与阴影部分不符，故A错误； 选项B：表示“中的补集”，就等于阴影部分，故B正确； 选项C：表示“以为全集时，的补集”，就等于阴影部分，故C正确； 选项D：表示“中的补集”与的交集，就等于阴影部分，故D正确； 故选：BCD 拓展 容斥原理 1.【公式结论】 【方法技巧】 梳理各类集合对应数量.画出Venn图划分区域.结合公式建立等式求解未知量.注意区分只属于单个集合与集合交集的人数 活学活用 1．（25-26高一上·云南·期中）某幼儿园老师给班上30位小朋友提供红、白、蓝三种颜色进行涂色练习，每位小朋友都至少选择其中一种颜色，其中有18人选择了红色，有9人选择了白色，有15人选择了蓝色，同时选择了红色、白色的有5人，同时选择了红色、蓝色的有5人，同时选择了三种颜色的有1人，则只选择了白色的小朋友有（   ） A．1人 B．2人 C．4人 D．3人 【答案】B 【分析】设只选择了白色的小朋友有人，由题意列出方程求解即可. 【详解】设只选择了白色的小朋友有人， 则同时只选择了白色、蓝色这两种颜色的小朋友有人， 只选择了蓝色的小朋友有人， 所以，解得. 故选：B 2．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，    在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C 拓展 交并补混合运算求参数范围 1.【公式结论】 【方法技巧】 先化简题目给出集合.准确写出集合的补集.借助数轴表示区间范围.端点单独检验能否取等号.优先讨论空集情况 活学活用 1．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 【答案】 【分析】分析可知，分类讨论的符号，结合包含关系运算求解. 【详解】因为集合，， 若，则， 对于方程，则， 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则中有两个元素， 可知，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 2．（22-23高一上·河南洛阳·阶段检测）已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】通过集合运算得出，对集合进行分类讨论，时显然成立，时无解. 【详解】 当时，，满足题意. 当时，时，解得 综上所述，. 故答案为： 题型 交集概念及其运算 解题贴士 1.交集含义取两个集合全部公共元素 2.先化简集合再寻找公共部分 3.区间运算借助数轴直观判定公共区间 4.， ▌例1 （25-26高一下·陕西咸阳·期末）已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解法及交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. ▌对点练1-1．（2026·四川宜宾·一模）已知集合，集合，则集合的元素之和等于__________. 【答案】80 【分析】根据题意利用列举法表示集合，进而求集合的元素之和. 【详解】因为集合， 集合， 可得，所以集合的元素之和为. 故答案为：80. ▌对点练1-2．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，则______． 【答案】; 【分析】先判断两集合分别表示各自直线上的点，再解方程组求直线的交点坐标即可. 【详解】联立，解得， 所以. 故答案为：. 题型 并集概念及其运算 解题贴士 1.并集合并两个集合所有元素，重复元素只保留一次 2.化简集合后整合全部元素 3.区间运算利用数轴合并区间 4.， ▌例1（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，若，则中所有元素之和为_____． 【答案】3 【分析】根据可求参数的值，从而可求的元素之和． 【详解】因为，故或， 若，则，与元素的互异性矛盾； 若，则（舍）或，故，故， 所以中所有元素之和为3， 故答案为：3. ▌对点练1-1（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，则集合___________（用列举法表示）．若集合满足，则集合可以是___________．（写出其中一个，用列举法表示） 【答案】 ； /. 【分析】对于第一空，解方程结合列举法可得答案；对于第二空，由第一空结合并集定义可得答案. 【详解】对于第一空，解方程，得或， 集合. 对于第二空，集合满足 ，集合或 故答案为：． ▌对点练1-2（24-25高二下·上海黄浦·阶段检测）集合，则__________． 【答案】 【分析】化简集合，根据集合的并集运算得解. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 题型 补集概念及其运算 解题贴士 1.补集是全集中除去该集合剩余元素 2.运算前先明确全集范围 3.区间求补重点留意端点归属 4. ▌例1（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，则_____ 【答案】 【分析】根据给定条件，利用补集的定义直接求解. 【详解】集合，所以. 故答案为： ▌对点练1-1（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）已知集合，则用列举法可表示为___________. 【答案】/ 【分析】根据补集的定义即可求解. 【详解】由可得， 故答案为： ▌对点练1-2（25-26高一上·河南平顶山·开学考试）若当时，一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】将方程变形整理得，由得取值范围，其补集即为所求. 【详解】  设全集为时，集合为方程无实根时的取值， 则集合为方程有实根时的取值，于是，将方程变形整理得. 若方程有实数根，则由得，即， 由此解得，即， 所以或. 即当或时，方程0在内无实数根. 故答案为：. 题型 交并补的混合运算 解题贴士 1.遵循先求补.再交并的运算顺序 2.熟练运用德摩根定律简化运算 3.复杂运算可借助Venn图辅助分析 ▌例1（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知全集，集合，集合，则______________； 【答案】. 【分析】先求出集合A，再应用补集及交集定义计算求解. 【详解】全集，集合，则； 集合，则； 故答案为：. ▌对点练1-1（25-26高一上·天津·阶段检测）设全集，集合，，则_______ 【答案】/ 【分析】求出集合、，利用并集和补集的定义可得集合. 【详解】因为集合，，故， 又因为全集，所以. 故答案为：. ▌对点练1-2（25-26高一上·江西吉安·期中）已知全集，且，则 =_____________ 【答案】 【分析】根据题设画出Venn图即可求解. 【详解】由题意， 知全集， 又， 画出Venn图如下图所示， 即得. 故答案为：.    题型 由交集的结果求集合或参数范围 解题贴士 1.需分类讨论区间无重叠或集合为空集 2.转化为集合存在公共元素 3.列出不等式组求解参数.最后单独验证端点取值 ▌例1（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）设，，若，则实数的值可以为_____． 【答案】，， 【分析】由，得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】， 因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，， 则或， 所以或， 综上实数的值可以为，，. ▌对点练1-1（25-26高三下·上海·阶段检测）集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 【分析】根据题意，得到，结合，列出不等式，即可求解. 【详解】因为，所以集合， 又因为集合，，且， 所以，解得，所以实数的取值范围为. ▌对点练1-2（25-26高一上·广东·阶段检测）已知集合，，若，则实数的所有取值组成的集合为_____． 【答案】 【分析】由，得，再根据集合中元素的互异性和集合的包含关系列方程组求解即可. 【详解】由，得，即， 或 或， 实数的所有取值组成的集合为． 故答案为：． 题型 由并集的结果求集合或参数范围 解题贴士 1.等价于 2.讨论集合B为空集的特殊情形 3.利用数轴列出参数约束条件.检验端点能否取到 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）集合，，若，则 __． 【答案】0或 【分析】根据集合并集的性质，结合方程解的情况分类讨论进行求解即可. 【详解】集合， 因为，所以， 当时，，符合题意， 当时，，则， 解得， 综上所述，或． 故答案为：0或． ▌对点练1-1（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）设集合，集合，若集合A，B满足，，则的值是______． 【答案】 【分析】先得到非空，根据交集和并集结果得到，求出，故． 【详解】因为，故非空， 由可得，由可得，故， 方程与解相同，且二次项系数均为1， 所以，故. 故答案为： ▌对点练1-2（24-25高一上·上海·阶段检测）已知集合若，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】根据并集结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以 ①若，则， ②若，则 综上 故答案为： 题型7 由补集的结果求集合或参数范围 解题贴士 1.转化原集合满足的条件反向求解 2.区分全集限制.不可脱离全集直接求范围 3.求解参数后带回题目条件验证 ▌例1（25-26高一上·福建·阶段检测）设，若，则实数________． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的根，结合补集定义即可求解. 【详解】解：由得，解得或， 而， 可得，故， 故答案为：1 ▌对点练1-1已知集合和，满足，，则实数______． 【答案】 【详解】由题知，但；，但．将和分别代入集合，中，得即解得 ▌对点练1-2（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，可得，根据并集的运算即可求解； （2）由，得，对集合分是否为空集进行讨论，结合子集关系即可求解. 【详解】（1）因为集合，所以， 又，集合，所以，解得， 所以. （2）因为，所以， 当，则，解得， 当，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是，即. 题型8 由交并补混合运算的结果求集合或参数范围 解题贴士 1.先用德摩根公式对条件等价变形 2.把混合运算条件转化集合包含关系 3.优先讨论空集情况.数轴辅助列出不等式组 4.求出参数后代入原式检验是否成立 ▌例1（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 【答案】BC 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又，说明， 综上，画出维恩图如下： 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，的不同真子集个数为7，故D错误， 故选：BC. ▌对点练1-1（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果. （2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果. 【详解】（1）当时，， 因为或，所以， 故. （2）若选①：当时，，，成立. 当时，，由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选②：当时，，，成立. 当时，， 由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选③：由可得. 当时，，，成立. 当时，，由可得解得，所以. 综上，的取值范围是. ▌对点练1-2（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据集合运算的性质，得出，而集合中的元素为方程的根，所以分两种情况讨论集合中的元素分别是和的根，解出的值，进而求出两个方程的所有根，即可确定集合. 【详解】设的根为，，则，； 设的根，，则. 因为，所以，即， 当1是的根，2是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素； 当2是的根，1是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素. 故选：B. 题型9 由Venn图求集合 解题贴士 1.按照Venn图划分区域标注对应元素 2.分清只属于单个集合.交集区域元素 3.根据图形区域对应交.并.补含义写出集合 ▌例1（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 ▌对点练1-1（25-26高一上·重庆·期末）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据韦恩图表示的集合含义，即可求出答案. 【详解】根据韦恩图可知，阴影部分表示的集合是, 故选：D ▌对点练1-2（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知是全集的两个子集，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦恩图及集合的运算求解即可. 【详解】由韦恩图可知，阴影部分为不在集合且在集合中的元素所构成的， 所以阴影部分所表示的集合为， 故选：C 题型10 容斥原理 解题贴士 1.两集合公式 2.三集合公式 3.借助Venn图标注各区域数量.区分仅单一集合与交集数量 ▌例1（25-26高一上·贵州黔西南·阶段检测）集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合，有.我校某班主任为了了解学生喜欢篮球运动和足球运动人数进行了统计，其中喜欢篮球运动的人数有18人，喜欢足球运动的人数有14人，既喜欢篮球运动又喜欢足球运动有7人，问只喜欢篮球运动的人数是（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】应用交集及补集定义及计算求解. 【详解】设喜欢篮球运动的人组成集合，设喜欢足球运动的人组成集合， 喜欢篮球运动的人数有18人，所以. 既喜欢篮球运动又喜欢足球运动有7人，. 只喜欢篮球运动的人数是. 故选：B. ▌对点练1-1（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合，关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合，利用韦恩图求解. 【详解】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合， 关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合， 由题可得，，，，，， 如图，可得 ， ，即得， 所以只关注了“紫东太初3.0”的人数为. 故选：C. ▌对点练1-2（25-26高一上·湖北咸宁·阶段检测）调查表示火箭军、太空军、网络军位列2025年9.3军演最受欢迎前三个军种，某社区调查了该社区的部分市民的观看评价情况，调查结果显示：在网上评价了火箭军的有100人，评价了太空军的有89人，评价了网络军的有80人，三个军种都评价了的有24人，评价了其中两个军种的有46人，这三个军种都未评价的有15人.则接受调查的市民共有（    ） A．190人 B．120人 C．144人 D．178人 【答案】A 【分析】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式列式计算得到答案． 【详解】不妨将评价了火箭军、太空军、网络军的市民分别用集合A，B，C表示， 则，，，， 不妨设总人数为，只评价了火箭军、太空军的人数为， 只评价了太空军、网络军的人数为， 只评价了火箭军、网络军的人数为， 则. 如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 则，，， 由三个集合的容斥关系公式得， ， 解得，故接受调查的市民共有190人. 故选：A 基础通关 1．（24-25高一上·广东深圳·期中）设全集，，或，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 故 . 2．（25-26高二下·天津·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，，则， 且全集，所以. 3．（25-26高二下·广东佛山·期末）设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由集合，集合，则. 4．（25-26高二下·陕西榆林·期末）已知全集，集合，则集合中元素的个数为_________. 【答案】3 【详解】因为， 所以， 又，所以， 则集合中有3个元素. 5．（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用交集运算与补集运算求解. 【详解】由题可得，又因， 则. 6．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 【答案】18 【分析】假设只参加集体项目比赛的有人，根据题设及容斥原理列方程求值即可. 【详解】由题意，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目， 因此参加比赛项目的总人数为, 因为有3人同时参加了这三项比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人， 设只参加集体项目比赛一项的有人， 则，解得，即只参加集体项目比赛一项的有18人. 故答案为：18. 7．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分由属于不属于的元素构成， 因为，， 所以阴影部分表示的集合为 8．（25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选）已知非空的集合的关系如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用集合的文氏图表示意义即可得到判断. 【详解】    由图可得：，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：AD. 9．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 10．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据补集的定义，先确定集合 ，再比较集合中的元素求出 . 【详解】因为 ，且 ，所以从全集 中去掉元素 后，得到 又 ，因此解得 素养提升 11．已知集合.，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】对是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】若，则， 当时，，即； 当时， ，得， 则实数m的取值范围为. 12．已知集合，.若，求m的取值范围. 【答案】 【分析】对，分类讨论，列出满足的不等式求解. 【详解】由，可得， 当时， ，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，所以m的取值范围为. 13．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知，，且，则的值等于___________. 【答案】/ 【分析】由交集结果得到，从而得到方程，求出，得到，，代入计算得到，求出答案. 【详解】，故， 所以，解得， 故， 又，故，， 所以，解得， . 故答案为； 14．（24-25高一上·河南周口·阶段检测）已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）求得集合，得到或，结合并集的运算，即可求额吉；或. （2）由（1）知，分和，两种情况讨论，结合集合的运算法则，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合，或， 可得或，则或. （2）解：由（1）知，，或， 所以或，可得， 当时，即时，，此时满足； 当时，即时，要使得， 则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 15．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知全集{为不大于20的质数}，是的两个子集，且，，，则集合___________，___________． 【答案】 【分析】解法一：分析出，，，且，再讨论剩余元素11和13，得到，且，，且．得到答案； 解法二：利用韦恩图进行求解. 【详解】解法一：由题可知， 由，得，且，， 由，得，且，， 由，得，且． 下面讨论集合中剩余元素11和13． 情形一：，但，与矛盾； 情形二：，但，与矛盾； 情形三：，且，与矛盾； 情形四：，且，经检验符合题意． 同理可得，且． 综上可得． 解法二：将已知条件，，填入如图所示的Venn图， 由图可知，． 故答案为：， 16．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）学校统计某班45名学生参加合唱、编程、漫画3个社团的情况，每名学生最多只能参加2个社团.统计结果显示：有16名学生参加了合唱社团，有17名学生参加了编程社团，有18名学生参加了漫画社团，其中有10名学生同时参加了两个社团，则三个社团都不参加的学生人数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】设集合“参加了合唱社团的学生”，“参加了编程社团的学生”，“参加了漫画社团的学生”，结合容斥原理，列式计算，即可求解. 【详解】设集合“参加了合唱社团的学生”，“参加了编程社团的学生”，“参加了漫画社团的学生”， 根据题意，可得，， 参加社团的总人数为 ， 因为有10名学生同时参加了两个社团，且没有学生同时参加三个社团， 可得， 所以， 所以三个社团都不参加的学生人数为人. 故选：C 17．（2025高一上·湖北·专题练习）（多选）（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出韦恩图，结合德摩根公式逐项判断即可. 【详解】因为，画出韦恩图如图． 对于选项A，结合韦恩图可知，当时A错误； 对于选项B，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，，即，故B正确； 对于选项C，由德摩根公式可知，故C正确； 对于选项D，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，当时，D错误． 故选：BC． 迁移创新 18．（25-26高一上·江苏徐州·期中）（多选）对于集合A，B，我们把集合且记作；把集合记作.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据和的定义，逐项判断. 【详解】因为集合且记作， 且集合，， 所以，A正确； 又，则，B错误； 因为， 又，所以，C正确； 因为，， 所以，D正确. 故选：ACD 19．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）（多选）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（    ） A．集合为闭集合 B．正整数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则为闭集合 【答案】ABD 【分析】根据新定义依次判断，举反例得到ABD错误，取，得到，，C正确，得到答案. 【详解】对于选项A：当集合时，而，集合不为闭集合，错误； 对于选项B：设是任意的两个正整数，当时，不是正整数，错误； 对于选项C：当时，设， 则，，正确； 对于选项D：设是闭集合，且， 而，此时不为闭集合，错误． 故选：ABD． 20．（2025·浙江温州·模拟预测）（多选）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【答案】ABC 【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据时，设，利用裂项相消得矛盾求解C. 【详解】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确， 对于B，取故B正确， 对于C，当时，，如时，设， 由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确， 对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误， 故选：ABC 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 21．（24-25高一上·广东·期中）（多选）设，为非空实数集，定义，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分别利用题中的概念判断每一个选项即可； 【详解】选项A，由题可知，，故正确； 选项B, , 所以， 同理 所以，故选项B正确； 选项C，，故当集合中没有元素时，选项C错误； 选项D，由题可知，但是可能为空集，所以选D错误； 故选：AB 22．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（多选）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有（除数），则称是一个数域.例如有理数集是一个数域；现有两个数域与.下列关于这两个数域的命题中是真命题的为（    ） A．数域中均含的元素0，1. B．有理数集. C．是一个数域 D．整数集. 【答案】ABD 【分析】对于AD，由数域定义可得答案；对于B，通过举例判断即可；对于C，取即可判断. 【详解】对于A选项，根据定义，由，则， 则0，1是任何数域中的元素，故A正确； 对于B选项，当时，，故B正确； 对于C选项，取， 则，则不是一个数域，故C错误； 对于D选项，由0，1是任何数域中的元素可得依次类推， 整数集是任何数域的子集，若数集E，F都是数域，则， 则整数集，故D正确. 故选：ABD. 23．（25-26高一上·吉林·期中）设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 【答案】010101 【分析】利用集合的新定义得出，再由集合的字符表示即可求解. 【详解】由，，得，则， 因此此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第个字符为1，其余字符均为0， 所以表示的6位字符串是010101. 故答案为：010101 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章： 集合与常用逻辑用语 1.3 集合的基本运算 课标要点 1. .理解并集.交集.补集的概念与数学符号含义 2. .能够使用Venn图表示集合的交.并.补运算 3. .掌握集合基本运算的性质，熟练进行有限集.无限区间型集合运算 4. .会结合集合运算求解含参数问题，能利用容斥原理解决实际问题 学习重难点 重点：交集.并集.补集的概念与基础运算 难点： 1. .综合交并补混合运算的逻辑分析 2. .结合集合运算求解参数取值范围 3. .区分全集变化对补集结果带来的影响 知识点 交集的运算及性质 文字语言 一般地，由所有属于集合A___且________属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作___________（读作“_____交______”） 符号语言 _ __________ 图形语言 运算性质 ___________，___________，______ _____，，， 特别提醒：1.交集符号读作A交B. 2.代表由所有既属于集合A又属于集合B的元素构成的集合. 3.且. 易错提醒：1.区分交集“且”与并集“或”的逻辑含义. 2.含参集合求交集问题优先讨论集合为空集的情况. 教材延伸：交集常用性质 . . . . . 随学随练 1．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知集合{是小于5的正整数}，，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·北京·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 知识点 并集的运算及性质 文字语言 一般地，由所有属于集合A_____或______属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作___________（读作“____ 并_______”） 符号语言 __ _________ 图形语言 运算性质 ___________，___________，___________；，， 特别提醒：1.并集符号读作A并B. 2.代表由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合. 3.或. 易错提醒：1.“或”包含三种情况.且.且.且. 2.集合内元素具备互异性.并集中重复元素只保留一个. 教材延伸：并集常用性质 . . . . . 随学随练 1．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知集合，集合，则为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南南阳·期中）设集合 则中的元素个数为__________ 3．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知，集合，. (1)若，求，； (2)是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 知识点 全集的概念，补集的运算及性质 全集 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的___所有元素________，那么就称这个集合为全集，通常记作___U________． 补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中___不属于________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作___________ 符号语言 _____且_________________ 图形语言 运算性质 ___________，___________，___ ________，___________ 特别提醒：1.全集U是根据研究问题人为选定的全部元素组成的集合. 2.读作集合A在全集U中的补集. 3.且. 易错提醒：1.补集必须依托指定全集.全集发生改变.补集结果随之变化. 2.补集运算前提是. 教材延伸：补集常用性质 . . . . . 德摩根公式 . . 随学随练 1．（25-26高二下·云南·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知全集，集合，，若，则实数a的值为_____ 3．已知全集，集合，，，若C的真子集共有3个，则实数m的值为________． 知识点 Venn图表示集合 在数学中，经常用平面上封闭曲线的_内部__代表集合，这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表示集合间的关系.常见数集间的关系如图所示.    特别提醒：1. Venn图使用封闭曲线内部区域代表集合.直观展示集合关系与运算. 2.全集通常使用矩形区域表示.子集使用圆形表示. 易错提醒：1. Venn图仅为辅助工具.不能直接作为严谨证明的书写过程. 2.绘制多个集合Venn图时.注意划分区域不重不漏. 教材延伸：1.两个集合相交Venn图分为四个区域.对应.... 2.容斥原理 . 随学随练 1．（25-26高二下·天津河西·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 2．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为___________．    3．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）（多选）如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 拓展 容斥原理 1.【公式结论】 【方法技巧】 梳理各类集合对应数量.画出Venn图划分区域.结合公式建立等式求解未知量.注意区分只属于单个集合与集合交集的人数 活学活用 1．（25-26高一上·云南·期中）某幼儿园老师给班上30位小朋友提供红、白、蓝三种颜色进行涂色练习，每位小朋友都至少选择其中一种颜色，其中有18人选择了红色，有9人选择了白色，有15人选择了蓝色，同时选择了红色、白色的有5人，同时选择了红色、蓝色的有5人，同时选择了三种颜色的有1人，则只选择了白色的小朋友有（   ） A．1人 B．2人 C．4人 D．3人 2．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 拓展 交并补混合运算求参数范围 1.【公式结论】 【方法技巧】 先化简题目给出集合.准确写出集合的补集.借助数轴表示区间范围.端点单独检验能否取等号.优先讨论空集情况 活学活用 1．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 2．（22-23高一上·河南洛阳·阶段检测）已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 题型 交集概念及其运算 解题贴士 1.交集含义取两个集合全部公共元素 2.先化简集合再寻找公共部分 3.区间运算借助数轴直观判定公共区间 4.， ▌例1 （25-26高一下·陕西咸阳·期末）已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（2026·四川宜宾·一模）已知集合，集合，则集合的元素之和等于__________. ▌对点练1-2．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，则______． 题型 并集概念及其运算 解题贴士 1.并集合并两个集合所有元素，重复元素只保留一次 2.化简集合后整合全部元素 3.区间运算利用数轴合并区间 4.， ▌例1（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，若，则中所有元素之和为_____． ▌对点练1-1（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，则集合___________（用列举法表示）．若集合满足，则集合可以是___________．（写出其中一个，用列举法表示） ▌对点练1-2（24-25高二下·上海黄浦·阶段检测）集合，则__________． 题型 补集概念及其运算 解题贴士 1.补集是全集中除去该集合剩余元素 2.运算前先明确全集范围 3.区间求补重点留意端点归属 4. ▌例1（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，则_____ ▌对点练1-1（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）已知集合，则用列举法可表示为___________. ▌对点练1-2（25-26高一上·河南平顶山·开学考试）若当时，一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为______. 题型 交并补的混合运算 解题贴士 1.遵循先求补.再交并的运算顺序 2.熟练运用德摩根定律简化运算 3.复杂运算可借助Venn图辅助分析 ▌例1（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知全集，集合，集合，则______________； ▌对点练1-1（25-26高一上·天津·阶段检测）设全集，集合，，则_______ ▌对点练1-2（25-26高一上·江西吉安·期中）已知全集，且，则 =_____________ 题型 由交集的结果求集合或参数范围 解题贴士 1.需分类讨论区间无重叠或集合为空集 2.转化为集合存在公共元素 3.列出不等式组求解参数.最后单独验证端点取值 ▌例1（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）设，，若，则实数的值可以为_____． ▌对点练1-1（25-26高三下·上海·阶段检测）集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. ▌对点练1-2（25-26高一上·广东·阶段检测）已知集合，，若，则实数的所有取值组成的集合为_____． 题型 由并集的结果求集合或参数范围 解题贴士 1.等价于 2.讨论集合B为空集的特殊情形 3.利用数轴列出参数约束条件.检验端点能否取到 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）集合，，若，则 __． ▌对点练1-1（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）设集合，集合，若集合A，B满足，，则的值是______． ▌对点练1-2（24-25高一上·上海·阶段检测）已知集合若，则实数的取值范围是_______. 题型7 由补集的结果求集合或参数范围 解题贴士 1.转化原集合满足的条件反向求解 2.区分全集限制.不可脱离全集直接求范围 3.求解参数后带回题目条件验证 ▌例1（25-26高一上·福建·阶段检测）设，若，则实数________． ▌对点练1-1已知集合和，满足，，则实数______． ▌对点练1-2（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 题型8 由交并补混合运算的结果求集合或参数范围 解题贴士 1.先用德摩根公式对条件等价变形 2.把混合运算条件转化集合包含关系 3.优先讨论空集情况.数轴辅助列出不等式组 4.求出参数后代入原式检验是否成立 ▌例1（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 ▌对点练1-1（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. ▌对点练1-2（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型9 由Venn图求集合 解题贴士 1.按照Venn图划分区域标注对应元素 2.分清只属于单个集合.交集区域元素 3.根据图形区域对应交.并.补含义写出集合 ▌例1（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高一上·重庆·期末）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知是全集的两个子集，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 题型10 容斥原理 解题贴士 1.两集合公式 2.三集合公式 3.借助Venn图标注各区域数量.区分仅单一集合与交集数量 ▌例1（25-26高一上·贵州黔西南·阶段检测）集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合，有.我校某班主任为了了解学生喜欢篮球运动和足球运动人数进行了统计，其中喜欢篮球运动的人数有18人，喜欢足球运动的人数有14人，既喜欢篮球运动又喜欢足球运动有7人，问只喜欢篮球运动的人数是（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 ▌对点练1-1（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 ▌对点练1-2（25-26高一上·湖北咸宁·阶段检测）调查表示火箭军、太空军、网络军位列2025年9.3军演最受欢迎前三个军种，某社区调查了该社区的部分市民的观看评价情况，调查结果显示：在网上评价了火箭军的有100人，评价了太空军的有89人，评价了网络军的有80人，三个军种都评价了的有24人，评价了其中两个军种的有46人，这三个军种都未评价的有15人.则接受调查的市民共有（    ） A．190人 B．120人 C．144人 D．178人 基础通关 1．（24-25高一上·广东深圳·期中）设全集，，或，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·天津·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东佛山·期末）设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·陕西榆林·期末）已知全集，集合，则集合中元素的个数为_________. 5．（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 7．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 8．（25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选）已知非空的集合的关系如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 9．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 10．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 素养提升 11．已知集合.，求实数m的取值范围. 12．已知集合，.若，求m的取值范围. 13．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知，，且，则的值等于___________. 14．（24-25高一上·河南周口·阶段检测）已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 15．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知全集{为不大于20的质数}，是的两个子集，且，，，则集合___________，___________． 16．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）学校统计某班45名学生参加合唱、编程、漫画3个社团的情况，每名学生最多只能参加2个社团.统计结果显示：有16名学生参加了合唱社团，有17名学生参加了编程社团，有18名学生参加了漫画社团，其中有10名学生同时参加了两个社团，则三个社团都不参加的学生人数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 17．（2025高一上·湖北·专题练习）（多选）（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 迁移创新 18．（25-26高一上·江苏徐州·期中）（多选）对于集合A，B，我们把集合且记作；把集合记作.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）（多选）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（    ） A．集合为闭集合 B．正整数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则为闭集合 20．（2025·浙江温州·模拟预测）（多选）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 21．（24-25高一上·广东·期中）（多选）设，为非空实数集，定义，则（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（多选）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有（除数），则称是一个数域.例如有理数集是一个数域；现有两个数域与.下列关于这两个数域的命题中是真命题的为（    ） A．数域中均含的元素0，1. B．有理数集. C．是一个数域 D．整数集. 23．（25-26高一上·吉林·期中）设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $